Частные уравнения регрессии частная корреляция

Частные уравнения, частная корреляция

Уравнение множественной линейной регрессии характеризует весь исследуемый процесс в целом. На его основе могут быть построены частные уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующим фактором х_i при закреплении других, учитываемых в уравнении множественной регрессии на среднем уровне:

y_{x1 x2,x3. xp} = a +b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃+ … + b_px_p

y_{x2 x1,x3. xp} = a +b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃+ … + b_px_p

……………………………………………………

y_{xp x1,x2. xp-1} = a +b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃+ … + b_px_p

Частные уравнения регрессии характеризуют влияние только определенного фактора на результат, так как другие закреплены на неизменном среднем уровне. На основе частных уравнений регрессии можно найти частные коэффициенты эластичности. Они показывают, на сколько процентов в среднем изменится результат при изменении соответствующего фактора на 1% при постоянных значениях всех остальных факторов. Эти коэффициенты рассчитываются по следующей формуле:

rде b_i — коэффициент «чистой» регрессии для фактора x_i в уравнении множественной регрессии; y_{xi x1,x2,…,xi-1,xi+1. xp} — частное уравнение регрессии для фактора x_i , для множественной линейной регрессии оно принимает следующий вид:

a +b₁x₁ + b₂x₂ + … +b_i-1x_i-1+ b_ix_i + b_i+1x_i+1…+ … + b_px_p

Частные коэффициенты эластичности рассчитываются для каждого наблюдения и характеризуют влияние фактора именно на его результат. Кроме того, могут быть найдены и средние коэффициенты эластичности, которые будут характеризовать влияние каждого фактора на результат в среднем по совокупности:

где x_i — среднее арифметическое по ряду наблюдений фактора x_i; y_{xi,x1,x2,…,xi-1,xi+1. xp} — среднее по частному уравнению регрессии для фактора x_i во множественной линейной регрессии оно принимает вид:

a +b₁x₁ + b₂x₂ + … + b_px_p

Коэффициенты эластичности можно использовать при отборе факторов для множественной регрессии. В данном случае сравниваются либо средние по совокупности коэффициенты эластичности, либо коэффициенты эластичности для конкретного наблюдения, если надо установить силу влияния каждого фактора при этом наблюдении.

Во множественном регрессионном анализе возникает проблема определения тесноты связи между двумя признаками в «чистом» виде, т.е. при устранении воздействия других факторов. Это можно сделать только для учтенных в модели факторов. Показателем «чистого» влияния фактора на результат является частный коэффициент корреляции.

Рассмотрим пример двухфакторной модели у_х = a + b₁x₁ + b₂x₂ . Коэффициенты частной корреляции, показывающие в «чистом» виде тесноту связи фактора и результата, для двухфакторной модели рассчитываются через коэффициенты детерминации по следующим формулам:

Эти коэффициенты являются частными коэффициентами корреляции первого порядка, так как они фиксируют тecноту связи фактора и результата при постоянном воздействии одного фактора.

Для расчета коэффициентов частной корреляции могут быть использованы парные коэффициенты корреляции. Для двухфакторной модели коэффициенты частной корреляции первого порядка вычисляются следующим образом:

При дополнительном включении в модель фактора x_i частный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

Значения частных коэффициентов корреляции, рассчитанные таким способом, изменяются от нуля до единицы. Соответственно, чем ближе частный коэффициент корреляции к единице, тем теснее связь между определенным фактором x_i и результатом у при неизменном уровне всех других факторов, включенных в уравнение регрессии. Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается: (р-1).

Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков так же, как и для двухфакторной модели, можно рассчитывать, используя частные коэффициенты корреляции более низких порядков:

Такие формулы расчета коэффициентов частной корреляции называются рекуррентными, коэффициенты частной корреляции, рассчитанные по ним, изменяют свое значение от -1 до 1. Чем ближе по модулю коэффициент частной корреляции к единице, тем теснее связь фактора и результата при устранении влияния прочих факторов, включенных в модель.

