Численное решение стохастических дифференциальных уравнений

Численное решение стохастических дифференциальных уравнений в финансах Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кузнецова Инна Юрьевна

Редставлен обзор численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений , включая метод Мильштейна, методы Тейлора и Рунге-Кутта различных порядков. Так же для более понятного описания данных методов приведены основные определения из теории стохастических дифференциальных уравнений . В статье даны определение основной концепции, описание простейших численных методов , а также понятие сходимости и порядка аппроксимации решений стохастических дифференциальных уравнений . Решениями являются непрерывные вероятностные процессы, что может быть использовано при моделировании финансовых систем, что показано на примере уравнения Блэка-Шоулза.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кузнецова Инна Юрьевна

NUMERICAL SOLUTION OF STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS IN FINANCE

His chapter is an introduction and survey of numerical solution methods for stochastic differential equations , including the Milstein method, Taylor and Runge-Kutta methods of various orders. In the article described basic definitions of theory of stochastic differential equations . It includes a review of fundamental concepts, a description of elementary numerical methods and the concepts of convergence and order for stochastic differential equation solvers. The solutions will be continuous stochastic processes that represent diffusive dynamics, a common modeling assumption for financial systems, for examples, Black–Scholes Option Pricing Model.

Текст научной работы на тему «Численное решение стохастических дифференциальных уравнений в финансах»

Коберси Искандар Сулейман — e-mail: iskobersi@gmail.com; 347900, г. Таганрог, ул. Петровская, 17; тел.: 89518382131; кафедра систем автоматического управления; к.т.н.; доцент.

Финаев Валерий Иванович — e-mail: fin_val_iv@tsure.ru; 347928, г. Таганрог, ул. Энгельса, 1; тел.: 88634371689; кафедра систем автоматического управления; зав. кафедрой; д.т.н.; профессор.

Beloglazov Denis Alexandrovich — Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education «Southern Federal University»; e-mail: fin_val_iv@tsure.ru; 44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia; phone: +78634371689; the department of automatic control systems; assistant.

Kobersi Iskandar Suleiman — e-mail: iskobersi@gmail.com; 17, Petrovskaya street, Taganrog, 347900, Russia; phone: +79518382131; the department of automatic control systems; cand. of eng. sc.; associate professor.

Finaev Valeri Ivanovich — e-mail: fin_val_iv@tsure.ru; 1, Engelsa street, Taganrog, 347928, Russia; phone: +78634371689; the department of automatic control systems; head of department; dr. of eng. sc.; professor.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ФИНАНСАХ

Представлен обзор численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений, включая метод Мильштейна, методы Тейлора и Рунге-Кутта различных порядков. Так же для более понятного описания данных методов приведены основные определения из теории стохастических дифференциальных уравнений. В статье даны определение основной концепции, описание простейших численных методов, а также понятие сходимости и порядка аппроксимации решений стохастических дифференциальных уравнений. Решениями являются непрерывные вероятностные процессы, что может быть использовано при моделировании финансовых систем, что показано на примере уравнения Блэка-Шоулза.

Стохастические дифференциальные уравнения; численные методы; сходимость; порядок аппроксимации.

NUMERICAL SOLUTION OF STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS

This chapter is an introduction and survey of numerical solution methods for stochastic differential equations, including the Milstein method, Taylor and Runge-Kutta methods of various orders. In the article described basic definitions of theory of stochastic differential equations. It includes a review of fundamental concepts, a description of elementary numerical methods and the concepts of convergence and order for stochastic differential equation solvers. The solutions will be continuous stochastic processes that represent diffusive dynamics, a common modeling assumption for financial systems, for examples, Black-Scholes Option Pricing Model.

Stochastic differential equations; numerical methods; convergence; order for solvers.

