Частные случаи решения уравнений при

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

Конспект по математике на тему «Частные случаи квадратных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное

здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики изучают формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Разберѐм некоторые из них.

где x -переменная, a, b, c — некоторые числа,

≠ 0 , называется квадратным уравнением .

Примеры: 5 2 −14 +17=0; 3 2 +5 =0; 3 2 −5 =0.

Из школьного курса нам известны формулы:

.

.

И теорема обратная теореме Виета, которая позволяет устно подбирать корни приведенного квадратного уравнения:

Если числа m и n таковы,

Часто можно обойтись без них. Рассмотрим некоторые приемы устного решения квадратных уравнений.

Мы заметили, что

1) Еслиа+в+с=0, то ₁ = ; ₂ =

Так как а+в+с=0 , то в = -(а + с) .

В уравнение ах 2 +вх+с=0 подставим

в = -(а + с), получим

а 2 -(а+с) +с=0,преобразуем:

откуда =1 или =

2) Если а + с = в, то = − ; = −

В уравнение а x 2 +в +с=0 подставим

в = а + с, получим

а 2 +(а + с) +с=0 , преобразуем:

откуда =-1 или =-

Например:

319 2 + 1988 + 1669 = 0, ₁ = −1; ₂ = ;

319 2 − 4 − 315 = 0, ₁ = 1; ₂ = − .

имеет корни : = − ; =

По формуле I найдем :

;

₁₌ — a ; ₂ =

Например:

2 — ( 2 +1) + = , имеет корни : = ; =

По формуле I найдем : ; ; _{1 =} a ; ₂ =

Например:

; ₁₌ -а; ₂₌

Например:

2 – ( 2 – ) − = , имеет корни : = ; = − .

Доказательство:

По формуле I найдем :

; ; ₁₌ а; ₂₌

Например:

Но это еще не все открытия , связанные с коэффициентами квадратного уравнения.

Тогда его можно записать в виде:

ах 2 +вх+ mn = 0 (1)

Сравним корни уравнения (1) с корнями уравнения а m х 2 +вх+ n =0 (2)

Замечаем, что при переброске одного из множителей свободного члена к старшему коэффициенту дискриминант не изменяется,
то есть D = b 2 -4 mn = b 2- 4 ac .

Корни уравнения (1) вычисляются по формуле:

, а уравнения (2) по формуле :

.

Делаем вывод, что корни уравнения (2) получаются делением корней уравнения (1) на переброшенный множитель.

Например, уравнение имеет корни х _{1=1 ,} х ₂ =12 ,так как а+в+с=0, значит, уравнение имеет корни: х ₁ = ; х ₂ = 2

У равнение имеет корни х ₁ = ; х ₂ =4

Используя рассмотренные приемы, можно придумывать уравнения с рациональными корнями.

Например, возьмем уравнение : , корни которого мы уже

Свободный член 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12 . Отсюда уравнения:

Решим уравнение: 4 x 2 -21 x +5 =0 (1)

Получим уравнение:х 2 -21х+20=0, корнями которого будут числа 1 и 20.

Разделим найденные корни на старший коэффициент число 4, получим корни исходного уравнения (1) : ₁₌ 1/4; ₂ =5.

данные приемы заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках;

овладение данными приемами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения;

потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.

1) Если а+в+с=0, то = ; =

2) Если а + с = в, то = − ; = −

имеет корни: = − ; =

имеет корни: = ; =

имеет корни: = ; = − .

имеет корни: = − ; =

Частные случаи нахождения корней квадратного уравнения

Разделы: Математика

Цели урока:

• Закрепить умения устно находить корни квадратного трехчлена по теореме Виета; познакомить с частными случаями нахождения корней квадратного уравнения, раскрыть связи между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.
• Активизировать творческую и мыслительную деятельность учащихся, способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты; развивать исследовательские навыки и самостоятельность.
• Воспитывать умение использовать замеченные свойства изучаемых объектов для решения задач, умение их обобщать, расширить кругозор.

Метод обучения: беседа, объяснение, письменные и устные упражнения.
Форма контроля: самостоятельная работа.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация прежних знаний.

Вопросы:

1. Какие виды квадратных уравнений вы знаете?
2. Дайте определение квадратного уравнения.
3. Как называются числа a, b и c ?
4. Можно ли назвать квадратными уравнения:
   ax 2 +c=0;
   ax 2 +x=0;
   ax 2 =0?
5. Как называются такие уравнения?
6. Какое квадратное уравнение называется приведенным?
7. Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?
8. От чего зависит наличие действительных корней квадратного уравнения?
9. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
10. Как вычислить дискриминант?
11. Какова формула корней квадратного уравнения?
12. Какова формула корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом?
13. Сформулируйте теорему Виета.
14. Составьте квадратное уравнение по его корням x₁=–3; x₂= –10.
15. Составьте квадратное уравнение по его корням x₁= –7; x₂= –4.

