Библиотека старых советских учебников по геометрии
Старые учебники СССР
Книга для учителя
Автор: И.Т. Бородуля
Москва «Просвещение» 1989
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Глава I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Уравнения вида sin х = а
§ 2. Уравнения вида cos x= а
§ 3. Уравнения вида tg x= a
§ 4. Уравнения вида ctg x= а
§ 5. Уравнения, водимые к алгебраическим
§ 6. Однородные уравнения
§ 7. Уравнения, решаемые разложением на множители
§ 8. Уравнения, решаемые с помощью условия равенства одноименных тригонометрических функций
§ 9. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических функций
§ 10. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму
§ 11. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени
§ 12. Уравнения аида a sin x+b cos х = с
§ 13. Уравнения смешанного типа
§ 14. Проверка решений уравнений
§ 15. Приближенные решения трансцендентных уравнений, содержащих тригонометрические функции
§ 16. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции
Глава II. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
§ 1. Системы уравнений, в которых одно уравнение — алгебраическое, а другое — сумма или разность тригонометрических функций
§ 2. Системы уравнений, в которых одно уравнение — алгебраическое, а другое — произведение тригонометрических функций
§ 3. Системы уравнений, в которых одно уравнение — алгебраическое, а другое — отношение тригонометрических функций
§ 4. Системы уравнений, содержащих только тригонометрические функции
Глава III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Глава IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К РЕШЕНИЮ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава I. Тригонометрические уравнении
Глава II. Системы тригонометрических уравнений
Глава III. Тригонометрические неравенства
Глава IV. Геометрические задачи, приводящие к решению тригонометрических уравнений
И.Т. БОРОДУЛЯ. Тригонометрические. уравнения. неравенства. Книга для учителя МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1989
- Лариса Измайлова 2 лет назад Просмотров:
2 И.Т. БОРОДУЛЯ Тригонометрические и уравнения неравенства Книга для учителя МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1989
3 ББК 7.6 Б8 Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор В. В. Рыжков; методист Севастопольского РУНО Москвы М. В. Троицкий; инспектор-методист MHO РСФСР К. И. Шалимова Бородуля И. Т. Б8 Тригонометрические уравнения и неравенства: Кн. для учителя. М.: Просвещение, с: ил. ISBN Х Книга представляет собой сборник задач, составленный на основе многолетнего опыта в школе работы автора В начале каждой главы или параграфа дается небольшой теоретический материал, рассматриваются различные способы решения основных видов задач. Далее система предлагается упражнений, расположенных в порядке нарастания трудности Вторую часть книги составляют ответы, указания или решения задач и Обширный набор упражнений задач дает возможность учители составлять Индивидуальные задания для учащихся с учетом их возможностей Предполагается, что упражнения могут быть использованы для обобщения и повторения материвла иа завершающей стадии изучения той или иной частн раздела, иа факультативных занятиях н при подготовке к экзаменам 89 в «зобоюооо^ 1м_м ББК? 6 10(0) ISBN Х Издательство спросвещенне», 1989
4 tgf 5х\ 6 Глава I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ К определению тригонометрического уравнения различные авторы учебных пособий подходят по-разному. Мы назовем тригонометрическим уравнением равенство тригонометрических выражений, содержащих неизвестное (переменную) только под знаком тригонометрических функций. Уравнения cosx x; tg( Их) л 0; x-f 5jc Ах и т.д. суть тригонометрические уравнения. Уравнения *—*; cosjc«г* Т tgxx и т.д. не являются тригонометрическими, они относятся к типу трансцендентных уравнений и, как правило, решаются приближенно или графически. Может случиться так, что уравнение не является тригонометрическим согласно определению, однако оно может быть сведено к тригонометрическому. Например, (х6)cosx х6. Мы видим, что х не содержится под знаком тригонометрических функций, однако оно решается аналитически: (х 6)Х X(cosx 1)0, откуда х б или cosjc_!_, х± лл, где /iez. Решить тригонометрическое уравнение значит найти все его корни все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению. При решении тригонометрических уравнений мы будем пользоваться известными тригонометрическими формулами. Простейшими тригонометрическими уравнениями являются: x u и cosjt o, где а 5 1 6 i пл,
л. ^L V ( x) & 7. jejl. 8. xjl. 9. *-у/ 1,01. V. УРАВНЕНИЕ ВИДА cosxc Уравнение cosjca может иметь решение только при а ^1. Известно, что решение данного уравнения находят по обобщенной формуле: х ±arccosa-(-nn, где nez и O^arccosa^n. Полезно знать, что ajxcos( а)л arccosa ± Примеры. Решите уравнения. а) cosiljc ^. 6 Решение. JLx
±arccos^-f пл, -!Ljc -I- Л -лл, х * 6 6 пл, nez. Ответ: х± Л 1?пл, nez б) cos ( Зх) /1 6 ^ ll-_ Зле Решение. cos(x) ^, Зх iarccos^ лл, Зх -l-arcr.ns L. ±Ллл, х ±Л ± Л Лпл, rez. 1 з nez. Ответ: хл± 1 В) СОБЛ\/х «
Решение. nv* ±arccosf -*-) пл, л^* ± лл, V*±-5r1-!) V*-«, nejv», где Na 0, 1,, х. о 6 ( п); ) *е*- 0твет: -fi-^k, Х(_Т*)- *(.-».л)». eft, ftetf. (- _ fe). х 1 г) cos(l х) Д Решение. cos(x1) ^-, хl ±arccos( ^-1 — -лл, ±(л arccos^) пп, х 1 ±(л л) пл, х1± ±Алпл, x_l± Ал-пл, nez. Ответ: х1±1л пл, 8^ 8
7 ^. V Частные случаи. 1. Если cosx 0, то хпп или лс(л1)» nez.. Если cosjc 1, то хл- -ил или х(л1)л, nez. Решите уравнения. 1. cosx _!_.. cosi.x-l.. cos^l ^. х. cos — * 5. С05яц/. 6. cos-v/il0. ^, 7. cos( x) &. 8. cosxjl. 9. cos^sjl cosxv^tf. УРАВНЕНИЕ ВИДА tgxa, ГДЕ se«известно, что решение данного уравнения находят по обобщенной формуле: x arctga nn, где nez. Полезно помнить, что arctg(а) Примеры. Решите а) tgxv
. уравнения. arctga. Решение. xarctgv mi, x JL-f пл, х(зп1), х О О (Зл1)-, nez. Ответ: х(зл1), nez. 6 6 б) tgf Зх -l. Решение. arctg(1) arctg 1 ^-arctg( 1) пл, — -arctglлл, пп, — Зх Зх Зх Ответ: х 5 (л 1)л, n^z. Решите уравнения. 1. tgjl V.. tgx-v.. tg-з- -:>(?. 5. tg-a- i.. tg JL ^. x e. tg Yf 7. tg(l-jt)-. 8. tg(-x) tgx0, (6). 10. tgxctgjl. J
8 лл, i. УРАВНЕНИЕ ВИДА ctgxa, аея Известно, что решение данного уравнения находят по формуле xarcctga-f-/m, (5), где п^. и 0
9 JL,x 1 i-. Примеры. Решите уравнения. а) x7cosjc50. Решение (1 cosx)7cosx50, cos*-f-7cosjc0, cosxy, у 7у0, yi, i/ 1) cosx 10 6 cos-lj_. 7cosx JLtg(arctg cos 9. cosx 6cosxlJL jq. tgxctgx. 11. cosxx-x0,5.,- cosxxl. 1. 5_LcosJL l. 1. tgx Б tgx jc 16. cos x x lcosx Vx x cosx 0. cosx cosxcosxl. 0. 5cosxx0. 8 11 ctg( 1 *a^)vcos h. «ЛО 55.. ^ njc)_tgjc(cosx-l)l cos -tg- П-». i O-T. П-!^яЛО — -^ l-nn8 56. tg jc7 tg jc7 70 cos л f—!—cos(jc-il) -С*Е*. lctg* 58. ( cos JLJ ( \ 6/ \ cos* ^ — V 7 flctg*) tg jc) Л -cos x. / 59. tgjc5jccos5jc. 60. *cosjccosjc. О^лга^л; 61. eln(».*)-eln(-.-x)-jf(tg^ctg*). 6. lcosjcctgl. 6. (jc6)cosjcjc6. 6. cosjc 10tg*, ±n^x 12 ^x л/ x 1 л/тcosxx, -ctg*l ^(ctgx-l). я^х^_л. (1x)ctgxcos x. _i З cos x 7.ICOS.* 0. л/ jc jc. 88. V1 cosx л/ cosx, 0 xcosx):x V tgjc-tgx -L cos*t 0 13 ac 14 в) cosx jccosjc0. Решение. В условии не указано, что cosjc^o, а потому делить уравнение на cosjc нельзя. Но можно утверждать, что jc^o, так как в противном случае cosjc0, что невозможно одновременно. Разделим обе части уравнения на *, получим: ctgxctgjc0; ctgjc(ctgjcl)0. 1) ctgjc0, x JLnn или 1, хлл*я, k, nez. Ответ: xjl nn, x n, iez. JLnkn, r) jcjccosjc. Решение. Умножим правую часть уравнения на jccosjc. Получим: x- -jccosjcjc- -cosjc, jc jccosjc cosjc0. Очевидно, что cosjc^o. Разделим на cos*, получим: tgjctgjc0, tgx и tgjcl, x ) ctgjc arctg /m и xjlnn, k, nmz. Ответ: jc kn, Лия, k, nez. Решите уравнения. 1. cosx5jcjc0.. 6jc A л:5cosx.. jc cosjc0.. x cosjc jc6cosjc0. 6. jcx. 7. jc LSjnjtcosjt_L. л/ 8. 6jcJLjccos*. 9. *jccosjc. 10. jcjcl. arctg 11. cosjr;«rv
jcl. 1. ctgjctgjc!. cosx 1. jccosjc8jt. 1. jrjc5cosjc. 15. jccosjcjccosjc. 16. cosjc jccosxjc. 17. jc arccos 1.» 18. jcjc( In-x\ cos( A jc) (JLn jc) cosjc1. (i-n jc) 19. 1ж8jc 1cosxl? l8 cos *79jc- -l5cosjc5jccosjc*cos5jc. cos 5 1. jccosjc lctgl(cosjc 1).. ctg*- -. x. (ltg*xlx)l.. cos jcvx. 5. cos x jccosjcjc. 1
15 . (x (x180 ) cos(x 70 )l, SL 16 . 11. tgxtgx f 7. УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ НА МНОЖИТЕЛИ При решении уравнений этого параграфа нужно пользоваться всеми известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Это вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формулсокращенного умножения и деления и искусственные приемы. Необходимо также знать формулы, данные в 5, и формулы: 1) tg(ct±p) ^а±*кр, ) a а а, ) cos За cos а cosos. Решите уравнения. I. *x 0.. ctg* ctg*0.. tgx tgx0.. tgxtgx. 5. cosxtgjc ! ^ xcos-. 9. ctg( JL. 8. (1cosx)xcosx. vi/ *) _tgx(cosx-l) ctgxcoszx cosxctgx 0. tg?x cosx-\/(cosjcx). 1. tg(f *)-ctg*-^r(lcos*)0. 1. *cosл:x0 15. (cos6xl)ctgx x. jc 16. cosx^-±^(cosx v x). ; 17. (1/)*/1cos*/. 18. tgxx cosx x-\-cosxxl. 1. * a *.. tgjlcosxl. xcosxx.. xcos*l.. _L cos Л cos*i_jl l. 6. 1* xjl cos* x cosxcosx*. 8. 1cosx x0. 9. cos JL ± ctgxtgx8cosx. О О 1. cos :lx0.. cosx xcosx.. ctgx tgx^ctgx.. ctgxtg x cosjc. 5. cosail l. 6. cos Л Л Vx cosx ф JL 1 cosx. 9. xcosx bfcl&i(atcosx). (5
17 cosx -\/ cosx. x\
\fsm x-\- Vcosx V Jx cosx x Jt(V xcos x) xcosx. 6x cos 6x 1 x x. 8 JL. tg^tg-j^^- B fcos-^^)_, V / cosxtgf ii tg(-ln x) cosx0. cos 6x tg x. Л. 18 x. 6* 89. 5f / xtgxlxtgx. 91. x- — JLxl. 9. xcosxxl. 9. xxx0. 9. x- -xcosxcosx xxcosx. 96. tgx-b^ sil. 97. ctgj«r-l±aill. 1 x 1cosjc, 98. xcosxxcosx
tR^- cosx. 1tg* 100. cosxcos x x(l-f-cosx) 1cosx. Найти удовлетворяющие неравенству х 19 ,7л), Brm, f 8. УРАВНЕНИЯ. РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ УСЛОВИЯ РАВЕНСТВА ОДНОИМЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Многие тригонометрические уравнения могут быть приведены к равенству одноименных тригонометрических функций. Такие уравнения решаются на основании условий равенства одноименных тригонометрических функций, т. е. тех условий, которым должны удовлетворять два угла: аир, если a) ct p, б) cosa cosp, в) tgct tgp. Выведем эти условия. Теорема I. Для того чтобы синусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий: разность этих углов должна равняться л, умноженному на четное число, или сумма этих углов должна равняться л, умноженному на нечетное число. Доказательство необходимости. Дано: a p. Доказать: а рлл или ар(и1)л,»ez. Из условия следует: a 00,
cos это выполнимо, если 1) g
p при В 24 fil cosx.. x Зле. x 7x-\/x. 5x 7x 0.. x xx. 5. 6x x -Ltgx. 6. x xx. 7. cosx- -cosx-bcosx cos x0. 8. cos9x cos6xcosx0. 9. x 7x-\/x. 0. cos 7x xcos xcosx. 1.! 1!_ л/. x cos x. x x x 0.. x x cosx0.. cosx cos8xcos6xl. 5. x5x x. 6. x x tgx 5ctgxtgx, * 25 cosfx я JU cosx cosf xarctg( tgnj\ cos(x-?_n) 0. sn**5x 6. tgx0. cos xcos Зхcos 5x 65. x x Зх x 5x cosxcosxcosx- -cosxxx x x5x. 67. cosxx ^l. tgxctgx tgx. 69. tgx tgxtg5x ctg(xjl) ctg(x JLJ ^. 71. ctgxctgxtgx. 7. 7xx x. 7. cosxcosx x. 7. tg(x J^ ctg(5x 75. tg8xtgx (5xn) cos ( 77. 5x xx x xx cosxcosx-f-cosx0. xj cos x. 80. cosxx^. 81. xcosxl. il) cosx-fx ^-. 8. cosxcosx cosx0. 8. cosx x cosxf x-lnj -\/cos( xjlj 86. (x x):cosx tgltgxtg(l-x). 89. tg(.n-x) tg(jl-x) x. 90. (x5) (x l)(x). 91. cosxcosxxx. 9. fx JU (x-f.1л) cos(xj^. 9. (x-) (xjl) (xjlv 9. cos (x л) (x 95. n\ (x -j-cos(xjl) 96. ctg(x ) Ctg(x-Jl) V. 97. x cosxcosx5x. 98. xx. 99. cos ( 5x) x cos x \/xcos5xcos9x xcos x xx, cosfxjlv 88. tg7xtgx0. JlV Jl 26 * 10. УРАВНЕНИЯ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ УГЛОВ И РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ Формулы сложения углов и разложения произведения тригонометрических функций в сумму: (a±0)acos0±cosap; cos (a± P)cos a cos p^f a P; tg(a±p)
.itgatgv a cos p -i( (a P) (a p)); cos a cos p.1 (cos (a P)cos (a p)); a p i- (cos (a P)cos (a — P)). Примеры. Решите уравнения. а) (ax) a cos xcos a, a некоторое число. Решение. a cos Зхcos a x a cos xcos a, cos a xcos a 0, cosa(x 1)0. I) cos a0, тогда xel?, или ) Зх10, xl, ЗхЛ лл, x(nl)jl, 6 «ez. Ответ: R, если a(fc l)jl, или (n-fl)jl, если аф(к 1)» feez. б) cosxcosxxx. Решение. cosxcosxxx0, cos(xx)0, cos5x0, 5х(л1)» х(л 1)Л, nez. Ответ: (nl)jl, «gez. в) cos (ax) cos (ax)0,75cos a. Решение. -L(cos 6a — cos x) 0,75cos a, a число.» cos 6a-j-cos x1,5 cosa, cos6acosx 1,51 cos6a, ) cosx некоторое х±п пл, x(n±l)л, x А О О (n±l)jl, nez. Ответ: (n±l)i, ле. 6 6 г) x(il x)(jlx) -L Решение. Зх _L( cos 6xcosJin) _L, x(cos6x _L, xcos6x x_l; 9xxx_L, 9x_L, 9x( v l)»jl rm, x( v \)n. njl, n^z. Ответ: б 59 ( IfJL njl, ntz. 5 9 ^ 5
_ д) -^ cos (5 xxlx)l Решение. V(cos 5 cos x 5 xxl x) 1 cos x, (cos x xxl x) x, (cos x xxl x) x; cos x xcos x x x x, xcos x xcos x 0. xcosx#, 1xcosxi/, xcosx^. Уравнение (1) примет вид: y 1) y\ 1 cosx. 0, y*y10, yu л/, xcos x 28 cos _L 0. -Lcos!-sjnf cosjl V 1. (ii-f5x)cos(jl x). xcosf JL Xcos(n x)l.. xcos(an x) ( JLx) ( Л-6х). xj (n x)cosx- -( Ал x) X (a x)cosx- -( Л x) cosx 0. cos(*- 18 )tg50 (f18 ) cos Ax cos Ax iicos Ax xcos7x x6xcosxcosx. 7. cos x cos 6xcos x cos 7x. 8. cosxcos(a x)xcosf JL 9. cos(xl)(xl)cos(xl)(xl). 0. cos x cos x cos x cos 8x J_ cos x cos x x0,5 x.. _Lxx xx cosx.. x5x7xx0.. tgxtg(x )tg(xan) V- 5. J- x cos x cos 7x. 6. cosxcosx x6xcos7x. 7. x cosxctg JL V^- 8. 5xxcosx0. xj ^x. 9. cos Ax x x x x xx(yl)cosx. 1. cosx xlcos Axcos JL.. x cosx-\/5x.. cos( An x) (л 7x)x5x.. xx (V l)cosxl. 5. x- -cosx lcos Axcosil. 6. cos(xл.) cosxvx. 7. cosx 7x cos 6x cos 7x 6×0. 8. ( x Л) V (cos x x). 7
