Метод неопределенных коэффициентов и его универсальность
Разделы: Математика
Применение метода неопределённых коэффициентов основано на следующих двух теоремах.
Теорема №1 (о многочлене, тождественно равном нулю).
Если при произвольных значениях аргумента x значение многочлена f(x) = а0+ а1х + а2х 2 +. + а nx n , заданного в стандартном виде, равно нулю, то все его коэффициенты а0, а1, а2, . аn равны нулю.
Теорема №2 (следствие теоремы № 1).
Деление многочлена на многочлен.
Пример 1. Выполнить деление многочлена х 5 – 6х 3 + 2х 2 -4 на многочлен х 2 – х + 1.
Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х 5 – 6х 3 + 2х 2 -4 = (х 2 – х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х 2 – х + 1). Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 5 – 2 = 3.
Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид:
Раскроем скобки в правой части равенства:
Для отыскания неизвестных коэффициентов получаем систему уравнений:
Ответ: Q(x) = x 3 + x 2 — 6x — 5, R(x) = x + 1.
Пример 2. Выполнить деление многочлена х 7 –1 на многочлен х 3 + х + 1.
Решение: Надо найти такие многочлены Q(x) и R(x), что х 7 –1 = (х 3 + х + 1) Q(x) + R(x), причём степень многочлена R(x) меньше степени многочлена (х 3 + х + 1).
Из того, что степень произведения многочленов равна сумме их степеней, следует, что степень многочлена Q(x) равна 7– 3 = 4.
Многочлены Q(x) и R(x) имеют вид: Q(x) = q 4x 4 + q 3x 3 + q 2x 2 + q 1x + q0,
R(x) = r 2x 2 + r 1x + r0.
Подставим Q(x) и R(x):
Раскроем скобки в правой части равенства:
Получаем систему уравнений:
Ответ: Q(x) = x 4 — x 2 — x + 1, R(x) = 2x 2 — 2.
Расположение многочлена по степеням.
Возьмем функцию Поставим перед собой задачу «расположить многочлен по степеням f(x) по степеням (х-х0).
Задача сводится к нахождению неизвестных коэффициентов а0, а1, . аn. В каждом конкретном случае эти числа найти легко. Действительно, расположим многочлены, находящиеся в левой и правой частях равенства, по степеням x. Так как мы имеем тождество, то (по теореме № 2) коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны между собой. Приравняв коэффициенты правой части соответствующим заданным коэффициентам левой, мы придем к системе n+1 уравнений с n+1 неизвестными а0, а1, . аn , которую нужно решить.
Пример 3. Расположим многочлен по степеням.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему:
Решая систему, находим:
Ответ: .
Пример 4. Расположим f(x) = х 4 — 8х 3 + 24х 2 — 50х + 90 по степеням (х-2).
Решение: Полагаем х4 — 8х 3 + 24х 2 — 50х + 90
Ответ: f(x) =
Представление произведения в виде многочлена стандартного вида.
Пример 5. Не выполняя действий, представим в виде многочлена стандартного вида произведение (х — 1)(х + 3)(х + 5).
Решение: Произведение есть многочлен третьей степени, коэффициент при старшем члене равен 1, а свободный член равен (- 15), тогда запишем:
(х — 1)(х + 3)(х + 5) = х 3 + ах 2 + вх — 15, где а и в — неизвестные коэффициенты.
Для вычисления их положим х = 1 и х = — 3, тогда получим:
откуда а =7, в = 7.
Ответ: х 3 +7х 2 + 7х — 15.
Разложение многочлена на множители
Пример 6. Дан многочлен
Разложим его на множители, если известно, сто все его корни – целые числа.
Решение: Будем искать разложение в виде:
полагая числа a, b, c и d его корнями. Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.
Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 30. Следовательно, их следует искать среди чисел
Проведя испытания, установим, что корни нашего многочлена -2, -5, 1 и 3. Следовательно х 4 + 3х 3 — 15х 2 — 19х + 30 = (х — 1)(х — 3)(х + 2)(х + 5)
Пример 7. Дан многочлен .
Разложим его на множители, если известно, сто все его корни – целые числа.
Решение: Будем искать разложение в виде:
полагая числа a, b, c и d его корнями. Раскроем скобки в правой части и сгруппируем по одинаковым степеням.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.
