Чем отличается линейное уравнение от обычного уравнения

Разница между линейным уравнением и нелинейным уравнением

• Share on Facebook
• Tweet
• Share on Google+
• Post to Tumblr
• Pin it
• Add to Pocket
• Send email

Линейное уравнение против нелинейного уравнения

В математике алгебраические уравнения — это уравнения, которые формируются с использованием полиномов. Когда явно написано, уравнения будут иметь вид P (Икс) = 0, где Икс является вектором из n неизвестных переменных, а P является полиномом. Например, P (x, y) = 4x 5 + ху 3 + y + 10 = 0 — алгебраическое уравнение с двумя переменными, записанными явно. Кроме того, (х + у) 3 = 3x 2 y — 3zy 4 является алгебраическим уравнением, но в неявном виде и примет вид Q (x, y, z) = x 3 + Y 3 + 3xy 2 +3zy 4 = 0, однажды написано явно.

Важной характеристикой алгебраического уравнения является его степень. Он определяется как наибольшая степень членов, встречающихся в уравнении. Если термин состоит из двух или более переменных, сумма показателей каждой переменной будет приниматься за степень этого термина. Заметим, что согласно этому определению P (x, y) = 0 имеет степень 5, тогда как Q (x, y, z) = 0 имеет степень 5.

Линейные уравнения и нелинейные уравнения являются двухраздельными, определенными на множестве алгебраических уравнений. Степень уравнения является фактором, который отличает их друг от друга.

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение степени 1. Например, 4x + 5 = 0 — это линейное уравнение одной переменной. x + y + 5z = 0 и 4x = 3w + 5y + 7z — линейные уравнения для 3 и 4 переменных соответственно. В целом, линейное уравнение из n переменных примет вид m₁Икс₁ + м₂Икс₂ +… + М_н-1Икс_н-1 + м_NИкс_N = б. Здесь х_яэто неизвестные переменные, м_яs и b являются действительными числами, где каждый из m_я ненулевой.

Такое уравнение представляет гиперплоскость в n-мерном евклидовом пространстве. В частности, линейное уравнение с двумя переменными представляет прямую линию в декартовой плоскости, а линейное уравнение с тремя переменными представляет плоскость в евклидовом 3-пространстве.

Что такое нелинейное уравнение?

Квадратичное уравнение является алгебраическим уравнением, которое не является линейным. Другими словами, нелинейное уравнение является алгебраическим уравнением степени 2 или выше. Икс 2 + 3x + 2 = 0 — нелинейное уравнение с одной переменной. Икс 2 + Y 3 + 3xy = 4 и 8yzx 2 + Y 2 + 2z 2 + x + y + z = 4 — примеры нелинейных уравнений с 3 и 4 переменными соответственно.

Нелинейное уравнение второй степени называется квадратным уравнением. Если степень равна 3, то она называется кубическим уравнением. Уравнения степени 4 и степени 5 называются уравнениями четвертого и четвертого порядка соответственно. Было доказано, что не существует аналитического метода для решения любого нелинейного уравнения степени 5, и это верно для любой более высокой степени. Разрешаемые нелинейные уравнения представляют гиперповерхности, которые не являются гиперплоскостями.

В чем разница между линейным уравнением и нелинейным уравнением?

• Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение степени 1, но нелинейное уравнение — это алгебраическое уравнение степени 2 или выше..

• Даже если любое линейное уравнение аналитически разрешимо, это не относится к нелинейным уравнениям.

• В n-мерном евклидовом пространстве пространство решений линейного уравнения с n-переменной является гиперплоскостью, в то время как нелинейное уравнение с n-переменной является гиперплоскостью, которая не является гиперплоскостью. (Квадрики, кубические поверхности и т. Д.)

Разница между линейным уравнением и квадратным уравнением

Разница между линейным уравнением и квадратным уравнением — Наука

Содержание:

Линейное уравнение против квадратного уравнения

В математике алгебраические уравнения — это уравнения, которые составлены с использованием полиномов. В явном виде уравнения будут иметь вид P (Икс) = 0, где Икс вектор из n неизвестных переменных, а P — многочлен. Например, P (x, y) = x 4 + y 3 + х 2 y + 5 = 0 — алгебраическое уравнение двух переменных, записанное явно. Также (x + y) 3 = 3x 2 у — 3zy 4 является алгебраическим уравнением, но в неявной форме. Он будет иметь вид Q (x, y, z) = x 3 + y 3 + 3xy 2 + 3zy 4 = 0, когда-то написано явно.

Важной характеристикой алгебраического уравнения является его степень. Он определяется как наивысшая степень членов уравнения. Если терм состоит из двух или более переменных, сумма показателей каждой переменной будет считаться мощностью члена. Заметим, что согласно этому определению P (x, y) = 0 имеет степень 4, а Q (x, y, z) = 0 — степень 5.

Линейные уравнения и квадратные уравнения — это два разных типа алгебраических уравнений. Степень уравнения — это фактор, который отличает их от остальных алгебраических уравнений.

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение степени 1. Например, 4x + 5 = 0 — это линейное уравнение одной переменной. x + y + 5z = 0 и 4x = 3w + 5y + 7z — линейные уравнения с 3 и 4 переменными соответственно. В общем случае линейное уравнение от n переменных будет иметь вид m₁Икс₁ + м₂Икс₂ +… + М_п-1Икс_п-1 + м_пИкс_п = б. Здесь x_яS — неизвестные переменные, m_яS и b — действительные числа, где каждое из m_я не равно нулю.

Такое уравнение представляет собой гиперплоскость в n-мерном евклидовом пространстве. В частности, линейное уравнение с двумя переменными представляет собой прямую линию в декартовой плоскости, а линейное уравнение с тремя переменными представляет собой плоскость в трехмерном евклидовом пространстве.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение второй степени. Икс 2 + 3x + 2 = 0 — квадратное уравнение с одной переменной. Икс 2 + y 2 + 3x = 4 и 4x 2 + y 2 + 2z 2 + x + y + z = 4 — примеры квадратных уравнений от 2-х и 3-х переменных соответственно.

В случае одной переменной квадратное уравнение в общем виде имеет вид ax 2 + bx + c = 0. Где a, b, c — действительные числа, из которых «a» не равно нулю. Дискриминант ∆ = (b 2 — 4ac) определяет характер корней квадратного уравнения. Корни уравнения будут действительно различными, действительно похожими и сложными, в зависимости от того, является ли ∆ положительным, нулевым и отрицательным. Корни уравнения легко найти по формуле x = (- b ± √∆) / 2a.

В случае двух переменных общая форма будет иметь вид ax 2 + по 2 + cxy + dx + ex + f = 0, и это представляет собой конику (параболу, гиперболу или эллипс) в декартовой плоскости. В более высоких измерениях этот тип уравнений представляет собой гиперповерхности, известные как квадрики.

В чем разница между линейными и квадратными уравнениями?

• Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение степени 1, тогда как квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение степени 2.

• В n-мерном евклидовом пространстве пространство решений линейного уравнения с n переменными является гиперплоскостью, а пространство решений квадратного уравнения с n переменными — квадратичной поверхностью.

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.