Частные случаи для решения квадратных уравнений

Частные случаи нахождения корней квадратного уравнения

Разделы: Математика

Цели урока:

• Закрепить умения устно находить корни квадратного трехчлена по теореме Виета; познакомить с частными случаями нахождения корней квадратного уравнения, раскрыть связи между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.
• Активизировать творческую и мыслительную деятельность учащихся, способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты; развивать исследовательские навыки и самостоятельность.
• Воспитывать умение использовать замеченные свойства изучаемых объектов для решения задач, умение их обобщать, расширить кругозор.

Метод обучения: беседа, объяснение, письменные и устные упражнения.
Форма контроля: самостоятельная работа.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация прежних знаний.

Вопросы:

1. Какие виды квадратных уравнений вы знаете?
2. Дайте определение квадратного уравнения.
3. Как называются числа a, b и c ?
4. Можно ли назвать квадратными уравнения:
   ax 2 +c=0;
   ax 2 +x=0;
   ax 2 =0?
5. Как называются такие уравнения?
6. Какое квадратное уравнение называется приведенным?
7. Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?
8. От чего зависит наличие действительных корней квадратного уравнения?
9. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
10. Как вычислить дискриминант?
11. Какова формула корней квадратного уравнения?
12. Какова формула корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом?
13. Сформулируйте теорему Виета.
14. Составьте квадратное уравнение по его корням x₁=–3; x₂= –10.
15. Составьте квадратное уравнение по его корням x₁= –7; x₂= –4.

Хорошо, разминка прошла успешно. Теперь выполним самостоятельную работу.

3. Самостоятельная работа.
Разложите квадратный трехчлен на множители, подобрав корни
по т. Виета.

а)х 2 – 8х + 15 = ( ) ( )
б)х 2 – 2х – 3 = ( ) ( )
в)х 2 – 4х + 4 = ( ) ( )

а)х 2 – 11х + 18 = ( ) ( )
б)х 2 – 7х + 12 = ( ) ( )
в)х 2 – 5х – 6 = ( ) ( )

(Проверяется на этом же уроке.)

4. Формирование новых понятий.
Сегодня мы рассмотрим на уроке частные случаи применения теоремы Виета, позволяющие устно найти корни полного квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.
1) Рассмотрим уравнения х 2 + 2х – 3 = 0 и 2х 2 + 3х – 5 = 0.
Какова сумма коэффициентов в этих уравнениях? (1 + 2 – 3 = 0; 2 + 3 – 5 = 0) .
Определим корни этих уравнений. (х₁ = 1, х₂ = – 3 ) и (х₁ = 1, х₂ = – 2,5 ) .
Какое число является корнем каждого из них? Правильно, 1.

Приходим к выводу:
если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 a+ b + c = 0 , то х₁ = 1, х₂ =. (*)
2) Рассмотрим уравнения х 2 – х – 2 = 0 и 2х 2 + 3х + 1 = 0.
Сравним сумму коэффициентов а и с в этих уравнениях с коэффициентом b.
(1 – 2 = – 1; 2 + 1 = 3) . Определим корни этих уравнений.
(х₁ =2, х₂= – 1) и (х₁= – 0,5, х₂= – 1).
Какое число является корнем каждого из них? Правильно, – 1.

Приходим к выводу:
если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 a+ c = b , то х₁ = – 1, х₂ = – . (**)
Ребята, а как вы думаете, можно ли применять частные случаи теоремы Виета для приведенных квадратных уравнений? Найдите сумму и произведение корней.

Правильно, молодцы!
Используя теорему Виета можно вывести еще некоторые соотношения между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

1) Найдем сумму квадратов корней

Аналогично можно рассмотреть сумму кубов корней:

Таким образом, теорема Виета позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.
А теперь проверим, насколько вы усвоили сегодняшний материал и повторим изученное ранее.

5. Формирование умений и навыков.

5.1 Решите квадратное уравнение с помощью свойств (*) и (**).

