Численное решение алгебраических трансцендентных уравнений

Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel

Цель урока: Совершенствование умений и навыков по теме «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений», применяя возможности MS Excel по решению алгебраических и трансцендентных уравнений. Отработать практическое освоение соответствующих умений и навыков.

Задачи урока:

• Образовательные – совершенствование умений студентов при решении алгебраических и трансцендентных уравнений в среде электронных таблиц MS Excel. Выработать умение применять теоретические знания в практических расчетах;
• Развивающие – познакомить студентов с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений. Развивать у студентов математическую речь: создать ситуацию для применения основных понятий в речи; абстрактное мышление: создать ситуацию предъявления материала от общего к частному и от частного к общему, стимулировать самостоятельное обобщение материала сильными студентами;творческого мышления через создание условий для самореализации творческого потенциала обучающихся;
• Воспитательные – выработать у студентов умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач. Воспитывать интерес к предмету через ситуацию успеха и взаимодоверия;ответственность перед самим собой.

Тип урока: комбинированный урок.

Вид урока: практическое занятие, продолжительность – 2 часа.

Оборудование урока:

• Компьютеры с OS MS Windows;
• Программа Microsoft Excel;
• Презентация по теме, выполненная в программе PowerPoint;
• Карточки с заданиями для самостоятельной работы.

Структура урока:

1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок;

1.2.Фронтальный опрос с целью выявления основных этапов решения задач с использованием ЭВМ;

1.3. Постановка задачи с целью повторения алгоритма решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] различными методами;

1.4.Подведение итогов 1 этапа урока.

2.Применение знаний, формирование умений и навыков:

2.1.Беседа с целью формулировки задания для самостоятельной работы и инструктажа по ее организации;

2.2.Самостоятельная работа в группах по выполнению задания различными методами решения алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.

2.3.Подведение итога урока.

В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft PowerPoint.

ХОД УРОКА

1. Актуализация знаний

Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок.

На прошлых уроках мы с вами рассмотрели алгебраические и трансцендентные уравнения, выделили методы их решения и решали данные уравнения ручным счетом. А на сегодняшнем занятии мы будем совершенствовать умения и навыки при решении алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.

Поэтому нам необходимо вспомнить и повторить знания, которые потребуются на этом уроке. В чем заключается процесс решения задачи с использованием ЭВМ?

В общем случае процесс решения задачи с использованием ЭВМ состоит из следующих этапов:

• 1.Постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования);
• 2.Выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации);
• 3.Запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ (этап программирования);
• 4.Отладка и использования программы на ЭВМ (этап реализации);
• 5.Анализ полученных результатов (этап интерпретации).

— В чем заключается постановка задачи?

— Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) — интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью.

— В чем заключается общая постановка задачи?

— Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения f(x) =0, где f(x) – алгебраическая или трансцендентная функция.

— Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические)

— В чем заключается задача численного нахождения корней уравнения?

— Задача численного нахождения корней уравнения состоит из двух этапов:

1. Отделение (локализация) корня;

2. Приближенное вычисление корня до заданной точности(уточнение корней)

— Какая задача называется уточнения корня?

-Уточнение корня. Если искомый корень уравнения f(x)=0, отделен, т.е. определен отрезок [a,b], на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближенное значение коня с заданной точностью.

— Какими методами можно производить уточнения корня?

— Уточнения корня можно производить различными методами:

1) Метод половинного деления (бисекции);

2) Метод итераций;

3) Метод хорд (секущих);

4) Метод касательных (Ньютона);

5) Комбинированные методы.

— Объясните алгоритм решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] различными методами.

Применение знаний, формирование умений и навыков:

Практическое задание «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel»

• Ознакомиться с теоретической частью задания;
• Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
• Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
  • постановку задачи;
  • алгоритм расчета;
  • таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
  • результат расчета и его анализ.

Индивидуальное расчетное задание

Дано: x 3 + 8x + 10 = 0

Найти: Отделить корень заданного уравнения, пользуясь графическим методом, и по методам вычислите один корень с точностью 0,001 при помощи программы на ПК

Графический метод: Для отделения корней уравнения естественно применять графический метод. График функции у = f (х) с учетом свойств функции дает много информации для определения числа корней уравнения f (х) = 0.

До настоящего времени графический метод предлага­лось применять для нахождения грубого значения корня или интервала, содержащего корень, затем применять итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений для уточнения значения корня. С появлением математических пакетов и электронных таблиц стало возможным вычислять таблицы значений функции с любым шагом и строить графики с высокой точностью.