1. Стохастические дифференциальные уравнения. СДУ стали стандартными моделями финансовых величин, таких как цены активов, процентная ставка, и их деривативов. В отличие от детерминированных моделей, таких как обыкновенные дифференциальные уравнения, которые имеют единственное решение для

каждого соответствующего начального условия, СДУ имеют решения, являющиеся стохастическими процессами с непрерывным временем. Методы численного решения СДУ основаны схожей техникой решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но обобщены для обеспечения стохастической динамики.

Начнем с быстрого обзора наиболее общих понятий стохастического исчисления, которые необходимы в процессе нашего описания численных методов.

Множество случайных величин Xt, где индекс t > 0 — действительные числа, называется стохастическим процессом с непрерывным временем. Каждый пример или реализация стохастического процесса есть выбор из случайных величин X для каждого t, поэтому его можно считать функцией от t.

Всякая (детерминистическая) функция f (t ), очевидно, может быть рассмотрена как стохастический процесс с дисперсией V ( f (t )) = 0. Основным примером стохастического процесса, повсеместно встречающегося в моделях физики, химии и финансов, является Винеровский процесс, т.е. стохастический процесс с непрерывным временем, удовлетворяющий трем свойствам:

Свойство 1. Для каждого t, случайная величина Wt есть нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной t .

Свойство 2. Для любых t1 п

в соответствующих точках г. Учитывая СДУ начальной задачи

ídX (г) = а(г, X )Сг + Ь(г, X )Щ (6)

IX (с) = ^ вычислим решение приближенно:

Ч+1 = Ч + а(г,, Щ )ДМ + Ь(г,, Щ )Д W+l,

дw+1 = w (г+1) _ w (г).

Ключевой вопрос: как моделировать броуновское движение Д W • Определим N (0,1) как нормально распределенную случайную величину с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Каждое случайное значение ДW вычисляется как

где z. выбирается из N (0,1). Обратите внимание на отличие от случая детерминированного обыкновенного дифференциального уравнения. Каждая последовательность <щ. Чп>, полученная методом Эйлера-Маруямы, является приближенной реализацией решения стохастического процесса X (г), зависящего от выбранных случайных чисел z¡. Так как Wt — стохастический процесс, то каждая

реализация будет отличаться, а следовательно, и наше приближение.

В качестве первого примера покажем, как применяется метод Эйлера-Маруямы к СДУ Блэка-Шоулза (4). Равенства (7) имеют вид

0 70 (10) щ+1 =щ+ щДг . + cгaiДWi.

Точная реализация (полученная из решения (5)) совместно с соответствующей аппроксимацией Эйлера-Маруямы показаны на рис. 1. Соответственно, мы предполагаем, что приближенное решение использует некоторую реализацию броуновского движения в качестве точного решения. Обратите внимание на совпадение между точным решением и точками приближенного решения, изображенных кружочками с шагом по времени 0,2.

Непрерывной кривой изображено решение (5), кругами отмечены решения, полученные с использованием аппроксимации Эйлера-Маруяма. Установлены следующие параметры: ¡1 = 0.2, а = 0.4, Лг = 0.2

В качестве другого примера рассмотрим уравнение Лангевина

dX (г) = _JuX (г) Сг + adWt, (11)

где 1 и а — положительные константы. В этом случае невозможно аналитически получить решение этого уравнения в терминах простых процессов. Решением уравнения Ленгевина является стохастический процесс, называемый процессом Орштейна-Уленбека. Рис. 2 показывает одну реализацию приближенного решения. Решение было получено с помощью аппроксимации Эйлера-Маруямы, используя следующие шаги:

для , = 1, . п. Это стохастическое дифференциальное уравнение применяется при моделировании систем, имеющих тенденцию возвращения к конкретному состоянию, в нашем случае к состоянию X = 0, в присутствии шумового фона. В частности, модели процентной ставки зачастую содержат предположения о возвращении к среднему.