Частные коэффициенты корреляции используются не только для ранжирования факторов по степени влияния на результат, но и для их отбора. При низких значениях коэффициентов нет смысла вводить в модель дополнительные факторы и тем самым лишь усложнять ее.

Дата добавления: 2015-10-05 ; просмотров: 1498 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Частные уравнения регрессии

На основе линейного уравнения множественной регрессии

могут быть найдены частные уравнения регрессии:

т.е. уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующими факторами х при закреплении других учитываемых во множественной регрессии факторов на среднем уровне. Частные уравнения имеют следующий вид:

При подстановке в эти уравнения средних значений соответствующих факторов они принимают вид парных уравнений линейной регрессии, т.е. имеем:

где

В отличие от парной регрессии частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние фактора на результат, ибо другие факторы закреплены на неизменном уровне. Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному члену уравнения множественной регрессии.

Это позволяет на основе частных уравнений регрессии определять частные коэффициенты эластичности:

(3.4)

где b_i – коэффициенты регрессии для фактора х_i в уравнении множественной регрессии;

– частное уравнение регрессии.

Частная корреляция

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Показатели частной корреляции представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.

Целесообразность внесения того или иного фактора в модель доказывается величиной показателя частной корреляции. Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влиянии других факторов, включённых в уравнение регрессии.

Если рассматривается регрессия с р факторами, то возможны частные коэффициенты корреляции первого, второго и так далее р — первого порядка:

— при постоянном действии фактора .

— при постоянном действии факторов , .

— при постоянном действии факторов … .

Сопоставление коэффициентов частной корреляции разного порядка по мере увеличении числа внешних факторов показывает процесс “очищения” зависимости результатного признака с наследственным фактором. Хотя частная корреляция разных порядков удобна при анализе, в практических исследованиях предпочтение отдают показателям частной корреляции самого высоко порядка, так как эти порядки являются дополнительными к уравнению множественной регрессии.

Для линейной модели множественной регрессии коэффициент частной корреляции можно определить по формуле:

,

— множественный коэффициент детерминации всего комплекса p факторов с результатом.

— множественный коэффициент детерминации без введения в модель фактора .

Данный коэффициент частной корреляции позволяет измерить тесноту связи между y и x_i при неизменном уравнении других факторов. Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается.

Коэффициенты парной корреляции называют коэффициентами нулевого порядка.

Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков можно определить через коэффициент частной корреляции более низких порядков по рекуррентной формуле.

;

Например, при двух факторах и i=1 данная формула имеет вид:

Для уравнения регрессии с тремя факторами частные коэффициенты корреляции второго порядка определяются на основе частных коэффициента корреляции первого порядка.

Подсчитанные по рекуррентной формуле частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до +1. А по формуле через множественные коэффициенты детерминации от 0 до 1.

В эконометрике частные коэффициенты корреляции не имеют самостоятельного значения. В основном их используют на стадии формирования модели в процедуре отсева факторов: строя многофакторную модель методом исключения переменных на первом шаге определяется уравнение регрессии с полным набором факторов и рассчитывается матрица частных коэффициентов корреляции. Далее выбирается фактор с наименьшей несущественной по t — критерию величиной частного коэффициента корреляции.

Исключив данный фактор из модели, строится новое уравнение регрессии и процедура продолжается до тех пор, пока не окажется, что все частные коэффициенты корреляции существенно отличаются от нуля. Если исключён несущественный фактор, то множественные коэффициенты детерминации на двух смежных шагах построение регрессионной модели почти не отличаются друг от друга, то есть , где р – число факторов.

Зная частные коэффициенты корреляции можно определить совокупный коэффициент корреляции по формуле:

Отбор факторов

Спецификация модели. Отбор факторов при построении уравнения множественной регрессии

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Он включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.

Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано прежде всего с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям.

1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.

2. Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.

Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, может привести к нежелательным последствиям – система нормальных уравнений может оказаться плохо обусловленной и повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии. Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретируемыми.

