РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.
19.1. Уравнение cos x = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравненияcosx=a.
При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)
2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.
Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).
Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда
Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,
Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,
Примеры решения задач
Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:
19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a
Объяснение и обоснование
1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a
Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке 
функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x1 = arctg a и для этого корня tg x = a.
Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:
При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).
Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctg a.
Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:
таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни
Примеры решения задач
Вопросы для контроля
- Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
- Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
- Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
- Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.
Упражнения
Решите уравнение (1-11)
Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)
Глоссарий. Алгебра и геометрия
Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.
Виды тригонометрических уравнений
- Простейшие тригонометрические уравнения.
- Уравнение sin x = a
Если | a | > 1, то уравнение sin x = a не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней. Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ( —1) n arcsin a + πn, n ∈ Z. Частные случаи: 1. sin x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ Z. 2. sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn, n ∈ Z. 3. sin x = -1 ⇒ x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z.
Уравнение cos x = a
Если | a | > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos x = —1,5 не имеет корней. Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ±arccos a + πn, n ∈ Z. Частные случаи: 1. cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn, n ∈ Z. 2. cos x = 1 ⇒ x = 2πn, n ∈ Z. 3. cos x = -1 ⇒ x = π + 2πn, n ∈ Z.
Уравнение tg x = a
Уравнение tg x = a имеет корни при любом значении a. Корни уравнения выражаются формулой x = arctg a + πn, n ∈ Z.
Уравнение ctg x = a
Уравнение ctg x = a имеет корни при любом значении a. Корни уравнения выражаются формулой x = arcctg a + πn, n ∈ Z.
Разложение на множители.
Иррациональные тригонометрические уравнения.
Дробно-рациональные тригонометрические уравнения.
Введение дополнительного угла
Этот способ используется для уравнений вида a · sin x + b · cos x = с.
Частные случаи простейших тригонометрических уравнений
Решение простейших тригонометрических уравнений вида: sin x = a , cos x = a, tg x = a , ctg x = a, где a – произвольное число.
Решите уравнение sin x = a, a ∈ [–1; 1].
Уравнение Решение sin x = -1 
sin x = -√3/2 sin x = -1/2 sin x = 0 sin x = 1/2 sin x = √2/2 sin x = √3/2 sin x = 1 Решите уравнение cos x = a, a ∈ [–1; 1].
Уравнение Решение cos x = -1 cos x = -√3/2 cos x = -√2/2 cos x = -1/2 cos x = 0 cos x = 1/2 cos x = √2/2 cos x = √3/2 cos x = 1 Решите уравнение tg x = a
Уравнение Решение tg x = -√3 tg x = -1 tg x = -√3/3 tg x = 0 tg x = √3/3 tg x = 1 tg x = √3 Решите уравнение сtg x = a
Уравнение Решение сtg x = -√3 сtg x = -1 сtg x = -√3/3 сtg x = 0 сtg x = √3/3 сtg x = 1 сtg x = √3 Все эти значения удобно находить по тригонометрическому кругу:
Ключевые слова: синус, косинус, тангенс, котангенс, tan, cot, от икс, чему равен, минус, корень из, пи, pi, π, делить на, равно.
источники:http://edu.glavsprav.ru/info/trigonometricheskie-uravneniya/
http://ege314.ru/teoriya/chastnye-sluchai-prosteyshih-trigonometricheskih-uravneniy/