29 x)(.*-x> cos tgg 9. cosx x cos Ax cos JL *K 0 1tga 0/ 50. x ( x)cosx tgil tg^ tge? л 51. tgf^ xw x BV / lcosx 1 Igarccos(—L)0. л \ / 5. cos(л ^Sx. 5. xx( Л x) Acosf Ал х>. 5. cos x cos x (cos x cos x x x) cos 5x 1-tg xx_l. 56. Ax — (1 57. tgx ctg(an cosx) cos AxcosA(lcosx)-l-. x) tgx arccos cos 7x x «K^ xcos( 5(x?*)) V V 5// ltgx 59. tg(xjln)ctgx-i-ctg^n. tki 60. tglln ctk*. 6 *(-*) 61. Vx Vcosxl. 6. xvcosxv- 6. xiearctglx-!^sl^-. & n 6. (x cosxctgxx. 1tg* n)cosxcosx 6x- S.S-J 66. 5xcos6x x 7xcosx 30 5(xiL) Л 7. 7x cos 1x x cos 19x. 7.!xx 1tK *-xjl8x. lte** 7. 7 cos x xcosx5x x xx_lcos( An 76. xcos ( xxcosx. — — x). 78. cos xcos x-f- x 5x _L(cosxcos x). 79. x(*x) cosxcos(x -5.) -Д 81. x (5 x). 8. 5т(л x\ Acosfil 8. 6xxcos5x. 8. Vx 85. 5x Axcos-f x AxcosJL. 87. x(xju f xал) -L. 88. ( x cos x) tg( x JlV 89. ^-^cos^ A^tg^-tg-^) b^ i.cosx. -tgjf 91. (jl Ax) (AnL), Л 31 . Решение. 9 cosx 1 1 1, Решение. 1 cosx0, 1 cos xcos х0. cosxcosx0, cos x( cos x 1)0. 1) cosx0, x JI(/i 1), x(nl)jl, nez, или ) cos x10, cosxjl, x ±Л Ля, x±jl kn, kez. Ответ: х(л1)» x 6 (6Л±1)Л, п, ftez. б) cosxcosl0x 10. Решение. 1 cosxcos Юх cos7xcosx0; 1) cosx0, x (/i 1 )-, x(nl) 0, cosxcos 10×0, 6 или ) cos7x0, 7x(ftl)» х(*1)л, kez. Ответ: * nsz, х(л1)» x(kl)» n, kez. О 1 в) f-j)cos (л у jx. Решение. ycosy x, (snycos»5″) у cos x x0, x у x, 1r»xx, xx; ±V. 0 xv1, x(i)»x Xarc(V l)nn, n(z, и ) x (1 л/) 32 11. 5jcx (167 sx6-1. cosx x-f-cosx0. 1. ycosx * cos8x-jj-cosjc^-совгдг. Sn cos8* 8Jtcosxy cosx. 17. cos6*6*-5-cos *. о 18. x Cj xjat.,9. cos (f-*)-cos (- *) x cos -A: a. 1. jccos jcjt x0.. x (*-j)-i. y cosy -.. xcosxcosjc. 5. cos*cos 5* x-f jrxx. 7. ctgx Jty. 8. Jtx- -ji;jt. 9. Jt-j-cos * x0,5. 0. *x*0,5. 1. cosjtcos xcosxcos5x.. Sinx (-j -f.x\_f- (jc-^)0,5.. cos6(-ja-) cos6(jc-i)0,5.. cosjccosjccosafcosje. 5. jc-f-a:jrje5je, cos6*cosxcosjc (y y)-g-n, I 8. 81ПДГ С08Д: COS X COS JC. О 9. T -JCl. 0. (cos 5л:cos 7xf(s in x — 7jc)0. 1. jc (* — -] cos* у у 33 (arccos( 6. ^Д,Х\ ctg( nx)^ tgxcosx. xtgx. 9. 7x9x(cos(-J x) cos(-^x)) ,5 34 любое 1. УРАВНЕНИЯ ВИДА a * fc cos* c В уравнении a л:6 cos хс а, Ь и с любые действительные числа. Если оь 0, а си0, то уравнение теряет смысл; если же а6 с0, то х действительное число, т.е. уравнение обращается в тождество. Простейшие уравнения этого вида нам уже встречались в решениях уравнений 5, 7, 9, 10. При этом их решение не требовало новизны подхода. Например, -^/xcos х 1. Разделив обе части уравнения на, получим: ^x -i-cosx^-, т.е. (x- ) i- или cos(x^)\ Уравнение jccosjc1 можно решать по крайней мере четырьмя способами. Например, разделив обе части уравнения на -\/, получим: je cosx, (х-^л и т.д. Рассмотрим уравнение axb cosjcc, у которого произвольные коэффициенты. Такие уравнения решаются разными способами. 1-й способ решения уравнения ax-f-bcosxc введение вспомогательного угла. Мы знаем, что если а 61, то существует такой угол Vfl* таком случае уравнение примет вид: -\/a-b(cos9xcpx Xcosx)c или -\/ab(x9)c (1), откуда (xcp) -. Это уравнение имеет решение, если а- -6^с, тогда ЛК* *Ф( 1)» arcs in-1_ пп, х( 1)» arc-f nn w, «gz. Угол ф находится из равенства tgф-^-^-, откуда Фаг^. Ответ: х(if arc ^ -\-пп arctg, /»Z Примеры. Решите уравнения. a) jccosjc. Решение. а, 6, с, а Ь5, с, а 6>с; следовательно, уравнение имеет решение. 35 5 08, Применим формулу (1): -\/-(cos (1)»x Xarc-g-nn, x( l)»arc-^-ляq>, n^z, гс. Это уравне- * 1 -f-t 1 t tg которое можно переписать так: a \-b с. Полоltgy -tfy H-Vf 36 b, с. иие рациональное относительно /. Умножим обе части уравнения на 1/^0 при t(r, получим: (6 с)* а/(с 6)0 (), _ _ а (с6)(с- -6)а- -6 Полагаем, что Ь сфо или сф тогда /i. jt^ ()- Значения / действительные, если a6^sc. Если в уравнении () с6, то оно обратится в уравнение первой степени: а/60, t, т.е. tg-5-. х arctg \-nn. Выражение для вспомогательного неизвестного /tg- теряет смысл при уу пл, т.е. х(п1)п. Решения уравнения (1) вида х(/г1)л (если такие решения существуют) могут быть потеряны. Подставив х(п 1)л в уравнение (1), mwiyhm:a(n- -l)n- -bcos(n c; 6(1)с; l)ji a-0 с Ь. В этом случае уравнение (1) имеет множество решений вида х(п-и)п, nez. 1. Если а 6 с уравнение имеет решение. % 1/-, 1 1Ф0 при f«lf, 6f-/r, 7/-6/-l0, /. 1*1. 1)/. 1. -l Jlmi, *- mt, nez: ) * -.>.. tgjl -L, JL arctg-lfcji, jcarctg_l ftn, ftez. Ответ: xjlnn, xarctg-l*n, n, ftez. б) xcosjc5. Решение. a, 6, c5, 5, т.е. a6c Уравнение имеет решение. ^ 1— 5, 1/^ 0при /el?, lt lt* 6/-/55/, /-6/90, (/-)0, /, т.е. tg-l, 5 37 0; ft, 0 38 6-\/( arctg- ^ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА Решите уравнения. 1. x-j-cosx,55xcosx.. x cosx5xcosx 1.. x-j-cosjt I.. xcosxl. 5. 9x-Z-jccos-.x 6. 5( xcos x) xcos x-^( -J- x) I (Anx) ^tg-^^-. x-f-x cosx0. 9. I -f- f cos/ 10. (x^.) V^8xcosA». 11. tgx->-ctgxv(x cosx). t 1. -Lcos x JL xcos x 1. -Icos x x cos.. cos xcos JL. 1. xcosx5 jccosjc, arctg(xl)_larccosx cos(!gx)v(lgv 17. (x1)(x15). 18. arctg(x ) 0. arc arc Vl 1. arctg » о x. arctg(xl)jl. 19. arctgi. z-fi a-\-b arctgx. arctgx L. x arc _L.._arcxarccosx.. arc xarc x. 1. (x-j-cosx)(tgx-j-ctgx)l. 5. cosxcos x-j-arctg Hg-g-njlcos (х ^п) 0-6. Найдите действительные значения а, при которых уравнение cosx-(a)cosx(a])0 имеет решения 7. cosx x у. 8. ^ Юх xcos x. 9. xcosx xcosx 0, -1л 39 cosf. l-tg*ctk* StSJ 40 x xcosx — tg x)cosxtgtgf-*) /. Xx 6. A6xcosx-i.6xxJ-6xxxX cos x x0. 6. xcosx cos x cos x6 cos x (1ях) x ( JLrtxj x f Ал х> xcosx x cos xл/ x-\/ x xxcosx л/ xcosxл/ x cosxx 5x cos xл/з x 5xл/ cos x x cosxcosx5xx tg(10 x)tg(0 x) (80 x) x (x-cosx) i o. 69. x( tg5( )tg7(il).. lyx 70. x-i cosx. 71. (cosx xcosx) x x. 7. cos6x(yn xv 7. 5xctgxx5ctgxl xcosx (лх)(xn)x(l cosx) 76. cosx- — xcosxx. 77. ^cosxxflxctgx. 78. tgxtgxctgxctgx (l-tgxxlx)ltgx x -xcosy, 0 41 a — I cos уравнению. Найдите все пары чисел хну, которые удовлетворяют 9. cosjiccos 42 xcos cos-ixl. x\ xx 1, _ cos7x 119. (1 xxcosjc ас) 1 jc cos (ycosx) (л x). 11. xtg At. 1. x-\/5jccos (^*) ycqssx x cos (y x J Зх-f- * 5x 1. cos x cos at xcosx лс x 5*0. -\/x 5 x cos (y x Jcos5x0. cos x cos x-^/cosx x xy*cos Jt- — jc x jc9xx16x (nx)(njt) x- — x-f-x xcos xcosxcos xcosx. 18. tgjttgjctgx tgjc.tgxtgx. 19. cosxу cos at cos Зле 8 cos x cos x 10. cosx 1. cos6( *-.) Cos6(-5—x) 11. cosx tg 1. cosjc cosx(cosx cosjc) x- cos л;»inxcos* cos x»«»*. *,5_ (со» Ьч)1-смх -yf smx. (l*) 16. x-f-cosx x v 0 43 a,ctg(, E!((i1,(-L_. -1. / V. \ Найдите 18. cos x cos x cos 6x -Lcosx, различных корней имеет уравнение? -5-^х^л.. Сколько 19. 5tgx cosx, О^х^:-jLjt. Сколько различных корней имеет уравнение? у/ x x-\/5cosx х. Xtg (x л) V(x n). 15. ltg* tg* tg*- >i_l tg-tg^!—tg(x-n)tg(lx-x). cos x 15. tg (6 e 44 x 9 7xcos7x Cosx 0, (x^)cos(_l ^)(^Jl) Vcos(A -f). 68. I x x- -cosx. 69. l7x 5cos7x a xtgxx (x-j- )xtgx. 7. x со5д:-11.smx cos x 1 7. cos U cos x- -) 7. -f cosx 5cosx 8cos6x. x. sm 75_ x * x cosx. V cos* 76. x -\- cos x x cos x (5n-x) tg(ji *) 78. cosxx 0, 1 45 6 -cosx- — x) cos x, 197. cos(ji *)-sn (ул xj cos (yn-^)(n x) Л :))-ctg( n-x)»«5 1. *»* S,^»»_Jr;:(6i 46 x. ^ 5. (cosjc) cosjcl-5i!1^—(lvcosx). 6. tgxctg*ctgxtgxctgx-ctgx cos x.sjnxxcosa:. 1 cos x 8. Vcosx l*-l.x0. x l c0sj[l.xx jc. 1 COS X 0. V x l1cos^l.x x:. 1 —cosx 1. V5 x cosxcosx0.. (x-j)cos( -g(jljl) 1/5co.(i«)..V(^-^)-V6(^^)(^-^)-. cos($«) -cos(^-^) -V5co.(i-») л/ 8e.^co.(*.-^-V5.in(^-^-,in(^. «)- 6. x x cosx. 7. tgx tgx. 8. cosx cosx 9. Ictgxl ctgx -J. cosx /. x о \ Sill JtCOS SlllXCOs7jr 0. siir5x( 7x cos xjl cos- -.*):. V / lctg5* 1. xcosxcos8x.. (xl)8x6cosx.. 1x 9 x cos x.. cos 1×5 cos x x jecosx ljc. 6. x 5 cosx. Itgjrctgjcl 7. cosxx l-f-x. 8. Vcosx xcosx. Найдите решения, удовлетворяющие неравенству cost xjlj ^0. 5 47 x JL; левая x0, 1, 1. ПРОВЕРКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ Нужна ли проверка решения тригонометрического уравнения? На этот вопрос утвердительно отвечать нельзя. Если тригонометрическое уравнение представляет собой целый многочлен относительно синуса и и косинуса если грамотно решать уравнение, то проверка может понадобиться только для самоконтроля для уверенности в правильности решения. Проверка, как правило, не нужна. Если следить в процессе решения уравнения за эквивалентностью перехода, то проверку решения можно не делать. Если же решать уравнение без учета эквивалентности перехода, то проверка обязательно нужна, особенно когда уравнение содержит тангенс, котангенс, дробные члены или тригонометрические функции от неизвестного, входящие под знак радикала. Не сделав в этом случае проверку, приходят к грубым ошибкам, к посторонним решениям. При решении уравнений, содержащих дробные члены, нужно следить за сокращением дробей, ссылаясь на основное свойство дроби. В этом случае мы избегаем посторонних корней и избавляем себя от проверки найденных решений. Пример. 1. Решите уравнение xcosxx. Решение. cosxxx, cosxx(l x), cosxxcosx, cos x(cos xx)0. 1) cosx0, x (nl)jl, x (n\)jl, nez, или ) cosx * 0, xx1 0: a) x 1 kn, k(z и б) x_l; x( If Л mn, m 48 _L, cos7x, x\ б) Решите уравнение cos7x 8x cosx x. Решение. 8jc-l-x cosx 5xcosx s5xjc, 5jc(cosxx)0. I)5jt 0, 5xnn, xn-, n^z; ) cosjirx, cosxcosf Jl : a) x -Jl x kn, 5x^.fcji, x(fel)jl; 6) ЗхJL xln, x-^ ln, iez. Ответ: xnjl, *(ftl)jl, x(l-l)-±, n, k, lfz. Сделаем проверку найденных корней. Для этого определим период уравнения f(x)cos7jt 8x cos Зх x, 7″i, 7, 7″э -^, Tt n. Чтобы найти общий период, надо при- вести все периоды к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), а затем найти наименьшее общее кратное (НОК) всех числителей, после чего, разделив НОК на НОЗ, получим общий период: л. Выпишем решения уравнения: п, (Л1)-^и (/ 1)» п, k, l^z. Мы видим, что проверку корней уравнения на [0; л] проводить будет утомительно, так как для проверки корня (fci)jl нужно давать значения ft от 0 до 1, что, естественно, затруднительно. Если же период небольшой, то можно себе позволить проверку правильности найденных решений. в) Решите уравнение xctgjt 0. Решение (.nc л) cos л: n х[ъ x) cos x x x jt?fc0, хфкп, feez, в противном случае ctgx не существует: (-x)cosx0. 1) *0, (1 cosж)0, 1 cos *0, cosx x ±—л-\-kn, x ± Л Ал, ftez;, о о ) cosx0, x 49 Ал 50 -\-kn 51 _ i пересекаются в начале координат. Число х0 является точные корнем этого уравнения. Кроме того, уравнение tgx x имеет бесконечное множество решений в интервалах » ( /i«z. -) X У л » tg-r 1 0 0, 1 1, , Из графика видно, что n 52 Л _ n ss У _L нечетная, а потому точки с пересечения графиком функции х ussdgx будут симметричны в промежутках (0; л) и ( л; 0). X У л л т л ctg* ,58 X ,6 0,7 Из графика видно, что SL 53 JL0 т. е. cosa 9дг Обозначим arc V * Р. p -у/1 х, cosр-у/1 -\-х-фс. ) a p arc_l, (a P) _L, a cos p cos a p -, з 1, \ -J*&*..-JTZ^% —^ V* vx J v * ij l.(i_x)> >:9x-9x- xj V x jt Эх1х0; (x^0, x0, *- — Ответ: xi-, -й способ. Воспользуемся равенствами (arc x)x, cos (arc x)-y/l (arc x) -y/l Следовательно, взяв синус от обеих частей уравнения (1), получим: л/1(-у/1 х) VJr * (см. 1-й способ). 1) Решите уравнение arc x a rctg-^-^- -. х, Решение. х ^1, х ^. Обозначим arcxa, a Обозначим arctg-!- р, tgp -bii, х х JL 54 x)v 0х х x х x 80; x 16x 8^ ).. х)у1-х Зх 0х х1, х)у х * p -Ь^ (^J(\-Xf ll-x\ l-x, так как lx 0 при лёл, а потому x -у5х xl. () Обе части уравнения () положительные, так как x ^-L, а потому, возводя в квадрат обе части уравнения (), получим равносильное уравнение: 16дс— ±(\-х)(1-х) 8х(\-х)л1\-х Ьх 16х(1-х хх1-х) 8Л1-х)УГ-*7 5х-х1, 16х 1-хх- _х8х 8x(t 5х-х1, 1х 8х(1-8х 0. Из условия видно, что хфо, а потому, разделив обе части уравнений на х, получим: 1х 8(1х)Х х (1 1 х. Нетрудно xv1 х 8х проверить, что при х 55 il 0. arccos -д/l arc -Ц-. V О t) 1. arctg(xl)arctgxarctg(xl)arctg;t.. arccos xarctg;c.. arc x-\- arc JL. JL.. (/i arctgx)0, neiv. 5. arc jcarc x. 6. arc x-\- arccos (I x)0. 7. (arc je)(arctgx)n. 8. (arcxf (arccosxfn. 9. arcjt arcx. О 0. arc jfarc-i. arc-^. 1. arc(x-\/) arcx.. a re л: a re.. arc-1arc. 6д/. a rccos xarccos (^дг) arccos(-^jc)arccos(vx) arccos x-\- arccos jcji. 7. arctg^- arctg^ ±. 8. arctg(x l)arctg( x)jl. 9. arctg( x)arctg(x)^. 0. (arcx) 1. (arccosxfarccosx. 8(arctgxfarctgx10. arc x l 0. 0. 56 Л СУММА Глава II. СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В курсе алгебры и начал анализа предусмотрено решение систем уравнений. Системой тригонометрических уравнений условились называть совокупность уравнений, составленных либо только из тригонометрических уравнений, либо из тригонометрических и алгебраических уравнений. Примерами систем тригонометрических уравнений могут служить следующие: xcosy 0, x cos y 0,5, У- xcos у; у cos х0,75; cosiut пх- 1. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, В КОТОРЫХ ОДНО УРАВНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ, А ДРУГОЕ ИЛИ РАЗНОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ Примеры. Решите системы, а) x y-1(). Решение. Преобразуем уравнение (): x y -cos *т»у (). Из (1) и () следует: Л cos ^ JL ( JL _ 1 л/ л/ \/ Г -L. cos^ f^-^-^.-l) ф-^, v 1 V 6/ \ / v!. 1 п л S»T _^_^л^ получим: cos-^^/l, x y V6-V ±arccos Уравнений (1) и (): ^ 57 «, cos(jtj/) «, * ± arccos ^Ь ПЛ t/±arccos^b^-nn—ii, Ответ: х rfcarccos пл—^, n^z. 1 * n 58 — Вычитая решение. Преобразуем уравнение (): 1 cos x-\-1 — -cos y cos xcos у -, О cos (ху) cos (x(/) V тг «е» Решение. Преобразуем уравнение (): jr у sn x j/ x j/ :л/, VI л/з, xt/-l (). x у Преобразуем уравнение (): cos(xу)cos(xi/)lf cos-jl 59 ycos Решим совместно уравнение (1) и (): ху ± -1лпл, пе откуда Ответ: х ±- пл -5., у ± — — пл п 60 Найдите все действительные корни системы уравнении. 19- tgny— ^ ^. ltgn* l-tgiw 0. (n(x-y))vcos(n(x-y))0, 1.. tg(jij/)v5tsw x-xr/ 1 я i (n(xy))cos(ji(xy))^0. х 1 УА. * СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ. В КОТОРЫХ ОДНО УРАВНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ, А ДРУГОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Это системы уравнений вида: х±уа, х y b; х±у а, xcos yb; x±ya, cos x cos yb. Примеры. Решите системы уравнений. а) а COS X COS t/. Решение. Преобразуем второе уравнение: cos(x y)cos(xy)l, cos(x t/)cos JI 1, cos(x t/)-i,jc-fх у± лл, n^z, Ответ: L, x(6n±l)- y(6n± 1)— -, xy-^n, 6) cos(x-j/)-^ jty * Решение. cos(xy)cos(xy) A, cos(x«/)cos-in A, -, cos(x-y)l. nez. 59 61 Ответ: л, i х у_л, х л-\-пл, x у пл, n^z; у » -г пл, n^z. Ответ: х( Зп)Л, у( Зп)Л, nez. в) х у-. w cos х u _L Решение. (jcy) (y x), (x-j-y)y (x y)l, ху- пл. x y Лпл, nez, x-y JI; xjl iui, i/-g-nn, nez. Ответ: x(nl)ji. j/ (6nl>j1 ne^z r) ctgxctgyi-. w Решение. y tgx-(tgxtg-^) ltg лг tg xil, tgxtgy, tgx tg( x JIj,, tgx-vtgx Vtgx, tgx-vtgx- — 0, tgxv±vl5. xarctg(v»±vl5)»». yarctg(^± ±тд5) пл xarctg(v±vl5)n»; i/»arctg(^>± ±лд5) Пл nez. Решите системы уравнений. x y A. w x u _!_. y * У. 7 tgxctgy^. J л- xcosy ху tg*tgy^. * » 1 J_ x y» tg*tgy^, xy» tg*tgy-l. _Lji, 1 7. x yn, * 1 х-у^. х У-Ьл- cos x cos у ^j- x у _V6 xcosu_. w 60 y^ kn; x y il An, AeZ. 6 6) x y, jf о cosy 61 63 -rrn,. * I. 1; Решение. ух * xcos(x Jl), XcosiL-xil, xvcos x x, cosx0, 6 6 x- » u — nix, в) *«/—. n^.z. xcosx) 64 I 10. х у COS* п. 11. *уйл x л/ у xyjln, 1. * (y У x о у x _, / cost/ V 1 x 1_ у л/ 16. x yn, tfifjctei/ 1 л/l Va f. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ТОЛЬКО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Примеры. Решите системы уравнений. а) x- -cosy 0, (I) x cosy^. () Решение. Из уравнения (1) имеем: cost/ x, тогда уравнение () примет вид: x-j-x _L, x_l, l cosx_l, cosx_l, x± пл, xdt nn, n^z. 6 Подставим найденное значение х в уравнение (), получим: ( ± A-j-nnJ — -cos у JL. Рассмотрим уравнение при п 0: JL — cos u (±±)cos>y± * 6., -L cos _ * y -icosyl, _L l cosyl, cosy _L, y±л йл, У±^- кп. Ответ: х±±пп, y±jlkn, n, *ez. > 6 6) 9tgJrcOS(,_i (I) gcos9_81(gjrj;. () Решение. Перепишем систему уравнений в следующем виде: 18х со5», (Г) сю,_з1в^. () Из уравнения (I) имеем: tgx- -cosy 1, откуда cosy 1 tg ж (). Подставим () в уравнение (), получим: З1-*1^* *е*, $ З^е^г. Обозначим 1в*/ (), тогда А,е* I *, f/ 0, / не удовлетворяет условию, а потому /1. Из уравнения () имеем: texl, tgx 0, хил, n^z. Подставим найденное значение х в уравнение (), получим: 6 -\-kn, cosy 1 tg/m, cosyl, cosy_!_, y±jl-\-kn, fee^ // ± Л *л, n, *ez. Ответ: x /m, y± kn, n, k^z в) xcos t/ 0,5. (I) i/cosjc0,75. () Решение. Сложим уравнения (1) и (), получим: xcosi/ -f-cosxy I, (xy) 1, xy nn (). Вычтем из уравнения () уравнение (1), получим: (ух), ух( 1)* 6 йл, ftez (). Решим систему из уравнений () и (): ху^ пп, y-x(-\f±kn, n, AeZ. Складывая и вычитая уравнения, получим: х(1)*,л (n-al)^. y(-lf!l (n kl)±. Ответ: х (-l?,± (n-kl)jl,y(-lfjl^n kl)j!l,n,k 66 P l,6/ 1 / /. / Подставим уравнение () в (), получим tg^.