Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений презентация

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. — презентация

Презентация была опубликована 7 лет назад пользователемЕкатерина Чурина

Похожие презентации

Презентация на тему: » ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.» — Транскрипт:

1 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2 В настоящее время разработано большое число методов численного интегрирования систем дифференциальных уравнений. К их числу можно отнести метод Рунге- Кутта, явный и неявный методе Эйлера, метод Милна и т. д. Однако, несмотря на большое разнообразие этих методов, алгоритм программ для всех их примерно одинаков и состоит из следующих блоков, а именно:

3 Алгоритм программ блока исходных и расчета дополнительных данных; блока формирования начальных условий и итерационных циклов; блока формирования итерационных уравнений в зависимости от принятого метода численного интегрирования дифференциальных уравнений; блока формирования решения дифференциальных уравнений и обработки полученных результатов.

4 ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ Основным элементом численных методов является производная функции. Производная функции — есть предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к нулю приращения независимой переменной

5 При численном нахождении производной заменяют отношение бесконечно малых приращений функций и аргумента отношением конечных разностей. Очевидно, что чем меньше будет приращение аргумента, тем точнее численное значение производной.

6 Методы графического представления производной В основе методов графического представления производной лежит геометрический смысл производной. Для вычисления первой производной разработаны двухточечные методы численного дифференцирования.

7 Двухточечные методы Для двухточечных методов при вычислении производных используется значение функции в двух точках. Приращение аргумента задается тремя способами, откладывая Δ x = h вправо, влево и в обе стороны от исследуемой точки. Соответственно получается три двухточечных метода численного дифференцирования

12 Численное решение дифференциальных уравнений Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида или

13 Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

14 Метод Эйлера В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения c начальными условиями y 0 =y(x 0 )

16 Варианты вывода формул Существуют аналитический и графический варианты вывода расчетных формул метода Эйлера Представим это уравнение в виде

17 Тогда можно записать:

18 Расчетные формулы 1-го шага Тогда расчетные формулы для первого шага можно представить в виде:

19 Расчетные формулы i -го шага Расчетные формулы i-го шага по аналогии с первым шагом можно записать в виде:

20 Если обозначить то расчетные формулы можно записать в виде

21 Численное решение системы дифференциальных уравнений Системой дифференциальных уравнений называется система вида

22 или где x – независимый аргумент, y i – зависимая функция, y i|x=x0 =y i0 – начальные условия. Функции y i (x), при подстановке которой система уравнений обращается в тождество, называется решением системы дифференциальных уравнений.

23 Метод Эйлера Итеррацонные уравнения для численного решения системы дифференциальных уравнений можно записать в виде:

24 Математическая модель двигателя постоянного тока Математическое описания процессов электромеханического преобразования энергии в двигателе постоянного тока (ДПТ) содержит: систему уравнений равновесия напряжений, в которых в качестве переменных приняты значения токов в обмотках ОВ и ОЯ; уравнение механического равновесия;

25 выражение для электромагнитного момента. В результате определенного вида преобразований получают систему уравнений, описывающую электромеханические процессы в двигателе постоянного тока, в удобном для математического моделирования виде, в форме уравнений Коши:

26 Система уравнений ДПТ

27 Для реализации такой модели в среде Mathcad с использованием метода Эйлера необходимо: сформировать исходные данные, которые включают в себя параметры двигателя, напряжения ОВ и ОЯ, суммарный момент инерции двигателя и момент статической нагрузки на валу двигателя; определить и записать начальные условия для исследуемых переменных ДПТ; определяют число итераций.

Презентация на тему ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Презентация на тему Презентация на тему ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ из раздела Разное. Доклад-презентацию можно скачать по ссылке внизу страницы. Эта презентация для класса содержит 13 слайдов. Для просмотра воспользуйтесь удобным проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас — поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций TheSlide.ru в закладки!

Слайды и текст этой презентации

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

-Постановка задачи
-Метод Эйлера
-Модифицированный метод Эйлера

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения, устанавливающего связь между независимой переменной x неизвестной функцией y и ее производными y’,y”,…,y(n), может мыть представлен следующим образом:

Порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, называется порядком этого уравнения. Решение дифференциального уравнения (интегрированием) является некоторая функциональная зависимость y=y(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общее решение дифференциального уравнения записывается в виде: y=y(x,c1,c2,…,cn), где c1,c2,…,cn произвольные постоянные.

Решение, полученное из общего решения при фиксированных значениях, называется частным решением уравнения. Постоянные c1,c2,…,cn можно определить, задав n условий. Если эти условия заданы как совокупность значений искомой функции и всех ее производных до (n-1)ого порядка включительно в некоторой течке x0, то задача решения уравнения называется задачей Коши, а заданные условия: y(x0)=y0, y’(x0)=y’0, y”(x0)=y”0,…, yn-1(x0)=yn-10 называются начальными условиями.

Если условия заданы при разных значениях x, то задача решения дифференциального уравнения называется граничной или краевой задачей.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка:

соотношение часто удается записать в виде:

Последнее уравнение называется дифференциальным уравнением, разрешенным относительно производной. Значение производной равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке (x, y). Функцию f (x, y) будем называть правой частью дифференциального уравнения.

Общим решением уравнения будет являться семейство функций y=y(x,c1) различающихся значение постоянной c1. Задав, одно начальное условие y(x0)=y0 определяющее значение c1, получаем конкретное частное решение – задача Коши.