Рис. 2. Решение уравнения Лангевина (11)

Выше изображено приближенное решение с параметрами ^ = 10, а = 1, вычисленное по методу Эйлера-Марнямы

3. Сильная сходимость решений СДУ. Определение сходимости сходно с понятием сходимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений, различия вызваны тем, что решение СДУ является случайным процессом и каждая вычисленная траектория является лишь одной возможной реализацией этого процесса. Каждая вычисленная траектория решения cXt), полученная, например, методом Эйлера-Маруямы, дает случайное значение в точке T, таким образом, CT)

также является случайной величиной. Разница между значениями в момент времени T, e(T) = X (T) — CT), также является случайной величиной.

Говорят, что численное решение C0h с шагом по времени h сильно сходится к

точному решению X (t) в момент времени T, если

где E обозначает математическое ожидание. В дальнейшем мы будем определять скорость сильной сходимости приближенного решения через понятие порядка. Решение СДУ сходится сильно с порядком m, если математическое ожидание ошибки имеет m-й порядок от шага, т.е. для любого момента времени T,

для достаточно малого размера шага h. Это определение обобщает стандартные критерии сходимости для обыкновенных дифференциальных уравнений, и сводится к обычному определению, когда стохастическая часть уравнения обращается в нуль.

Хотя метод Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений имеет первый порядок, метод Эйлера-Маруямы для стохастических дифференциальных уравнений имеет порядок 0,5. Этот факт доказан Гикхманом и Скороходовым в 1972 г., при наложении соответствующих условий на функции а и Ь в (6).

Для того чтобы получить сильный метод 1-го порядка для СДУ, к методу должны быть добавлены «стохастические ряды Тейлора». Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение

^ (г) = а( X, г^г+Ь( X, г )dwt, (13)

щ+1 = щ + а(щ, г; )Дг. + Ь(щ, г. )ДW■ +

+2 Ь(Щ, г.) £ (Ч, г^) ((ДW■ )2 _ Дг.).

Метод Милштейна имеет первый порядок. Отметим, что метод Милштейна идентичен методу Эйлера-Маруямы, если диффузионная часть Ь( X, г) не зависит

от X . В данном случае метод Милштейна в целом будет сходиться быстрее к точному решению, чем метод Эйлера-Маруямы, при шаге Д. —> 0.

Для сравнения методов Эйлера-Маруямы и Милштейна применим их к стохастическому дифференциальному уравнению Блэка-Шоулза

dX = JuXdt + aXdWt. (15)

Аппроксимацию Эйлера-Маруямы мы рассмотрели выше. Остановимся на методе Милштейна

х (16) щ+1 = щ + ищДг .. + ЩдЩ + 2а((( )2 _ Дг.).

Применение методов Эйлера-Маруямы и Милштейна с уменьшением шага к приводит к последовательному улучшению приближенного решения.

Метод Милштейна является методом Тейлора, это означает, что данный метод — часть разложения решения в стохастический ряд Тейлора. Во многих случаях это является недостатком, так как в приближенном решении присутствует частная производная, которая должна быть явно определена пользователем. Этот метод аналогичен методу Тейлора для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, который редко используется на практике по этой же причине. Для решения этой проблемы были разработаны методы Рунге-Кутта для ОДУ, которые заменяют дополнительные частные производные в разложении Тейлора функцией оценки исходного уравнения.

В контексте стохастического дифференциального уравнения, для сильного метода Милштейна может быть произведена замена, требующая оценки функции Ь( X) в двух точках на каждой итерации. Эвристический вывод может быть осуществлен путем замены

Ь (Щ) = Ь(щ + Ь(ЩЪЩ)_Ь(щ) х . Ь(щ)4Дг1

в формуле Милштейна (14), что приводит к следующим методам.

Сильный метод Рунге-Кутта 1-го порядка

со.+1 = щ + а (щ )Аг. + Ъ(щ А И + +1 (Ъ(щ + Ъ(щ ^^/АТ») — Ъ(щ)) ((АИ )2 -А/.).