(«-«.*) -1,8. (5) Положим tg-l/ (6), тогда (5) примет вид. 1-f 1-в-» (- arctg0,5 fcrc, tez. Из равенства () найдем: a) tgx,50,5, yt 0,5.5, y n T arctg,5 *,n, *, 67 B tgjftgf/v. ^ B V5 siirx ctgj/i _- Vcos (t x) cosjcttgy10. Jxctg(/0.5 Vcos ( -*) cos xtg y I , 19. ( x уcos jc0, 11 -r-ycosjtcost/ x. 1. fycosx-j- jc0, 1 cos у — у jccos ycos x.. cos jc y-f- jc0, -5ycosxxcosycos. f Jtcosy cos jc0, 1 уcos у cos xcosy x. tgx ctgx (y nj, tgyctgy( *- -) cosx6c 68 I 9. Найдите лары значений (х; у), являющиеся решением системы tgjc- » tgx_j_ л 1в -J -f 69 cosxtg(y -j-), cosytg(x ^-). cos x x jc 1 cos у y. [ Jt- -cos* y-j-cosy, x- — yl.. cos Jc- -cosycosz 1, cos x-j-cosy cos z I, xyzn. з -^-. y,. Найдите решения системы уравнений tg(*-y)—tg(*-y)l0, V удовлетворяющие условиям: х , л 70 9. cos(*)^tg(-y)^bl tg(_,)_^zlcos(jc)^l. 50. (x)(-v)ctg(-7t/) ctg(-7y) (-V)(A:)V-0, cos(6x) (V5-l)ctg(-9y) (V5-l), ctg(-9y)(v5-i)cos(6a:) (V5-i). V-0,75, 5. x-\-s\n(x y)[,5, 5. tg(x y)-5x -9. 5tg(, y)^7. *-(*y),5. 5. (cos 71 / Глава III. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА Два тригонометрических выражения, соединенных между собой знаками «>» или « 72 l)-jj- того Для чтобы решить неравенство, содержащее только x или только cos х, достаточно решить это неравенство на какомлибо отрезке длины л. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида пл, где /igz. Для неравенств, содержащих только и tgjt ctg*, находятся на решения промежутке длиной л, а множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом числа отрезке решений вида ял, где nez. Тригонометрические можно неравенства решать, прибегая к графикам функций y smx, и yzcosx, ylgx yctgx. Мы будем решать неравенства, пользуясь окружностью единичного радиуса. При решении мы тригонометрических неравенств в конечном итоге будем приходить к не- > > равенствам х^а, cosх^а, х-^-а, cosx^a, tgx^a, ctgjciga, tgjt^a, ctgjt^a. Естественно, надо научиться решать их. Примеры. Решите неравенства. 1. x> у. Решение. Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра, совпадающих с осями ОХ и ОУ, строим окружность /? 1 с центром в точке пересечения диаметров (рис. 5). Проводим прямую у -^— Все значения у на промежутке NM больше — -. NM стягивает дугу АВ с началом в точке А (-^, у) и с концом в точке В (л, —1. Следовательно, решением неравенства будут все значения на Mr; у л J с прибавлением ил, т.е. у ил 73 — )/ «ж & Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7. ]Ar : y. Решение. Из условия следует, что х> — или x x 7 74 в/ f I c yl 0 ^ 1 \H V / Ar-i Рис. 8 Рис. 9 Рис. 10 Решение. МРо стягивает дугу АВ (рис. 10), на которой выполняется 7. cosx y. Решение. cos*>y. cos х . Решение. Из рисунка 1 видно, что arctg пл 75 1 X Рис 11 Рис. 1 Рис. 1 Решение Из рисунка 15 видно: 1. tg* l. nez. Решение. Из условия следует: L * 76 . cosx, i I -f 1.^^ / /*\ \-^y \w * -1 % и ось * ось котангенсов /р\ ^ Рис 17 Рис. 18 Рис. 19 р /7Г\ Решение. Из условия следует: l l. Решение, х> 1 x> *, x x 77 cos cos Рис. Рис Решение. s^x рисунок.) у ( ху) 0. Решение. cos (х Л cos (x ^> (y-y *) 1 >0, (* Tf) 1 > — Обозначим cos (* — -) y, у ^ тогда «/ Зу1>0, (у \)<.У 1)>0 (рис. ). Следовательно, у 1. а) cos (je-g-) l не имеет решения, так как значение косинуса не может быть больше единицы.. cos хcos8xcos6x 0, (cosx l)(cosx 1 cos x)>0. Пусть cosx y, тогда неравенство будет: (ifl)(y (И-±) (^- ^1)>о, <у±)(у-±ж1,^-±- i> — (»^)(»-i)((»-i)*-a)>o. (»#(»- -^)(*Ч1)(*Ч-!)>» (*i)(^)(*h)> 0 (рис. ), у 1. у у у -\-kn. у 1)>0 л/ 5 a) cosx 78 к -i. б) у l, x0. 5. Найдите область определения функции y -\Jcosx решение. cosjc^0, (1 cosx)>0, cosjc^1, nez, cosx>y -улл^ж l.. cosjcjc>jc. 5. cosjkcos6x> lcos8x 6. Jt7x>jc5jc. 7. jocos*. 8. 9jcje 0 10 COSJC_sjnA-_cosjc>0. II. (*i) 0. 1. cosx y Найдите области определения функций. 16. уф*. 17. у Vl *. 18. y^jlcosx. Решите неравенства. 19. cosjejtjecosjc>-5-. О 0. cosjccosxjcjc 0. cos *5 cos *^0.. tgjt(v)tgjev 0. 8. log(cos* ycos*w I. 9. (V l)jtcosx V 5x 7x. 1. cos njc (nx y]>0.. arcs in * 79 . 1. Vcos 0 -\/cosx, 6. lg ( x) x-cos6x>0. у X \ x 1 > tgx-tgx cosx.. -yj5 x^6 x 1. t. 1cosx 165x. 7. tgxtgx> 1tgx. 8. siriix i6x . 50. ^fsm x-\—\fcos x> xcos x-ctgx> I. 5. cosx(cosx-v/8tgx) -\/, если 5. tgx>cosx при O^x^y. 55. x >ctgx при 0 (cosx) ^->-r cos zu[x>-^. > у 61. tgx> \-col. 6. x- Б 1 (±x) v. 6. x>vt^ x x 5xx xcosx. 70. x>x 71. tgxctgx 0. 7. tgxtgxtgx> cos x . / д \ cos r6 V I cos -r 79. <>,_COSJr > -cosjr tgxtgx>8v . 8. «**«-«»*х 80 88. xx tg 0 tg 0 tg 60 tg tg^ >(lln x (x 1л) cos (x 1л) J (1л-*) cos (- — -y )cos (y -i) *) -^tg0 tg0 tg Найдите область определения функции у \ smx^- log(5-^). 98. Найдите решения неравенства -y/ jc 81 и соответственно. Глава IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К РЕШЕНИЮ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ При решении задач этой главы необходимо знать следующий теоретический материал, являющийся основным: 1) соотношения между сторонами и углами в прямоугольном и косоугольном треугольниках; ) теоремы синусов и косинусов; ) формулы вычисления площадей плоских фигур; ) выражения сторон правильных вписанных и описанных многоугольников через радиус соответствующих окружностей (a R b rtg, где а и Ьп стороны вписанного и описанного правильных многоугольников); 5) принципы построения линейного угла двугранного угла; 6) теорему о и перпендикулярности прямой плоскости; 7) теорему о трех перпендикулярах; 8) формулы вычисления площадей поверхностей и объемов и многогранников круглых тел тел вращения. Задачи. 1. Хорда сегмента равна 0 см, а его высота равна 8 см Какой угол вмещает данный сегмент? Решение. По условию CD8 см, АВ0 см, OD±AB (рис. ), а потому АС СВ 10 см и w AD DB. Пусть АОВх, тогда ^СОВ у и -y ^. АСОВ. ОВг CB OCz; R*\0(R-8f, /?16 Рис. 1 см тр ж yarcjjили jcarcsm 0».0 «arc0,9756» Ответ: Найдите углы параллелограмма, зная, что его меньшая сторона равна 18 см, а высота, опущенная на большую сторону, равна 80 82 Зх х, A BC решение. Пусть Z. Ах (рис. 5), тогда Z. АВС п что ЛВ Попустим, 18 см меньшая сторона, тогда AD боль- Шая сторона и высота ВЕ1 см. д ЛЕВ. BE 1 x-^ -rg -«. xarc J-«I 8, тогда /1 ЛВСлarcj ^18 1. Ответ: /L A /L C«1 8; /1 DjL увс Сторона ромба равна 8 см, меньшая диагональ равна 0 см Найдите углы ромба. решение. Из условия следует: BDJ-AC, BOOD 10 см и ЛВ8 см (рис. 6). Пусть Z. BADx, тогда Z. АВСях. И_з свойств ромба следует: /L BAO Z. OAD — . х ВО 10 5 х.5 г. 8,ПТЛВ 8 УаГС8,П- «arc0,08«-1o0r 0. Ответ: Z.BAD/LBCD 0, /- ABC Z. ADC * arcs.n^«. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противоположную сторону в отношении :7, считая от основания. Найдите углы треугольника. Решение. По условию СЕ -г — (рис. 7), откуда следует: BOA. C jc, ВЕ7х, тогда ВСАВ10х. По теореме о биссектрисе АС СЕ АС внутреннего угла треугольника получим: —<г-у» 5 х. ACj-x, тогда ADX- x. д ABD. Пусть Z. BAD q>, тогда COS(P;lf 7?ToTA :>/1>, то такая трапеция существует. (рис. 8). Проведем СЕ\\АВ, тогда СЕ АВ EDADAEAD 7х х. Мы видим, что ED CD x, т. е. д CD равнобедренный. Проведем DFA.EC, тогда EF FC x. Пусть Л CDE А Е D A D A D С Рис 5 Рис. 6 Рис. 7 81 1 В Jx с As. А Зх Е 8 58, тогда /L DEFZ. FCD , но Z. BAD Z. FED75 1, Z. АВС Z. BAD ?ЗГ I0 9, /. BCD Z. ВС г. FCD /. BAD Z. FCD ЗГ 15Г0. Ответ: A BAD 75 \, Z. АВС 10 9 ^ BCD I51 0, Z,DC Зная углы треугольника, определите угол между медианой и высотой, проведенными из вершины какого-нибудь угла. EF Решение. Пусть СЛ, a Z. ECFx, тогда tgх -г-(рис. 9). Выразим через А. д АСЕ. AEhctga. A ECB. B /zctgp. По условию AF FB, AE EF BEEF, EF BE AE; EF BEAE\ F /zctgp X (a P)«a (5 /zctg a /z(ctg p не знаем, какой угол больше: а или р, а длина отрезка выражается положительным числом. Поэтому EF- X ED ctga), х ffyx X (a р) a р Найдем: tg*-7- / (n-p) \ I(a-p)! Ответ: arete r 6 (-. ) \ v ce к p,/ EF I (ce P) a p. / sm(a-p) \ I ^. \ asm p / x arete ^-r-1 b 7. В правильной л-угольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен а. Определите двугранный угол при ребре основания. Решение. Так как многоугольник в основании пирамиды правильный, то АСАДОВ, кроме того, ACA-SO, а потому AC-L линейный а п0 доказанному, потому SB±(AEC) и SB±AE. Следовательно, для ^/1 С двугранного угла (BS). А ЛЕС медиана и биссектриса, причем Z. DEC равнобедренный, в нем ED Z. DEAa, так как линейный угол АЕСа. Д DEC. Z. EDC ^90 ; cosa -. a BOM. -^ ^-. bo a SMO: Z.SMOx линейный угол двугранного угла (ВС), а потому x^ri SAT д SOB со Д BED: so OB ED. ; SO ASMBeo&BEC: ^- Разделим равенство (1) на (), получим BE C BE OB BE ED SM BM-CE (1) BE () so SO SM OB-ED BM-CE ED ВМ n cos a yr^-.-pro- cosa:sm CE OB n n n jt cos л n a откуда xarc/-^-^-y Так как S.O 85 Задачи. 1. Стороны треугольника соответственно равны 7 см, 7 см, 1 см. Найдите углы треугольника.. Окружность вписана в ромб. Сторона ромба равна см. Радиус окружности равен 5 см. Найдите углы ромба.. Найдите углы равнобокой трапеции, основания которой равны см и 15 см, а боковая сторона равна 0 см.. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении :. Определите углы треугольника. 5. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет в отношении 5:6. Определите этот угол. 6. В равнобокой трапеции боковые стороны равны меньшему основанию, а высота вдвое меньше большего основания. Определите углы этой трапеции. 7. Три окружности с радиусами, равными 8 см, 1 см и 15 см, попарно внешне касаются. Найдите углы между линиями центров окружностей. 8. Найдите углы параллелограмма, зная, что его диагонали равны 8 см и см, а сторона равна 0 см. 9. Стороны треугольника равны 1 см, 15 см и 18 см. Найдите угол между медианой и биссектрисой, проведенными к большей стороне. 10. Основания трапеции равны 18 см и 1 см, а боковые стороны равны 7 см и 10 см. Найдите углы трапеции. 11. Стороны параллелограмма равны см и 10 см. Один из углов параллелограмма равен 10. Найдите стороны и наибольший угол треугольника, вершинами которого служат вершина и тупого угла параллелограмма середины противолежащих этой вершине сторон. 1. В круг вписан четырехугольник ABCD со сторонами АВ см, ВС 5 см, CD 8 см, AD\5 см. Найдите углы четырехугольника. 1. В прямоугольном треугольнике проекция одного из катетов на гипотенузу вдвое больше второго катета. Найдите углы треугольника. 1. Сумма двух равных высот равнобедренного треугольника равна третьей высоте. Найдите углы треугольника. 15. Синусы углов прямоугольного треугольника составляют геометрическую прогрессию. Найдите углы треугольника. 16. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, равна разности проекций катетов на гипотенузу. Найдите углы треугольника. 17. Тангенсы половинных углов прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию. Найдите углы треугольника. 18. Найдите острый угол ромба, сторона которого есть среднее пропорциональное между его диагоналями. 8 86 L стороны 19. В равнобедренном треугольнике проекция одной боковой на другую боковую сторону составляет — — основания. Найдите углы треугольника. 0. Найдите углы ромба, если отношение Р:т его периметра к сумме диагоналей ромба равно :. 1. Определите углы прямоугольного треугольника, зная, что радиус описанной около него окружности относится к радиусу вписанной окружности как 5. Найдите углы прямоугольного треугольника, зная острый угол ф между медианами, проведенными из вершин острых углов.. В параллелограмм со сторонами а и b и (a 87 6. В параллелограмме даны две стороны а и Ь (а>ь) и высота ft проведенная к большей стороне. Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма. 7. Отношение радиуса окружности, описанной около трапеции, к радиусу окружности, вписанной в нее, равно k. Найдите углы трапеции и допустимые значения к. 8. В прямоугольном треугольнике через его гипотенузу проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол а, а с одним из катетов угол р. Найдите углы между этой плоскостыл и катетами треугольника. 9. В прямоугольном треугольнике с острым углом а через наименьшую медиану проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол р. Найдите углы между этой плоскостью и катетами треугольника. 0. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно стороне основания. Найдите угол между стороной основания и не пересекающей ее диагональю боковой грани. 1. Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда составляют с плоскостью основания углы, соответственно равные аир Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.. Найдите угол между пересекающимися диагоналями двух смежных боковых граней правильной четырехугольной призмы, если плоскость, в которой они лежат, составляет с плоскостью основания угол, равный а.. В грани двугранного угла, равного а, проведена прямая, составляющая угол р с ребром двугранного угла. Найдите угол между этой прямой и другой гранью.. Через сторону нижнего основания куба проведена плоскость, делящая объем куба в отношении т:п (считая от нижнего основания). Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания, если т 88 , яд ВВ СС DD) 9. В правильной четырехугольной призме ABCDABCD через середину двух смежных сторон основания DC и AD и вершину В верхнего основания проведена плоскость. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания, если периметр сечения в три раза больше диагонали основания. 50. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости его основания под углами аир. Найдите угол между этими диагоналями. 51. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, относятся между собой как ::5. Найдите углы между диагональю параллелепипеда и тремя его ребрами, выходящими из одной вершины. 5. Найдите угол между прямой, соединяющей вершину куба с центром противоположной грани, и ребром, перпендикулярным к этой грани. 5. Найдите угол между апофемой и диагональю основания правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны. 5. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а боковое ребро равно 7 см. Найдите угол между медианами двух боковых граней, выходящими из вершины основания. 55. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует со стороной основания угол а. Найдите угол между боковым ребром и высотой пирамиды. При каком значении угла а задача имеет решение? 56. Плоский угол при вершине правильной я-угольной пирамиды равен а. Найдите угол между апофемами двух смежных боковых ее граней. 57. Один из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника лежит в плоскости (л), а другой катет образует с нею угол а Найдите угол, который образует с плоскостью (л) гипотенуза треугольника. 58. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом а. Найдите угол между высотой пирамиды и плоскостью, проходящей через сторону основания и середину противоположного ей бокового ребра. 59. Равносторонний треугольник со стороной а спроектирован на плоскость: две вершины находятся на расстоянии а от плоскости проекции, третья на расстоянии Ь, Ь>а. Найдите угол между плоскостью и треугольника плоскостью проекций. 