9 ЛМБУУ

9.1 тБЪМЙЮОЩЕ ЮЙУМБ a, b Й У ФБЛПЧЩ, ЮФП ХТБЧОЕОЙС
x 2 +ax+1=0 Й x 2 +bx+c=0 ЙНЕАФ ПВЭЙК ДЕКУФЧЙФЕМШОЩК ЛПТЕОШ. лТПНЕ ФПЗП, ПВЭЙК ДЕКУФЧЙФЕМШОЩК ЛПТЕОШ ЙНЕАФ ХТБЧОЕОЙС x 2 +x+a=0 Й x 2 +cx+b=0. оБКДЙФЕ УХННХ a+b+c.
( о. бЗБИБОПЧ )

9.2 фБОС ЪБДХНБМБ ОБФХТБМШОПЕ ЮЙУМП X 100, Б CБЫБ РЩФБЕФУС ЕЗП ХЗБДБФШ. пО ЧЩВЙТБЕФ РБТХ ОБФХТБМШОЩИ ЮЙУЕМ M Й N, НЕОШЫЙИ 100, Й ЪБДБЈФ ЧПРТПУ: «юЕНХ ТБЧЕО ОБЙВПМШЫЙК ПВЭЙК ДЕМЙФЕМШ X+M Й N ?» дПЛБЦЙФЕ, ЮФП уБЫБ НПЦЕФ ХЗБДБФШ ФБОЙОП ЮЙУМП, ЪБДБЧ 7 ФБЛЙИ ЧПРТПУПЧ.
( б. зПМПЧБОПЧ )

9.3 рХУФШ O — ГЕОФТ ПРЙУБООПК ПЛТХЦОПУФШ w ПУФТПХЗПМШОПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC. пЛТХЦОПУФШ w 1 У ГЕОФТПН K РТПИПДЙФ ЮЕТЕЪ ФПЮЛЙ A, O, C Й РЕТЕУЕЛБЕФ УФПТПОЩ AB Й BC Ч ФПЮЛБИ M Й N. йЪЧЕУФОП, ЮФП ФПЮЛЙ L Й K УЙННЕФТЙЮОЩ ПФОПУЙФЕМШОП РТСНПК NM. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП BL | AC.
( н. уПОЛЙО )

9.4 ч УФТБОЕ ОЕУЛПМШЛП ЗПТПДПЧ, ОЕЛПФПТЩЕ РБТЩ ЗПТПДПЧ УПЕДЙОЕОЩ ДПТПЗБНЙ. рТЙ ЬФПН ЙЪ ЛБЦДПЗП ЗПТПДБ ЧЩИПДЙФ ИПФС ВЩ 3 ДПТПЗЙ. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП УХЭЕУФЧХЕФ ГЙЛМЙЮЕУЛЙК НБТЫТХФ, ДМЙОБ ЛПФПТПЗП ОЕ ДЕМЙФУС ОБ 3.
( д. лБТРПЧ )

10 ЛМБУУ

10.1 оБКДЙФЕ УХННХ

[1/3] + [2/3] + [2 2 /3] + [2 3 /2] + . + [2 1000 /3] .

10.2 рХУФШ -1 1 2 n 1 ) 13 +(x 2 ) 13 +. +(x n ) 13 = x 1 +x 2 +. +x n .

дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЕУМЙ y 1 2 n , ФП

(x 1 ) 13 y 1 +(x 2 ) 13 y 2 +. +(x n ) 13 y n 1 y 1 +x 2 y 2 +. +x n y n .

10.3 ч ПУФТПХЗПМШОПН ОЕТБЧОПВЕДТЕООПН ФТЕХЗПМШОЙЛЕ ABC ВЙУУЕЛФТЙУБ ПУФТПЗП ХЗМБ НЕЦДХ ЧЩУПФБНЙ AA 1 Й CC 1 РЕТЕУЕЛБЕФ УФПТПОЩ AB Й BC Ч ФПЮЛБИ P Й Q УППФЧЕФУФЧЕООП. вЙУУЕЛФТЙУБ ХЗМБ B РЕТЕУЕЛБЕФ ПФТЕЪПЛ, УПЕДЙОСАЭЙК ПТФПГЕОФТ ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC У УЕТЕДЙОПК УФПТПОЩ AC, Ч ФПЮЛЕ R. дПЛБЦЙФЕ ЮФП ФПЮЛЙ P, B, Q Й R МЕЦБФ ОБ ПДОПК ПЛТХЦОПУФЙ.
( у. вЕТМПЧ )