Порядок представленных здесь методов решения СДУ, 1/2 для метода Эй-

лера-Маруямы и 1 — для методов Милштейна и Рунге-Кутта, считается низким по стандартам ОДУ. Могут быть построены методы более высокого порядка для СДУ, но они становятся гораздо более сложными с возрастанием порядка. В качестве примера рассмотрим сильный метод 1,5 порядка для СДУ (13), предложенный Платеном и Вагнером:

Сильный метод Тейлора порядка 1.5 щ0 = Х 0,

юм = щ + аАг.1 + ЪАИ; +1 ЪЪх ((АИ, )2 — Ат; ) + ауо&/1 +

+1 [ аах + \Ъ2а„ ] (АТ. )2 + Г аЪх + 2Ъ2Ъа 1 (АИ,АТ. -А/) + (17)

_1 b (bbx + bl)))(AW )2 — Ati j AW;,

где частные производные обозначены индексами, случайная величина А/ распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, дисперсией Е((А/.)2) =—(Ат.)3 и коррелирует с АИ, с ковариацией

Отметим, что А/, может быть получена как

А/ = 2 АТ, ( + АУ.1 л/3 ),

где АУ1 выбрана независимо от ^ А/, N (0,1) .

Выбор одного из методов высшего порядка требуемого для решения определенной задачи зависит от того, как будут использоваться полученные приближенные решения. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений обычно предполагается, что начальное условие и уравнение известны с определенной точностью. Тогда имеет смысл искать решение, как можно более близкое к этой точности, для этого и требуются методы высшего порядка. В контексте стохастических дифференциальных уравнений, в частности, если начальные условия выбраны из распределения вероятности, преимущества методов высокого порядка часто являются менее убедительными и их применение неоправданно, если приводит к увеличению объема вычислительных операций.

4. Слабая сходимость методов решения СДУ. Сильная сходимость позволяет вычислять точные приближенные решения на основе отдельной реализации. Для некоторых приложений требуется подробная информация. В других случаях цель состоит в нахождении распределения вероятностей решения X (Т), и отдельные реализации не имеют определяющего значения.

Слабые решатели существуют для удовлетворения этой потребности. Они могут быть проще соответствующих сильных методов, так как их цель заключается только в моделировании распределения вероятности. Полезны следующие дополнительные определения.

Говорят, что разностная аппроксимация coh с шагом по времени h слабо сходится к точному решению X (T), если

для всех многочленов f(x).

Согласно этому определению все моменты сходятся, если h ^ Ü. Если стохастическая часть уравнения равна нулю и начальное условие детерминированно, то данное определение согласуется с определением сильной сходимости и стандартным определением для обыкновенного дифференциального уравнения.

Для слабо сходящихся методов также может быть установлен порядок сходимости. Мы говорим, что метод сходится слабо с порядком m, если ошибка в момент времени T имеет m-й порядок от шага, или

для достаточно малого шага h.

В целом, скорости слабой и сильной сходимости различны. В отличие от случая обыкновенных дифференциальных уравнений, где метод Эйлера имеет 1-й порядок, метод Эйлера-Маруямы для СДУ имеет порядок m = 1/2 Однако,

метод Эйлера-Маруямы гарантированно слабо сходится с 1-м порядком.

Слабые методы высшего порядка могут быть гораздо проще соответствующих сильных методов и доступны в различных формах. Наиболее прямой подход заключается в использовании разложения Тейлора-Ито, стохастический аналог разложения Тейлора для детерминистических функций. Например, слабо сходящийся метод для 2-го порядка для СДУ заключается в следующем: Слабый метод Тейлора 2-го порядка

c = c + aAt. + bAW. +1 bb ((A W. )2 — At.) + a bAZ. +

i+1 i i i 2 x^v . . / x i

1 faax + 2aj2 j (At. )2 + (abx +2bj2 \ (AWiAti — AZ.),

где Ш, выбрана из .^Аг. N(0,1) и А7, распределена так же, как и в рассмотренном выше сильном методе Тейлора 1.5 порядка.