ПРИМЕР. Для дифференциального уравнения y’=3×2, общее решение имеет вид y=x3+c. Подставим в общее решение начальное условие при x0=1, y0=2, вычислим с=1 и определим частное решение как: y=x3+1

Дано дифференциальное уравнение y’=f (x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 . Требуется найти решение на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок интегрирования на n равных частей: x0=a, x1= a + h, x2=x1+h,…,xi=xi–1+h,…, xn=b, тогда величина шага интегрирования будет равна:

Постановка задачи.
Дано дифференциальное уравнение y’=f (x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0
Требуется найти решение на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок интегрирования на n равных частей: x0=a, x1= a + h, x2=x1+h,…,xi=xi–1+h,…, xn=b, тогда величина шага интегрирования будет равна:

Значение функции y1 в точке x1 можно определить как точку пересечения касательной проведенной к функции y=y(x) в точке (x0,y0) с вертикальной прямой проходящей через точку x1.

Тангенс угла наклона касательной есть значение производной в точке (x0,y0) и задается правой частью дифференциального уравнения, т.е. tg( β)=f(x0,y0). С другой стороны из геометрического представления метода можно записать:

Решение будет заключаться в последовательном применении формул:

где i = 1, 2, 3, …, n

Результат будет представлен функцией заданной таблицей.

y1 = -2+0.5*(-(-2/1)) = -1 x1 = 1+0.5 =1.5

y2 = -1+0.5*(-(-1/1.5)) = -0.667 x2 = 1.5+0.5 =2

Модифицированный метод Эйлера
Графическая интерпретация.

и вычисляем значение функции в этой точке

Значение функции y1 в точке x1 определяем, как точку пересечения касательной, вычисленной в точке (x1/2,y1/2) и проведенной к функции y=y(x) в точке (x0,y0) , с вертикальной прямой проходящей через точку x1.

произвольную точку определим

где i = 1, 2, 3, …, n

y1/2 = -2+0.25*(-(-2/1)) = -1.5; x1/2 = 1+0.25 = 1.25

y1 = -2+0.5*(-(-1.5/1.25)) = -1.4; x1 = 1+0.5 = 1.5

y3/2 = -1.4 +0.25*(-(-1.4/1.5)) = -1.1667; x3/2 = 1.5+0.25 = 1.75

y2 = -1.4 +0.5*(-(-1.1667/1.75)) = -1.0667; y2 = 1.5+0.5 = 2
и т.д.

Презентация к уроку «Понятие о дифференциальных уравнениях. Метод Эйлера»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Понятие о дифференциальном уравнении. Метод Эйлера Дисциплина «Численные методы»

Дифференциальное уравнение- Это уравнение, в котором неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала. Например:

Порядок дифференциального уравнения- Это наивысший порядок производной (или дифференциала), входящей в уравнение . Например: уравнения 2-го порядка, 1-ого порядка.

Обыкновенное дифференциальное уравнение Это дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция, входящая в уравнение, зависит только от одной независимой переменой. Например:

Параметры дифференциального уравнения Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в самом общем случае содержит независимую переменную x , неизвестную функцию y и ее производные или дифференциалы до n-го порядка включительно и имеет вид

Решение дифференциального уравнения- Это всякая дифференцируемая функция удовлетворяющая этому уравнению, т.е. такая, после подстановки которой в уравнение оно обращается в тождество.

Задача Коши- Найти решение уравнения удовлетворяющее дополнительным условиям, состоящим в том, что решение должно принимать вместе со своими производными до (n-1)-го порядка заданные числовые значения при заданном числовом значении независимой переменной x: при

Решение дифференциальных уравнений численными методами Методы приближенного решения дифференциальных уравнений Аналитические методы дают приближенное решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения Численные методы дают приближенное решение дифференциального уравнения в виде таблицы

Решить дифференциальное уравнение численным методом — это значит для заданной последовательности аргументов x0,x1,…,xn и числа y0 , не определяя функцию y=F(x) , найти такие значения y1,…,yn, что yi=F(xi) и F(x0)=y0.

Методы численного решения дифференциальных уравнений Метод Эйлера Модификации метода Эйлера Метод Рунге-Кутта Метод Адамса

Леонард Эйлер (1707-1783)- математик, механик, физик и астроном, ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Автор свыше 800 работ по математическому анализу, теории чисел, небесной механике, математической физике, оптике, балластике, кораблестроению, теории музыки и др.

Постановка задачи Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка y`=f(x,y) с начальным условием x=x0 , y(x0)=y0 . Требуется найти решение уравнения y`=f(x,y) на отрезке [a,b].

Все вычисления по методу Эйлера удобно располагать в таблице

Решение дифференциального уравнения методом Эйлера Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение y`=y-x с начальным условием y(0)=1,5 на отрезке[0;1,5], приняв h=0,25. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой.

Решение дифференциального уравнения методом Эйлера Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение y`=x+cos(y/3) с начальным условием y(1,6)=4,6 на отрезке[1,6;2,6], приняв h=0,2. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой.

Домашнее задание Работа с конспектом Решить задачу: Проинтегрировать методом Эйлера дифференциальное уравнение y`=2(x+y) с начальным условием y(0)=0 на отрезке[1;2], приняв h=0,2. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой

Курс повышения квалификации

Охрана труда

• Сейчас обучается 121 человек из 43 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

• Сейчас обучается 239 человек из 54 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

• Сейчас обучается 354 человека из 64 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 590 292 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 17.10.2018
• 42865
• 1747

• 17.10.2018
• 5783
• 8

• 17.10.2018
• 703
• 5

• 17.10.2018
• 272
• 1

• 17.10.2018
• 243
• 0

• 17.10.2018
• 548
• 0

• 17.10.2018
• 2082
• 23

• 17.10.2018
• 276
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 17.10.2018 1340
• PPTX 522.5 кбайт
• 33 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Агадилова Мерует Абибековна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 5 месяцев
• Подписчики: 3
• Всего просмотров: 9010
• Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.