10.4 йНЕАФУС РСФШ ЧОЕЫОЕ ПДЙОБЛПЧЩИ ЗЙТШ У РПРБТОП ТБЪМЙЮОЩНЙ НБУУБНЙ. тБЪТЕЫБЕФУС ЧЩВТБФШ МАВЩЕ ФТЙ ЙЪ ОЙИ A, B Й C Й УРТПУЙФШ, ЧЕТОП МЙ, ЮФП m(A) п. рПДМЙРУЛЙК )

11 ЛМБУУ

11.1 оБКДЙФЕ ЧУЕ ЖХОЛГЙЙ f : R -> R , ЛПФПТЩЕ ДМС ЧУЕИ x, y, z C R ХДПЧМЕФЧПТСАФ ОЕТБЧЕОУФЧХ

f(x+y) + f(y+z) + f(z+x) > 3f(x+2y+3z)

( о. бЗБИБОПЧ, п. рПДМЙРУЛЙК )

11.2 дПЛБЦЙФЕ, ЮФП НПЦОП ТБЪВЙФШ ЧУЈ НОПЦЕУФЧП ОБФХТБМШОЩИ ЮЙУЕМ ОБ 100 ОЕРХУФЩИ РПДНОПЦЕУФЧ ФБЛ, ЮФПВЩ Ч МАВПК ФТПКЛЕ a, b, c ФБЛПК ЮФП a+99b=c ОБЫМЙУШ ДЧБ ЮЙУМБ ЙЪ ПДОПЗП РПДНОПЦЕУФЧБ.
( д. дЦХЛЙЮ, ж. рЕФТПЧ, й. вПЗДБОПЧ, у. вЕТМПЧ )

11.3 оБ ЛППТДЙОБФОПК РМПУЛПУФЙ ДБО ЧЩРХЛМЩК РСФЙХЗПМШОЙЛ ABCDE У ЧЕТЫЙОБНЙ Ч ГЕМЩИ ФПЮЛБИ. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЧОХФТЙ ЙМЙ ОБ ЗТБОЙГЕ РСФЙХЗПМШОЙЛБ A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 (УН. ТЙУ.) ЕУФШ ИПФС ВЩ ПДОБ ГЕМБС ФПЮЛБ.

( ч. дПМШОЙЛПЧ, й. вПЗДБОПЧ )

11.4 дБОБ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ ОЕПФТЙГБФЕМШОЩИ ГЕМЩИ ЮЙУЕМ a 1 , a 2 , . a n . дМС МАВПЗП k ПФ 1 ДП n ПВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ m k ЧЕМЙЮЙОХ

дПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЙ МАВПН a >0 ЮЙУМП ФЕИ k, ДМС ЛПФПТЩИ m k > a , НЕОШЫЕ, ЮЕН (a 1 +a 2 +. +a n )/ a
( ч. дПМШОЙЛПЧ )

чФПТПК ДЕОШ (15.04.2000)

9 ЛМБУУ

9.5 оБ ДПУЛХ РПУМЕДПЧБФЕМШОП ЧЩРЙУЩЧБАФУС ЮЙУМБ a 1 =1, a 2 , a 3 , . РП УМЕДХАЭЙН РТБЧЙМБН: a n+1 =a n -2, ЕУМЙ ЮЙУМП a n -2 — ОБФХТБМШОПЕ Й ЕЭЈ ОЕ ЧЩРЙУБОП ОБ ДПУЛХ, Ч РТПФЙЧОПН УМХЮБЕ a n+1 =a n +3. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЧУЕ ЛЧБДТБФЩ ОБФХТБМШОЩИ ЮЙУЕМ РПСЧСФУС Ч ЬФПК РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ РТЙ РТЙВБЧМЕОЙЙ 3 Л РТЕДЩДХЭЕНХ ЮЙУМХ.
( о. бЗБИБОПЧ )