Следующий подход заключается в имитации методов Рунге-Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти методы заменяют явные производные старших порядков в разложении Тейлора-Ито на оценки функции во внутренних точках текущего интервала решения. Платен [32] предложил следующий слабый метод типа Рунге-Кутта 2-го порядка:

Слабый метод Рунге-Кутта 2-го порядка

c+1=c+2 (+a(c) и+4 (к^+ад+2b(c) )aw+

k1 = cc + aAt¡ + bAW¡, k2 = co¡ + aAt¡ + b^/At»,

k3 = cc. + aAt¡ + ^д/At».

Могут быть построены слабые методы Тейлора любого порядка, а также аналоги методов Рунге-Кутта, которые сокращают или исключают расчеты производной.

Зачастую слабые методы решения подходят для финансовых моделей, когда целью является изучение закона распределения вероятностей цены актива или процентной ставки, или когда используется выборочный метод Монте-Карло оценки сложного дериватива. Для таких случаев характерна, главным образом, заинтересованность в нахождении одного из статистических моментов стохастически определенной величины, и слабые методы могут быть более простыми и достаточными для выбранной цели.

Вывод. Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений играют важную роль при анализе случайных процессов. Сильные методы необходимы при изучении системных характеристик, зависящих от свойств на уровне траектории. Существует несколько подходов для сильных методов, в частности, методы типа Тейлора и Рунге-Кутта, хотя оба значительно усложняются для порядков, больших первого.

Во многих финансовых приложениях основной акцент делается на нахождение распределения вероятности решений и, в частности, математического ожидания и дисперсии распределения. В таких случаях слабых методов может быть достаточно, и они имеют преимущество в сравнительно меньших накладных расходах, что может иметь решающее значение при моделировании методом Монте-Карло.

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: Мир, 1980.

2. Мильштейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. — Уральский государственный университет, 1988.

3. Sauer T. Numerical Analysis. Addison-Wesley, Boston, 2006.

4. Turner Wayne C., Doty S., 1942 — Energy management handbook / Library of Congress Cata-loging-in-Publication Data. — 6th ed., 2007. — 924 p.

Статью рекомендовал к опубликованию д.ф.-м.н., профессор А.И. Жорник.

Анализ явных численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений

Вычислительный центр им. РАН,

Свентокшиская Академия в Кельцах, Польша

АНАЛИЗ ЯВНЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Рассматриваются основные принципы построения численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Анализируется проблема жесткости систем СДУ. Для одномерного СДУ Ито сравнивается точность аппроксимации существующих явных численных методов.

Анализ и синтез стохастических динамических систем часто связан с использованием численного решения СДУ. Для ряда задач таких, как фильтрация, идентификация, прогнозирование и оптимальное управление, интегрирование численного решения СДУ должно выполняться в реальном времени и, кроме того, с определенной точностью и устойчивостью. В связи с этим возникает ряд проблем. С одной стороны, очень не многие СДУ имеют аналитические решения (в основном это – линейные СДУ с аддитивным или мультипликативным шумом или нелинейные СДУ, сводимые к линейным [1]), а с другой – физические особенности реальных динамических систем [2] приводят к проявлению жесткости, что неудовлетворительно влияет на получаемое численное решение. Поэтому особо важным этапов при проектировании стохастической динамической системы является выбор схемы численного решения СДУ.

2. Принципы построения численных методов решения

стохастических дифференциальных уравнений

В настоящее время существует несколько подходов создания численных схем решения СДУ. Одной из возможностей является адаптация существующих для обыкновенных дифференциальных схем (ОДУ) схем с учетом свойств стохастических интегралов, другой – разработка специальных методов решения СДУ [3]. Большинство исследователей использует первый подход, поскольку теория численного решения ОДУ хорошо разработана и достаточно легко можно провести аналогии между ОДУ и СДУ.

Самым простым методом аппроксимации численного решения СДУ (с вычислительной точки зрения) является метод Эйлера, разработанный Маруямой в 1955г [3]. Эта схема удовлетворяет многим необходимым свойствам, предъявляемым к численным методам (она имеет порядок сходимости ), но в тоже время обладает рядом ограничений (не всегда устойчива, ошибка аппроксимации достаточно высока и т. п.). Для устранения этих недостатков, а также повышения порядка сходимости численных схем решения СДУ были проведены и до сих пор ведутся исследования, направления которых можно представить в виде схемы (см. рис. 1).