60. В одной из граней двугранного угла, равного а, дана прямая, образующая угол р с ребром двугранного угла. Найдите угол между этой прямой и другой гранью. 61. В правильной четырехугольной пирамиде боковая грань составляет с плоскостью основания угол а. Найдите плоский угол при вершине пирамиды. 6. Равнобедренный прямоугольный треугольник повернут вокруг своего катета на угол а. Найдите угол, описанный при этом гипотенузой. 87 89 6- В правильной четырехугольной пирамиде сторона основании равна а, а площадь боковой грани равна S. Найдите угол межд\] боковой гранью и основанием. 6. В трехгранном угле два плоских угла равны между собой и каждый равен а. Двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол. 65. Боковые ребра правильной треугольной пирамиды попарно взаимно перпендикулярны. Найдите угол между боковой гранью и плоскостью основания. 66. Отношение» стороны основания АВ треугольной пирамиды SABC к каждому из остальных пяти ее ребер равно к. Найдите двугранный угол между двумя равными боковыми гранями пирамиды и допустимые значения k. 67. Все боковые ребра треугольной пирамиды составляют с плоскостью основания один и тот же угол, равный одному из острых углов прямоугольного треугольника, лежащего в основании пирамиды. Найдите этот угол, если гипотенуза этого треугольника равна с, а объем пирамиды равен V. 68. Отношение площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды к площади ее основания равно к. Найдите угол между боковым ребром и высотой пирамиды. 69. Основанием пирамиды служит правильный треугольник. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания. Сумма двух неравных между собой плоских углов при вершине равна — -. Найдите эти углы. 70. Основанием пирамиды является прямоугольник ABCD (AB\\CD). Боковое ребро ОА перпендикулярно основанию. Ребра ОВ и ОС составляют с основанием углы, соответственно равные а и В. Найдите угол между ребром OD и основанием пирамиды. 71. В правильной треугольной пирамиде проведена плоскость через боковое ребро и высоту. Отношение площади сечения к площади полной поверхности пирамиды равно к. Найдите двугранный угол при основании. 7. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого острый угол между равными сторонами равен а. Все боковые ребра составляют с плоскостью основания угол В. Через сторону основания, и противолежащую данному углу, середину высоты пирамиды проведена плоскость. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания. 7. Все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания один и тот же угол. Найдите этот угол, если отношение площади полной поверхности пирамиды к площади основания равно к. При каком значении к задача имеет решение? 7. Отношение площади полной поверхности правильной л-угольной пирамиды к площади основания равно /. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания. 75. Найдите угол между апофемой боковой грани правильной треугольной пирамиды и плоскостью ее основания, зная, что разве 90 ность между этим углом и углом, который составляет боковое с лебро пирамиды плоскостью основания, равна а. 76. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, v которого площадь равна S, а угол между боковыми сторонами а. Все боковые равен ребра пирамиды составляют с плоскостью один и тот же основания угол. Найдите этот угол, если объем пирамиды равен V. 77. Расстояние от стороны основания правильной треугольной до пирамиды непересекающего ее ребра в два раза меньше основания. стороны Найдите угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды. 78. В правильной треугольной пирамиде сумма углов, образованных апофемой пирамиды с плоскостью основания и боковым ребром с той же плоскостью, равна -j-. Найдите эти углы. 79. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен а. Все боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания. Найдите двугранные углы при основании, если высота пирамиды равна гипотенузе треугольника, лежащего в основании. 80. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом а. Определите двугранный угол при боковом ребре. 81. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен а. Определите угол наклона бокового ребра к плоскости основания. 8. В правильной и-угольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен а. Определите угол наклона бокового ребра к плоскости основания. 8. В правильной я-угольной пирамиде угол между боковым ребром и смежным ребром основания равен а. Определите угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. 8. В правильной n-угольной пирамиде высота вдвое меньше стороны основания. Определите двугранный угол при ребре основания. 85. Дан правильный тетраэдр. Определите угол между двумя смежными гранями и угол наклона ребра к плоскости противоположной грани. 86. В усеченной правильной четырехугольной пирамиде стороны оснований относятся, как т.п (т>п); боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом а. В этой пирамиде проведена плоскость через сторону большего основания и противолежащую ей сторону меньшего основания. Какой угол образует эта плоскость с большим основанием пирамиды? 87. Площадь основания цилиндра относится к площади его осевого сечения как т:п. Найдите острый угол между диагоналями осевого сечения. 88. В равностороннем цилиндре точка А\ окружности верхнего основания соединена с точкой В окружности нижнего основания. 89 91 Угол между радиусами, проведенными в эти точки, равен а. Опре делите угол между прямой AiB и осью цилиндра. (Цилиндр называют равносторонним, если диаметр основания равен образующей.) 89. Найдите острый угол ромба, зная, что объемы тел, полученных от вращения ромба вокруг его большей диагонали и вокруг его стороны, относятся соответственно, как 1:д/ В конус вписана треугольная пирамида, у которой боковые ребра попарно взаимно перпендикулярны. Найдите угол между образующей конуса и его высотой. 91. Около шара описан усеченный конус, у которого площадь одного основания в раза больше площади другого основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания. 9. В усеченный конус вписан шар. Сумма диаметров верхнего и нижнего оснований конуса в 5 раз больше радиуса шара. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. 9. Отношение объема шара, вписанного в конус, к объему описанного шара равно к. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания и допустимые значения к 9. Отношение объема конуса к объему вписанного в него шара равно к. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса и допустимые значения к. 95. Около шара описана прямая призма, основанием которой служит ромб. Большая диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол, равный а. Найдите острый угол ромба. 96. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания, если боковая поверхность конуса равна сумме площадей основания и осевого сечения. 97. Отношение площади полной поверхности конуса к площади его осевого сечения равно k. Найдите угол между высотой и образующей конуса и допустимые значения к. 98. В конус вписан куб (одна из граней куба лежит в плоскости основания конуса). Отношение высоты конуса к ребру куба равно k. Найдите угол между образующей и высотой конуса. 99. В конус вписан цилиндр, высота которого равна диаметру основания конуса. Площадь полной поверхности цилиндра равна площади основания конуса. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания В усеченный конус вписан шар, объем которого в два раза меньше объема конуса. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания В конус вписан шар. Окружность касания шаровой и конической поверхностей делит поверхность шара в отношении 1:. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. 10. Радиус шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, равен апофеме пирамиды. Найдите угол между апофемой и плоскостью основания пирамиды. 10. В пирамиде, у которой все боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания, проведена плоскость через центр 90 92 вписанного шара параллельно основанию. Отношение площади сечения пирамиды этой плоскостью к площади основания равно к. Найдите двугранный угол при основании пирамиды. 10. Вершина конуса находится в центре шара, а основание конуса касается поверхности шара. Площадь полной поверхности конуса равна площади поверхности шара. Найдите угол между образующей и высотой конуса Площадь полной поверхности прямого кругового конуса в п раз больше площади поверхности вписанного в него шара. Под каким углом образующие этого конуса наклонены к плоскости его основания? 106. В конус вписан шар. Площадь поверхности шара относится к площади основания конуса как :. Найдите угол при вершине конуса Конус и цилиндр имеют общие основания, а вершина конуса находится в центре другого основания цилиндра. Чему равен угол между осью конуса и его образующей, если площадь полной поверхности цилиндра относится к площади полной поверхности конуса как 7:? 108. В конус вписана полусфера, большой круг которой лежит на основании конуса. Определите угол при вершине конуса, если площадь полной поверхности конуса относится к площади боковой поверхности полусферы как 18: В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса. Найдите угол между осью конуса и его образующей, если площадь полной поверхности цилиндра относится к площади основания конуса как :. ПО. Определите угол при вершине осевого сечения конуса, если шаровая поверхность, с центром в его вершине, касающаяся основания, делит объем конуса в отношении 1: (считая от вершины) Плоскость, проведенная через центр шара, вписанного в конус параллельно плоскости основания конуса, делит объем конуса пополам. Найдите угол в осевом сеченни конуса. 11. Найдите угол между образующей и высотой конуса, у которого площадь боковой поверхности есть среднее пропорциональное между площадью основания и площадью полной поверхности. 11. Отношение площади поверхности шара, вписанного в конус, к площади основания конуса равно k. Найдите косинус угла между образующей и конуса плоскостью его основания и допустимые значения k. nfe, n, AeZ.. * «(-irfnn. nez.. (n!)—. nez.. x(-\fi^nn, nez. 5. *( I)»-jr nn, nez. 6. x±yarctg-^ny; x(a±i)-^, n, kcz. 7. * ±arccosуш1, nez. 8. *(1)» —f-лл; ху*л, n, ftez. 9. ftez. 10. x(fe±l)-g-. лл, kez или *arctgy Jtarcctg nn, kez. II. >:(I)»- -р-лл, aez. 1. xkn; x улл; x^^ -\-mn,-k, n, m^z. 1. *( 1ул 6лл, hez. Указание. 5- -(l 5 и т. д. 1. -cos^-)-0; -Jу0 х(п-1)-±; *arctg foi, n, kez. 15. * feez. 16. J-n(ft±l), х(л — )-. «ez. 17. x(iy n^z. l-j nn, nez. 18. x(-lf^-nn, 19. д: -(«±1)л, nez. Указание. (cos* 1)cosxl и т.д. 0. x(6n±l)y, aez. 1. x(n l>j-, nez.. x (-l)»,-j/m, kez.. x( 1)» -яп. nez. Указание.. 1x*у, Jt x 0 и т. д. хя -, «eez. 9 95 lf-±kn, x), 5. x( \Y-fL n±, nfz. Указание. >:^ xcosx xv, x^0, лг^ал, ** % x cos x x ftsz, тогда x>: и т.д. 6. x(«i)-j, *( l)*yarc -Ay, я. *ez. Указание. x(1x), 6x x5 0 и т.д. 7. * ( lyyarchny, hez. Указание. cosx^o, x^(n l)y, тогда 15 xcosx0, 5×0 и т. д 8. x(nl>j-. nez. 9. (6n±l)y, -fnn; x±arccosy kn, n, AeeZ. 1. x. xkn; x x( -yftn, уил, ft, neiz.. x* /г, ±arccosу -\-nn, ft, n^.z. хулл, ftl x0. 6. i«z. 0. x±y ±y -fnn, nez. уял, л. 6, х±у л, n 0 6, x 7. x± (n arccos-g-) nn. nez. 8. *(_ ly-jl пл, «ez. 9. х± -л лл, «ez. 0. x( n(z. 1. x(- ly-jj- ИЛ, xy -f ftn, rt. *ez.. x(l)»arcyли. Указание. x(1 x)-f x0, x x10 и x. x (-ir, arc «Y. у Ал; lf^ Лу, x(-l)*,^fty, л. fcez. Указание. 1 -f- x x(l 1 x xx Xcosx, 1 x6-xcosx, 1 x6x, 6x x10 и т.д.. *-y nn; jc(l)*yarcy *y. я. feez. Указание. x-f xl и т. д. x, x x 1 0 ftez. x^ 5. лг(-1)»,у -яя. nez. 6. х(я 1>у. nez. 7. хял при я 0.1; x 9 -J-(* l) при ft 1; 0; 1; ;. 96 *, 8. x(-l)ntnn, ^f±,in«xcwx, \л л i 1 \r cos x, x n nez. Указание. lcosx ^STx(H-cos x) лг(1 cos x) _J и т. д. * -^-^, cosx^-l. а потому > -r- j 9. xkn; xflnl), k, ntz. 50. x^(-lfg nf, ntz. 51. x ± (л arccos—j nn, x ±-g-ftn, и, tez. Указание. 8(1cosx)cosx5, 8cos*cosx0 и т.д. 5. x(-l)»,-^ J-«*, «ez. 5. дгу(л 1), nez. 5. x arcctg nn, n^z. 55. л: л, x -j nn, k, ne.z. 56. * ^-\-nn, A-arctg75 n, n, AeZ. 57. *f (я-1), iiez. Решение, -ppi- ^»^ 1 / n\ 1ctgx, л1 /. n\ n 1ctgx jjcos(x-t)0> (lvx) :-cos(x-t)0, (1Cfgx) ^cos(x-j) -t) 0, ctgx^ 1, l-f-v/cos(xy). cos (x ^> x^ ±Tn nn. а) х -тл пл ллл (при найденном значении х ctg(nnn) не существует, а потому найденное значение не является решением данного уравнения). б)х- л«л -у пя у (я-1). 58. х(-1у,-^ш, nez. Указание. v Vg^J,. lx cosx ^-cosjc, cosat^o, (VlXJt)^cosjc, (ViXl x) V(1 л:), (I-stnJcXV1д/(1x))0. a) jt x ynn не является решением, так как cos (?- пл)0. что не удовлетворяет уравнению. 59. *-?-. Решение, tg xcos5x5x, tgxl, x -^—\- 1, лл, 0 97 61. аг-^(я 1). nez. Решение. cos-^x^-* A cosy в X j j-. -s^x^-.-i5;;t, x^o, хфкп, xi SHI у COS у 1×0, cos*0, x(nl>f, лг(я 1)-^ (при найденном значении х x^o и tgy и ctg у существуют). 6. х(п \)я, jf(hi)f.«.*ez. Решение. cosy cos X Т / \ у T ^0 cos у ( cos x(n-f 1)л (при найденном значении х у у 1J0. a) cosy0, ctgy0 и y?fco). б) х10, xl, x(fe- -Oy (при найденном значении х ctg у существует и у jfc 0). 6. х6, лг±у -яя. «ez. 6. *у! ±улл. nez. ^я, х^л. 65. jc 66. д:л, хул. Решение. 1cosjeje, 1cosa: 1 cos*, (1 cosx)(l cosx 1)0. a) 1cosx0, cosxl, xkn, тогда л^ л 98 10 -^ xl 6. Правая д: (ctg- -)(ctgt-) x I. x 10твТ^т i) ±:гит-д-, л/, 0- в ctg ^0 R, ctg*y, 71. л:(6и±1)-^.иег. Указание, tg (- n-*)-tg (Ъл 16^. ctgx-tg^ ctg *9 и т. д. 16-(J-), etg«x-l8. 7. «gz. Указание. х±у«я, v/ л* fy )у. cosx, -vtosty> cosxy, lcos*y, cosxу и т.д. Указание. и т. д. 7. *( 1)»г/гл, nez. 7. лс- -fm, «ez. tga:-ctg>;-f-^p^0,tgjfctga:0,tgx-l,tga;?to 75. x rfc-т-лл, n^i Указание. ^Jcosxy, y^o, тогда уравнение примет вид: ^jsy 1 (тд-*/)//, -\f8y(^\/)y и т.д. 76. х д:(-1г-^«у. x ±kn, Указание. tg (л у) jccosjfcosx, tg-j- n, *ez. 1 * x, x, * x1 0 и т.д. 78. x nn, x( 1У-7- -f-лл -, n, ftez. Указание. xcos;ttg (n -^)-fjr, (-^- a), * cosxtg-^- *. x-f-cosxl -f-xcosx, x-f-cosx (x-f-cosx), (jr-f-cosx)( x-f-eosx1) 0 н т.д. 79. х(л 1)л, (6*±l)y, п, ftez. Указание. cosx tg e fn -^) V ) cos x cos^r^to и т.д. 80. А:(- у, cos*tg-, cosxl L-, 1 б cos x 1!- /гл, /i Z. Указание. Vlj y.. бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, у которой cos x 1У; q, и тогда S л Нения будет (л/ V 1 1)*-: л/1 л/ часть урав- -г- Уравнение примет вид: cosx-f 97 , 1xxx, л:x-^ n T 0 и т.д. 81. *ил, xarctg л, п, feez. Указание. -[ -\—\-. бесконечная убывающая геометрическая прогрес- сия, у которой fci -g-; 9 у. и тогда S Уравнение г- примет г- вид: tef л: 1, cos*5t0, 1x t> cosx, 1 (y cosyj0 cos х 1-Т _L — \. cos x x, y 6y cosy 0, yx и т.д. 8. x^-л-пл, x^-knt n, AeZ. Указание.. 6 * x cos x i i л// x,ч 1cosx i, л/ / 1, \ i x i «rf7 ^ ^*^0 *^felt tgxtgarv-vtgx 1 и т. д. 8. xn, л:ул. Решение. 1cosjtx при условии что x^o, т.е. Ал 100 jtrcosx, 5 л 88. x-j-n, х-г-л. Решение. cosjc^o, т.е. у- -лл^ ^д;^ плл, nez. Обе части уравнения возведем в квадрат: lcosjecos.