Частный случай решения уравнения это

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

Корни уравненияcosx=a.

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

Конспект по математике на тему «Частные случаи квадратных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное

здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики изучают формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Разберѐм некоторые из них.

где x -переменная, a, b, c — некоторые числа,

≠ 0 , называется квадратным уравнением .

Примеры: 5 2 −14 +17=0; 3 2 +5 =0; 3 2 −5 =0.

Из школьного курса нам известны формулы:

И теорема обратная теореме Виета, которая позволяет устно подбирать корни приведенного квадратного уравнения:

Если числа m и n таковы,

Часто можно обойтись без них. Рассмотрим некоторые приемы устного решения квадратных уравнений.

Мы заметили, что

1) Еслиа+в+с=0, то ₁ = ; ₂ =

Так как а+в+с=0 , то в = -(а + с) .

В уравнение ах 2 +вх+с=0 подставим

в = -(а + с), получим

а 2 -(а+с) +с=0,преобразуем:

откуда =1 или =

2) Если а + с = в, то = − ; = −

В уравнение а x 2 +в +с=0 подставим

в = а + с, получим

а 2 +(а + с) +с=0 , преобразуем:

откуда =-1 или =-

Например:

319 2 + 1988 + 1669 = 0, ₁ = −1; ₂ = ;

319 2 − 4 − 315 = 0, ₁ = 1; ₂ = − .

имеет корни : = − ; =

По формуле I найдем :

;

₁₌ — a ; ₂ =

Например:

2 — ( 2 +1) + = , имеет корни : = ; =

По формуле I найдем : ; ; ₁ ₌ a ; ₂ =

Например:

; ₁₌ -а; ₂₌

Например:

2 – ( 2 – ) − = , имеет корни : = ; = − .

Доказательство:

По формуле I найдем :

; ; ₁₌ а; ₂₌

Например:

Но это еще не все открытия , связанные с коэффициентами квадратного уравнения.

Тогда его можно записать в виде:

ах 2 +вх+ mn = 0 (1)

Сравним корни уравнения (1) с корнями уравнения а m х 2 +вх+ n =0 (2)

Замечаем, что при переброске одного из множителей свободного члена к старшему коэффициенту дискриминант не изменяется,
то есть D = b 2 -4 mn = b 2- 4 ac .

Корни уравнения (1) вычисляются по формуле:

, а уравнения (2) по формуле :

Делаем вывод, что корни уравнения (2) получаются делением корней уравнения (1) на переброшенный множитель.

Например, уравнение имеет корни х ₁₌₁ _, х ₂ =12 ,так как а+в+с=0, значит, уравнение имеет корни: х ₁ = ; х ₂ = 2

У равнение имеет корни х ₁ = ; х ₂ =4

Используя рассмотренные приемы, можно придумывать уравнения с рациональными корнями.

Например, возьмем уравнение : , корни которого мы уже

Свободный член 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12 . Отсюда уравнения:

Решим уравнение: 4 x 2 -21 x +5 =0 (1)

Получим уравнение:х 2 -21х+20=0, корнями которого будут числа 1 и 20.

Разделим найденные корни на старший коэффициент число 4, получим корни исходного уравнения (1) : ₁₌ 1/4; ₂ =5.

данные приемы заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках;

овладение данными приемами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения;

потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.

1) Если а+в+с=0, то = ; =

2) Если а + с = в, то = − ; = −

имеет корни: = − ; =

имеет корни: = ; =

имеет корни: = ; = − .

имеет корни: = − ; =

Глоссарий. Алгебра и геометрия

Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.

Виды тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения.
- Уравнение sin x = a
Если | a | > 1, то уравнение sin x = a не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней. Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ( —1) n arcsin a + πn, n ∈ Z. Частные случаи: 1. sin x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ Z. 2. sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn, n ∈ Z. 3. sin x = -1 ⇒ x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z.
Уравнение cos x = a
Если | a | > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos x = —1,5 не имеет корней. Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ±arccos a + πn, n ∈ Z. Частные случаи: 1. cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn, n ∈ Z. 2. cos x = 1 ⇒ x = 2πn, n ∈ Z. 3. cos x = -1 ⇒ x = π + 2πn, n ∈ Z.
Уравнение tg x = a
Уравнение tg x = a имеет корни при любом значении a. Корни уравнения выражаются формулой x = arctg a + πn, n ∈ Z.
Уравнение ctg x = a
Уравнение ctg x = a имеет корни при любом значении a. Корни уравнения выражаются формулой x = arcctg a + πn, n ∈ Z.
Разложение на множители.
Иррациональные тригонометрические уравнения.
Дробно-рациональные тригонометрические уравнения.
Введение дополнительного угла
Этот способ используется для уравнений вида a · sin x + b · cos x = с.

источники:
http://infourok.ru/konspekt-po-matematike-na-temu-chastnie-sluchai-kvadratnih-uravneniy-405671.html
http://edu.glavsprav.ru/info/trigonometricheskie-uravneniya/