Это позволяет уточнять очередной знак в приближенном значении корня при помощи следующего алгоритма:

• если функция f(x) на концах отрезка [а,b] значения разных принимает значения разных знаков то делим отрезок на 10 равных частей и находим ту часть, которая содержит корень (таким способом мы можем уменьшить длину отрезка, содержащего корень, в 10 раз);
• повторим действия предыдущего пункта для полученного отрезка.

Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погрешности.

Задания для студентов первой группы

• Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001
• Представьте графически поставленную задачу в среде Microsoft Excel;

Метод половинного деления:Постановка задачи: Пусть дано уравнение f(x) = 0, (a, b) — интервал, на котором f(x) имеет единственный корень. Нужно приближенно вычислить этот корень с заданной точностью.

Примечание: Заметим, что если f(x) имеет k корней, то нужно выделить соответственно k интервалов.

Метод половинного деления или дихотомии (дихотомия — сопоставленность или противопоставленность двух частей целого). Метод основан на той идее, что корень лежит либо на середине интервала (a, b), либо справа от середины, либо — слева, что следует из существования единственного корня на интервале (a, b).

Алгоритм для программной реализации:

1. а:=левая граница b:= правая граница
2. m:= (a+b)/2 середина
3. определяем f(a) и f(m)
4. если f(a)*f(m) e повторяем, начиная с пункта 2
5. m — искомый корень.

Задания для студентов второй группы

1. Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
2. Расчет уравнения по методу половинного деления в среде Microsoft Excel.

Метод простой итерации: Смысл метода простой итерации состоит в том, что мы представляем уравнение f(x) в виде ) и по формуле будем строить итерации, которые сходятся к искомому корню с интересующей степенью точности, но тут есть проблемы: возможно f(x) очень сложно представить в таком виде, да и не факт, что любая будет строить сходящиеся итерации, поэтому алгорим сводится к тому, чтобы оптимально найти .

Подготовка:

1. Ищем числа m и M такие, что на (a, b);

2. Представляем , где ;

Алгоритм:

1. Выбираем х₀ из (a, b);

2. Вычисляем ;
3. Проверяем условие , где q=(M-m)/(M+m);

4. Если оно ложно, то переходим к пункту 7;

6. Переходим к пункту 2;

7. х₁ – искомый корень.

Задания для студентов третьей группы

1. Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001
2. Расчет уравнения по методу простой итерации в среде Microsoft Excel.

Метод хорд: Метод хорд заключается в замене кривой у = f(x) отрезком прямой, проходящей через точки (а, f(a)) и (b, f(b)). Абсцисса точки пересечения прямой с осью ОХ принимается за очередное приближение.

Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, за­пишем уравнение прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b)) и, приравнивая у к нулю, найдем х:

,

Алгоритм метода хорд:

2) Вычислим следующий номер итерации: k = k + 1.

Найдем очередное k-e приближение по формуле: x_k = a — f(a)(b — a)/(f(b) — f(a)). Вычислим f(xk);

3) Если f(x_k)= 0 (корень найден), то переходим к п. 5.

4) Если |x_k – x_k–1| > ε, то переходим к п. 2;

5) Выводим значение корня x_k;

Задания для студентов четвертой группы

1. Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
2. Расчет уравнения по методу хорд в среде Microsoft Excel.
3. Метод касательных: В точке пересечения касательной с осью Оx переменная у = 0. Приравнивая у к нулю, выразим х и получим формулу метода касательных:

Теорема. Пусть на отрезке [а, b]выполняются условия:

1) функция f(x)и ее производные f'(х)и f»(x) непрерывны;

2) производные f'(x) и f»(x)отличны от нуля и сохраняют определенные постоянные знаки;

3) f(a)× f(b) 0, то итерационная последовательность сходится монотонно

Задания для студентов пятой группы

1. Найдите приближенное значение уравнения заданного функцией x 3 + 8x + 10 = 0, с точностью е=0,001.
2. Расчет уравнения по методу касательных в среде Microsoft Excel.

Студенты выполняют задания в группах и показывают полученное решение у доски (один представитель от группы), делают выводы о проделанной работе.

В данном уроке мы познакомились с решением алгебраических и трансцендентных уравнений в среде Microsoft Excel.

Уточнения корня производилось различными методами:

1) методом бисекции;

2) методом итераций;

3) методом секущих;

4) методом Ньютона;

1. Самый простейший из методов уточнения корня является метод половинного деления и используется во многих стандартных программных средствах.