9.6 ч ОЕЛПФПТЩИ ЛМЕФЛБИ ДПУЛЙ 2n*2n УФПСФ ЮЈТОЩЕ Й ВЕМЩЕ ЖЙЫЛЙ. у ДПУЛЙ УОБЮБМБ УОЙНБАФ ЧУЕ ЮЈТОЩЕ ЖЙЫЛЙ, ЛПФПТЩЕ УФПСФ Ч ПДОПК ЧЕТФЙЛБМЙ У ЛБЛПК-МЙВП ВЕМПК, Б ЪБФЕН ЧУЕ ВЕМЩЕ ЖЙЫЛЙ, УФПСЭЙЕ Ч ПДОПК ЗПТЙЪПОФБМЙ У ЛБЛПК-МЙВП ЙЪ ПУФБЧЫЙИУС ЮЈТОЩИ. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП МЙВП ЮЈТОЩИі МЙВП ВЕМЩИ ЖЙЫЕЛ ОБ ДПУЛЕ ПУФБМПУШ ОЕ ВПМЕЕ n 2 .
( у. вЕТМПЧ )

9.7 оБ НЕДЙБОЕ CD ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC ПФНЕЮЕОБ ФПЮЛБ E. пЛТХЦОПУФШ S 1 , РТПИПДСЭБС ЮЕТЕЪ E Й ЛБУБАЭБСУС РТСНПК AB Ч ФПЮЛЕ A, РЕТЕУЕЛБЕФ УФПТПОХ AC Ч ФПЮЛЕ M. пЛТХЦОПУФШ S 2 , РТПИПДСЭБС ЮЕТЕЪ е Й ЛБУБАЭБСУС РТСНПК AB Ч ФПЮЛЕ B, РЕТЕУЕЛБЕФ УФПТПОХ BC Ч ФПЮЛЕ N. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ПРЙУБООБС ПЛТХЦОПУФШ ФТЕХЗПМШОЙЛБ CMN ЛБУБЕФУС S 1 Й S 2 .
( н. уПОЛЙО )

9.8 рП ПЛТХЦОПУФЙ ТБУУФБЧМЕОП 100 ОБФХТБМШОЩИ ЮЙУЕМ, ЧЪБЙНОП РТПУФЩИ Ч УПЧПЛХРОПУФЙ. тБЪТЕЫБЕФУС РТЙВБЧМСФШ Л МАВПНХ ЮЙУМХ ОБЙВПМШЫЙК ПВЭЙК ДЕМЙФЕМШ ЕЗП УПУЕДЕК. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЙ РПНПЭЙ ФБЛЙИ ПРЕТБГЙК НПЦОП УДЕМБФШ ЧУЕ ЮЙУМБ РПРБТОП ЧЪБЙНОП РТПУФЩНЙ.
( у. вЕТМПЧ )

10 ЛМБУУ

10.5 рХУФШ M — ЛПОЕЮОПЕ НОПЦЕУФЧП ЮЙУЕМ. йЪЧЕУФОП, ЮФП УТЕДЙ МАВЩИ ФТЈИ ЕЗП ЬМЕНЕОФПЧ ОБКДХФУС ДЧБ, УХННБ ЛПФПТЩИ РТЙОБДМЕЦЙФ M. лБЛПЕ ОБЙВПМШЫЕЕ ЮЙУМП ЬМЕНЕОФПЧ НПЦЕФ ВЩФШ Ч M?
( е. юЕТЕРБОПЧ )

10.6 уПЧЕТЫЕООПЕ ЮЙУМП, ВПМШЫЕЕ 6, ДЕМЙФУС ОБ 3. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ПОП ДЕМЙФУС ОБ 9. (оБФХТБМШОПЕ ЮЙУМП ОБЪЩЧБЕФУС УПЧЕТЫЕООЩН , ЕУМЙ ПОП ТБЧОП УХННЕ ЧУЕИ УЧПЙИ ДЕМЙФЕМЕК, ПФМЙЮОЩИ ПФ УБНПЗП ЮЙУМБ, ОБРТЙНЕТ 6=1+2+3.)
( б. иТБВТПЧ )