*:, л: cos*, xcosx, cosjtr^0, tg*l. tgx±l. x± -\-nn. Найденные значения х будут удовлетворять уравнению только при п*-1; тогда х±-т- 1_(/г1)п и при этих значениях х cosx -f т-е- входит в 89. #0. Решение. I (1cos лг)(1cosx1)0. a) cosjfl, xkn, 0 *л. Решение.xsgTO.T.е. л-т-*л^л:^ 101 1, лл ;( и Xi у. б) х0, хил. Эти значения х удовлетворяют ура внению только при n k-\-\, т.е. хл( — -1); тогда 0^(^ 1^ 0 -, тогда -f -tgx-tgx16tg;9tg\ 9tgx и т. д. 97. xkn, х(iyl arc 98. х/гл, х( x (l x) — Эти значения х будут удовлетворять уравнению только при и /г 1, т. е. х cosx х cosx^o,, х ±arccos уз уз у- /гл. б)-^/з cos х 1, -\-nn. Условию удовлетворяют только ил. arccos V 11. х ±-т-я 5 kn, х -^-л кл, n, /zez. Решение. x 1, x0. 6) x^-, x(1)»-^-«я. Эти значения х будут удовлетз ворять уравнению только при nki, т.е. х л. Так как cos( cc)coscc, то х± я-*я. Кроме того, при n k 1 получим: х л. 11. х(-1)л-^пу. яег. 11. хкл, х(-1)»-^ пл, л- *ez. Указание, (хуя) x, (yx)зсов^улx) (Зуя*) 1x, cosx xl x. I xl x, x x0. sn*(x 00 и т..д 103 xcosx^j, * 115. x± -n/m, fcez (n 117. xkn, fcez. Указание. cosx 16 7 cos x и 118. хпл, n^z x( If arc-g- пл, «ez.!)- -. т.д 10. х±- -л/гл, fcez. Указание. 5(1cosx)-f. (cosxx)(cos x x), 5(1 cosx)cosjc. 5(1 — -cosx)s cos x 1 и т. д. 11. xrtdrctg д/^е»» гая, x± -fen, га, feez. Указа ни е. tgjtctg*tgjt-ctgjt , (tgx-ctgx) (tgx-ctgx) -!f-( tgx-ctgxi/, ^i/- 0 и т.д. 1.x±-j-«i, nez.1. x ^-nn,xifoi, n, fcez. Указание. J_-VtgxlV, tgx^o, 1 V^tgx tgxvtgx, ^tgx(v Ig X l)tgx10 и т.д. 1. х± гал, raez. Указание. (cosx1)6(1- cosx)5cosx0, cosx 5cosx0 и т.д. 15. x-i-n. b x jпл, xarctg-r- kn, n, feez. Указание. cosx5xxcosx0 однородное уравнение, а потому cosx^to. Разделив обе части на cosx, получим: 5tgx tgx0 и т.д.. x(n l)-^, x arctg^- ftn, n, feez. Указание. Умножим правую часть уравнения на xcosx, получим 6x y о -xcosx 5cosx(xcosx), после преобразований получим: xxcosx7cosx0, cosx^:0, a разделив на cosx, получим: tgxtgx70 и т.д.. ху*л, fcez. Указание. cosx^o, разделим на cos*, получим tgxl и т.д. т л. x-j-nn. raez. 5. x arctg— ил, raez. 6. х arctg /sn, *-j- яя, k, n^z. 7. x-^-гал, xj kn, n, ftez. Указание. -\/x -^xxcosxv5x-^cosx. cosxt^o, делим на cosx, и получим: -^tgxtgx-yjz0 т.д 10 104 я. Ч 8. хгял. х arctg-т- Лл, п, fcez. Указание. gsjnx xcosxcosx(xcosx) и т.д. 9. x -jkn *arctgnn, k, n^z. 10. xyarccig-\-ny ne^. Указание. xcosx xl, xcosxxx- -cosx, x xcosx-f-cosx0, ( xcos xf0, x cos x0, x^0, разделим на x, получим: ctg x и т. д. 11. xkn, x -5—>-пл, A:, / 105 cosxcosx, cosx^o, а следовательно, и уравнению только при пл, т.е. jc i-arctg fcn, ftez. cosx^so, 5. х -^-пя. x arctg fcn, n, iez. 6. x л, x л. 7. х±- — л, fcez. Решение о b yfoi f, J лл, /г, «el 0. * Лл, xarctg nn, k, n^.z. Указание, cos x 1. х(и 1)-^-, n^z. Указание, x(cosxx)x X(cosx- -x), xcosx, cos x^0, tgxl и т.д.. x(n l)y, xarctg- kn, n, *ez. Указание. x(cos x x)( x-f-cos x) xcos x, x cos x x- — cos x xcos x, cos x xcos x0, cos x( cos x x)0 и т. д.. х кл, х -^— -пл, k, n^z.. х х уия, arctg- -/m, и, ftez. Указание. 1 xcos x- -cosx0, xcos x xcos xcosx0, x.- — xcos x cos x0 и т.д xcosx -^-n-л, cosxx6xcosx(x- — cosx)0, x6xcosx-f cosx0, x xcos x-f — -cosx0 и т. д. З6- x^—\-kn, x упл, k. n^z. х7м, xarcctg fax, n, iez Указание. cos*x x-( cosx)5x-^ —g-0, cosx xcos x 5×0, cosx xcos x 5 x( xcos x) 0, x xcos xcosx0 и т.д. 10 106 . 6 о 1; a cosx, 11a., 7. x — -ил, xarctg5 ftn, n, ftez. Указание. gxcosx 10cosxcosx xl, 8 x cos x-\-i1 cosx -_xx- -cosx, x 8 xcosx10cosx0, * xcosx5cosx0 и т.д. 8. xkn, x(n \) , ft, n^z. Указа ние. -cos(зя x)tg x Icos*, cos 1x (n cosx^0, xcos(n x) -tgx, x- -cosxtpxx—, xcosx- — & R cos x cos x x) \ i / i — _cosx x 1, xcosx xl x(l-f- cos x)(l cos x)(1 cosx), (1 cos x)( x 1 cos x)0 и т. д. 9. x(nl>y, x(ft l>j, хarcctg mji, n, ft, mez, ± ^asua-79 ^/5 0. keez xyarctg при l (17-a) 108 /, lfkn, /)(cos/ 5. xfty, ftez. Указание. cosx0, x(n l)-j. но tg((«l)y)tg(ni)-g-n не существует, а потому cosx^o. Следовательно, tgx0 и т. д. 6. х0. Решение. tgx0, xftn, но ftk0, а потому уравнение не имеет решения. 7. x(n l) -, *-f( n, k Z. 8. x(rt l)-j, х(l/^^y. я, ftez. 9. хлл, х -т— -пл, nez. 10. x(n l)-j, nez. Указание. cosx(ctgx) -(ctgx)0, (ctgx)(cosx-l)0 и т.д. 11. x(n l)-j. n 109 Это -.. 5Jt. x xkn, x±yarccos-y-i-nn, * иег ПРИ a. Решение. xxax0, x(xa)0. a) x0, xkn. 6) (1 cosx)a0, 1 cosxa a1 110 x( cos6x 1)»1я x cos* *. x(n l)—, *(1)* -*- -, n, * .1 nez. 5. xnn, х ул(и1), nez. Указание. cos-g-l —!-. cosf cos -(lf ), cos -(l —l)0 и т.д. 6. x5kn, x( 1)» -л 5пл, /г, nez. (Icosx)0, cos Vsi 7. х(и 1)л, *(6fe l)-^-. «. ^Z. Указание, ^ jc yj0 и т. д. 8. хкл, *( i- — I y) -t-vcos* -\^- -cosy cosx 0. 0 и т. д. V -^, cos- -0, пл, /г. cosy(«\^s Указание, л V-J y0, y(v 9. *(*1)—, л:(-1г^пу, *, nez. 0. х-^ пя, х/гя, /г, fcez. 1. х( 1)»1р ил -, nez. Указание.. х/у, x яп- (Д:Т)-:^ИТД- (nl)-^, ft, nez. Указание. x tgx0, tgx(jtcosjt:i)0 и т.д.. *(n l)-j-, х(1е1> -. x(-lff mn, n, k, m 111 — 112 I iwo 58. лг(я-н)у, Jt(«6A±l)y, я, AeZ. Указание. cosjc з-l COSJC, tgjc(l COSJc)l COSJC. (1 COSJc)(tg.K 1) 0 И Т.Д. 59. а:(л 0-j-. JC(fe l)n. я, *ez. Указание. ltgjc cosjc(itgjc)0, (ItgA;)(lcosx)0 и т.д. 60. *-j-ftn, л:ял, ft, rez. Указание, tgxjc 1cosjc, tgx(l cosjc) 1 cosjc, (Icosjt)(tgjr1)0 и т. д. 61. х(я 1)у, x(ft±i)^, л, tez. Указание. 1 -fcosjfcosjc0, cosjt-t-cosjc0, cosjc(cosx1)0 и т.д. cosy 6. xkn, x±-r-n nn, ft, n^z. 6. x(n\)n, Jc±arccos-r-ftn, л, е. Указание. YCOs- — 0 и т. д. 6. д:(я 1)у. дг( lf^kn, л, ftez. 65. jcftn, дг (л1)^-, ft, n 113 ,. cos 1)»ЧГ15 Wo. (cos )0 76. а л, а(/ 1)л, n, ftez. 77. а(*1)зл, -х1пп, ft, nez. 78. A(nI)-^, x(-lf-^ ftf, n, ftez. 1)-J-. A±-J(8ft 79. а(я л, ft«z. l)-j, Указание. *. r. x x)(cos jrjr) cosasiria 1 :%-. 0, cosasmas ; «-:rr U 1 jccosa; (cos x xf 0, cosa^shia, ^ cosxx :I. 0, (cosa x)y X,N (\ и т.д. V cos x x / 80. a( cos xsm xx 5 л, /(Z. Указание, xcosax X(cosaA) l, a cos a cos x, a cos a K -v 114 . 90. x ltgx-l)(s J-. *±- -(8ii1)-J, ft, nez. _. n, 96. jcfoi, х -пл, k, n^z. Указание. r- 1 cosл: 1 cos x 1 cos л: / 1 cos x,\ 5 i 0, «J I x 1* I* \l-fx / -ж \т * Icos x cos* 1 :, x : [-ГГ- l )0 И Т- Д» 97. * n, tez. «г *Л- X Y ил, k, n^z. 98. * -r- nn, x 99. *-?- пл, a: arctg foi, «. ftez. Указание. fty, (Itg a:) cos a: cos a:, cosjc^o, в противном случае не tga: существует, а потому разделим обе части уравнения на cos* x, получим: I tga-(i tgx) и т.д А-(л 1)у, xkn, n, ftez х^ -\-kn, х x I x±-j, ^—\-пп, k, n^z. Указание. ctga- cos x, ctg A—cos x 1 x, ctgjc(l a:)(1 и A-)(l-A:)(ctgA:1)0 т.д. 10. A n, *(1)*0 590 *, n, ftez. Указание. (cos A- a:)(1 jccos a:)( x cos a:)0, (jc cosa:)( и xcosa:)0 т.д. 10. х(п1)л, a- ( If-jkn, n, k 115 x)(l х *л, ftez. Указание. — ^i- (I *) 1,- (I Z cm* v — xf,. *), (x)(( -s^f) -(l-x^))oh WJ lv » * * х(л 1)я. х(*±1)- -л, я, ftez. Указание. l_ _ cos*cosy 0, cosycos- -0, cos- -(cos-j I)0 и т.д. пл, n^z xkn, ftez. Решение. *cos* cosxcosjc Q ^U sm COS и dx x cosjeh0). _q^ тогда jcof jca;n (при этих значениях х cosjc^c ПО. Jt( lfjпя, rez. Указание. (1 x)l x, ^x0 и т.д. cos jc x-±nn, x±-j (8k-l)-±,n, *ez. 11. nn, *±- л (8*1)у, n, kez. 11. x, *y jtfty, x(nl)j, k, n^z. Указание. tgx и т. cos*)0 д. xcos Зх, tg* jccos *0, tg*(l 11. x±arccos&-nji, nez jt-j nn, *y kn, х-?-тл, п, k, m^z xkn, x(n-\-l)na, k, n^z. Решение. cosax a acosx, cosa дг a cos xa, (*a)a. a)xa akn,xkn.6)xa an , n, k 116 _ 1±УГв^ 5*Y д/)0. ^n Решение Тл- tgjt(l _cosx)0, tgx(l 1cos*)0, tgx.cos лг0. a) tgx0, х1гя, Л П 5 7 П О, I, Гь, О И Х -^ГЛ- * Х5-^-Я, Хб^-^-Л, ДГ7 11. д: я, х s-v/ -5-cos у, 1-, ±-jr пл, п, AseZ. Указание, аг *cos Jt-y/ л:, jc(cosx и т. д. 1. лгупл, х*л, п, * 117 17. x(rt I)T,/eZ. *лу, х(я 1)т> nez. 18. х *(n i)i 0. хп^, n 6k, ftez. Решение, ctg 1 ljtctg5jc, tg 11*^ tg5jt, llx5xnn, A:-g-/m будет решением при пфбк, k^i 1. дг(8л1)-^-, лг(8п)^, ncz. Решение. yx.f cosx.ic, (jt -^-) Злг. а) Зх х^ «л, л(л1)-^. 6)xx-J (л 1)л, 5хял -л, 5x(8n )-J,*(8n).. x(nl)±, n i \gx(k\)±, *10. 6) lgjt -i gxb, lgx *±i, 8тх^т, *e]-oo; -]U[; oo[. *(-I)*X Xarc^-j-H-ftn, П6 x(l^yarcy^^-h-ary. 118 . *-п-\-пл,. 8. x(6n-l)- -, *(lfcl)i, ^(1Л 7)у, и, AeZ. Указа н и е. x(v лг cos x)(v xcos x)(v xcos x), l x-c sx)(x(-y/5jccosдс))0 и т.д. 9. ftez. 0. A:(fcl)f, *(*1)-, ял±- ллл, n^z. 1. ft, «ez. xarctg(ft-m-fnn,. x(8ft 1)^, x(8ftl)^, ftez. Решение, cos 1jc :J-cos5jf bx, cos Ixcos (bx -jj. a) Ijc 5* -^ «fen, 8jc(8*1)—. 6) \x5xjkn, 18x(8ft 1)-^, jr«(8*l). I *(rtl)y, x(ftl)-j, n, ftez. Указание. *X Xcos *cosjt0, xcos* cos at0, cosx( xcosx) 0. a)cosxa0, cos*0, x(n l)-j- 6) xcosx0, tg*i и т.д. о п, n Зх- _ x.* *-^-, ftez. Решение. s 0, COS X COS x COS AX x(cosxcos xcos x) n cos (xx)cos xcos x., _ 0 COSXCOSXCOSX ^ * Cosxcosx — a> ^а 0, Xkf, n*z. 6) cosxcosx-xx-cosxcosx Q tgjc> 119 ±-x 6. *(n l)yg. nez. 7. x(n l) , cos(jc15 ) у 1. x(1ft xft-j-, *±-j nn k 120 * * 6. xk-j> *±улл, ft, n^z. 7. *(я n, 1)у; ftez. Указание. x(kl)-j, cosx lcosa:cosxcosx0; cosjccos xcos xcos x0 и т.д. 8. *(я 1)у ; x(k±\)-n, n, ftez. Указание. cos9x.cos^cos6x0, cos6jccosxcos6jt0, cos 6jt( cos jc -и т.д. ^.1)0 9. xk- х±-гтял, ft, nez. Указание. cos5*x и X*Vx т.д. 0. * (n l)-g-; n, ftez. Указание. cos7jc x(6ft±i)- -,.j-cos *cosjcsx, cos xcos jccosx, cosx(cos* и _1)0 т.д. 1. x*-^ пл, *-т- —kn, ft, n^z. Решение, хфк-^-, fcez, cos ArjtV xcosx, cosx xjc, rj*jjc. a) xt ; xmn, n, ft, m(z. 5. x 6. * ft-f; X(n1)-J. ft. «ez. k^\ Jt(6n±I)y, ft, яе. 7. ±o 180 n,nez. Указание. 5tg* 5ctgxtg* _j 5.(ax-fcosx) x 10 x * cos x cos x cos x.x cos x cos * 0 cos * x, 10cosxI cosx, llcosxi, cosx-jj «т.д. 8. x-5-n-s-, x±nftji, n, k(z. Указание. о cos 5*-cos x \/cos x, cos * cos xvcos x0, cos *X Xcosat V)0 и т. д. r^k 119 122 Jix-«cos—, 50. * -Г «Нг. *±^г /гл, х±- -я тя, п, k, mezz. и о о 5 решение. cosxcos5xcosxcosxcosx0, cosxx ^cos х cos Зя-cos xcos x0, cos x( cos x cos x1)0. -» cosx0.x-^/m,x- -n-?-.6) cosxcosxl 0, 8/ 6 (cosxl)cosxl0, cosxcosx 1 0, cosx _^1±, i) cosx^b^, cosx»-s-, cosx-^, x±-^ «» kn и ) cosx.f тя. cosxcos-^-n; х±- -л 51. x(rzl) -, x(-l)*-i- ft 1,5. n. AeZ. Указание. (x)cos(x)cos(x)0, cos(x)((x )1)0 и т. д. 5. x(nl)—, nez. Решение. ^ ^0. cosx^0. x^t—(ftl), тогда cosx0, x -f-(nl). Покажем, что в —(л1)^(lfc l), т. е. п1ф(к \), что очевидно, так как о нечетное число равно четному. 5. x (nl)-s-, nez. Решен не. -^и^мь^ x^0, — * х^/гп, тогда 5-^0, cos x 0, х(и1). Допустим, что jc (n1) /гя, тогда п1/г, что невозможно. Значит, х (/i 1)-^ решение уравнения. 5. х/г-5-; х(1)»-5-пя, /г, nez x±arccos-^-*\-nn,n^z. У к а з а н и е. cos x sln «5cos — — ycosy cosx0, coszx о, V x -cosjc^ x^o, тогда x ^ Vx cosx 0 и т.д. 56. х(/г±1)я, х(/г1)—, /г, nez. О 57. x(nl)—, х(1)* — -/гя, n, *ez. 58. х(/г 1)—, х(зп±1)- -я, /г, nez. Указание. cosxx xcos х0, cosxxcosxx ч cosx0, cosx(cosxx)(cosxx)0, (cosxx)x X(cosxl)0 и т. д. 11 123 x0, ^ 59. xkn, x( lf-±-%-nn, k, n^z. У о 60. jc(nl)-s-; xkn, n, kez. 61. x60 fc-0, tez. Решение. tg(x0 )tg(x 0 ) (x 0 ), хф 180 n 50, nez. Обозначим: 0 *, У, tgy tg//-y, о -> о ^ ^ *Ч f/, Уcos.?»» cos g^ c()s у C(JS ^ C()s ^ o( cosv A 0. a) «0, ykn, yk-%-. Эти \ cos y cos у /, значения удовлетворяют уравнению только при п, т. е. тогда х0 180 п, х180 л-0. б) cosl/ COS l/ COS I/ cosv-cosffcosv0> cosu^o и cosw^o, тогда cosucos y cos j/ упп, 10 cos y cosy0. Разложим произведение косинусов в сумму по формуле cosacosp — -(cos(a P)-r-cos(a Р)), рассмотренной в 10, получим: cosy(cosi/cosj/)0, cosycosj/ 0, cos Ay cos y. a) yy kn, ykn при всех fcez удовлетворяет уравнению, тогда 0 * 180 /г, *180 Л-0. б) «/у кл, ykn при всех &ez удовлетворяет уравнению, тогда О 0 x60 ft, x60 fe-0 6. x(nl)-f-, х(л1)—, Jt(ml)-s-. п, /г, fflez. 6. х—«п. nez. о л 6. х пл, х±-arccos-jrftn, n, fcez. Указание. x(cos*l) cosjtcosjrcosjt pt _Q> cos *(cosxl) x(cosjrl) otgj._0> cos **^-, tg*tg*0, tg*tg*tg*0, ^»tos* _i_ ildjl o. cosx#0, cosjk?fc0, тогда x jkcos x0. 1 cos x Разложим произведение функций в сумму по формуле a cos р y((a p)(ap)), рассмотренной в 10, и получим:.x xx0, xx0, 6 * cos.it x(6cosx1)0. a) x0, x kn, удовлетворяют уравнению только при kn, т. е. жлл. б) 6 cos х xkj 1, cos х 1 и т. д. 6 1 XJ cosf x ja, ^-f-) cos(x—5-) и т. д. -v- n cos (x-f- -gcos (x у J, cosfx j.cosfx- 15 127 x0,. / / _ любое 96. х^.-\-пп, х arctg^ ftn, n, feez. Указанц, л: /о x х /о smx x л/, v v п\. п\ п l-cosx, l *-д-) sml j:^-1 cos-cos.it пд cosx^-l, xv -\/cosx, xvcosx-$ cosx^o, _У^_^(1-^х)^ 8tgxV-^tgx^ ^^ Vd Vtgzx, Vtgx-8tgxV0 и т. д. 97. xk , k, n^z. Решение, x 5x cosx cosx0, xcosx xxo, x(cosx x)0. a) x0, xfcy. 6) cosx- cosxcos(ilxv 1) x x(n 1) * x(/z1)- или ) x — xrm, xl nn, 98. xkn, AeZ. Указание. xx x, xcosxx0 и т. д. 99. х(л-н)л, х(/г 1)Л, n, kez xfei, x (-l)n,il-ny, k, nez х-л, х-л, xjl * хил, x(n \)JL xkn, если аф 1 пл, xe/f, если а-5.ил, «, AgZ. Решение, а cos xcos а x а cos xcos «, cos а ( х1)0. a) cosa0, тогда х действительное число, б) cosajfc0, тогда xl, х -\-кл.. х± О пл, n^z. Указание. -l(cosa cosx) 0,75 cos a, cos a -f- cos x1,5 cos a, cosa cosx 1,5 1 cosa и т. д.. х (л 1), nez. Указание. cosxcosxxx 0, cosx0 и т. д.. xkn, ftez. Решение. xcosxcosxx0, x 0, xkn. 5. x k х, я» k, n^z. Указание. cosxcosx cos (x—x), cos x cos xcos x cos x x x, xx0 и т. д. 16 ^ 128 x НЛ^) 7. х zfc у о arccos («j»^ cos a j /m, *ez. 8. «ez. Указание, xx(l)»^«y. -I(cosx ^cosl0 )-. x(cosxjl) xcosxx-l, о \ / x*x-i, x-i- и т. д. 9. х(л±1) -л, nez. 10. x»(nl)jl, x(-l)*^ fei, n, tez. Указание. cosxctgx-x Vcos5x, cos x cos *- x ф cos 5x. co^cos *- x * ^CQS ^ «St.^jj, C0S5x(-L- — * * V x 0 и т. д. -V) 11. x(n 1), rez. Указание. -I(xx) -L(cos5xcosx) -l(cos 5xcosf — -xj), x x — -cos5x-f-cosxcos5xx, xcosx0, cosx^0, tgxl0, tgx 1 и т. д. Sin 1. xft» х (8л±)» k, n cos x i x(nl)-jl, x(ftl)ji, n, fcez. 1. x k, xk 131 Vjc0, -^x)(cosx-f 6. x kjl, x*kjl, feez. x cos 7. x(6n l) 133 6xx, 1, JL, -jj-nfai, _ 68. х со 5. -^л, xjg, л л. л,-, x, *-g-. xcosxx0, jtcosxcosjf0, cos*x » X(x1)0. a) cos*0, jc(n-f 1) Л 134 cosxcos7x, x-l kn,ke z. Указа н и е. (cos(x Jl) cos-jl) ^1, cos(x -g-) 1., cos(x Jl) cos(x- -j) 1 и т. д. 80. x(kl)jl, kfz. Указание., (cos (х Л cos )V. cos(x ^.)VV, cos(x.)0 и т. д. 81. xarctgy(^j ^^cosx^ x. x^ ^ ) l)nn, n^z. Решение. jc ^cosx, cosxj 0, ( f)tg*f ^^^^. ^arctg (V-l) nn. «ez. 8. x(k l)jly feez. 8. Jt*iL, *(nl)* k, nez. 8. x(* 1)^, x(k l)jl, AeZ. У к а з а н и е. V jc ^x JLcosxcos7x, cos( JI xj cos7je0 и т. д. 85. x(/il)jl, jc(6*±1)-, n, feez. 86. x (nl)jl, x<6k±l)", n, k(z. У IS 87. x(rtl)jl, «ez. 88. x-a /bi, xnn, k, nez. Решение. l-f-jttg( x), lx 1 \ l-cos(- -*) V ( x) x±±%*, (Ix/t *) 0. a) lsir\x0, cos x \ cos x/ jcl, x JLkn, или б) 1 x 0, cosjtrl, xnn, cosx x/m. (При этих значениях л: знаменатель дроби не обращается в ноль и не теряет смысла.) 89. x (-lf^nn ^., n 135 _!!_ 136 _ l)-f-x(cosx1)0,, xnjl, cos 95. x ( l)»arcjl (6rtl)Jl, n^z x kn, дс -\-tm, ft, n^z. Указание. -^/ (cos 5 cos л: 5 дг)(1 8тл;) lcosx-, (cos л: ^-A-)(l втл:) 1 cos л:, cosx л: cos л; л: _-x cosa\ cos x -\- x cos л; x-ar cos x> (cos л: (cosл:1)(1 x)0 и т. д. 97. x arctg(- ^-f ил, nez, аф^- кл, tez. V cos а/ * 98. A-±i-arccos-^^ nn, bez. П. I. х(зп±1)- -. neiz.. х*(п±1)-1я. «ez- * 9. лг(п 1)» *(ftl)» x (ml)» n, ft, mez. 1 Указание. 