Квадратные уравнения (8 класс)
Уравнение называют квадратным, если его можно записать в виде \(ax^2+bx+c=0\), где \(x\) неизвестная, \(a\), \(b\) и \(с\) коэффициенты (то есть, некоторые числа, причем \(a≠0\)).
В первом примере \(a=3\), \(b=-26\), \(c=5\). В двух других \(a\),\(b\) и \(c\) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду \(ax^2+bx+c=0\), они обязательно появятся.
Коэффициент \(a\) называют первым или старшим коэффициентом, \(b\) – вторым коэффициентом, \(c\) – свободным членом уравнения.
Виды квадратных уравнений
Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным.
Как решать квадратные уравнения
В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных — смотрите здесь .
Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения:
Преобразовать уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).
Выписать значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения \(2x^2-3x+5=0\), коэффициент \(b=-3\), а не \(3\).
Вычислить значение дискриминанта по формуле \(D=b^2-4ac\).
Решите квадратное уравнение \(2x(1+x)=3(x+5)\)
Решение:
Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак.
Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.
Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt
Решите квадратное уравнение \(x^2+9=6x\)
Решение:
Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).
Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt
В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.
Решите квадратное уравнение \(3x^2+x+2=0\)
Решение:
Уравнение сразу дано в виде \(ax^2+bx+c=0\), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.
Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt
Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.
Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут ).
Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета . Это быстрее, но требует определенного навыка.
Пример. Решить уравнение \(x^2-7x+6=0\).
Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут \(6\), а в сумме \(7\). Простым подбором получаем, что эти числа: \(1\) и \(6\). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
Ответ: \(x_1=1\), \(x_2=6\).
Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты \(b\) и \(c\).
Урок по теме «Решение квадратных уравнений». 8-й класс
Разделы: Математика
Класс: 8
Рассмотрим стандартные (изучаемые в школьном курсе математики) и нестандартные приёмы решения квадратных уравнений.
1. Разложение левой части квадратного уравнения на линейные множители.
3) х 2 + 10х – 24 = 0.
6(х 2 + х – х ) = 0 | : 6
х 2 + х – х – = 0;
х(х – ) + (х – ) = 0;
х(х – ) (х + ) = 0;
= ; – .
Ответ: ; – .
Для самостоятельной работы:
Решите квадратные уравнения, применяя метод разложения левой части квадратного уравнения на линейные множители.
а) х 2 – х = 0; ж) х 2 + 6х + 9 = 0; | б) х 2 + 2х = 0; д) 4х 2 – = 0; з) х 2 + 4х + 3 = 0; | в) 3х 2 – 3х = 0; е) х 2 – 4х + 4 = 0; и) х 2 + 2х – 3 = 0. |
а) 0; 1 ж) – 3 | б) -2; 0 д) з) -3; -1 | в) 0; 1 и) -3; -1 |
2. Метод выделения полного квадрата.
Для самостоятельной работы.
Решите квадратные уравнения, применяя метод выделения полного квадрата.
3. Решение квадратных уравнений по формуле.
ах 2 + вх + с = 0, (а | · 4а
4а 2 х 2 + 4ав + 4ас = 0;
2ах + 2ах·2в + в 2 – в 2 + 4ас = 0;
2 = в 2 – 4ас;
= ± ;
2ах = -в ±;
х1,2 =.
Для самостоятельной работы.
Решите квадратные уравнения, применяя формулу х1,2 =.
4. Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)
x 2 + px +q = 0 – приведённое квадратное уравнение
по теореме Виета.
Если то уравнение имеет два одинаковых корня по знаку и это зависит от коэффициента .
Если p, то .
Если p, то.
Если то уравнение имеет два различных по знаку корня, причём больший по модулю корень будет , если p и будет , если p.
Для самостоятельной работы.
Не решая квадратного уравнения, по обратной теореме Виета определите знаки его корней:
а, б, к, л – различные корни;
в, д, з – отрицательные;
г, е, ж, и, м – положительные;
5. Решение квадратных уравнений методом “переброски”.
Для самостоятельной работы.
Решите квадратные уравнения, применяя метод “переброски”.
6. Решение квадратных уравнений с применением свойств его коэффициентов.
I. ax 2 + bx + c = 0, где a 0
1) Если а + b + с = 0, то х1 = 1; х2 =
ax 2 + bx + c = 0 |: а
х 2 + х + = 0.
По теореме Виета
По условию а + b + с = 0, тогда b = -а – с. Далее получим
Из этого следует, что х1 =1; х2 = . Что и требовалось доказать.
2) Если а – b + с = 0 (или b = а +с ) , то х1 = – 1; х2 = –
По теореме Виета
По условию а – b + с = 0 , т.е. b = а +с . Далее получим:
Поэтому х1 = – 1; х2 = – .
1) 345 х 2 – 137 х – 208 = 0.
а + b + с = 345 – 137 – 208 = 0
х1 = 1; х2 = =
Ответ: 1;
2) 132 х 2 – 247 х + 115 = 0.
а + b + с = 132 -247 -115 = 0.
х1 = 1; х2 = =
Ответ: 1;
Для самостоятельной работы.