Так как корни нашего многочлена – целые, то из последнего уравнения системы заключаем, что они должны быть делителями числа 84. Следовательно, их следует искать среди чисел
Проведя испытания, установим, что корни нашего многочлена -7,-2,2,3. Следовательно х 4 + 4х 3 — 25х 2 — 16х + 84 = (х — 2)(х — 3)(х + 2)(х + 7)
Пример 8. Разность является целым числом. Найдем это число.
Решение: Так как,
Тогда
Положим где a и b – неизвестные коэффициенты.
Тогда
Решая данную систему уравнений, получим а = 5, b = -4.
Значит так как
Аналогично устанавливаем, что
Следовательно
Пример 9. Является ли разность целым числом.
Решение: Т.к.
тогда —
Положим где a и b – неизвестные коэффициенты.
Тогда откуда
из второго уравнения тогда первое уравнение принимает вид
b 2 = 12,5 — — не удовлетворяет условию задачи, или b 2 = 9, откуда b = -3 или b = 3 — не удовлетворяет числу Значит, а = 5.
Аналогично,
Окончательно получаем: — иррациональное число.
Уничтожение иррациональности в знаменателе
Пример 10. Избавимся от иррациональности в знаменателе:
Решение:
отсюда
Раскроем скобки, сгруппируем:
Ответ:
Пример 11. Избавимся от иррациональности в знаменателе:
Решение: ,
отсюда
Раскроем скобки, сгруппируем
Отсюда
Итак
Следовательно
Ответ:
Применение метода неопределенных коэффициентов при решении уравнений
Пример 12. Решим уравнение х 4 + х 3 — 4х 2 — 9х — 3 = 0.
Решение: Предположим, что корни уравнения — целые числа, тогда их надо искать среди чисел
Если х = 1, то
если х = -1, то
если х = 3, то
если х = -3, то
Отсюда делаем вывод, что рациональных корней наше уравнение не имеет.
Попробуем разложить многочлен на множители в следующем виде:
, где a, b, c и d – целые. Раскроем скобки:
Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:
Так как bd = -3, то будем искать решения среди вариантов:
Проверим вариант № 2, когда b = —1; d = 3:
Пример 13. Решить уравнение: х 4 — 15х 2 + 12х + 5= 0.
Решение: Разложим многочлен f(х) = х 4 — 15х 2 + 12х + 5 на множители в следующем виде: , где a, b, c и d -целые. Раскроем скобки:
Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:
Так как , bd = 5, то будем искать решения среди вариантов:
Системе удовлетворяет вариант №2, т.е. а = 3, b = -1, c = -3, d = 5.
Итак,
D =13
D = 29
Ответ:
О решении одного класса кубических уравнений.
Пусть дано кубическое уравнение: а 1 х 3 + b 1х 2 +с 1х +d1 = 0, где а ≠ 0.
Приведём его к виду х 3 + ах 2 +bх + с = 0 (1), где а = , в = , с =
Положим в уравнении (1) х = у + m. Тогда получим уравнение:
Раскроем скобки, сгруппируем: y 3 +3у 2 m + 3ym 2 + m 3 + ay 2 + 2aym +am 2 + by +bm + с = 0,
y 3 + y 2 (a +3m) +y(3m 2 +2am +b) + m 3 +am 2 +bm + с = 0.
Для того, чтобы уравнение (1) было двучленным, должно выполняться условие:
Решения этой системы: m = —; a 2 = 3b. Таким образом, при произвольном с и при a 2 = 3b уравнение подстановкой х = у — можно привести к двучленному уравнению третьей степени.
Пример14. Решить уравнение: х 3 + 3х 2 +3х — 9 =0.
Решение: В данном уравнении а = 3, в =3, тогда условие a 2 = 3b выполняется, а m = — = -1. Выполним подстановку х = у -1.
Уравнение принимает вид: (у -1) 3 +3(у -1) 2 +3(у -1) – 9 = 0.
y 3 -3y 2 +3у -1 +3у 2 – 6у +3 +3у –3 – 9 = 0.
y 3 – 10 = 0, откуда у = , а х = — 1.
Ответ: — 1.
Пример15. Решить уравнение: х 3 + 6х 2 + 12х + 5 = 0.
Решение: а = 6, в =12, тогда условие a 2 = 3b (62 = 3×12) выполняется, а m = — = -2.
Выполним подстановку х = у — 2. Уравнение принимает вид: (у -2) 3 +6(у -2) 2 +12(у -2) + 5 = 0.
у 3 – 6у 2 + 12у – 8 + 6у 2 -24у + 24 + 12у – 24 + 5 = 0.