1 cos л;->- 1 cos 6л; 1 cos 8x- — 1 cos l(k, (cos л; cos 1 Од;)(cos 6л; cos 8л;) 0, cos 7x cos x-\- cos 7x X Xcosx0, cos 7jc(cosa;cos x)0 и т. д.. x(nl)jl, n^z. Указание. (1 созл;) (1 -cos лт)5, 5 cos л: л: 5, cos л:( cos л:)0 и т. д. 5. x(n l)j-, n^z. 6. x(n l)^,*(*±l)i, п, fceiz. 7. *(ft l)-jj-. x (nl)jl, x(m l)jl, ft. n, wigez. 8. xfcjl, x(nl)jl, ft, «gez. 5 ft, «gez. Решение. 1 -f-cosx -f 1 9. xk 1 cosx cos6x 1 cos 8×0, cos x cos x cos 6л; cos 6л: 0, 5л: x cos8x 0, cos л: cos 8л: cos x 5xx0, 5x x 5xx0 и т. д. xti, ft, «gez. Решение. 1 cos6xl 10. x k 9 cos cos8x 1 10x- — 1cos 1л:, cos 6л;cos 1x cos8a- cos 10л: 0, 9xx- -9x д; 0 и т. д. П. х п, x± fc, n, AeZ. 1. xfty, *(6ft±l)JL, n, ftgez. ftgez. 1. x (nl)-j-. «gez. 1. x x)(cosx— -x-)-i-cosx—lcosx», cos x-(cos x 15 137 x)-i-cos x(cos x 1), cos x((cos x x) x> cosx0. a) cosx0, cosx0, x (nl)f (I), или б) cosx0, cosx0, x(ml)- (). Из () следует: x(m \)f- (). Из (1) и (З) следует, что xfei. 16. jc(n l)il, nez. 17. x(n l)—, х(6 ±1), n, feez. Указание. (cosxjc)(cosxxcosx x) cos i^ x, cos x((cos x x) x cos x)-^cosx, cosx(l xcosx^cosx)0. a) cosx0, x(nl)- — или б) 8xIcosx0, 8 (1 cosx) 1cosx0, cosx1cosx60 и т. д. 18. x( 1)п 90 /г, /iez. Указание. xcosx x, (xcosx)xcosxx, 1-^-x x, xx0 и т. д. iez, 19. x(l)»-jl.f л-g-, nez. 0. x± -arccos(a) -/ui, у 138 cosx (). cos8x, x(6ft±l). x(/i±l)jl, nez.. x kjl, feez. 5. x (kl)±, x(n l) , k, nsz. 6. x fe» x njl, k, n^z Решение. 1 cosxl 5 cosx 1 cos 6x 1 cos8x, cos x cos6xcosx cos 8x 0, 5xx 5x x0, 5x xcosx0. a) 5x 0, 5х лл, х«, или б) x 0, х &л, xfe (1), 5 или в) cosx 0, x (m 1) объединить в одно: x k. Решения (1) и () можно 7. х -\-kn, х пп, k, n^z. Указание, ctgx x I cosx, ctg x cosx 1 x, ctgx(l x) 1 x, (l x)(l ctgx)0 и т. д. 8. x(fel). х(и1), k, n^z. Решение. 1 1 cosx 1 cos6x I cosxcos8x cosxcos 6×0, cos 5x cos x cos 5xeos x0, cos5xx X(cos x cos x) 0, cos 5xcos xcos x0. и т. д. Заметим, что ответ можно записать так: т-, mez, так как (п-\-1) (n l)-j- 9. х-^лл, nesz. 0. x (n l) J, jj, n, feez. 1. x (*l)ji, xdz(n arccos-l)/m, ft, kez.. ж л, tez.. x± arccosi- /fe-i, AeZ.. x *y, *«-. *.»ez. 5. x(nl)jl, x(fe±l)-i, x (ml),,fe>mez. 6. x (nl)jl, x ftn, n, fcez. Указание. (cosx) (cos x l)cosx, (1 cos x) 6cos x cosx, 1 cos x cos x cos x 6 cos x cos x 1 0, cos x cosxcosx0, cos x(cosxcosx )0 и т. д. 7. x, xi, хал. Решение, -L cos JL JL, ( Л cos av Acos _L, JLv 6 V / Л XcosA l, 1 x 0, cosx 0, cosx0, х(/г1)л, 17 139 cosx-0, _ f. 5 1 140 (n-\-l)jl, cosxl cos cosx x 141 cosx cosx cosx 8 6 x)(cosjcjc) x kn, ж (п1) JL, Jt(ml)iL, k, n, m i?, 1* cos* 1 jccosjc Xcosx^0, x^0, x^, (1 cosx-cosx cosx) cos x- -6 cos xi, 5 6 cos x-6 cos x l-xx 6cosx-6cosx^, cosx5 — -, cosx \, cosx y, cosx y, jc±y im, *±- пя. 10 142 J_cos -Lcosx, xcosx cosx) -i-cosx- 71. x-±- -arccos-ea inn, nez, _L 143 ЛлА:л, JL, л/( x arctg5 ftn, feez. Решение. JOL_ 1C-pl /tgjl, 1 /V0 при t I; следовательно, уравнение не имеет решения. 10. х J>-nn, n^z. 11. х( 1. х cosx), -J cos 0 и т. д. 1)я_5./т-5., fc«z. Указание. x у V cos у 0, cosy (- л/ c sf) 1. х(-1гу плj-, * 144 1 Л, l)narc^(n-l)jl, x Л (x-j-) x. a) x б) Зхх^-(*1)л. х»(8* )^. 18. *( 1)п Лпп rtez. 0. kn, х(8/г1)л или iiez. 19. x( I)» «пл-jl, 6 6 x(8ftl)^. *(8*)JI, AeZ 1. лг(-1г- (nl)-!l, nez.. *( l)»-jlrt. JL, nez.. x (l)»arcjl(6nl) * nez.. x*ji, x (n1)jl, ft, n&z. 5. jt(rzl)ji, xarctgv5 fen, n, kezz x(kl)jl, x( A, nez. 5 Указание. x cosxy, xcosx-f-xcosxf/, xcosx ^-^i. Данное уравнение примет вид: yy»9″(i*)» i/5 5y 5, 5у tgx ^0, у<5у)0. а) у0, xcos х0, и т. д., или б) jccos*-?-. ( JC-5.) ^и т. д. 5 V / 5. х(-1)*-?- (*1)" *ez". x kn, x(n l) 145 л/. л/ ( (при » (x cosx) x cos ac)-\/(l. x cos x), 8( jc-^- cosx) ( x cosx)(l xcosx) -\/(l xcosx), x-j- cosxy, 1 xcosx ia xcosx -. Уравнение при- мет вид: 8у-*у ( 1 -^f1) л/(1 ji1). y-y V X X-^L. у-ур-у*)т/(\ у),у-у у^ л/у\ у- -V«/ y-v 0, у(у_л/) (у-л/) 0, (у-л/)(1/1) о а) ул/. x-f-cosx-\/, (x im 1 и т. д., или б) y\q в R не существует. 7. х (л1)л, х(1)* /гл, n, ftez. Решение. cosxvtg(—j-), cosa: Vctg^-, (lcosx) Vctg^-, cos-l-vctg^.0. ctg^(^cos-l—v) 0, ctgf(*-v) или б) x ^, x ( o:a) ctgi0. ^. (n l)i, x(/i l)n, lf±kn. 8. x (-l)n-wi-il,/ 146 _ 1/ д/)(у. корень _ ) _У- У -л/ I Ц-л/ У-л/гу У* л1у1 Jy-y -л/1 t/ -л/ О Уравнение (у л/у1)0 имеет только один корень так цл/> как многочлен у -у/у1 не обращается в нуль (D 147 i 1. 16X,. Решение. jitg-i^ » 17. x±arctg(5tgl) nji7, nez. 18. x, x Решение. arctg(x) a, tgax arctg(xl)p, tgpjcl. a-p, tg(a-p)l,-^^zzt&. 1tgatgp 0, Xi 1, x корни уравнения. a ^, a 19. x 0. x * arcvl-x p, p Vl-x, Решение. 0 0, т. е. cos a-i—w9;c -г 148 или 6b0, 1, VtgA:\_0 1, Л, V b^jy arccos(a 1 6. x ± -^-arccos(c-f l) kn, dez, 1 149 \\ tg*(-v? l/, tgx-v, x arctg(-v)nn. НайденНы значения x удовлетворяют данному уравнению и не обращают зна. менатель в нуль.. х0.. jc(-iy,arc^*0-1rm-^., nez, asr. вд/ nn, n sx Jl5l 1, cosx- l-l, *l\ 150 cosx -\-nn, 1 arctg-i- -*1 tr*» t^(-y.)_ tgx^±j. X0J^U- 15tgx- 5 1 tgz* 5 ^5tgJC- 6tgx, 5tgx-9tgx-0. a) tgx-±, или f0, б) tgx, tgjc±v, xzfcarctgv-nn. 0. x arctg x mn. «, rne.z. Решение. Icos (Л cos x) 1 cos (л x), cos (л cos л)cos (n jc). a) я cos * л xftn, cos x xft, cos x x cos x x * ( cos x), ftxxcosx-f(ft l)cosx0, cosx 0, fttg*tgxft-l0, f-l-(ft-i)ft -ft fe-t-l, — >0, ft-ft-l 151 0, cosx))(cosx л/), An, -y/ tgx-^^«0,787, 59 V5 cos( x Jl),.xil), (xjl\ cos JL ф(cos xcos JL V(xJl) V(^cosx -i-ja. -v/ x-cos JL -v/ cos x JL i-cos x ^ v x, ^ *. 6 6 ^ ^cos x -icos л:^ x, ^ x(v 1) i-cos *х X( JLzJLt Vx-(Vl)cosx( V)._ cosxh0. tgjr tgxv-^^-^, at* л/6 d л/з /г, х10 90 /г. 50. xjlkn, kez. 51. x 5. хпп, х/гп д:, д/ x 180 n, nez. n^n0, *ez. У казан и е. V x x, x 152 x50, x(ft l)±, -\/ 57. x(k )±. 58. JCftn, ftez. 59. x l)-j-. x(- ly-j- nnj-, ft, nez. nn, n^z. Указание. sjnxxl xx x 6 #0. xy, y-yy60. уу-«/-«/б1/60, /((/ l)-i/(t/ I)6(j/ l)0, (y 1)<у-у6)0 и т. д. 60. х л, x- -ftn. k^no- Указание. ^xcosх x, Vsn * cos x x, x^o, Лп 153 , 1)"-arc- 1)"-5.- -ил 0. " 0, x) 0 k^-, т, k 154 l, * ) 7. * -лл. xarcctgo, A>n, n, *ez. Указание. -ctgx(jc1) (jc1)0, (* l)(5ctgx 1)0 и т. д. 7. x(-iyljlnnjl, n tgx, l-tgx_0 tgx^0 tgjr x. Решение, cos x cosixcosjl, 9 7 cosxcos I. x cos JL, cos-z-x cos.lxcosx, cos-lx(l Ч -cosx)0. a) coszx0, Lx(k l)jl, x (* l)jlr 0 155 x)-cosx, -\ ±kn. г) о, л хт,х- л. 8. nez. Решение. х(я1)у, у V^»*?*^ л: ^/cosxcos cos x, -g-lcos л:i -j-cos jc-\/cosx(cos x^] а) cosx 156 -\-пп, cosx _ 1, Л cosxjc 1 L-Wo. a) x x Лл, x JLkn, J^sl i x / 6) os x, cosx-^-, х±-^- ил, x±-^nn. 87. x-«- rai, n (т-) V COSJ Ltcje 1_ JLtgx — tb*_ г/, ly±, y>0, -иу. а) в* — 157 6uvlu примет tgytg (itg^xitg!) вид: 1-ц \-v*. (l-0(l-*) lu \v (ln)(li») uv,\/i i.. u)(lv) (\-v)<\ u)-(l-u)(\-v) uv (loflo) (- (1 u)(i. \ i>), lu t>-uv uw- (lu i> uv), u u-6uv 8uw u w uv, 9uV-8uw u-t-i, 10, 9uV v uv 0, (uv l)(u u)o, uul и u t», т. e. tg-ltgi!-l и tgatgj^-, Stg-!^] B 95. * AJ1, y (nl)., i/ (nl)i-ft.ilp n, AgZ. 97. х(61)л, у пл; x(6k l):±, y(6n l)f. *(6A!)- -. j/ (6n-l)-. (Al)JL, n, JfeeZ. 96. * («l)- x(k n l)n, y 98. х Ал, xarcctg rm, * arctg(±v)mn, ft, n, m^z. a) e e B tga_ ; R nn, n, feez. 99. jc -5-arccos(a1), x±-5-arccos(a1)n, x —arccos (al) n, 0 -, (xcosx) 9-cosjt оэтому х у arccos (a 1) л, лг у arccos (а 1)л..j\ cosx _K-^ , xcosxl, x> 1, x x(/i l)y, х±у(л arccos-m/m x ±- —f/m, nez. Указание, (хл)cos (-5- «гxj tg(/mx)arccos 1, x x tgx, xcos x xtgx0, ь xcosxx, X (cosx,, Icosx/ )0 и т. д. Icosx *» * 0, xx 157 159 лг(зл±1)у, *ez xk 160 ? -!_lz,8 cos *-^0, 0, 9cosx 6cosx 6cosx 0, 9cosx 0cosx 0 и т. д. 10. xftn, х± пп, ft, n ^1 x(n l) -. ft, ez. ft 163 cosx 1 164 1 8cos 8 » n8cos*-ц-0, cosjcjm, 8cosx x 0, 1 cos x 8cosx gcosx 0, cos x cos x 1 0, ( cos л: 1), cosx-l ±^/. С05хЩ^-. a) cosjc!± > 1, x0; 6) cosjc ^, *±(narccos^^-) /bi, x ±>X (я arccos^^fen. «J-(n arccos 0,071)А:лда *y(narccos^j-) (л 1,6) fen, Л 165 бесконечная 50. -\-nn;.1, — * ) *8 x a) *-i->0, x0, или б) ^^ -1, *( 1)»1 эти значения х будут удовлетворяв уравнению только при n k, т. е. х(1)* -^— -Ля или я-^ JL *n. ^ х^ пп, х^(л1)я, nez. 15. х arctg0,6- -nn, nez. Решение. 1tg x tg *-f tg * — последовательность. Так как tgx 166 — x) — ^ * 1 cosx cos6x, 1. — sslogl0, сов5хсозх 1 0, cos5xx ^ cos x (cos xcos 6x)0, cos 5x cos x cos 5x cos x0, cos 5x(cos xcosx)0 и т. д. I59. x-i пя. nez. Решение. tgx Jgj^?QO j *» x cos * cos 0 cos 0 cos* 0 0 fgjc cos0 cos0 tgx cos 0 tg x 0 0 cos 0 tg x cos 0 cos 0, (cos 0 cos ) tgxcos 0, cos 60 tgx 60, tgxtg 60, x n, х л или х JLtm x(nl)jl, nez xkn, х±^- лл, k, n^z. Указание. x 167 — 1 (*f пл, 16. ху(nl), jc у, *у- Указание. ц уравнения видно, что cosx^o, а потому cos*. (*f) cos jc, cos^y 165. Jfarctg-f-/m, яе x njl, nez x ln nn, х±-1л-*л о 9 18 x( 1)»1Л-. 8 * «, AeZ. P e ш e- ние. (x^)(^- )V(f(-l -i)) TCOS(t 1) ) 5Кт т) V( T*) skt H») Чт*й)-тМтЯя) 0. 8,п(тяя)(см(т*я)-^-0- a> «»(-! «)-o, T^nn ^- n «n. 6) cos(x^^, x 6 9^ xjlkn. x-ллл, к, n 0, a-8a 75 168 -1 0, то имеет смысл только равенство ), т. е. х(п-\-1), где п т (так как jc^o). Если * 169 _ А 0, To имеет смысл только равенство 1), т. е. х- -хля, xkn. Если х 0, х 170 * 6cosx 9 7cosx JL, 19. xjl Алл, nez. Решение cos(an ^ -^5 cos (60^ 60 ), x -^5cos ^ШТ, xl, xjl v nn, xjl.nn x±-^ nn, nsz. 19. x( 195. x fejl.feez. Решение. -Jx cos(an -Jx x _!_ x) AcosAn, cos(n JlV 60, x l)»inn д/ x x11 cos-j, Y( x —)T x A A, x 0, x 0, х *л, x ft-. A A, 196. x 7 0, x 5 0. Решение. n 171 У 05. x n kn, х^(к\)п *gz. Решение, д/ cos x x I, y( cosx _ x )l, cosx x y-. 1) cosx>0 и xx), тогда fen^x 172 5cosx0. 5cosx ^/x)vcosx x д/ 08. х -\-пл, Jc arctg» An, n, ki Решение. — л, cos x х 0, g;* 0, tgx * J-n cos * _-^Ч- 0, l-tgx-6tgxtgx0, tgx-6tgx tgx0, tgxl и tgx. x -j nn и xarctg fen. 09. лсл *я, x -l nn, k, n^z. Решение. jl(l cosx)(l з x cos x, -?-(l cosx)x X(l Vsn Jf)Vc sjt(l Vsn *) (1 ycos *)0. a) -\^in jc 1, xl. x Vsn x) (л/cosx ^-kn, — или б) Зд/ cos x cos x0, Зд/ cos x ( 1 cos x). Обе части уравнения больше нуля. 18cosx 8cosx- — cosx, cosx a) cosx> 1, x 0. 6) cosx -1, x ± лл. Условию удовлетворяют только значения х-5- лл. у 10. х± пл, nez. 11. х /гл, х лл. 6 ft, n^z. 1. х/гл, хп, k, n^z. 1. х ±- Пл «ег- Указа- 1 о ни е. гбтс^ гх) tgx 5, cosx( cosox)5, cosx?fc Ф 1, cosxcosx 0 и т.д. 1. хупл, nez. cos x 5-f 5 cos x, cosx 15. xarctg-5- пл, nez. Решение. cosxt^0, x^ (n l)y, ctgxcosxx, -p-^-cosxsiri x, * ^-cosx x, x^0, x k-j, 1cos x xx Xcosxx, 1 cosx xcosx, cosx-f cosx xcosx0, cos x(cosx1 x)0, cosx? 0, а потому cosxlx 0, cosxxcosx0, cosx(cosx x)0, cosx^o, так как в противном случае уравнение теряет смысл, cosxx0, tgx 16. x -j-\-nn, n^z. 17. x x -j- /m, nez. Решение. VcbsT-^x, 174 1, -yxx-\/0. 1) x -^r>l, — x( )»1″тпл- Эти значения х удовлетворяют уравнению л/ x0. ) x ^—J/пл. только при лт, т. е. х(о^-^гтя, х 6. х(/i l)-g-, х-^-/гя, п, feez. Указание. ctg x(tg x-ctg x-1) (tg xctg x l)(tg xctg x)(tg x-ctg x), x cos xcos x x л cos xcos x * сь cos.jr.* cosjtjr jr atcos jccos x *r x cos xcos дг. cos x x cos * x., Sinx^0, COSXjtO, n,_ (x) x cos x z. с: с: ос: 5. х (л 1)ул, х± -л 5/гл ^л, п. ftez. 6. x Ykn, х-^лл, k, n 176 » ( 6x 1хл/х, ± 1, а) x;>0, /гл l, x0 и xl, xjl /m, x б) x . х, х. 5. х1, х0,. 7. х0, х±. 8. х±-. 9. х, х х1, х. 11. х, х х, х7. 1. х 0. х1. Решение. arcx a, a arccosi/j * Р, cosp Vlx. Так как 0 0, a потому p V1-(V^-^fV1 *V*. x^so, х х, Xi0, xl. а р, ct р. 1. х х0, 1. Р е ш е н и е. (arc 6x) (arccos8x), 6хл/1 6x (1). 6х 177 _L аг, x x, 1-tgatgp X8 г-^-йх ^ -Зх / 1 -х a p xx-^,(_л*! ) 0 a) x,0. 6) -x-69xi0. ^±^Ii тогда _Х_6 9ЛГ 0, 8x, x данному уравнению. Найденные корни удовлетворяют. хд/е1.. *-^(5-л/).. xtgan, пфк,пе.ы. ftez. Решение. narctgjcfethez, feez. arctgxл, x tgл, но пфк. 5. xj-. Решение. arcxa, ox, arcxppx, тогда о Р-Н-л, acospcosop^^, xcosp 176 r 178 x, x 1, X j-xcosa л/ y- (1). Так как а cosa>0, потому cos p -\J Уравнение (1) примет вид: x-\j I 1 -jl^arcjc 0 и и cosa-у 1. x \j\ x ^. Из этого уравнения следует, что 0 0, а потому x-l. б) xa, jc±»\/. 8 V 7 но x>0, а потому x \l. Но найденное х не удовлетворяет уравнению, что подтверждает проверка. 6. х0. 7. х0. Решение. Рассмотрим очевидные не- равенства: Os^arc х 179 -\-kn. ху±-1л А:л; О x±^kn^.. *(. x±±kn 1)пЛпл, у1.л(1)» о «5 * «л, ут*_/гя* ftez- Решение О 1 О 1Z. 5-(x#)cos(jcу)(\ -\-cos(х у)), 5- cos(jcy)l-l. 6 cos(xу), cos(xу)jlcos(xy)-f-l 0, cos(xy) 5cos(xy) 0. a) cos(xy)> 1, x0, y0. 6) cos(jcy), xy-± Получим: nez. xy± JL-f-/гл;. x± *, f/±-l* _L, /iez. Решение. cosnx 6 6 ^t лх±^ Ы xt-l /s, j/±^.*-i-. 5. х±»/гл5я>ут «_b5,aez x±, «± Решение. *tf * v 8 8 ^±itcosi±it> iiit/cosiiit^^wo. V a) ^-0, х#ля. / Эта система имеет решение только при k0, тогда xykn, \x\ \y\fxy0. \х\ \у\±. Ух, дс Т i i л 1*1 тб) COS *У f-^0. cos^cos-±pl0, cos(f /in. /упя. при nez. )cos(- J.)0, 178 l*l l«/l-j- У-о- ля. Эта система не имеет решения ± Т ппхт пл- 180 kn, kn, kn, [* 0 т lf-1w-f- Эта система не имеет смысла. 7. x± kn, y^ kez. 8. x kn. j/y/гя, kez. 9. xf(-ir,^-nf, i,(_i)ri. i. nez. 10. jt-f у/гя, «/- -уая, *ez. П. х- Ля, у * Ля, х у *я, yy-ftn, *ez. 1. *±-f /гя -. у±- *я-, *ez. 1. x » _ _/гя, y^- f kzi, y±-kn, x fcez. 1. jcn6/гп, 1/- я*я, x я6/гя, ez. 15. x f/з»я/гя, (-1Гуагс51П^п — -ф^, f/(-l)»i-arc^ nf nez>,6- -5-Ф-И- Фагс^Т- И-Tf «* feez. 18. x -j kn, y-j»9. x-^, У Т- y-jc/h—l, (1) /eez. Решение, tgnytg (jядс). дгуг у. () Из уравнения (1) выразим у х через и, подставив в уравнение (), получим: х-\- (xk -j> -» л х х(а ) (ft i-) Н)-о, (, )-з(л )1-(Л ). з**, (* —<-)* (fc 181 -. " kn, вой части уравнения 1 получим: f/a T-g- tg-j 0. Корень х. Из уравнения (J 0. *-А, у 1 * 1. ж «/ 1 1 ж0, «/. х т. у0. Ь. 1- * Ля, /- -ял, feez. Решение. cos(xy) cos(дс^». cos(xу)cos- y, cos(x y)l. *УТ> xykn; jc-g- fen, У1Г kjl-. x( ir\arcs\n-^-n±f, y(-ir arc^i ni», nez.. x-l fen, yji кл; хал /гл, у. X -j- fen, feez. 5. х — — л /гя, у- /гл; » » jc -^/гл, y T fen, feez. 6. x-jr±-s-arccos-«ijr—/»i, УТ»^Т> 11. х -д-я пл, у улл; 1. jrjnf. y— «f, ^. 1. *— *л. *—** х улл, у ^-л пл, «ez -^- fen; xy- fen, feez. 1. ху пл, упл, хпл, у у лл. 15. х ±у (я arccos (у c sl )) «*. «/ ± у(яarccos (j Xcos^^пл, nez. 16. х-^- лл. f/t «f nez,7 *^ 180 jkn, y -kn, feez. 18. х-^«л. y 182 ftn,. l.x.!/7-.«sz. Решение. **» *Vy, x-\/ (у*), x-\/cosx, cosjc^o, tgxv, JCT -f-rtjt, /^ — л л л «Л. #^г- ПЛ.. л:-^- лл, У-т» пл» nez.. х- — -лл, У лл, n^z.. x- —J-/m, улл^-л, a Z. 5. jc-«—f-mt, Ут»Пл; х -j—\-kn, у-^пkn, я, ftez. 6. X пл У 1Г ПЛ nez. 7. л:у- -лл, у л -пл, nez. 8. jc^— -пл, у -g- nn, nez. 9. ху — -лл, iynn nez. 10. х -^-пл, У-т-лл, n^z. 1. *-?- -т- О j- nez. 1. пл, у л:у пл,у -рлл, #-j-n лл, nez. 11. х kn; к^—\-кл, У-т*л, ftez.. 1. ^±yarccos(v-l)(-l)n l у arc^-(nft)!-, 1 /51 1 n, fc Z. ь *0. l/0- /o» 1 /q 1 6) (xy) 5, x-\-y( iyl arc Мл. Решим второе уравнение относительно cos (xу): cos(xу) 1±л/- а) cos(jc-y)-(l V) 183 18fe Сложим эти уравнения, а затем вычтем из первого уравнения вто рое получим: xdzyarccos(v-i)(-i)» y(-iy i-arc^-tyarccos 1Yarc^^-(/i ft) -. (VS-l)(«-A) -.. x(-iyjl («ft)jl, 1 8 /(1Г# f («-*)f. л, ke.z. Решение *!/ xу- -Ил; (-!)» «*. *(-!)» — (» *)—.. *- -** У (Зя-7*)-.; * -** j,(n-*)jl; *— (я-*)я. у 7n (7ft_5n) я. r(ft_nl)» у (10п- 9)Л. Решение, а) ху(лгу)лп. xftn, х — *л (1). б). дгуагу(а 1)л, 5xy(k\)n () в) 8ху (л:у)лл, 7* у лл (). г) 8ху *улл, 9* 6у ил (.). 