2. Метод хорд в отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения. Он требует , чтобы один конец отрезка, на котором ищется корень был не подвижен. Берется один из концов отрезка. Метод является двухточечным, его сходимость монотонная и односторонняя. Метод хорд использует пропорциональное деление интервала.

3. В методе касательных в отличие от методов дихотомии и хорд задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение .

4. У метода хорд и у метода Ньютона имеется общий недостаток: на каждом шаге проверяется точность значения.

«Численное решение алгеьраических и трансцендентных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Говоровская Урок Численные методы решения уравнений.pdf

Ф.И.О. преподавателя Говоровская Татьяна Александровна

Предмет: Численные методы в программировании

Тема урока: Сравнение методов. Подготовка к контрольной работе

Тема программы : Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений

Количество уроков по теме: 12 Цели урока:

• формирование общих компетенций (ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес, ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество, ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности, ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности)

• актуализация профессиональных компетенций (ПК 1.1. ПК 1.2.), овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения профессиональных модулей.

• повторить основные численные методы нахождения значения корней алгебраических и трансцендентных уравнений методом половинного деления, методом хорд, методом касательных;

• повторить оценку точности полученного численного решения,

• закрепить умение находить значения корней алгебраических и трансцендентных уравнений разными методами

• формирование логического мышления,

• формирование математической и алгоритмической культуры, необходимой для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования

• формирование информационной компетентности студентов на основе деятельностного подхода,

• формирование качественно нового уровня культуры умственного труда, умения рационально выполнять свою работу.

• развитие и совершенствование коммуникативной компетенции студентов, воспитательные:

• воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно -технического прогресса.

Тип урока: урок повторения и закрепления (предпоследний урок темы).

Форма проведения: консультация.

• по внешнему признаку: выполнение упражнений,

• по источнику получения знаний: наглядные (демонстрация схем, таблиц, моделей), практические (практические задания),

• по степени активности: активные и интерактивные,

• по логичности подхода: системно-деятельностные,

• по степени самостоятельности: репродуктивные.

Методы контроля: взаимоконтроль, самоконтроль.

Оборудование и наглядные средства обучения:

• интерактивная приставка MimioСlass,

• карточки с заданиями для самостоятельной работы,

• домашнее задание «Проверь себя» в электронном виде.

Программное обеспечение: конспект-презентация, подготовленный в программе

MimioStudio Блокнот Литература:

• Лапчик М. П. Элементы численных методов, М: Издательский центр «Академия», 2007;

План урока

1. Организационный момент — 2 мин.

2. Актуализация базовых знаний – 8 мин.

2.1. Повторение основных понятий и определений.

2.2. Структурирование материала темы.

2.3. Отделение корней по графику.

2.4. Отделение корней по таблице.

3. Повторение методов решения уравнения – 15 мин.

3.1. Метод половинного деления.

3.3. Метод касательных.

3.4. Сравнение методов.

4. Самостоятельное решение уравнений –15 мин.

5. Подведение итогов занятия — 4 мин.

6. Домашнее задание. – 1 мин.

Ход урока

Этапы урока и деятельность преподавателя

1. Организационный момент (приветствие, постановка цели).

Здравствуйте! Тема нашего сегодняшнего урока «Сравнение численных методов решения уравнений». Сегодня мы повторим, что такое уравнение, виды уравнений, способы решения уравнений численными методами», подготовимся к выполнению контрольной работы по данной теме.

2. Актуализация базовых знаний.

2.1. Повторение основных понятий и определений.

Студентам предлагаются разнообразные устные задания:

1. Дать определение «алгебраическому выражению», «алгебраическому уравнению»

Используется интерактивный элемент «Шторка» для проверки правильного ответа.

2. Привести примеры «трансцендентной функции» и «трансцендентного уравнения».

3. Продолжить предложение

Ответы спрятаны за областью рабочего окна. Можно проверить правильные ответы или дополнить примеры, перемещая стилусом за многогранники.

2.2. Структурирование материала темы.

Студентам предлагается структурировать изученный материал, тем самым построить алгоритм решения уравнения одним из численных методов.

Для ответа студент вызывается к доске. Используется интерактивный элемент – перемещение объектов с помощью стилуса.

2.3. Отделение корней по графику.

Предлагается два задания на отыскание интервала изоляции корня.

Студент у доски выбирает инструмент Карандаш, выделяет интервал и его записывает. Остальные работают в тетради.