Хорошо, разминка прошла успешно. Теперь выполним самостоятельную работу.

3. Самостоятельная работа.
Разложите квадратный трехчлен на множители, подобрав корни
по т. Виета.

а)х 2 – 8х + 15 = ( ) ( )
б)х 2 – 2х – 3 = ( ) ( )
в)х 2 – 4х + 4 = ( ) ( )

а)х 2 – 11х + 18 = ( ) ( )
б)х 2 – 7х + 12 = ( ) ( )
в)х 2 – 5х – 6 = ( ) ( )

(Проверяется на этом же уроке.)

4. Формирование новых понятий.
Сегодня мы рассмотрим на уроке частные случаи применения теоремы Виета, позволяющие устно найти корни полного квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.
1) Рассмотрим уравнения х 2 + 2х – 3 = 0 и 2х 2 + 3х – 5 = 0.
Какова сумма коэффициентов в этих уравнениях? (1 + 2 – 3 = 0; 2 + 3 – 5 = 0) .
Определим корни этих уравнений. (х₁ = 1, х₂ = – 3 ) и (х₁ = 1, х₂ = – 2,5 ) .
Какое число является корнем каждого из них? Правильно, 1.

Приходим к выводу:
если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 a+ b + c = 0 , то х₁ = 1, х₂ =. (*)
2) Рассмотрим уравнения х 2 – х – 2 = 0 и 2х 2 + 3х + 1 = 0.
Сравним сумму коэффициентов а и с в этих уравнениях с коэффициентом b.
(1 – 2 = – 1; 2 + 1 = 3) . Определим корни этих уравнений.
(х₁ =2, х₂= – 1) и (х₁= – 0,5, х₂= – 1).
Какое число является корнем каждого из них? Правильно, – 1.

Приходим к выводу:
если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 a+ c = b , то х₁ = – 1, х₂ = – . (**)
Ребята, а как вы думаете, можно ли применять частные случаи теоремы Виета для приведенных квадратных уравнений? Найдите сумму и произведение корней.

Правильно, молодцы!
Используя теорему Виета можно вывести еще некоторые соотношения между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

1) Найдем сумму квадратов корней

Аналогично можно рассмотреть сумму кубов корней:

Таким образом, теорема Виета позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.
А теперь проверим, насколько вы усвоили сегодняшний материал и повторим изученное ранее.

5. Формирование умений и навыков.

5.1 Решите квадратное уравнение с помощью свойств (*) и (**).

а) х 2 + 5х – 6 = 0;
б) х 2 + 23х + 22 = 0;
в) 3х 2 – 4х + 1 = 0;
г) 5х 2 + 26х + 21 = 0;

д) х 2 + 6х – 7 = 0;
е) х 2 +17х + 16 = 0;
ж) 13х 2 – 18х + 5 = 0;
з) 7х 2 + 2х – 5 = 0.

5.2 Разложите на множители квадратный трехчлен, предварительно решив соответствующее квадратное уравнение:

а) х 2 – 6х + 5 ; б) – 2у 2 + 4у + 6 ; в) 30х 2 – 21х – 9 ; г) у 2 + 3у + 2 .

5.3 Числа х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения х 2 – 7х – 1 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 5х₁ и 5х₂.

5.4 Упростите выражение :

Данное уравнение действительно имеет два различных корня х₁ и х₂,т.к. D = 49 + 4 > 0. По теореме Виета х₁ + х₂ = 7, х₁х₂ = – 1 . Составим приведенное квадратное уравнение х 2 + рх + q = 0, имеющее корни 5х₁ и 5х₂:
р = – (5х₁ + 5х₂) = – 5(х₁+ х₂) = – 5·7 = – 35,q= 5х₁·5х₂= 25х₁·х₂ = 25· (– 1) = –25.
Следовательно, искомое уравнение: х 2 – 35х – 25 = 0.

6. Подведение итогов урока.

Школьники всего мира знают имя Франсуа Виета в связи с изучением данной теоремы. Это ли не честь ученому? Лучшего памятника трудно придумать!

А сейчас ребята продемонстрируют творческое задание презентацию с историческими сведениями о замечательном математике Ф. Виете.

7. Домашнее задание. П.4.6, № 339, 340.

Литература:

1. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин . Алгебра 8 класс – М.: Просвещение, 2006 г
2. М.К. Потапов, А.В. Шевкин. Дидактические материалы для 8 класса – М.: Просвещение, 2006 г
3. В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова. Сборник элективных курсов. Математика 8 – 9 . Волгоград. «Учитель», 2006 г<>