1) Решим систему уравнений (I) и (): x kn, 7х-\-у пя; о 7- йл улл, улл 7 тт — *л, у (л 7fcW. Xkn, j,( -7*)Ji. ) Решим систему уравнений (1) и (): x kn, 9дг6у лл; лг_ &л. y(n-ft)^. ) Решим систему уравнений () и (): x-jl(n-k)n, j, -J.ji (7*-5n)JL. 18 5л:у(Л1)л, 7jc-j-y nn; 184 л(л *)JL. ) Решим систему уравнений () и (): 5jty(*l)n, 9х-\-6упп; х_ (*-П)., у- Зя(5п-9Л)». О. х± JLл(л Л), y±jl(n x±±(kn)n. ydt-?.(k 6. Jc(n 1)JL, у х 1 х cos* 1 COSJt О y., j_ c jccosa: cosy; cosx x cosx x COS О У. «/; *)п, л, ftez. n)n, n. kez. л, kez. Решение. cos x ( Jt ycosjccosy), l Jt x y. cos jc cos y. cos(jcy), (Л1)л, yx(ft-f-i)n. Подставим найденное значение у во второе уравнение системы: cosjc!_ cos(jcя(л- -1)), cos* COSJt *(*l) cos(fai- -njc), cos*?fco, cosx L Cos(nx), cosjc L COsx:.cosx:l, 1cosx l,cosje 0, x(* 1)Д cosx» j/(nl)»-(л1)я. у—1л( _*) я. ч cosx jcy 7. jt -(*-f-mk y-^(*-m)n; *-^(ft m)n, y JL (ft m)n, m, tez (л 8. лг±л±±. arccos^(* n)n, yf — L±I-arccos^ )я, л, AeZ. Решение. Запишем второе уравнение в виде: _smxy _J_ од первого и второго уравнений системы имеем: cosx cos у! \/ cosx cos i/ Sin X Sin у -j», Vcosxcosy, cosjccosy. -^/ 1 cosjtcos y. Сложим эти уравнения и вычтем из второго первое, получим: cos(jcу)-^, cos(xy)-^; x-y±± kn, х -f- у ± arccos *- _ _ п л; 18 185 (). х ± ± ± ± arccos Щ (ft п)п, l л/ У F -j ± у arccos-i- (л 9. ft)n. xjl±jl(un)%, y±^^ -\-nn J — ctg(-j w)(f(ml)n-«). tg^ctg-j ( тя\, y,. Проверим, будут ли решения () удовлетворять первому уравнению данной системы: tg(nm-л)ctg (л[л^-nj (^- \ з к[птп) tg-rnctg ii(&[nл), 1 1 (ft[ l)n, -0 ложное равенство. Следовательно, решения () не удовлетворяют данной системе уравнений. 16. х-^— -тл, y arctg- -mi, m, n^z. Решение. cos(^-jc)>0, cos(jc—j)>0. -улл 187 arctgjt-arccosyftn, ycos-jr«,. COS. a) у n, kez. 17. х ^тп, yarctg Jbt, m, k(z. 18. x -kn, arctgnn, ft, «ez. 19. х±у/гя, yarctg fen, 0. л: -пя, y(-lfl- mn; х- л лл, y ( 1Гу «»». m,n&z. P e ш е н и е. x^0, y ^^ (1). Запишем второе уравнение системы в виде: 1 ycosjt(l х1 y)jc (). Из () и (1) имеем: 1 X., COS X.. COS X., — x, 1 _;_:. x «* x -гпя, Jc cos-g-, у 0 -g-nnn. a) у ЛГ ^»n* xх, jcl, jt-^ sm x t п \ cos mn. (-g-nn T *i-g-mt, i/.(-ir,f»m. 1 y [ 6) y- -T yy- # X -c-n-\-nn, (-1Гт отя- Л, ff! Z. 1. лг-^-лл, y у Ля; х- -ялл, yymn,. jc-jnn, у(-1)т,у/пя; *у ял, у (l)m»5″^»m,l, m» ne^. x^-\-nn, ултл; jtл — -пл, утл, л, m^z.. *tg(f-cos(f (IV7))), ycos(-j(lv7)). Peш е н и е. Запишем первое уравнение системы в виде: (arctg х -J-arccosy) (1). Из второго уравнения системы и уравнения (1) имеем: arctg лг-arccos улп, arctg jf-arccos У тk arctg x-\- arccos уу, arctg X arccos у —/ arctg*, 188 1 д/8л 1, » 1 lfl ^^.(l Veft1), 0 189 . — 8 \,x0. л/, -\/ cosx- -l cosy y 190 arccos)#лл, cos 5 5cos 8^7_108 пусо5у ^-(lycosy)-5(l — -ycosy)0,(l- -ycosy)(-^i 5) 0. 1) y 1. yl -f kn. Подставим значение yt в первое уравнение системы: smxs\nxcos(kn x(x±^) ^-)cos(fere у), jt±^uinjt0, 0. a) jc0, лг лл. б) x ydt-znnn. 1) у Подставим значение у во второе уравнение: f—n пя\ cos (у ил) cosx (xз»лпл\ уя /т. 189 191 1/» 1, Зя у я j cos y cos nn -y пл cosx 5cos(nn Ynr *) -g-n- Jcosycosnn — -cosjf5cos ГулД 1 -v -g-n-yc sjf 5cos-g-ncosx5-g-n x, — -cosjcycosjc- V5 x, -\^Jcos jt5cosjc5-\jss\t\x, 5-\/xcosjcV0. 5x-\/cosjc I, -\/8(x 5^ jccos jc -у/, 5xycosx 1, -y/8(x(jp) дг( 5. x л/7 arc^-f-mn arc^ ftn—j, л, ftez.. x Tftin, y f л,л, г /П л; ху*я, уял, z^—\-mn; дг*л, у — -ял, -гутл, ft/, rti, misz, ii. Решение. Умножим первое уравнение системы на и к первым двум слагаемым применим формулу понижения степени: I -f-cosx I -r-cosycos, cosxcosycos0, cos (xy)cos (xy) cos 0, cos (xy)cos (xy)cos z 0 (1). Из третьего уравнения системы следует: х- -уя. 190 cosz. Уравнение (1) примет вид: coszcos(xy) cosz0, cosz(coszcos(xy)0, cosz***/* :. «(zjc)у s0, cosz-. Sln _ 5 0. Но из третьего уравнения системы гхпу, yznx, тогда cos z Xjp^-0, cosz- (y #) (x )0. cosxcos^x Xcosz0 (). Из второго и третьего уравнений системы и уравнения () получим следующие системы: » g y X а) cosx0, cos у0, COS Z 1, xyzn; # Zi x,y тя. kn, у ил, б) cos x0, COSI/l, COS 0, * /пл, у *Л, в) COSJtl, cosi/0, cosz0, x-t-y-t-z n; гг хлл, Уз z у тя у лл. y тл.. x-g-, у -g-; л:-б-. У0; *-g-, y -jr-\-nil. хy x-fr nn, у— -пп. Эти значения у удовлетворяют условиям только при л0 и п\. Имеем: 00, у п. 5. *- -, Уу». *Т«у0; *Т Ул- 6 ХТ* л 5 л «_ л *-» л 7 J/-g-; *f». y»6″- XT ys0; XT y 193 д/)0. *)tg5y( 59. V)(tg5y a) * tg by. Подставим значение x во уравнение, получим: tg5t/ (д/) tg 5t/ -^)tg5y-(^-i)0, ^ f и tg5y x ^—. -^f>l, tg5y f, о л/ sm x -y; by arctg ь ^j- ftn, х(-1г (-Л/)(Л/-1)9, второе ^ 0, tg5y-f-( tg5y jc0. *-^. / \п л. ii 8 \ arctg ^ ft -J. 6) xtg5y ( 8. *(_ir -JL — L, y _Larctg^f*^, ft, лег Решение. Вычтем из первого уравнения второе, получим- ( (-^))0. siпx-tg5i/-f ^-( V) (tg 5y x)0, ( *tg by) (( xtg 5x) -,тпя- л/). xtg5y- (л/)- Подставим значение * во второе уравнение, получим: tg5y-(-v)(tg5f/-(-y))-e^-, tg5y- -(-V)tg5f/(-A^)-V l0, ^(-л/)-(- л/) 6л/ 5 л/ «iez. 60. x±-j-(n 19 ftez. -arccos-^-j-fnn, -, ni, nez. -^пл. 61. x Jttio. y± :±у (л у arccos У ^- -x:±yarccos-^-nin, y-^n n- yarccos -g пл; *,5, y у )-f-тл, n, m^z. 6. x, ЗлI * ± 1 л 5 у arccosg Гл а в a III ±у(л arccos-g-j _ fnn, y l&ri yj, nez. 1. [-у *л; у*л], fcez.. (-^ *л; — л *л), tez.. (_ — Ы *л), fcez. у А:л), fc«z.. 5. ^y-j-ftin; -g-n *inju (ул П л; -у ( arctg-ffen; -J л щл) J ( -g- &л; й>л) U («гл; » пл), ft/, n,ez, il,. Решение. cosa:x Xcos л:> cos л:, cos л:cos л: cos л: 1x V -)- л), ^кл; клj (J Гпл; y nnj. Решение *y, у*у_1>0, ^_,_^y_^>0i ^ х 1 >0, * (arc^-^1 \-кл\ Рис Рис. 19 195 Рис.1 ljni ft (»±)>-» >f.)»i>f»>^. arcsirw5 &л I, jc0. » (*тмт*т)- -\/ 9. (-^- kn; уль), ftez. Решение. x-fees* (x-\-^ J^ ^; следовательно, данное неравенство равносильно следующему: x 1 >0, (1 cos л:) 1 >0, cos х 196 Рис. 6 Рис. 7 Рис ( у л; ^kn\ ksz. Указание. x^0, lcosx:>0, cos *^у (рис. 9). 0. ( г-\-пп; -^л пл), nez. Указание, cos *c6″s.x:x Xcos*->- * *x- 197 . Г- ллл; — л лл], neiz. Решение. cosjc 5cos* ^0, cos*y, у 5у ^0, у, -, у-у (у )(у у)>0 (рис. ). у g-, I 1 cosjc> у, дл пл^л:^-д- л-)-пл.. ( arctg-)-6n; у 6л\ iez. Указание. tgxi/, ^ (-V)y-V 0, *(.x:1)>0, smxy, y(y1)>0- y(y^)(y-i-)>0 (рис- >- -f f- /о a) ^- y-, у шг 0,ctg*y, //(у1)>0 (рис. 6). a) ctgx>0, kn^ 198 — 8. (— лл; -fmt) U (j kn; тл; ^ль)и(->л — -тл), t k, m^z. Решение, cos x y, log^i/ ->f/) . л/ I л/ 1 n, » 199 любое V arc V Рис jx *J ^ jt ***^ Рис. 5 Рис (kn: yfoi)u (у*л; л *л), *ez. 7. х действительное число, кроме х -г л-f-y &л, ftez. 8. (-(n-l); (п 1)), nez. 9. fyarccos-jr ftn; 0. (-^ fen, -j- у arccos-^- (fe 1)л), ftez. *n), iez. Указание. Преобразовав неравенство, получим: (рис. 51) (k, о Я ГГЧIП 1 1- Jn -IT 1. f arc^nn»; I)y), «. fcez. Решение. siruc- -cos;t cos x Злг cos x cos x (cos x I) (cos x x y, y-y->0, (y 1) (y- )>0. ИЛИ -g-, -y^ (* -^)>»з»- V л/ (*x), о ^ i л ^ arc — \-nn 200 б) — Рис 5 Рис 55. I arc-g- Ал; -^-А;л Ш [у яп л; arcy -\-(п-\-l)n, k, nez. Указание, а) Если x^y, -x>6;x1xl, 18 А/ у) (уу Wo (рис.5). Имеем: y^txsgly (рис. 5). то 5. (j-kn; у*л), AeZ. Решение. 1 cosx 0; 1 cosx 0, I tgx 1, tgx l; -5.*л 0, д/-уа:л 201 (kcn0). Рис 56 Рис. 57 >I65x, x(xl) 0 (рис. 57). a) cos6x> 1, x0. 6) cos6x>0, 202 » — Рис (JАл; ^-Ал)и ( ««; jrял), Л, «ez. р е ш е н и е. cos хcos х> 1, cos x> 1 -f-cos Ax, cos x> cosx, cosxcosx 0. a) xcosx>0, x -cosx 0, >0, tg xtgxi tgjf/, /t_f_t t [ >0 (рис. 6). 69. ( arccos(v1) пл; arccos(v l) mt), wez. улл, Решение. 70. (^-i-fcn^n fcn), fcez. 71. (-упл; arctgy-f-zm) 1Д л. arctg-ffcn), n, feez. дх-^ yctgx, ctgx 204 _ 8 Рис. 6 Рис (1*я; _^fejlju (_arctg^ n, — пя)и у (тл; — тл)и (arctg^zn; ^- /л) U (fрл. fрл). ft, n, m, I, p^z. 7. [.л ял; —^ лл]и (-J *л), n, fcez. 75. (у*; у*)и( у»; «)- k , * —. -i>. ^^0, (у-)(у1)>0 (рис. 6). 1) -1 , lg»>, tgjtf>l, -^ А:л f-> 205 Рис. 67 Рис (у *л; i *n)u(ynn; -улл), k, nez. Указание. 1 ctg- ->-V (рис. 69, б). 80. (-j-1-лл; -т-n nnj, n^z. Указание. cos8 х6. cos* l 1 cos х cos* Преобразовав неравенство, получим: (cosx)x ось котангенсов 1 Рис. 70 *? шш Ш 7Г Рис 71 0 206 l 1)cosx :— ) Юх, cos 5x(5xl) -g- (рис. 7). 6) cos5x -s- (рис. 7). 8. (у /гл; i-л ^л) U (— nnn; _Jlnn), k, ne.z. Указание. cosx-f-(v (у-т)(у^-) Рис. 7 Рис. 7 — *? f Рис. 75 -ф ЪХШХ 0 ША Г J _ _ рис. 7 05 207 у ^Xf ось котангенсов 0 $s «^ ч Рис 77 Рис 78 >0 (рис. 76). a) -^ ^ и т. д. 85. (fe-5-; ^ (6/г 1)). Указание. Преобразовав неравенство, получим: ctg8x>yj (рис. 78). 86. (/гл; /гл) U л tez. (- -/гл- /гл), 87. ( fcn: -^/гл)и(улд, л пл) U ( — л /гл; у /гл), /г, nez. Указание. Преобразовав нера- веиство, получим: COSX г ^^r- a) -jt Т cos* 208 !. Рис. 80 Рис. 81 0 0 9. (arc -n (8ft-l)y; -arc-f—(8* )-J-), tez. Указание. Упростим правую часть неравенства, данное г неравенство примет вид: (^»xcosx> v >\; заменим последнее рав- у ( х cos х) носильным неравенством ( x-j-cos х)>зу, откуда (* -j-) > >-J- (рис. 8). 95.(arc^ (8fe-l)f; -arc^(8fe)-f) U (ft- 1)л; (k-\) y ftez. Решение. -j tg 0 tg 0 tg 80 1 tg* >(n x)-f-cos x-f 1. ;>x cosxl, x> ltgгх > vcosx-f-1, x-f-cos x i/, 1 x «/, xy Неравенство примет вид: (y )>f/-f 1; («/ 1)(«/1)(«/1)>0, (У1)(Зу)>0 (рис. 8). t/> или «/ -g-. itg* 6tg* > 1. Рис 8 Рис 8 Рис 8 07 (x-j)>-i, sm(x±)>-f. arc ^fen f 7. tg-5-^у. trf-tgf-i —1 >0 при #ej?, то имеем: >0 (рис. 85). Решение. -f- -j- -*- ^ fen, arc ^ (8fe l)-J y 5Jt;>0; /_ _, > — Так KaK f/f/ у-1 >0, J/-1 V5l> v J /v ^ уип x*- а имеет потому решений. 5 210 У Указание. y -/Г-у* Решение, cos x ху, ls\nxy, 1 0; «/>l. f у: -КУ 0; /гл о, cos x 0, У-1>0. (jf-l) 0, ч ч cos x^0, UL б J cos* 211 Указание., iy /f* 0 я ->^ я f\ Рис 89 Рис. 90 Рис. 91 212 -0-cos Глава IV лarc-j-j-, n arccos. 1. arccos. 5 _9_ 0 я arccos- я- — arccos arcyy. cc^arctg-g-, p arctgt. arccos у. arcjr-,, arccos 7x 0 0 трисе внутреннего угла треугольника получим: (рис. 9), ACx, CB x, tg 213 7 9 ; » 9. arctgm arctg^l : /L Рис. 97 arccos^ (треугольник остроугольный). Дальше можно было бы найти * и по теореме синусов найти остальные углы. Но мы найдем угол по теореме косинусов: 7-f cos у, 7-0 cos у0(5 10), 7cosy15, cosy, 5 5 y arccos-h-. z л (arccos^arccos-q- J. Можно было и z найти по теореме косинусов: -7- cos z 7-0, 0, -7-cos z 858, 7 cos z 9, cosz , Указание. По теореме о сумме квадратов диагоналей найдем сторону параллелограмма BCAD-y[65 У (рис. 97). По теореме косинусов найдите углы параллелограмма. z> tgy«r. FE AE-AF BF BF BF Решение х Z. FBE AC AF FBD (рис. 98). По условию АС 18, ЛВ1AJ А* ип ДС15. По формуле Герона найдем площадь ААВС: 15 я.. 5, 1 /7, hb АС 5 _9_ ]_ ь ^-iv-15-9-^7 ^—15-Зл/7 ^/7i BF1->^J7. AF AB*-BF- (16 5-7)1-81, AF д/7 Зд/7. 7 -^7 о биссектрисе внутреннего угла треугольника имеем: J8^l _18-«18 9 к 15 к 5 к 5 id-^8г FE AE-AF- По /ID Кг1вс теореме ыш ^ , F^ лплго7 5. FD Ь 15 / 1 V7 arctg^j-, x.^ т. tgzi? arctg^—arctg-1. \/7 T:TV7 -^ r, z , 16 5, 51 19, 18 Г. У каз а н ие. СЕ\\АВ (рис.99) Из д ECD по теореме косинусов найдите cosjc и cosy. 1 Ли 214 arccosm ЛВ-ВС arc(v cosx1-0cosx , 1, V889, Указание. По теореме косинусов из д ВЕР найдите BF (рис. 100). Аналогично найдите стороны BE и EF. Зная все стороны д BEF по теореме косинусов найдите угол BEF. 1. л arccosgjr, лarccosjjg, 19 1 arccos^r. arccos^g. P е ш е н и е. Так как четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180. Пусть ^ Вх, тогда Dl80 x (рис. 101). A ABC. ACAB ВС cos х 165 (I). Д ADC. ACAD CD-AD-CD-cos( x) (cos 0cos л: (). 1 at)89 Из (1) и () имеем: 0 cos x89 0 cos x, 1 cos x, cos x хл тогда Z. Dnjf arccos^i. Аналогично на- 5 оо ходятся Z. С и Z. Л из треугольников BCD и ВЛ/Х 1. y,arc(v cos* (рис. 10). Д АСВ. IXу 1). Указание, д BCD. tgjc. По условию cosxtgjt ЗГ, 75 ЗГ, Указание. hahchb, jfe ^ g ^. -А, Z. ЕАСх (рис. 10). xx ^j^-, x y tgx. arcsm-*-y, «_ т/5 1 я л/ у л arc-^, у. 16. arctg^y^, y-arctg^y^, у. Указание. Из метри- ческих соотношений в прямоугольном треугольнике а, Ь Ь1, hc f (рис. 10), тогда f X B Л В и т. д..± (ту» (т)- sirmx Рис. 101 215 di — x Рис. 10 A D С А Рис 106 D Рис , 6, г, -g-n, -у, -g-л. Указание. a ^jao-0d (рис. 105), aao-od, 1, 1 cosx * и т. д. ЕС , 70, Указание. cosc ^ (рис. 106). /1С»?. Пусть ЕСу, АСх, Из подобия д АЕС и д BDC: т тогда у ху -, 6у7ху-х0, угх, cosc-i-. 0. arc- -, лarc. Решение. Пусть Z. BADx, тогда Z. ЛВСлх. Обозначим BDd\, ACd, AB ^- (рис. 107), тогда по условию: d\. d, тm x di т, хx m :Y^Y Y TsmT Y., m m x m x — т — -. m(d,d), TcosY где ^сторона ромба., x. T—Tcos-g-, smycostt sirrtcosy 9 x, *1 x-^, *- -, xarc- -. Z. BADZ. BCD arc- -, Z. ABC Z. ADCnarc — 1 Рис. 108 r л 1. arccos-r, arc-jr-, у или arccos-g-, arc-g-, y Решение. Так как треугольник прямоугольный, то # — -. г — аь- (рис. 108). Тогда Л ±:^± — а Ьс аьс с 5 -.L. I. с » » с acosa-g-. Так как Z. a острый, то сс>0и cosa>0h a У1cosa, cos a -r. aarccos ^^cos cosa g 5 У1cos a a cos a, cos aг cos a 0, Л 5 5*5. -. 5.a) cos cc —,aiarccos—, a—. 0) cos a a. i- arc ( tg Ф),. —. о arc (i- tg (г-г &\b acosaj \a b cos a/ ) v Указание. n Продол- \ жим стороны ЛО и АВ и из С на продолжение сторон проведем СС±АС и CCJ-ЛС, (рис. 111). AACCtgx-. ее, ССг cos a, 1 cos a — — 0, cosa- Указа- д ACQ. Рис ПО Рис 217 , — /(1-*) l Рис 11 Рис 11 Рис arctg (**[tl). Решение. Пусть ZВАЕа, a Z FAD Р (рис. 11), Z. EAF(p, тогда ф у (а р), откуда tg BC-AD. k и т. 1 д л — CD- х 8. arctg («0 а ) Решение. Пусть ВСа, тогда ИВо. Z. АВСп а (рис. 115). По теореме косинусов получим: АС АВ ВСАВ-ВС cos 218 W7 mnxcostp cos AB-ADcos * — Рис. 115 Рис 116 5аа cos а, ВС* — АС АВА С А В cos х. а5а а cos а а а-д/5 cos а -а cos х, \/5 cos а cos x i . п. cosa 8 cos а, y5 cos а cos jt cos а, cosx -\/5 cos a cos n cos a 1 a si» x 1 cos x 1 o , a потому x-r V5 cos a a. / a \ ^*-!о7т *arctg (cosa J 9. arccos (тг«г)(^-р) тп(р 9), лarccos (тгпг)(9г-рг), тогда tg x тп(рг 9) Указание. ЛВ т*. AD nx; Jg -J-, j y. (рис. 116). По свойству суммы квадратов диагоналей параллелограмма: (AB*AD) BD AC, 219 «» линейный 1cosx CD 5. arccos л arccos l±-\/l 1±VI m m 0 0, О /w*x m cos x 1 :m V. 6. arctg ah 7.arcsi (iv^i±«i). лarc (IV 8. arc Vein (a -f- p) (a прямоугольный, Z ACB lvfe p). Решение, д АСВ y (рис. 119). Проведем СО±у и CD±AB, тогда ODJ-AB (теорема о трех перпендикулярах). Следовательно, Z. CDOa угол двугранного угла (АВ). Z. САО и Z. СВО образованы наклонными с их соответствующими проекциями на плоскость у. Допустим, что Z. СЛОр. Найдем Z. СВОх. Пусть COh, тогда из прямоугольных треугольников COD и СОА найдем: CD найдем D: /1D/1C -p) X cos p cos a ^v\ АС-^-г. Из д CAD, в котором Z CDA^, a a p — 1 cos a 1 cos 0 51П a p / a. P (a p) (a A P), AD X ( a p XV(«P)(a P)- Заметим, что 0 0; кроме того, OD р, а потому (о Р)>0. Из метрических соотношений 18 a ) X 220 искомый линейный h^ в прямоугольном треугольнике получим: ACADAB,. ^. _ \ -r-jl-r.^(a a p v v r/ p)sm(a-p)ab,ab r> pv(op)(op) По теореме Пифагора найдем ВС из прямоугольного Д ABC: ВСАВ-АС X X ft a р (ар) (ар) siir* p sur p а (а Р) (а Р) а (ар) (а р) (а Р) (а р) (а р) (ар) ft 1 cos аcos p cos а Л 1 cos р 77П-ГХ p (a p)(a P) Р (ар) (а р) p p (а Р) (ар) (а Р) (а Р) ВС V(a P)(a P) Из прямоугольного А ВОС найдем: x-^h вс «»V(a p»)stn(a^p) -y/ (a p) (a p). 