а) х 2 + 5х – 6 = 0;
б) х 2 + 23х + 22 = 0;
в) 3х 2 – 4х + 1 = 0;
г) 5х 2 + 26х + 21 = 0;

д) х 2 + 6х – 7 = 0;
е) х 2 +17х + 16 = 0;
ж) 13х 2 – 18х + 5 = 0;
з) 7х 2 + 2х – 5 = 0.

5.2 Разложите на множители квадратный трехчлен, предварительно решив соответствующее квадратное уравнение:

а) х 2 – 6х + 5 ; б) – 2у 2 + 4у + 6 ; в) 30х 2 – 21х – 9 ; г) у 2 + 3у + 2 .

5.3 Числа х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения х 2 – 7х – 1 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 5х₁ и 5х₂.

5.4 Упростите выражение :

Данное уравнение действительно имеет два различных корня х₁ и х₂,т.к. D = 49 + 4 > 0. По теореме Виета х₁ + х₂ = 7, х₁х₂ = – 1 . Составим приведенное квадратное уравнение х 2 + рх + q = 0, имеющее корни 5х₁ и 5х₂:
р = – (5х₁ + 5х₂) = – 5(х₁+ х₂) = – 5·7 = – 35,q= 5х₁·5х₂= 25х₁·х₂ = 25· (– 1) = –25.
Следовательно, искомое уравнение: х 2 – 35х – 25 = 0.

6. Подведение итогов урока.

Школьники всего мира знают имя Франсуа Виета в связи с изучением данной теоремы. Это ли не честь ученому? Лучшего памятника трудно придумать!

А сейчас ребята продемонстрируют творческое задание презентацию с историческими сведениями о замечательном математике Ф. Виете.

7. Домашнее задание. П.4.6, № 339, 340.

Литература:

1. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин . Алгебра 8 класс – М.: Просвещение, 2006 г
2. М.К. Потапов, А.В. Шевкин. Дидактические материалы для 8 класса – М.: Просвещение, 2006 г
3. В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова. Сборник элективных курсов. Математика 8 – 9 . Волгоград. «Учитель», 2006 г<>

Конспект по математике на тему «Частные случаи квадратных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное

здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики изучают формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Разберѐм некоторые из них.

где x -переменная, a, b, c — некоторые числа,

≠ 0 , называется квадратным уравнением .

Примеры: 5 2 −14 +17=0; 3 2 +5 =0; 3 2 −5 =0.

Из школьного курса нам известны формулы:

.

.

И теорема обратная теореме Виета, которая позволяет устно подбирать корни приведенного квадратного уравнения:

Если числа m и n таковы,

Часто можно обойтись без них. Рассмотрим некоторые приемы устного решения квадратных уравнений.

Мы заметили, что

1) Еслиа+в+с=0, то ₁ = ; ₂ =

Так как а+в+с=0 , то в = -(а + с) .

В уравнение ах 2 +вх+с=0 подставим

в = -(а + с), получим

а 2 -(а+с) +с=0,преобразуем:

откуда =1 или =

2) Если а + с = в, то = − ; = −

В уравнение а x 2 +в +с=0 подставим

в = а + с, получим

а 2 +(а + с) +с=0 , преобразуем:

откуда =-1 или =-

Например:

319 2 + 1988 + 1669 = 0, ₁ = −1; ₂ = ;

319 2 − 4 − 315 = 0, ₁ = 1; ₂ = − .

имеет корни : = − ; =

По формуле I найдем :

;

₁₌ — a ; ₂ =

Например:

2 — ( 2 +1) + = , имеет корни : = ; =

По формуле I найдем : ; ; _{1 =} a ; ₂ =

Например:

; ₁₌ -а; ₂₌

Например:

2 – ( 2 – ) − = , имеет корни : = ; = − .

Доказательство:

По формуле I найдем :

; ; ₁₌ а; ₂₌

Например:

Но это еще не все открытия , связанные с коэффициентами квадратного уравнения.

Тогда его можно записать в виде:

ах 2 +вх+ mn = 0 (1)

Сравним корни уравнения (1) с корнями уравнения а m х 2 +вх+ n =0 (2)

Замечаем, что при переброске одного из множителей свободного члена к старшему коэффициенту дискриминант не изменяется,
то есть D = b 2 -4 mn = b 2- 4 ac .