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором m факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации , который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии m факторов. Влияние других, не учтенных в модели факторов, оценивается как 1- с соответствующей остаточной дисперсией .

При дополнительном включении в регрессию m+1 фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться:

и .

Если же этого не происходит и данные показатели практически не отличаются друг от друга, то включаемый в анализ фактор не улучшает модель и практически является лишним фактором.

Мультиколлинеарность

Мультиколлинеарность (multicollinearity) — в эконометрике (регрессионный анализ) — наличие линейной зависимости между объясняющими переменными (факторами) регрессионной модели. При этом различают полную коллинеарность, которая означает наличие функциональной (тождественной) линейной зависимости и частичную или просто мультиколлинеарность — наличие сильной корреляции между факторами.

Полная коллинеарность приводит к неопределенности параметров в линейной регрессиионной модели независимо от методов оценки. Рассмотрим это на примере следующей линейной модели

Пусть факторы этой модели тождественно связаны следующим образом: . Тогда рассмотрим исходную линейную модель, в которой к первому коэффициенту добавим произвольное число a, а из двух других коэффициентов это же число вычтем. Тогда имеем (без случайной ошибки):

Таким образом, несмотря на относительно произвольное изменение коэффициентов модели мы получили ту же модель. Такая модель принципиально неидентифицируема. Неопределенность существует уже в самой модели. Если рассмотреть 3-мерное пространство коэффициентов, то в этом пространстве вектор истинных коэффициентов в данном случае не единственный, а представляет собой целую прямую линию! Любая точка этой прямой — истинный вектор коэффициентов.В связи с этим проблема полной коллинеарности факторов решается уже на стадии отбора переменных при моделировании и поэтому к проблеме качества эконометрических оценок параметров отношения не имеет. На практике чаще возникает другая ситуация — сильная корреляция между факторами.

Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно в силу следующих последствий:

1. Затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в «чистом» виде, ибо факторы коррелированы; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл.

2. Оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.

28.Оценка параметров уравнения множественной регресии…..фото

Частная корреляция

Ранжирование факторов в множественной линейной регрессии, может быть проведено через стандартизованные коэффициенты регрессии. Эту цель можно достигнуть с помощью частных коэффициентов корреляции для линейных связей. При нелинейной связи исследуемых признаков эту функцию выполняют частные индексы детерминации. Помимо этого, частные коэффициенты корреляции широко используют при решении проблемы отбора факторов: целесообразность включения фактора в модель может определяться величиной частных коэффициентов корреляции.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и фактором при устранении влияния другого фактора (или факторов), которые включенны в уравнение регрессии.

Показатели частной корреляции определяются как отношение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в регрессионную модель.

Частные коэффициенты корреляции, рассчитанные по рекуррентной формуле могут находиться в пределах от -1 до +1, а по формулам через множественные коэффициенты детерминации — от 0 до 1. Сравнивая их друг с другом можно ранжировать факторы по тесноте их связи с результатом.

Частные коэффициенты на основе стандартизованных коэффициентов регрессии (бета-коэффициентов) дают меру тесноты связи каждого фактора с показателем (результатом) в чистом виде. Если из стандартизованного уравнения регрессии следует, что бета 1 > бета 2 > бета 3, т.е. по силе влияния факторов на результат их порядок таков: х1, х2, х3, такой же порядок факторов определяется и по соотношению частных коэффициентов корреляции.

Для уравнения регрессии в стандартизованном виде, коэффициенты могут быть определены по формулам, исходя из решения системы нормальных уравнений:

Расчет частных коэффициентов корреляции, решая задачи по эконометрике, обычно проводят по формулам

Т.е. в двухфакторном анализе частные коэффициенты корреляции — это стандартизованные коэффициенты регрессии, которые умноженны на квадратный корень из соотношения долей остаточных дисперсий фиксируемого фактора на фактор и на результат. В эконометрике коэффициенты частной корреляции в основном не имеют самостоятельного значения. Их, как правило, используют на стадии формирования модели, зачастую в процедуре отсева факторов.

Источник: Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.