10.7 дБОЩ ДЧЕ ПЛТХЦОПУФЙ, ЛБУБАЭЙЕУС ЧОХФТЕООЙН ПВТБЪПН ФПЮЛЙ N. иПТДЩ BA Й BC ЧОЕЫОЕК ПЛТХЦОПУФЙ ЛБУБАФУС ЧОХФТЕООЕК Ч ФПЮЛБИ K Й M УППФЧЕФУФЧЕООП. рХУФШ Q Й P — УЕТЕДЙОЩ ДХЗ AB Й BC, ОЕ УПДЕТЦБЭЙИ ФПЮЛХ N. пЛТХЦОПУФЙ, ПЛПМП ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ BQK Й BPM, РЕТЕУЕЛБАФУС ЧФПТПК ТБЪ Ч ФПЮЛЕ B 1 . дПЛБЦЙФЕ, ЮФП BPB 1 Q — РБТБММЕМПЗТБНН.
( ф. еНЕМШСОПЧ )

10.8 оБ РТСНПХЗПМШОПН УФПМЕ МЕЦБФ ТБЧОЩЕ ЛБТФПООЩЕ ЛЧБДТБФЩ k ТБЪМЙЮОЩИ ГЧЕФПЧ УП УФПТПОБНЙ, РБТБММЕМШОЩНЙ УФПТПОБН УФПМБ. еУМЙ ТБУУНПФТЕФШ МАВЩЕ k ЛЧБДТБФПЧ ТБЪМЙЮОЩИ ГЧЕФПЧ, ФП ЛБЛЙЕ-ОЙВХДШ ДЧБ ЙЪ ОЙИ НПЦОП РТЙВЙФШ Л УФПМХ ПДОЙН ЗЧПЪДЈН. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЧУЕ ЛЧБДТБФЩ ОЕЛПФПТПЗП ГЧЕФБ НПЦОП РТЙВЙФШ Л УФПМХ 2k-2 ЗЧПЪДСНЙ.
( ч. дПМШОЙЛПЧ )

11 ЛМБУУ

11.5 дПЛБЦЙФЕ ОЕТБЧЕОУФЧП

sin n (2x) + (sin n x — cos n x) 2 1 .

11.6 уПЧЕТЫЕООПЕ ЮЙУМП, ВПМШЫЕЕ 28, ДЕМЙФУС ОБ 7. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ПОП ДЕМЙФУС ОБ 49. (оБФХТБМШОПЕ ЮЙУМП ОБЪЩЧБЕФУС УПЧЕТЫЕООЩН , ЕУМЙ ПОП ТБЧОП УХННЕ ЧУЕИ УЧПЙИ ДЕМЙФЕМЕК, ПФМЙЮОЩИ ПФ УБНПЗП ЮЙУМБ, ОБРТЙНЕТ 6=1+2+3.)
( б. иТБВТПЧ )

11.7 юЕФЩТЈИХЗПМШОЙЛ ABCD ПРЙУБО ПЛПМП ПЛТХЦОПУФЙ w . рТПДПМЦЕОЙС УФПТПО AB Й CD РЕТЕУЕЛБАФУС Ч ФПЮЛЕ O. пЛТХЦОПУФШ w 1 ЛБУБЕФУС УФПТПОЩ BC Ч ФПЮЛЕ K Й РТПДПМЦЕОЙК УФПТПО AB Й CD, ПЛТХЦОПУФШ w 2 ЛБУБЕФУС УФПТПОЩ AD Ч ФПЮЛЕ L Й РТПДПМЦЕОЙК УФПТПО AB Й CD. йЪЧЕУФОП, ЮФП ФПЮЛЙ O, K, L МЕЦБФ ОБ ПДОПК РТСНПК. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП УЕТЕДЙОЩ УФПТПО BC, AD Й ГЕОФТ ПЛТХЦОПУФЙ w МЕЦБФ ОБ ПДОПК РТСНПК.
( р. лПЦЕЧОЙЛПЧ )