Корни уравнения (1) вычисляются по формуле:

, а уравнения (2) по формуле :

.

Делаем вывод, что корни уравнения (2) получаются делением корней уравнения (1) на переброшенный множитель.

Например, уравнение имеет корни х _{1=1 ,} х ₂ =12 ,так как а+в+с=0, значит, уравнение имеет корни: х ₁ = ; х ₂ = 2

У равнение имеет корни х ₁ = ; х ₂ =4

Используя рассмотренные приемы, можно придумывать уравнения с рациональными корнями.

Например, возьмем уравнение : , корни которого мы уже

Свободный член 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12 . Отсюда уравнения:

Решим уравнение: 4 x 2 -21 x +5 =0 (1)

Получим уравнение:х 2 -21х+20=0, корнями которого будут числа 1 и 20.

Разделим найденные корни на старший коэффициент число 4, получим корни исходного уравнения (1) : ₁₌ 1/4; ₂ =5.

данные приемы заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках;

овладение данными приемами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения;

потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.

1) Если а+в+с=0, то = ; =

2) Если а + с = в, то = − ; = −

имеет корни: = − ; =

имеет корни: = ; =

имеет корни: = ; = − .

имеет корни: = − ; =

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ НА ТЕМУ: «РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБЩИЕ И ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ.»

Весь курс элементарной математики, изучаемой в средней школе, пронизан квадратными уравнениями. Многочисленные задачи явно несвязанные с квадратными уравнениями, в ходе их решения сводятся, в конечном итоге, либо к исследованию квадратного трехчлена, либо к нахождению его корней. Таким образом, каждый выпускник обязан уметь решать все виды квадратных уравнений (полные или неполные).

Конечно «квадратные уравнения» применяется во многих разделах школьного курса математики, например, при решении задач на составление уравнений, алгебраическое и графическое решение уравнений. Очень большое применение методов решения квадратных уравнений нашло свое отражение в заданиях ОГЭ и ЕГЭ (во всех модулях). Но зачастую обучающиеся запоминают одну единственную формулу (основную с помощью дискриминанта) для решения квадратных уравнений. Зачастую эта формула очень громоздка и занимает много времени.

Исходя из всего вышесказанного, у меня возникла проблема: можно ли найти такие способы решения квадратных уравнений, чтобы можно было это сделать быстро и самое главное правильно.

Указанные обстоятельства обусловили мой выбор темы исследовательской работы.

Основной целью работы считаю расширенное изучение различных методов решения квадратных уравнений.

Цель моей исследовательской работы определяет следующие задачи:

— повторить основные методы решения квадратных уравнений: алгебраических и графических;

— изучить различные частные случаи решения квадратных уравнений;

— применить изученные способы при решении квадратных уравнений на практике.

Я предположила, что в результате исследования я смогу показать своим одноклассникам и друзьям, что решение квадратных уравнений не является одним из сложнейших заданий.

Формулирование цели исследовательской работы определяет:

объект исследования – квадратные уравнения;

предмет исследования – частные методы решения квадратных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Чибитская средняя общеобразовательная школа»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ НА ТЕМУ:

«РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБЩИЕ И ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ.»

Выполнила: Тойлонова Айрура, 8 класс

Руководитель: Тойлонова Н. В.

Чибит 2016 г.

2. Методы решения квадратных уравнений ………………………..

2.1. Графический метод решения квадратных уравнений ………..

2.2. Методы решения неполных квадратных уравнений ………….

2.3. Основные методы решения полных квадратных уравнений .

2.4.Частные методы решения квадратных уравнений …………….

Список использованной литературы ………………………….. …..

Весь курс элементарной математики, изучаемой в средней школе, пронизан квадратными уравнениями. Многочисленные задачи явно несвязанные с квадратными уравнениями, в ходе их решения сводятся, в конечном итоге, либо к исследованию квадратного трехчлена, либо к нахождению его корней. Таким образом, каждый выпускник обязан уметь решать все виды квадратных уравнений (полные или неполные).