у 3 – 3 = 0, у = , а х = — 2.
Ответ: – 2.
Рассмотренные в работе примеры могут быть решены и другими способами. Но цель работы заключалась в том, чтобы решить их методом неопределённых коэффициентов, показать универсальность этого метода, его оригинальность и рациональность, не отрицая того, что в некоторых случаях он приводит к громоздким, но не сложным преобразованиям.
Пример частного решения линейного дифференциального уравнения
Рассмотрим тоже самое уравнение, но решим методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’i составляем систему уравнений:
C’1·e -3x ·cos(2x)+C’2·e -3x ·sin(2x)=0
C’1(-2·e -3x ·sin(2x)-3·cos(2x)·e -3x ) + C’2(-3·e -3x ·sin(2x)+2·cos(2x)·e -3x ) = 8*exp(-x)
Выразим C’1 из первого уравнения:
C’1 = -c2·sin(2x)/(cos(2x))
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’1 = -4·e 2x ·sin(2x)
C’2 = 4·cos(2x)·e 2x
Интегрируем полученные функции C’i:
C1 = -e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * 1
C2 = e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * 2
Записываем полученные выражения в виде:
C1 = (-e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·cos(2x)·e -3x + C * 1e -3x ·cos(2x)
C2 = (e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·e -3x ·sin(2x) + C * 2e -3x ·sin(2x)
или
C1 = -cos(2x)·e -x ·sin(2x)+cos 2 (2x)·e -x + C * 1e -3x ·cos(2x)
C2 = cos(2x)·e -x ·sin(2x)+sin 2 (2x)·e -x + C * 2e -3x ·sin(2x)
y = C1 + C2
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Пример . y″ + 5y’ + 6 = 12cos(2x)
Cоставляем характеристическое уравнение дифференциального уравнения: r 2 +5 r + 6 = 0
Находим дискриминант: D = 5 2 — 4·1·6 = 1
Корни характеристического уравнения: r1 = -2, r2 = -3. Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e -2x , y2 = e -3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·e -2x +C2·e -3x
Найдем частное решение при условии:y(0) = 1, y'(0) = 3
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:
c1+c2 = 1
Находим первую производную: y’ = -3·c2·e -3·x -2·c1·e -2·x
Поскольку y'(0) = -3·c2-2·c2, то получаем второе уравнение:
-3·c2-2·c2 = 3
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2 = 1
-3·c2-2·c2 = 3
которую решаем или методом обратной матрицы или методом исключения переменных.
c1 = 6, c2 = -5
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: y =6·e -2x -5·e -3x
Рассмотрим правую часть: f(x) = 12·cos(2·x)
Уравнение имеет частное решение вида: y * = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные: y’ = -2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x); y″ = -4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y″ + 5y’ + 6y = (-4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)) + 5(-2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x)) + 6(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 12·cos(2·x) или -10·A·sin(2x)+2·A·cos(2x)+2·B·sin(2x)+10·B·cos(2x) = 12·cos(2·x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему линейных уравнений:
-10A + 2B = 0
2A + 10B = 12
СЛАУ решаем методом Крамера:
A = 3 /13;B = 15 /13;
Частное решение имеет вид:
y * = 3 /13cos(2x) + 15 /13sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Пример 2 . y’’ + y = cos(x)
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 + 1 = 0
D = 0 2 — 4·1·1 = -4
Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = i, r2 = -i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e 0 x cos(x) = cos(x)
y2 = e 0 x sin(x) = sin(x)
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·cos(x)+C2·sin(x)
Рассмотрим правую часть: f(x) = cos(x)
Найдем частное решение. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + 1i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r1).
Уравнение имеет частное решение вида:
y * = x (Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y’ = sin(x)(B-A·x)+cos(x)(A+B·x)
y″ = cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y″ + y = (cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)) + (x (Acos(x) + Bsin(x))) = cos(x)
или
2·B·cos(x)-2·A·sin(x) = cos(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
2B = 1
-2A = 0
Следовательно:
A = 0; B = 1 /2;
Частное решение имеет вид: y * = x (0cos(x) + ½ sin(x)) = ½ x sin(x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Метод неопределённых коэффициентов
Читайте также:
|
Слева укажем коэффициенты 5; 6; 1, на которые следует умножить чтобы получить левую часть уравнения Понятно, что в левой части мы получим многочлен второй степени, который должен быть равен многочлену второй степени в правой части. Многочлены будут равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Запишем столбиком полученные уравнения:
х 2 х 1 х 0 | > |
Мы получили систему трёх уравнений с тремя неизвестными коэффициентами А, В, С. Решив её, найдём: А=5, В=-12, С=12.