Применяя свойства коэффициентов квадратного уравнения, решите уравнения
II. ax 2 + bx + c = 0, где a 0
х1,2 = . Пусть b = 2k, т.е. чётное. Тогда получим
х1,2 = = = =
3х 2 – 14х + 16 = 0 .
D1 = (-7) 2 – 3·16 = 49 – 48 = 1
х1,2 = ;
х1 = = 2; х2 =
Ответ: 2;
Для самостоятельной работы.
а) 4х 2 – 36х + 77 = 0
б) 15х 2 – 22х – 37 = 0
в) 4х 2 + 20х + 25 = 0
г) 9х 2 – 12х + 4 = 0
б) -1; 2
г)
III. x 2 + px + q = 0
х1,2 = – ± 2 – q
х 2 – 14х – 15 = 0
х1,2 = 7 = 7
Для самостоятельной работы.
а) х 2 – 8х – 9 = 0
б) х 2 + 6х – 40 = 0
в) х 2 + 18х + 81 = 0
г) х 2 – 56х + 64 = 0
г) 28 18
7. Решение квадратного уравнения с помощью графиков.
а) х 2 – 3х – 4 = 0
б) х 2 – 2х + 1 = 0
в) х 2 – 2х + 5 = 0
Ответ: нет решений
Для самостоятельной работы.
Решить квадратные уравнения графически:
8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
х 2 + х + = 0.
Пусть А(0; 1), С(0;
По теореме о секущих:
ОВ· ОД = ОА · ОС.
К(; 0), где = —
F(0; ) = (0; ) = )
S(-; )
1) Построим точку S(-; ) – центр окружности и точку А(0;1).
2) Проведём окружность с радиусом R = SA/
3) Абсциссы точек пересечения этой окружности с осью ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
Возможны 3 случая:
1) R > SK (или R > ).
Окружность пересекает ось ох в точке В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 – корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.
2) R = SK (или R = ).
Окружность касается оси ох в тоске В1(х1; 0), где х1 – корень квадратного уравнения
3) R 2 – 2x – 3 = 0.
Центр S(-; ),т.е.
х0 = = – = 1,
у0 = = = – 1.
(1; – 1) – центр окружности.
Проведём окружность (S; AS), где А(0; 1).
2) x 2 – 5x + 4 = 0.
х0 = = – = 2,5; у0 = = = 2,5.
3) x 2 + 4x + 4 = 0.
х0 = = – = – 2,
у0 = = = 2,5
4) x 2 – 2x + 3 = 0.
х0 = = – = 1,
у0 = = = 2.
Ответ: нет решений.
Для самостоятельной работы.
Решить следующие квадратные уравнения с помощью циркуля и линейки:
9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
Для решения используют Четырёхзначные математические таблицы В.М. Брадиса (таблица XXII, стр. 83).
Номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения x 2 + px + q = 0, по его коэффициентам определить корни уравнения. Например:
5) z 2 + 4z + 3 = 0.
Оба корня отрицательные. Поэтому сделаем замену: z1 = – t. Получим новое уравнение:
6) Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, то выполняют подстановку z = k · t и решают с помощью номограммы уравнение: z 2 + pz + q = 0.
к 2 t 2 + p· kt + q = 0. |: к 2
t 2 + t + = 0.
к берут с расчётом, чтобы имели место неравенства:
Для самостоятельной работы.
С помощью таблицы Брадиса решить следующие квадратные уравнения:
10. Геометрический метод решения квадратных уравнений
Рассмотрим примеры, которые решаются с помощью геометрии.
Пример 1. (из “Алгебры” ал-Хорезми)
10 : 4 = 2 ; · 2 = 6 .
SABCD = х 2 + 4Sпр. + 4Sкв. = х 2 + 4·2х + 4 · 6 = х 2 + 10х + 25.
Заменим х 2 + 10х на 39.
SABCD = 39 + 25 = 64 = 8 2 .
Значит сторона АВ = 8.
х= 8 – 2 – 2 =8 – 5 = 3.
Пример 2. (решение уравнения древними греками)
у 2 + 6у + 9 = 16 + 9
Для самостоятельной работы.
Решите геометрически уравнение у 2 – 6у – 16 = 0.
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.
С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).
Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>z + \frac<1><7>z^2 \)
При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Немного теории.
Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения
Каждое из уравнений
\( -x^2+6x+1<,>4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac<4><9>=0 \)
имеет вид
\( ax^2+bx+c=0, \)
где x — переменная, a, b и c — числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.
Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём \( a \neq 0 \).
Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.
В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \( a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\( x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \( c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \( b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \( c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
\( x^2 = -\frac
Так как \( c \neq 0 \), то \( -\frac
Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \( b \neq 0 \) всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.
Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0
Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\( x^2+\fracx +\frac
Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\( x^2+2x \cdot \frac<2a>+\left( \frac<2a>\right)^2- \left( \frac<2a>\right)^2 + \frac
Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\( D = b^2-4ac \)
Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
\( x_ <1,2>= \frac < -b \pm \sqrt
Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \( x=-\frac <2a>\).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D
Теорема Виета
Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
\( \left\< \begin
http://urok.1sept.ru/articles/631426
http://www.math-solution.ru/math-task/quadr-eq