По аналогии с разработкой схем численного решения ОДУ для повышения порядка сходимости, точности аппроксимации и устойчивости можно использовать разложение в ряд в точке аппроксимации, т. е. использования производных различных порядков, как переменной, так и коэффициентов дрейфа и диффузии. В литературе этот подход получил название метода Тейлора [3]. Однако недостатком схем Тейлора является то, что на каждом шаге аппроксимации требуется вычислять кратные стохастические интегралы, связанные с вышеуказанными производными. Для того, чтобы избежать вычислительные трудности можно использовать многократное деление шага аппроксимации (методы Рунге-Кутта [4]) или результаты аппроксимации предыдущих шагов (многошаговые методы [5 – 7]).

Как обыкновенные, так и стохастические системы дифференциальных уравнений, описывающие многие физические, биологические или экономические явления, при компьютерном моделировании с использованием обычных численных схем демонстрируют «нежелательное» поведение и могут быть отнесены к классу некорректных задач. В большинстве случаев под «нежелательным» поведением понимается очень высокая нестабильность численного решения, связанная с так называемым явлением жесткости. Существует несколько возможных объяснений этого явления.

Первая причина ассоциируется с техническими возможностями компьютера. Так для достижения желаемой точности можно применить многократное деление шага интегрирования. С одной стороны, это приводит к накоплению ошибки округления, и как следствие, возникает переполнение регистров компьютера. С другой стороны использование очень малых значений шага интегрирования требует огромных ресурсов времени и также приводит к накоплению ошибки округления. Вторая причина связана с физической стороной рассматриваемой системы. Это означает, что система описывает процессы различных скоростей или градиентов (прежде всего это характерно для некорректных задач). Такое явление обычно выступает в задачах пограничного слоя (гидродинамика), скин-эффекта (электромагнетизм), реакции химической кинетики и т. п. Наконец, жесткость может быть вызвана обеими причинами. Поэтому при разработке стабильных численных методов требуется учитывать вышеуказанные ситуации.

Анализ современной литературы показал, что создание численных методов решения жестких систем в большинстве случаев основано на идеях, представленных Хайрером и Ваннером [8]. В своей работе они постулировали, что жесткие системы не могут быть решены явными методами, и представили подходы, основанные только на использовании неявных методов. Однако следует отметить, что непосредственное применение этих методов всегда связано с крайне сложной процедурой определения параметров схемы, основанной на заранее выделенной области устойчивости только для рассматриваемой системы. Это обстоятельство делает предложенные подходы не приемлемыми для большинства вышеуказанных приложений, но позволяет выделить два важных математических свойства жесткости. Во-первых, все жесткие системы обладают очень широким спектром (или присутствием очень разных экспонент Ляпунова). Во-вторых, согласно теореме единственности и существования решения, для жестких систем характерны большие значения константы Липшица.

Итак, анализ принципов создания численных схем решения СДУ показал необходимость тщательного исследования существующих и, возможно, поиска новых методов, при решении конкретных задач.

3. Явные сильные численные схемы

Запишем СДУ в представлении Ито в общем виде

, , (3.1)

где — -мерный вектор состояния системы с начальным условиями ; —мерный процесс Винера; и — непрерывно дважды дифференцируемые функции дрейфа и диффузии; — мерный вектор параметров.

Получение сильного решения СДУ (3.1) является важным моментом во многих практических задачах, целью работы является сравнительный анализ существующих сильных явных численных методов решения СДУ.

Рассмотрим наиболее распространенный в финансовой литературе случай [9, 10] – случай одномерного уравнения (3.1), используя схемы: Эйлера, Мильштейна, Тейлора, Рунге-Кутта и двухшаговую [3]. В одномерном случае схема Эйлера имеет вид:

, (3.2)

где и ().