Конечно «квадратные уравнения» применяется во многих разделах школьного курса математики, например, при решении задач на составление уравнений, алгебраическое и графическое решение уравнений. Очень большое применение методов решения квадратных уравнений нашло свое отражение в заданиях ОГЭ и ЕГЭ (во всех модулях). Но зачастую обучающиеся запоминают одну единственную формулу (основную с помощью дискриминанта) для решения квадратных уравнений. Зачастую эта формула очень громоздка и занимает много времени.

Исходя из всего вышесказанного, у меня возникла проблема : можно ли найти такие способы решения квадратных уравнений, чтобы можно было это сделать быстро и самое главное правильно.

Указанные обстоятельства обусловили мой выбор темы исследовательской работы.

Основной целью работы считаю расширенное изучение различных методов решения квадратных уравнений.

Цель моей исследовательской работы определяет следующие задачи :

— повторить основные методы решения квадратных уравнений: алгебраических и графических;

— изучить различные частные случаи решения квадратных уравнений;

— применить изученные способы при решении квадратных уравнений на практике.

Я предположила, что в результате исследования я смогу показать своим одноклассникам и друзьям, что решение квадратных уравнений не является одним из сложнейших заданий.

Формулирование цели исследовательской работы определяет:

объект исследования – квадратные уравнения;

предмет исследования – частные методы решения квадратных уравнений.

Глава 1. Основные понятия

Сначала мы разберем, что такое квадратное уравнение, как оно записывается в общем виде, и дадим связанные определения. После этого на примерах подробно разберем, как решаются неполные квадратные уравнения. Дальше перейдем к решению полных уравнений, получим формулу корней, познакомимся с дискриминантом квадратного уравнения и рассмотрим решения характерных примеров. Наконец, проследим связи между корнями и коэффициентами.

Что такое квадратное уравнение? Виды квадратных уравнений.

Для начала надо отчетливо понимать, что такое квадратное уравнение. Поэтому разговор о квадратных уравнениях логично начать с определения квадратного уравнения, а также связанных с ним определений.

Определение и примеры квадратных уравнений

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax 2 +bx+c=0 , где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a отлично от нуля.

Сразу скажем, что квадратные уравнения часто называют уравнениями второй степени. Это связано с тем, что квадратное уравнение является алгебраическим уравнением второй степени.

Озвученное определение позволяет привести примеры квадратных уравнений. Так 2x 2 +6x+1=0 , 0,2x 2 +2,5x+0,03=0 и т.п. – это квадратные уравнения.

Числа a , b и c называют коэффициентами квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 , причем коэффициент a называют первым, или старшим, или коэффициентом при x 2 , b – вторым коэффициентом, или коэффициентом при x , а c – свободным членом.

Для примера возьмем квадратное уравнение вида 5x 2 −2x−3=0 , здесь старший коэффициент есть 5 , второй коэффициент равен −2 , а свободный член равен −3 . Обратите внимание, когда коэффициенты b и/или c отрицательные, как в только что приведенном примере, то используется краткая форма записи квадратного уравнения вида 5x 2 −2x−3=0 , а не 5·x 2 +(−2)·x+(−3)=0 .

Стоит отметить, что когда коэффициенты a и/или b равны 1 или −1 , то они в записи квадратного уравнения обычно не присутствуют явно, что связано с особенностями записи алгебраических выражений. Например, в квадратном уравнении y 2 −y+3=0 старший коэффициент есть единица, а коэффициент при y равен −1 .

Упрощение вида квадратных уравнений

Порой, прежде чем пускаться в вычисление корней квадратного уравнения по формулам, не помешает задаться вопросом: «А нельзя ли упростить вид этого уравнения»? Согласитесь, что в плане вычислений проще будет решить квадратное уравнение 11x 2 −4x−6=0 , чем 1100x 2 −400x−600=0 .

