Буклет способы решения квадратных уравнений

Буклет «Квадратные уравнения»

Буклет составлен учеником, как справочный материал при подготовке к экзамену и как информационный материал по заданиям ГИА

Скачать:

Предварительный просмотр:

О теореме Виета

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г.

Если приведенное квадратное уравнение x 2 +px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p , а произведение равно q , то есть
x 1 + x 2 = -p ,
x 1 x 2 = q

Если Х 1 и Х 2 корни уравнения

Х 2 + 3Х – 10 = 0, то

Х 1 ·Х 2 = – 10, значит корни имеют разные

Х 1 + Х 2 = – 3, значит больший по модулю

Подбором находим корни: Х 1 = – 5, Х 2 = 2

Из истории квадратных уравнений:

Квадратные уравнения уже умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Одна из задач знаменитого индийского математика 12 века Бхаскары.

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам…

Стали прыгать повисая…

Сколько было обезьянок

Ты скажи мне, в этой стае?.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем.
Школа-интернат № 9

( ПОДГОТОВКА К ГИА)

Решение квадратных уравнений

Ученик 9 класса

Использование данного материала поможет экономить время и эффективно решать уравнения и задания, связанные с ними , при подготовке к ГИА и при тестовой системе сдачи вступительных экзаменов.

Практикум по материалам ГИА

1. Решите уравнение . Если в уравнении более одного корня, в ответе запишите наименьший.

2 . Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня , в ответе запишите наибольший.

3. Не решая уравнения 2x 2 + 2x − 3 = 0, найдите значение х 1 +х 2 , где x 1 , x 2 — корни уравнения.

4. Найдите наименьший корень уравнения:

(x + 3) 4 + 3x 2 + 18x − 1 = 0.

5. Укажите все значения a, при которых уравнение:

x 3 — 2ax 2 — (2a — 3)x= 0 имеет три различных корня .

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен ;

Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен (-1), а второй по теореме Виета равен ;

Например: 137х 2 + 20х – 157 = 0.

a = 137, b = 20, c = -157.

a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.

Графический способ решения квадратного уравнения

Для этого построим два графика

Различные способы решения квадратного уравнения

Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения.

Презентация по алгебре «Десять способов решения квадратных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Работу выполнили:
ученицы 9 «А» класса
МБОУ «СОШ с.Лебедёвка»
Лебедева Арина,
Чичканова Татьяна

10 способов решения квадратных уравнений

Цель проекта:
выявление способов решения квадратных уравнений,
ознакомиться с историей развития данной темы.
Предмет исследования-квадратные уравнения

Задачи проекта:
узнать , что является квадратным уравнением,
найти 10 способов решения квадратных уравнений,
сделать буклет.

История возникновения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — это уравнение вида аx²+bx+c=0
где x — свободная переменная,
a, b, c, — коэффициенты, где а≠0

Выражение аx²+bx+c называют квадратным трёхчленом.

Виды квадратных уравнений
Неполные
ax²+bx=0
ax²=0
ax²+c=0

Полные
ax²+bx+c=0,
a  0, b  0, c  0,

Приведённое квадратное уравнение
x²+px+g=0

Способы решения квадратных уравнений

1. СПОСОБ
Решение неполных квадратных уравнений
для решения неполного квадратного уравнения вида
𝒂 𝒙 𝟐 +𝒄=𝟎, где 𝒄≠𝟎, надо:
1. Перенести свободный член в правую часть. 𝑎 𝑥 2 =−𝑐
2. Разделить обе части уравнения на коэффициент 𝒂. 𝑎 𝑥 2 :𝑎= −𝑐 :𝑎
𝑥 2 = −𝑐 𝑎
Т.к. 𝑐≠0, то и −𝑐 𝑎 ≠0
Если выражение −𝑐 𝑎 >0, то уравнение имеет два корня:
𝑥 1 = −𝑐 𝑎 𝑥 2 =− −𝑐 𝑎 .

Если выражение −𝑐 𝑎 0, два разных корня;
Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при
b2 — 4ac >0 , уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х2 — 4х + 1 = 0,
а = 4, b = — 4, с = 1,
D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 · 4 · 1= 16 — 16 = 0,
D = 0, один корень;
Если дискриминант равен нулю, т.е. b2 — 4ac = 0, то уравнение
ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

4. СПОСОБ
Решение квадратных уравнений по формуле.

в) Решим уравнение: 2х2 + 3х + 4 = 0,
а = 2, b = 3, с = 4,
D = b2 — 4ac = 32 — 4 · 2 · 4 = 9 — 32 = — 13
D 0,
два различных корня: х1 = (-(-7)+1)/3=8/3 х2 = (-(-7)-1)/3=2

6. СПОСОБ
Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида:
х2 + px + q = 0 , первый коэффициент которого равен единице (а=1).
Приведенное квадратное уравнение:
х2 + px + q = 0
Его корни удовлетворяют теореме Виета:
Сумма корней приведенного квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение — свободному члену:
x1 x2 = q,
x1 + x2 = — p

6.СПОСОБ
Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
В случае неприведенного квадратного уравнения формулы Виета имеют вид:
ах2 + bх + с = 0
x1 x2 = с /а,
x1 + x2 = — b/а

Примеры
х2 — 5х + 6 = 0
х1 х2 = 6
х1 + х2 = 5
х1 = 2 х2 = 3.