Частное решение
5) Общее решение данного уравнения
или
№ 17.
1)
2)
3) Сравним правую часть данного уравнения с
Отмечаем, что a=1 совпадает с одним корнем характеристического уравнения и многочлен х–2 степени n = 1. Поэтому частное решение следует искать в виде
4) Так как требуется найти то удобнее записать в виде
.
Запишем столбиком:
-7 |
Каждое слагаемое левой части уравнения и правая часть содержат общий множитель . Предполагая, что на можно разделить уравнение, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Заметим прежде, что в левой части уравнения взаимно уничтожаются слагаемые с (они подчёркнуты).
В оставшихся трёх слагаемых наивысшая степень х — первая.
Получим систему из двух уравнений:
х х 0 | –14А+4А=1 –7В+2А+2В= –2 | > | ; |
5) Общее решение
6.6. Пусть правая часть неоднородного Д.У.-II представляет собой сумму функций вида т.е.
Частное решение этого уравнения следует искать в виде суммы частных решений двух уравнений
№ 18. Найдём общее решение уравнения
Здесь
1)
2)
3) при
х х 0 | А+А=4 В+2А+В=0 |
4) при
x 2 x 1 x 0 | C=-5 D=0 E+2C=0 |
5) Общее решение данного уравнения или
Прежде чем Вы приступите к решению контрольного задания, попытайтесь ответить на предлагаемые вопросы для самоконтроля. Если Вы будете испытывать затруднения при ответе на конкретный вопрос, попытайтесь найти на него ответ, вернувшись к теоретической части курса.
Вопросы для самоконтроля
1) Какое уравнение называется дифференциальным ?
2) Что называется решением Д.У.? Сколько решений имеет Д.У.?
3) Как установить, является ли данная функция решением данного Д.У.?
4) Какое Д.У. называется дифференциальным уравнением первого порядка (Д.У.-I)?
5) В каком виде можно записать Д.У.-I?
6) Что называется общим решением Д.У.-I?
7) Как найти частное решение Д.У.-I, удовлетворяющее заданному начальному условию?
8) Какое Д.У.-I называется уравнением с разделёнными переменными?
9) Как установить, является ли данное Д.У.-I уравнением с разделяющимися переменными? Каково правило разделения переменных?
10) Какое Д.У.-I называется однородным?
11) Как проверить, является ли Д.У.-I однородным?
12) Каким способом решается однородное Д.У.-I?
13) Какое Д.У.-I называется линейным?
14) Каков способ решения линейного Д.У.-I?
15) Какой вид может иметь дифференциальное уравнение второго порядка (Д.У.-II)?
16) Что называется общим решением Д.У.-II?
17) Как найти частное решение Д.У.-II, удовлетворяющее заданным начальным условиям?
18) Какие Д.У.-II допускают понижение порядка? Как они решаются?
19) Какое Д.У.-II называют линейным?
20) Какой вид имеет однородное линейное Д.У.-II с постоянными коэффициентами?
21) Какое уравнение называется характеристическим? Что оно собой представляет?
22) Какие случаи рассматриваются при отыскании общего решения однородного линейного Д.У.-II с постоянными коэффициентами? Какой вид имеет его общее решение в каждом из этих случаев?
23) Какой вид имеет неоднородное линейное Д.У.-II?
24) Какова структура общего решения неоднородного линейного Д.У.-II с постоянными коэффициентами?
25) Для какого вида правой части можно применить метод неопределенных коэффициентов? Как составить вид частного решения и от чего зависит этот вид?
Ответы на предложенные вопросы Вы найдёте в настоящем курсе.
Номер вопроса | Где найти ответ |
1, 2, 3 4, 5, 6, 7 8,9 10, 11, 12 13,14 15, 16, 17 20, 21, 22 23, 24 | П. 5.1 П. 5.2 П. 5.3 П. 5.3 П. 5.3 П. 5.4 П. 5.5 П. 5.6 П. 5.6 П. 5.6 П. 5.6 |
Дата добавления: 2015-01-05 ; просмотров: 21 ; Нарушение авторских прав
http://math.semestr.ru/math/example-differential.php
http://lektsii.com/1-60110.html