Блок схема решения систем нелинейных уравнений

Блок-схема метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона приведена на рисунке 3

3. Блок-схема метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона приведена на рисунке 3.

Ниже в качестве примера приведены программы на языках программирования Паскаль и С, реализующие итерационный процесс метода простых итераций.

ПРИМЕР ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ ПАСКАЛЬ

printf(“%d %.4f %.4f %.4f %.4f\n”,n++,x,y,fabs(y-x),

Решение: в результате решения нелинейного уравнения (1) на указанном отрезке тремя методами при начальном приближении с точностью и получены следующие результаты: методом простых итераций ; методом Ньютона ; модифицированным методом Ньютона .

4. Содержание отчета.

Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы (вывод итерационных формул); листинг(и) программ(ы); таблицы результатов (в случае, если число итераций в таблице достаточно большое, в отчет занести две первых и две последних итерации); выводы о проделанной работе.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Определить количество корней исходного нелинейного уравнения графическим методом и построить график (пример приведен на рисунке 2).

2. Доказать аналитическим методом единственность корня исходного нелинейного уравнения на указанном отрезке.

3. Построить итерационные формулы, реализующие процесс поиска корня на отрезке методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона.

4. Составить программу(ы) на любом языке программирования, реализующую(ие) построенные итерационные процессы, используя алгоритм методов, приведенный на рисунке. Печать результатов должен осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы:

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4.

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений (СНУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

1. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

3. Составить программу и с ее помощью решить систему уравнений с точностью .

4. Изменить и снова решить задачу. Сделать вывод о влиянии точности на количество итераций.

5. Составить отчет о проделанной работе.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Аналитически решить СНУ вида:

(1)

2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы (1) при начальном приближении

. (2)

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенный итерационный процесс.

1. Аналитическим решением СНУ (1) являются точки и .

2. Для построения рабочих формул МПИ для численного решения системы (1) необходимо вначале привести ее к виду:

(3)

Для этого умножим первое уравнение системы (1) на неизвестную постоянную , второе — на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Получим первое уравнение преобразуемой системы

(4)

где . Далее, умножим первое уравнение системы (1) на неизвестную постоянную , второе — на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Тогда второе уравнение преобразуемой системы будет иметь вид:

(5)

где .

Неизвестные постоянные определим из достаточных условий сходимости итерационного процесса:

и .

Запишем эти условия более подробно:

Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 4 порядка с 4 неизвестными :

(6)

Для решения системы (6) необходимо вычислить частные производные :

Тогда СЛАУ (6) запишется так:

Решением этой системы являются следующие значения: , , , . Тогда рабочие формулы (4), (5) для решения СНУ (1) примут вид:

Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так:

После несложных преобразований данные формулы примут вид:

Заметим, что если частные производные мало изменяются в окрестности начального приближения (2), то:

Тогда СЛАУ (6) запишется так:

Решением этой системы являются точки , , . Тогда рабочие формулы (4), (5) МПИ для решения СНУ (1) примут вид:

Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так:

(7)

Итерационный процесс (7) можно начать, задав начальное приближение (2). Процесс (7) заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значения и являются приближенным значением одного из решений СНУ (1).

3. Для построения рабочих формул метода Ньютона в виде

(8)

где ,

1. Найти матрицу частных производных .

2. Найти определитель этой матрицы:

3. Определить обратную матрицу:

Проведя несложные преобразования получим рабочую формулу метода Ньютона (8) в виде:

3. Блок-схема МПИ и метода Ньютона для решения СНУ приведена на рисунке 1.

Решение: в результате решения СНУ (1) при начальном приближении (2) методом простых итераций с точностью получено решение , а методом Ньютона .

4. Содержание отчета.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Определить аналитическое(ие) решение(я) исходной системы нелинейных уравнений.

2. Построить итерационные формулы, реализующие процесс поиска одного из решений системы нелинейных уравнений методом простых итераций и методом Ньютона.

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы, используя алгоритм методов, приведенный на рисунке 1. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы:

источники:

http://allrefrs.ru/5-22427.html