7. СПОСОБ
Решение уравнений способом «переброски».
Рассмотрим квадратное уравнение
ах2+bх+с=0, где а ≠0
Умножая его обе части на а, получаем уравнение
a2х2+аbх+ас=0
Пусть ах=у , откуда х=у/а; тогда приходим к уравнению
y2+bу+ас=0
равносильному данному.
Его корни y1 и y2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем
х1 = y1 /а и х2 = y2 /а

7. СПОСОБ
Решение уравнений способом «переброски».
Пример:
Решить уравнение 6×2 – 7x – 3 = 0.
Выполним «переброску» и решим новое уравнение с помощью теоремы Виета:
y2 – 7y – 3 · 6 = 0;
y2 – 7y – 18 = 0.
По теореме Виета: y1+ y2 = 7; y1 · y2 = -18; y1 = 9; y2 = -2.
Теперь вернемся к переменной x. Для этого разделим полученные результаты y1,2 на первый коэффициент исходного уравнения, т.е. на 6. Получим:
x1 = 9/6; x2 = -2/6.
После сокращения будем иметь x1 = 1,5; x2 = -1/3.

8. СПОСОБ
Свойства коэффициентов квадратного уравнения
Квадратное уравнение:
ах2+bх+с = 0, где а ≠0
Если а+b+c=0, то x1 =1, x2 =с/а
Если b=а+с, то x1 = -1, x2 = -с/а
Пример:
а)1978х2-1984х+6=0 (1978+(-1984)+6 = 0)
x1 =1, x2 = 6/1978
Ответ: 1, 6/1978
б) 319х2+1998х+1669=0 (319+1669=1998)
x1 = -1, x2 = -1669/319
Ответ: -1, -1669/319

8. СПОСОБ
Свойства коэффициентов квадратного уравнения
Примеры.
в) Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0),
то х1 = 1, х2 = c/a = -208/345.
Ответ: 1; -208/345.

г)Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то
х1 = 1, х2 = c/a = 115/132.
Ответ: 1; 115/132.

9. СПОСОБ
Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении x2+рх+q=0
Перенести второй и третий члены в правую часть, то получим
x2 = -рх-q
Построим графики зависимости у= x2 и у = -рх-q

9. СПОСОБ
Графическое решение квадратного уравнения.
Пример
Решить графически уравнение: x2 = 8 / x

10. СПОСОБ
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
Решим уравнение ах2 + bх + с = 0
Построим точки S (-b/2a, )- центр окружности и точку А(0,1)
Провести окружность радиуса SA
Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения.
При этом возможны три случая.
1. Радиус окружности больше ординаты
центра (AS>SK, или R> ),
окружность пересекает ось Ох в двух
точках .
B (х1 ; 0) и D (x2 ;0), рис.а)
где х1 и x2 – корни квадратного уравнения ах2 +bх+ с = 0.

10. СПОСОБ
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R = ), окружность касается оси Ох в точке B (х1 ; 0 ), где х1 – корень квадратного уравнения – рис.б).
3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS SВ, или R > , два решения х1 и х2.

б) AS = SВ, или R = , одно решение х1.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 591 406 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

§ 5. Уравнения с одной переменной

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 26.01.2021
• 195
• 3

• 26.01.2021
• 235
• 29

• 25.01.2021
• 1239
• 16

• 25.01.2021
• 1275
• 102

• 25.01.2021
• 189
• 7

• 25.01.2021
• 565
• 123

• 25.01.2021
• 828
• 63

• 25.01.2021
• 238
• 19

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 26.01.2021 415
• PPTX 8.7 мбайт
• 6 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Вислогузова Татьяна Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 4270
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Буклет «Решение квадратных уравнений с параметром»

Буклет «Решение квадратных уравнений с параметром» для защиты исследовательской работы

Просмотр содержимого документа
«Буклет «Решение квадратных уравнений с параметром»»

Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с.Кумак»

Составила: ученица 8 класса

Туля Татьяна Михайловна,

Что такое квадратное уравнение?

Уравнение вида ax 2 +bx+c=0 , где a ≠ 0, b и c – произвольные числа, называется квадратным уравнением. Если а =1, то уравнение называется приведённым квадратным уравнением.

Корни квадратного уравнения находятся по формулам:

Выражение D = b 2 – 4ac называют дискриминантом.

1. Если D 0 — уравнение имеет два различных корня.

3. Если D = 0 — уравнение имеет два равных корня.

Что такое параметр?

Параметр — математическая величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая своё постоянное значение лишь в условиях данной задачи. При решении таких задач необходимо привести ответ для каждого значения параметра. Принято обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита (х, у, z…), параметры – первыми буквами ( а, в, с…). Задачи с параметрами решаются теми же приемами, что и аналогичные задачи без параметра. При решении используются аналитические и графические способы. Задачи с параметрами входят в экзаменационную работу за 9 класс, поэтому мы решили поближе познакомиться с данными задачами.

Определение. Квадратным уравнением с параметром а называется уравнение вида A(a)x 2 + B(a)x + +C(a)=0 (1) где A(a), B(a), C(a) – данные функции от параметра а, рассматриваемые на пересечении их областей определения.

В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.

(a + 1)x² + 3x − 7 = 0 , (1)

(a² − 4)x² + 2ax + 4a = 0

(a−1)x² + √a ◦ x − a = 0

Вот несколько простых примеров решения квадратных уравнений с параметром:

Пример. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение х 2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0.

4а 2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0