9. arc ( a p), arc (cos a p). Указание. См. рис. 10. CD наименьшая медиана прямоугольного треугольника ABC, SA±ABC и AE±CD по построению. SE±CD по теореме о трех перпендикулярах, поэтому Z. SEA линейный / угол двугранного угла с ребром CD. 0. arccos^. Решение. АС и ВС\ скрещивающиеся прямые (рис. 11). Требуется наитие (AC, Bd)x. AidWAC, а потому Z. (/1C,BC,)Z ВС,Л, а\ д Л ВС равнобедренный, BE-LAtCi, ECl EAi -^. Д ВС\С. ВСх аф. A EBCt. cosx ^- ЕС, ЯС, СО.л/ ov^ Aarccos-V. 1. arcctg -\:tg t-r-cfg /. Указание. См. рис. 1.. arctg (cos а). Решение. д A\DC\ равнобедренный (рис. 1), AiO OC\, а потому DOJ_i,Ci, кроме того, DtO± _L/ C (диагонали квадрата). Z. DODt a угол двугранного угла (А,С,). Z. iidcix. Пусть CD a, тогда ODt h X Рис. 119 221 — V, -а искомый f _ Рис. 1 Рис. 15 v cos a cos а » & OD cos a, x arctg (cos a).. arc ( a p). Указание. См. рис. 1. а-\/.. arctg Решение. Пусть длина ребра куба равна х, тогда DDxtg А, Pi Рис. 18 угла (АВ). 6. arcctg(cosa). Решение. Через AD проведена плоскость AB\C\D, которую обозначим буквой л, (рис. 17). Проведем ВВ\Л.п и CCi-Ln, тогда углы, образованные диагональю ромба с плоскостью л, будут: Z. САС\ а и Z. BDB\a. Из прямоугольных треугольников САС\ и BDB\ получим: АС a и BD т a, где CC BBim. Из прямоугольного треугольника ВОС (диагонали ромба взаимно перпендикулярны) имеем: ОС ЛЬa a cos a, Jcarcctg(cosa). 7. arccos P^-cos a J. Указание. См. рис дг ОС a a 8. arccos -. Решение. Так как наибольшая по -yj 8 a площади боковая грань квадрат, то сторона его равна* гипотенузе треугольника, лежащего в основании призмы. АВ с. 1 Рис 11 Рис. 1 Л АСВ. АС с cos а, ВС с&т а (рис. 19). Из прямоугольных треугольников А\АС и В [ВС найдем длины диагоналей: А\С /C/i?ccosa c >i 5k V _n 5^k -j^-, i/ /Ш 6 -y 5V* arccos-r*p cos 5. arctg^. 5. arccos^-. Указание. Проведем EF\\AC 5 (рис. 1). Z. SF искомый угол между SF и AC. 5. arc Решение. DEсредняя линия д SAC (рис. 1), а потому прямоугольные (докажите), а потому cosjc-t— ту- 224 6 — /т/ ru^c A?- DE-^AC^. Из условия следует, что BDBE. Проведем BF±DE, тогда Z. FBE Z. FBDx и A DBEx. Из прямоугольного треугольника FBf получим: BE медиана д SBC, в котором известны все стороны, а потому по формуле m6 i-v(ac)ь получим: ВЕу VsBBC, так как SCSB. В — -Л/9 7- -Л/1Г -^. 6 тттт> У л:arc-ту, о о -6 дг arc-ry. *я яр- Найдем BE. тогда лг 55. arc Решение. ^VcosaV -g- 225 58. arctg ( ctg а). У к а з а н и е. См. рис are -^ l_ Решение. Z. BDExискомый угол (рис. 19), где DE\\DiBi и DE±BBt, BEBBl-EBlb-a, BD±^fi. д BDE. x BE (Ь-а). on ;. x arc-. (6-a) 60. arc ( a 6). Указание. См. рис arctg (cos а). Решение. Пусть ВСа, тогда ВЕОЕ у (рис. 11). д SOE. SE— Т:сюа cos a -f cos a arctg (cos a), x arctg (cos a). A BSE. tg-j! 6. arccos (cos у V Указание. См. рис arccos. Рис. 16 Рис 17 Рис. 19 Рис 10 226 г Рис 11 Рис 1 Рис 1 Рис 1 Рис. 15 Рис arccos (cos а). Решение. Допустим, что Z. ASCx искомый, a Z. ASB ^ CSB a (рис. 1). Кроме того, BC±SB и BA±SB и Z. АВС90. Пусть SBa. Д ASB. ABSB tga atga. Д SBC. BCatga. SC-^. SA a -^-, ACAB-\- cos a cos а CB atga (1). AC AS SC-AS-SC cos x t cos a —^- cosx (). Из (1) и \ / \() / получим: j atga о -^ cos a Ц- X cos a c0g a COS X 1. COS X, Xcosx, tg- a 1 cosx, j ; tga, j 1, cos a cos a cos a cos a cos a cos * cos a, xarccos (cos a). 65. arccosэ/jl. Указание. См. рис arc^, 0 227 ti-г^^с %i— Рис. 19 228 l arc 6), 180 V—S0CH -SO -J- у с x cos Jf-ytgjf ^cx. x-^, jc -VVc. jfarc(-?—^vrcj. 0 l. Указание. См рис arc (д/з 1), у bfi 1). У каза ни е. См. рис arcctg (Ц. V(a 6)(a 8) V Решение. v x r/ v r/ \ a p / / Z. OBA a и Z. OCA 6, как углы между наклонными и соответствующими их проекциями (рис. 19). Пусть OAh, тогда ABhctga, /Cftctgp. Д/CD. ЛРЛС* CDh ctg B- -/ictgaa(ctg6-ctga). ctg* д/ctg B-ctg a. ctgx & / V (a P) (a 6) 1 r.—;.7 г,p, ; * a p a p -.!;-^in(a 6) a v v H/ v tv x arcctg f r-s- Vsi(a P)si»(o P) ) & \ cc 0 v v v r/ 71. arctg(vfc). У к а з а н и е. См. рис arctg (*^ ) Указание. См. рис arccos-^-p. *>. Решение. АВа а, ODA.AB, AD DB ± (рис. 15). Л OAD. OD/1D-ctg-^-Jctg-^. Пусть Z.ODSx, тогда SZ) -^- /. 180 COS X COS., S^ ««Х w Ctg 180 я но» ni 180 с _ а. w Xcosxctg, 5nn ScokSoch cosx ctghx Xc^Ocos^c.g^-*. i±^*._l-*_,, cosx-rp. *l>»l, *>, xarccos-rrft 1 ft I 7. arctg (У/ /cos-m, t>. 75. arctgy 229 —V А б) \ Рис. 157 V \J hctgy и OEh ctgx. 0C0E, поэтому UEhctgy или /ictgxftctgy, ctgxctg / или tgxtgf/, tgx tg(x-o). tg^^txg 230 1)V\ Указание. См. рис. 157 (а, б). 90. arcv- Указание. См. рис arccos, я arccos-^-. Указание. См. рис arc-. 9. Указание См. рис arccos-y(l ± -yj l ^[k), 0 . 95. arc(tga), 0л. 98. arcctg(fc *> 1- Указание. См. рис arctg- ( n/6)- Указание. См. рис 16. о 100. arctg arccos-г— Указание. См. рис. 16. I М, 0 N. В Рис 161 Рис 16 Рис 16 9 231 Рис 16 Рис 166 Рис 168 Рис 169 . Указание arc^. Указание. См. рис. 16. о 10. arccos. Указание. См. рис arc 5 V* Указание. См. рис arccos -.г-,, п Z&1 Шо. bu. п arcctg. Указание. См. рис arcs in . arc. о 109. arcctg. ПО. arccos ^17. arc (У 1). Указание. См. рис arc * См. рис arccos. * L -f-ft 0 233 Приложение Таблица I. СИНУСЫ. А 0″ , , , , , , , , , , , , , е А 1 Г КОСИНУСЫ. 234 Таблица I. СИНУСЫ. А е , , , , , , , , , , , , » Г * А V V г КОСИНУСЫ. 235 Таблица I. СИНУСЫ. А , , , , , , , ,9998 1, О А Г / / / / / / / / / / Г КОСИНУСЫ. 236 Таблица II. ТАНГЕНСЫ. А , , , , , , , , , , , , , , » г А Г Г Т и КОТАНГЕНСЫ. 5 237 Таблица II. ТАНГЕНСЫ. А , ,7 1, ,15,6,56, ,078,71.87, ,79 1,811 1,889 1,971,059,15,57,67,88.619,76,91,096,91,511, , ,897 1, ,16, ,6,778.97,115,1.5, ,75 1,87 1,905 Г.988,078,17,78,91,51,66,79,95,1.,558, ,760 1,8 1,91 1,997,087,18,89,0,56,660,808,971,15.5,58, , ,91,006,097.19,00,1,59,675,8.989,17,76.606, ,775 1,89 1,99,01,106,0.11, ,80,006,191,98 з;бзо ,78 1,857 1,97,0,116,15,.8.565,70,856.0,11.0, ,789 1, ,0,15,5,,50,578,718,87,0,0,,681, ,797 1, ,01,15,6,,6, ,51,65,706, , ,9657 1, , ,71 1,80 1,881 1,96,050,15,6,56,75,605,77,90,078.71,87,7, А Г Г КОТАНГЕНСЫ. 6 238 Таблица III. ТАНГЕНСЫ УГЛОВ, БЛИЗКИХ К 90. А ,011,061,11,165,19,75,1,90,9,511,57.68,705,77,8, ,066 5,15 5,6 5,09 5,96 5,85 5,576 5,671 5,769 5,871 5,976 6,08 6, ,5 6,561 6,691 6,87 6,968 7,115 7,69 7,9 7,569 7,770 7, , , ,5.80,7,96,55,517,580,65,711,780,850, ,07 5,15 5, 5, ,9 5,586 5,681 5,779 5,881 5, ,6 6,7 6, ,98 7,10 7,8 7,5 7,61 7,788 7, ,071,1,176,0,86,,0,6,5,586,651,718,787,857, , , 5,6 5,1 5,50 5,595 5,691 5, ,997 6, ,8 6,60 6, ,997 7,16 7,00 7,6 7,60 7,806 7, , ,9,9,07.68,59,59,658,75.79,86, , ,5 5, 5,51 5,605 5,700 5, ,008 6,118 6, 6,50 6,7 6,599 6,71 6,869 7,01 7,161 7,16 7, ,8 8,009 7,01,08.1,187,1,97.55,1,7,56,599,665,7,801,87,95 5,00 5,097,5,177 5, ,1 5,51 5,61 5,710 5,810 5,91 6, , 6,6 6,85 6,61 6,75 6,88 7,06 7,176 7, ,665 7, ,06,087,19,19,7,0,60.19,80,5,606,671, ,95 5,07 5,105 5,185 5,67 5,5 5,0 5, ,70 5,80 5,9 6, , ,65 6,758 6,897 7,01 7,191 7, ,68 7,861 8, , ,5,09,66,5,86,58,61,678,75.815,886,959 5,05 5,11 5,19 5,76 5,61 5,9 5,59 5,6 5,70 5,80 5,9 6, ,510 6, ,911 7,056 7, , , ,06,097,19,0,58,1,7.1,9, ,685,75,8, ,11 5,01 5, ,58 5,59 5,6 5,70 5,80 5,9 6,051 6, ,98 6, ,071 7, 7,80 7,55 7, ,086 8,051, ,6,0,78,7,98,561,65.691,759,89,901,97 5,050 5,19 5,09 5,9 5,78 5,66 5, ,79 5,850 5, ,17 6,90 6,10 6,55 6,665 6,799 6,90 7,085 7,8 7,96 7,56 7, ,056, ,1,69,6,8,,505, ,86,908,98 5,058 5,17 5,17 5,01 5,87 5,75 5, ,759 5,861 5,965 6,07 6,186 6,0 6, 6,58 6, ,95 7,100 7, , ,15 Г ,11.165,19,75,1,90,9,511,57,68.705,77,8,915,989 5,066 5,15 5,6 5,09 5,96 5,85 5,576 5, ,871 5, ,197 6,1 6, ,691 6, ,115 7,69 7,9 7, , А КОТАНГЕНСЫ МАЛЫХ УГЛОВ. 7 239 Таблица 111. ТАНГЕНСЫ УГЛОВ. БЛИЗКИХ К 90 А » О , ,556 8,777 9,010 9,55 9,51 9,788 10,08 10,9 10,71 11,06 11, 11,8 1,5 1,71 1, ,0 1,9 15,60 16,5 17, ,08 0,1 1,7,90,5 6, 8,6 1,,7 8,19,96 9, ,75 85, , , ,800 9,0 9,81 9,51 9,816 10,11 10, 10,75 11,10 11,7 11,87 1,9 1,75 1,5 1,78 1,6 1,99 15,68 16, 17,6 18,17 19,19 0, 1,61,06,7 6,6 8,88 1,5,7 8.6,51 9,8 58,6 70,15 88,1 118,5 180, , ,8 9,058 9, ,85 10,1 10,5 10, ,51 11,91 1, 1, , ,06 15,75 16,51 17, ,0 0,5 1,7,1,90 6,8 9,1 1,8 5, ,7 71, ,7 8 8,0 8, ,86 9,08 9, 9,595 9,87 10,17 10,8 10,81 11,17 11,55 11,95 1,8 1,85 1,5 1,89 1,8 15,1 15,8 16,59 17, 18,7 19,1 0,57 1,88,7 5,08 7,06 9,7,1 5, 9,51,6 51,0 60,1 7, , 0, 91,1 7 8, 8,8 8,6 8,869 9, ,0 10,51 10,85 11,0 11,59 11,99 1, 1,90 1,0 1,95 1,5 15,19 15,89 6,67 17,5 18,6 19,5 0,69,0,5 5,6 7,7 9,6, 5,80 9,97 5, 5,08 61,8 7, , 1,9 57, , 8,9 8,665 8,89 9,11 9,8 9,69 9,91 10, 10,55 10,88 11, 11, , ,6 1,01 1,61 15,6 15,97 16,75 17, ,6 0,8,16,69 5, ,88,7 6,18 0, 5, ,50 76,9 98, , 687, ,915 9,156 9,09 9, ,6 10,58 10,9 11,8 11,66 1,08 1,5 1, ,07 1,67 15, 16,0 16,8 17,70 18,67 19,7 0,95,1,86 5,6 7,71 0,1,05 6,56 0,9 6,5 5,71 6,66 78,1 101,1 1, 5,6 859, V 8, , ,70 9, ,61 10,95 11, 11,70 1,1 1,57 1,05 1,56 1,1 1,7 15,9 16,1 16,9 17,79 18,77 19,85 1,07,5,0 5, ,1,7 6,96 1,1 7,09 5,56 6,86 79, ,5 6, ,0 8,51 8,7 8,96 9,05 9,61 9,7 10, ,6 10,99 11,5 11,7 1, ,10 1,6 1, ,0 17,00 17,89 18,87 19,97 1,0,60,0 6,0 8,17 0,68,69 7,6 1,9 7,7 55, 66,11 81,85 107, , , 8.5 8, ,0 9,88 9,760 10,05 10,5 10,68 11,0 11, ,66 1,15 1,67 1, 1,86 15,5 16,7 17,08 17, ,09 1,,75,7 6, 8.0 0,96,0 7,77, 8,1 56,5 67,0 8, ,7 1,5 8 Г 10 8,5 8,556 8,777 9,010 9,55 9,51 9,788 10, ,06 11, ,5 1,71 1,0 1,7 1,0 1,9 15,60 16,5 17,17 18,07 19,08 0,1 1,7,90,5 6, 8,6 1.,7 8,19,96 9,10 57,9 68,75 85, А КОТАНГЕНСЫ МАЛЫХ УГЛОВ. 8 Алгебра в 10 классе имеет свои трудности, которые он должен преодолеть как можно скорее. Эти проблемы касаются не только правил, формул, но и умения мыслить и понимать задачи. А это умение, как известно, является одной из самых сложных способностей человека. Выполнение самостоятельной работы по алгебре ставит перед десятиклассником ряд личностно – значимых проблем, которые позволяют понять самому, как решать задачи. Это не просто подготовка к работе на уроке по шаблону, но и самостоятельное создание ситуации успеха, которая должна стать нормой для каждого ученика. Только в этом случае, любой десятиклассник сможет найти возможность проявить свои способности, почувствовать, что он чего – то может достичь самостоятельно. Проверить правильность выполненных решений можно с помощью ГДЗ по алгебре и начала математического анализа Александрова Л.А., которое полностью соответствует всем требованиям школьной программы основного среднего образования и федеральному государственному общеобразовательному стандарту. Сформировать умения применять свои знания на практике в различных ситуациях и разных предметных областях является одной из главных задач обучения. Освоение знаний – это только половина дела. Главное это иметь большое желание учиться, быть любознательным, а так же уметь добывать эти знания, пользоваться ими в определенной ситуации, такого требования общеобразовательного стандарта. Одной из основных причин неспособность школьника применять математические знания в практической работе является отсутствие или недостаток знаний об общих закономерностях, умение осуществлять выбор способа решения в конкретной ситуации, а так же и опыта применения математики для решения задач в смежных предметах. Овладеть школьником методов решения задач повышает его уровень математического развития. Математический язык относится к числу наиболее распространенных языков. Он широко используется в литературе, в печати, в научно – технических и практических публикациях. Благодаря этому и язык математики получил широкое применение в других научных дисциплинах. Язык математики имеет свои законы развития, что объясняется её природой. В языке математики можно выделить две основные составляющие: – это естественный язык (его ещё называют языком логики), на котором принято выражать мысли, и символы, которыми изображаются эти мысли. Именно при обучении алгебры в школе ставится задача овладеть символьным языком алгебры, это и позволит ученику глубже разобраться в математических моделях, что в свою очередь позволит в дальнейшем более полно использовать математический аппарат в экономических расчетах. Для этого в качестве объектов исследования были выбраны некоторые элементы математического аппарата алгебры, такие как определители, матрица, вектор, операции, сложение и так далее. Необходимость изучения комплекс чисел в курсе алгебры и начала математического анализа обуславливается потребностью в математических моделях многих физических явлений. В настоящее время одним из основных направлений развития теории дифференциальных уравнений является её приложение к задачам механики сплошных сред. Это направление связано с созданием теории одномерных и двумерных уравнений математической физики, где на первый план выходят задачи о фазовых переходах. Для решения таких задач необходимо знание свойств интегральных представлений функции, имеющие множество точек разрыва. Курс алгебры и начала математического анализа является основой для получения фундаментальных знаний в областях, непосредственно примыкающих к школьной программе и для продолжения образования в технических, экономических и гуманитарных в высших учебных заведениях. К тому же курс алгебры и начала математического анализа является завершающим этапом в школьном обучении математики. Этот курс имеет большую практическую значимость, что связано с формированием и развитием ряда умений и навыков. При изучении этой дисциплины у десятиклассника вырабатываются навыки работы с тестовыми заданиями. Ученик учится самостоятельно работать, наблюдать, обобщать, делать выводы, применять теоретические знания на практике. Умения и навыки формируются в процессе решения примеров и задач. Для этого отлично подойдет использование ГДЗ по алгебре и начала математического анализа 10 класс Александрова Л.А., который поможет глубже вникнуть в систему понятий, необходимых для решения задач, входящих в школьный курс элементарной математики. В нем отражены все темы учебника такие как: Решебник является можно сказать, что по сути своей он выполняет функции репетитора по алгебре. Он содержит в себе не только решения простых примеров и задач, но и более сложных. Пользоваться онлайн – решебником можно в любое, удобное для школьника, время и в любом месте, где имеется выход в Интернет, хоть с компьютера, хоть с любого электронного устройства. С его помощью каждый ученик сможет: Решебник поможет и родителям проверить, насколько их ребенок знает алгебру. Его может использовать и учитель математики для проверки домашнего задания, подготовке к самостоятельной работе, а так же как справочное пособие. http://docplayer.com/127488599-I-t-borodulya-trigonometricheskie-uravneniya-neravenstva-kniga-dlya-uchitelya-moskva-prosveshchenie-1989.html http://gdz.moda/reshebniki-10-klass/po-algebre/aleksandrova-samostoyatelnyye-rabotyГДЗ Алгебра Самостоятельные работы за 10 класс Александрова Базовый уровень Мнемозина (к учебнику Мордкович)
ГДЗ по алгебре Самостоятельные работы за 10 класс Александрова Базовый уровень к учебнику Мордкович