Обычно упрощение вида квадратного уравнения достигается путем умножения или деления его обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце удалось достичь упрощения уравнения 1100x 2 −400x−600=0 , разделив обе его части на 100 .

Подобное преобразование проводят с квадратными уравнениями, коэффициенты которого не являются коэффициентами абсолютных величин. Для примера возьмем квадратное уравнение 12x 2 −42x+48=0 . НОД(12, 42, 48)=НОД(НОД(12, 42), 48)=НОД(6, 48)=6 . Разделив обе части исходного квадратного уравнения на 6 , мы придем к равносильному ему квадратному уравнению 2x 2 −7x+8=0 .

А умножение обеих частей квадратного уравнения обычно производится для избавления от дробных коэффициентов. При этом умножение проводят на общий знаменатель его коэффициентов. Например, если в уравнении обе части квадратного уравнения умножить на НОК(6, 3, 1)=6 , то оно примет более простой вид x 2 +4x−18=0 .

В заключение этого пункта заметим, что почти всегда избавляются от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения, изменяя знаки всех членов, что соответствует умножению (или делению) обеих частей на −1 . Например, обычно от квадратного уравнения −2x 2 −3x+7=0 переходят к решению 2x 2 +3x−7=0 .

Виды квадратных уравнений.

1) Приведенные и неприведенные квадратные уравнения

В зависимости от значения старшего коэффициента различают приведенные и неприведенные квадратные уравнения. Дадим соответствующие определения.

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1 , называют приведенным квадратным уравнением . В противном случае квадратное уравнение является неприведенным .

Согласно данному определению, квадратные уравнения x 2 −3x+1=0 , x 2 − x− =0 и т.п. – приведенные, в каждом из них первый коэффициент равен единице. А 5x 2 −x−1=0 , и т.п. — неприведенные квадратные уравнения, их старшие коэффициенты отличны от 1 .

От любого неприведенного квадратного уравнения с помощью деления его обеих частей на старший коэффициент можно перейти к приведенному. Это действие является деление то есть, полученное таким способом приведенное квадратное уравнение имеет те же корни, что и исходное неприведенное квадратное уравнение, или, так же как оно, не имеет корней.

Разберем на примере, как выполняется переход от неприведенного квадратного уравнения к приведенному.

От уравнения 3x 2 +12x−7=0 перейдите к соответствующему приведенному квадратному уравнению.

Нам достаточно выполнить деление обеих частей исходного уравнения на старший коэффициент 3 , он отличен от нуля, поэтому мы можем выполнить это действие. Имеем (3x 2 +12x−7):3=0:3 , что то же самое, (3·x 2 ):3+(12·x):3−7:3=0 , и дальше (3:3)·x 2 +(12:3)·x−7:3=0 , откуда . Так мы получили приведенное квадратное уравнение, равносильное исходному .

2) Полные и неполные квадратные уравнения

В определении квадратного уравнения присутствует условие a≠0 . Это условие нужно для того, чтобы уравнение ax 2 +bx+c=0 было именно квадратным, так как при a=0 оно фактически становится линейным уравнением вида bx+c=0 .

Что касается коэффициентов b и c , то они могут быть равны нулю, причем как по отдельности, так и вместе. В этих случаях квадратное уравнение называют неполным.

Квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0 называют неполным , если хотя бы один из коэффициентов b , c равен нулю.

Полное квадратное уравнение – это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.

Такие названия даны не случайно. Из следующих рассуждений это станет понятно.

Если коэффициент b равен нулю, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 +0x+c=0 , и оно равносильно уравнению ax 2 +c=0 . Если c=0 , то есть, квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+0=0 , то его можно переписать как ax 2 +bx=0 . А при b=0 и c=0 мы получим квадратное уравнение ax 2 =0 . Полученные уравнения отличаются от полного квадратного уравнения тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с переменной x, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название – неполные квадратные уравнения.

Так уравнения x 2 +x+1=0 и −2x 2 −5x+0,2=0 – это примеры полных квадратных уравнений, а x 2 =0 , −2x 2 =0 , 5x 2 +3=0 , −x 2 −5x=0 – это неполные квадратные уравнения.