Второе задание выполняется аналогично.

2.4. Отделение корней по таблице. Рассматривается второй способ отделения корней. Предлагается на слайде три задания разной степени сложности.

Студент проговаривает алгоритм и затем применяет: находит по таблице интервал, на котором функция принимает значения разных знаков.

Первый этап – отделение корней – повторен.

Переходим к повторению второго этапа уточнению корней.

3. Повторение методов решения уравнения.

Уточнение корня может выполняться разными методами. Сделаем обзор всех методов.

На слайде представлены разные компоненты методов. Предлагается сделать сортировку: поместить компоненты, относящиеся к одному методу в один столбец, соответственно однотипные компоненты разных методов должны находиться в одной строке.

Студенты выполняют данное задание, затем должны объяснить, почему не все элементы вошли в таблицу.

3.1. Метод половинного деления.

Теперь повторим каждый метод по отдельности. На слайде представлены все компоненты метода: название, рисунок, формула для вычисления корня и погрешности.

Студенты у доски объясняют суть метода, используя все представленные компоненты метода.

Предлагается выполнить практическое задание – найти первые два приближения.

Студенты выполняют прямо на доске с использованием калькуляторов. Решение можно проверить, вытащив за стрелку ответ.

По такому же сценарию повторяем еще два метода – метод хорд и метод касательных.

Студенты у доски объясняют суть метода, используя все представленные компоненты метода.

3.3. Метод касательных.

Студенты у доски объясняют суть метода, используя все представленные компоненты метода.

3.4. Сравнение методов.

После рассмотрения методов и выполнения т

ренировочных упражнений сравним методы

по скорости сходимости, по степени сложност

и нахождения решения.

Самый быстрый метод – это метод касатель

ных, самый простой – метод половинного

деления (ответы студентов).

На слайде представлены следующие компон

енты методов: название, рисунок, формула

для вычисления погрешности. Студента

м предлагается с помощью утилиты

множественного клонирования расставить ме и принадлежностью компонент методу.

тки в соответствии со скоростью сходимости

4. Самостоятельное решение уравнений.

Самостоятельную работу студенты выполняют в рабочих тетрадях. Предлагается два варианта.

Первое задание студенты выполняют самостоятельно и проверяют правильность заполнения таблицы с ответом на доске сразу после выполнения, так как от него зависит в значительной мере правильность выполнения следующих заданий.

После выполнения заданий 2-4 студенты обмениваются работами и проверяют правильность решения по таблицам, представленным на экране.

Тема: Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений 1. Определить интервалы изоляции корней по таблице значений.

3. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравНений

Решение уравнений – это одна из древнейших математических задач. Ещё в Древней Греции умели решать линейные и квадратные алгебраические уравнения. В эпоху Возрождения (XV век) Джироламо Кардано и его ученик Луиджи Феррари получили точные решения для алгебраических многочленов 3 и 4 степени. Позднее много усилий было затрачено на получение точного решения многочленов 5 степени и выше. Но только в 20-х годах XIX века было доказано, что решение алгебраического многочлена n-ой степени

An x n + an-1xn-1 +. + a0 = 0, где an ¹ 0

При n ³ 5 нельзя выразить через коэффициенты с помощью арифметических действий и операций извлечения корня.

Известно, что алгебраический многочлен n-ой степени имеет n корней, причём они могут быть вещественными и комплексными (теорема Гаусса).

Решение трансцендентных уравнений в явном виде также может быть получено в редких, простейших случаях. Трансцендентные уравнения, включающие алгебраические, тригонометрические, экспоненциальные функции от неизвестного x, как правило, имеют неопределённое число корней. Необходимость решения трансцендентных уравнений возникает, например, при расчёте устойчивости систем, расчете парожидкостного равновесия и т. п.

Достаточно распространенной задачей является так же нахождение некоторых или всех решений системы из n нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений с n неизвестными.

Рассмотрим вначале методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным.

Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корни уравнения

На всей числовой оси или на некотором интервале .

Всякое значение , удовлетворяющее условию , называется Корнем уравнения (6.1), а способ нахождения этого значения И есть Решение уравнения (3.1).

Методы решения уравнений:

· Прямые (формула Виета для квадратного уравнения и Кардано для кубического и другие)

· Итерационные – для решения любого уравнения

Численное решение уравнения проводится в два этапа:

1 этап. Отделение корней уравнения.

2 этап. Уточнение интересующих корней с заданной точностью ε.