11.8 лМЕФЛЙ ФБВМЙГЩ 100*100 ПЛТБЫЕОЩ Ч 4 ГЧЕФБ ФБЛ, ЮФП Ч МАВПК УФТПЛЕ Й Ч МАВПН УФПМВГЕ ТПЧОП РП 25 ЛМЕФПЛ ЛБЦДПЗП ГЧЕФБ. дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ОБКДХФУС ДЧЕ УФТПЛЙ Й ДЧБ УФПМВГБ, ЧУЕ ЮЕФЩТЕ ЛМЕФЛЙ ОБ РЕТЕУЕЮЕОЙЙ ЛПФПТЩИ ПЛТБЫЕОЩ Ч ТБЪОЩЕ ГЧЕФБ.
( у. вЕТМПЧ )

Прыжки Виета

Задача

Натуральные числа a и b таковы, что a 2 + b 2 + 1 делится на ab без остатка. Докажите, что частное равно 3.

Подсказка 1

Одной из возможных пар чисел, удовлетворяющих условию, является (1, 1), а еще двумя — (1, 2) и (2, 1). Убедитесь, что для всех этих пар частное равно 3.

Подсказка 2

В качестве пары (a, b) можно брать любые два соседних числа в последовательности 1, 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, . Попробуйте угадать, как образована эта последовательность, и доказать этот факт.

Подсказка 3

Постарайтесь доказать, что других решений, кроме пар чисел, перечисленных во второй подсказке, нет.

Решение

Сначала приведем «рафинированное» (в том же смысле, в котором рафинируют растительное масло, то есть очищенное от посторонних примесей) рассуждение, в котором никак не используются те сакральные сведения, которые мы упоминали в подсказках.

Пусть \(k=\frac\). Если (а почему бы и нет?) a = b, то условие состоит в том, что 2a 2 + 1 делится на a 2 . Поскольку 2a 2 всегда делится на a 2 , то 1 также должно делиться на a 2 , откуда a = 1. Но при a = b = 1 получаем \(k=\frac<1+1+1><1>=3\), то есть для этого случая мы всё доказали.

Пусть теперь a ≠ b. Без ограничения общности можно считать a большим из двух чисел (то есть a > b). Попытаемся найти другую пару натуральных чисел (a’, b’), которая также будет удовлетворять условию задачи, но будет меньше исходной.

Перепишем уравнение, связывающее a, b и k, в виде a 2 − kab + b 2 + 1 = 0. А чтобы было еще лучше понятно, что мы собираемся делать, вместо a напишем x. Это — квадратное уравнение (относительно x): \(x^2-kb\cdot x + (b^2+1)=0\). Мы не будем его решать, но вспомним, что его корни x₁ и x₂ (если они есть!) удовлетворяют теореме Виета:

\[x_1+x_2 =kb,\] \[x_1\cdot x_2=b^2+1.\]

Таким образом, числа x₂ и b тоже удовлетворяют условию задачи, то есть \(x_2^2+b^2+1\) делится на x₂b, и частное от деления равно тому же числу k. При этом, поскольку мы предположили, что a > b, то \(x_2=\frac\le \frac 1. Тогда в качестве меньшей пары мы можем взять пару (b, x₂).

Получается, что если b > 1, то теорема Виета дает нам возможность сделать «прыжок» от решения (a, b) к меньшему решению (a’, b’) = (b, kb − a).

А что будет, когда прыжки приведут нас к b = 1 (очевидно ведь, это рано или поздно должно случиться)?

При b = 1 уравнение будет иметь вид x 2 − kx + 2 = 0. Поскольку оно имеет натуральный корень a, а по теореме Виета произведение корней равно 2, то второй корень равен 2/a. А поскольку он же равен целому числу k − a, то a должно быть делителем числа 2. Это даёт две возможности:

1) если a = 2, то 4 − 2k + 2 = 0, откуда k = 3.
2) если a = 1, то 1 − k + 2 = 0, откуда снова k = 3.

Поскольку k оставалось одним и тем же при всех сделанных «прыжках», то k = 3 для любой пары чисел (a, b). На этом решение закончено.

А теперь попробуем разобраться, что именно мы делали и как пришли к нужному результату. Благодаря подсказкам было известно, что пара чисел (a, b), удовлетворяющая условию задачи, это какая-то из пар (1, 1), (1, 2), (2, 5), (5, 13), (13, 34), (34, 89) и т. д. Закономерность, которая прямо не бросалась в глаза, но наверняка была замечена при попытках решения, выглядит так: если между каждыми двумя числами пары вписать еще их разность, то получатся числа Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . Для этой последовательности соотношение, связывающее три её последовательных члена, очень хорошо известно: f_n+2 = f_n + f_n+1. А так как «нашей» последовательностью являются числа Фибоначчи с четными номерами, то можно записать рекуррентное соотношение и для нее:

Действительно, 5 = 3·2 − 1, 13 = 3·5 − 2, 34=3·13 − 5 и так далее.

Здесь множитель 3 — тот самый, который мы обозначили в начале решения буквой k. Но мы-то не можем опираться на то, что нам нужно доказать, правда? И вот тут на помощь и приходит теорема Виета, благодаря которой переход от одного решения к соседнему делается совсем просто — «прыжком». При прыжке мы можем не знать, чему равно значение k, но гарантированно сдвинемся от большего решения к меньшему, сохранив то же самое значение k. А значит, рано или поздно дойдем до «наименьшего» решения. Дальнейшее уже — дело техники.

Послесловие

В статье английской Википедии Vieta jumping утверждается, что этот прием решения задач появился только в 1988 году в связи с задачей, предлагавшейся от Австралии на Международную олимпиаду школьников. Вот эта задача:

Пусть a и b — натуральные числа, для которых a 2 + b 2 делится на ab + 1. Докажите, что частное от этого деления — точный квадрат.

При этом пересказывается забавная история, впервые описанная в книге Артура Энгеля «Стратегии решения задач»:

«Никто из шести членов Австралийского задачного комитета не сумел решить ее. Двумя из этих членов были Дьердь Секереш и его жена, оба известные авторы и решатели задач. Поскольку эта задача относилась к теории чисел, ее послали четверым наиболее известным специалистам по теории чисел в Австралии. Их попросили подумать над задачей не более шести часов. В отведенное время никто из них не уложился. Поэтому задачный комитет предложил задачу в жюри XXIX Международной олимпиады, пометив ее двумя звёздочками, что означало очень высокую сложность, возможно, слишком высокую для олимпиады. После продолжительной дискуссии, жюри согласилось выбрать ее в качестве последней, самой трудной задачи олимпиады. 11 участников получили полные решения.»

На самом деле, безусловно, приём «прыжка» был известен задолго до этой олимпиады. В частности, задача, которую мы обсуждали, является частным случаем исследования хорошо известного диофантового уравнения Маркова, впервые исследованного замечательным русским математиком Андреем Андреевичем Марковым еще в XIX веке.

Уравнение Маркова имеет вид

Если положить в нём c = 1, получится ровно то уравнение, которым мы занимались. А существуют ли у уравнения Маркова решения, в которых c не равно 1? Безусловно, существуют. И у читателя уже есть всё необходимое для того, чтобы их найти.

Еще одной интереснейшей иллюстрацией идеи «прыжка Виета» могут служить множества Аполлония — семейства окружностей, в котором каждая касается трех других (рис. 1, см.: Apollonian gasket).

Если из такого семейства взять четверку окружностей, которые попарно касаются, то для их радиусов справедлива формула, впервые открытая знаменитым химиком (!) Фредериком Содди:

Если вместо радиусов r_i окружностей рассматривать их кривизны k_i (величины, обратные радиусам), то из формулы уходят сложные дроби:

Например, для четырех самых больших кругов на рисунке 1 кривизны равны −1, 2, 2 и 3 (знак «минус» пришлось поставить из-за того, что касание внутреннее). А отсюда, как может догадаться проницательный читатель, осталось всего полшага до утверждения о том, что кривизна каждого круга в (бесконечном) множестве Аполлония — целое число, и все эти числа могут быть получены друг из друга с помощью прыжков Виета.

Об уравнении Маркова можно прочитать в замечательной статье М. Г. Крейна «Диофантово уравнение А. А. Маркова», о фрактальных множествах Аполлония — в исследовании К. Миллер (на английском). Несколько красивых задач, в решении которых используется прием прыжка, можно найти здесь и здесь.