Схема Мильштейна, обладающая порядком сильной сходимости , представляется как

, (3.3)

схема Тейлора порядка :

(3.4)

а двухшаговая схема порядка :

, (3.5)

Схема Рунге-Кутта, где порядок сходимости , может быть задана как

(3.6)

, , ,

,

.

4. Сравнение схем по критерию абсолютной ошибки

Оценка качества аппроксимации той или иной численной схемы обычно связана с главной целью проводимого исследования или интерпретацией получаемого решения. Поскольку решение СДУ может быть решением в сильном или слабом смысле, то введение критерия качества аппроксимации должно учитывать этот факт. В работе рассматривается случай сильного решения СДУ, поэтому в такого критерия можно использовать критерий «абсолютной ошибки» или математическое ожидание абсолютного значения меры близости между результатом аппроксимации и аналитическое решением СДУ (3.1) на конце интервала интегрирования :

, (4.1)

где — оператор математического ожидания.

Заменим теоретическое значение критерия «абсолютной ошибки» (4.1) его статистическим аналогом, основываясь на моделировании Монте-Карло. Для этого предположим, что имеются по траекторий аналитического и численного решения процесса, описываемого СДУ, на конце интервала интегрирования . Обозначим их соответственно как и , тогда статистический аналог критерия (4.1) есть

(4.2)

Сравним вышеописанные схемы по критерию абсолютной ошибки. В качестве первого тестового примера исследуем линейное СДУ с постоянными однородными коэффициентами

, (4.3)

аналитическое решение которого имеет вид

.

Вторым тестовым примером является нелинейное СДУ Ито вида

с дифференцируемой функцией и общим решением

, где .

В частности, для уравнения

(4.4)

аналитическое решение есть

.

Выполним вычислительные эксперименты с использованием компьютера типа IBM PC с процессором AMD Athlon (TM) XP 3000+ для тестовых уравнений (4.3) и (4.4), используя численные схемы (3.2) – (3.6) и исследуя зависимость между длиной шага интегрирования , количеством траекторий и точностью аппроксимации (4.2). Результаты вычислений приведены в таблицах 1 – 3, проанализируем их, используя усредняющий критерий (4.2).

Для первого и второго тестовых уравнений (см. табл.1 и табл.2) при уменьшении длины шага интегрирования и увеличении порядка сходимости численной схемы возрастает точность аппроксимации для всех исследуемых численных схем.

Однако этого нельзя утверждать в третьем случае, который представлял жесткое СДУ [11] (см. табл.3). Удалось рассчитать значение абсолютной ошибки для всех комбинаций длины шага интегрирования и количества траекторий только для схемы Эйлера и двухшаговой схемы.

Таблица 1. Точность аппроксимации численного решения уравнения (4.3) (, , , )

Длина шага интегрирования,

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА-МАРУЯМЫ

Кузнецова И.Ю.

Аспирант, Южный федеральный университет

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА-МАРУЯМЫ

Анностация

В данной статье описан один из наиболее популярных численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений. В статье даны определение основной концепции, описание простейшего численного метода, а также понятие сходимости решений стохастических дифференциальных уравнений. Решениями являются непрерывные вероятностные процессы, что может быть использовано при прогнозировании процесса потребления энергоресурсов.

Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения, численные методы, сходимость, порядок аппроксимации.

Kuznetsova I.Y.

Postgraduate student, Southern Federal University.

NUMERICAL SOLUTION OF STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATION BY EULER-MARUYAMA METHOD

Abstract

In the article described one of the most popular numerical methods for solving stochastic differential equations. It includes a review of fundamental concepts, a description of elementary numerical methods and the concepts of convergence and order for stochastic differential equation solvers. The solutions will be continuous stochastic processes that can be used for prediction process of energy consumption.

Keywords: stochastic differential equations; numerical methods; convergence; order for solvers.

СДУ стали стандартными моделями финансовых величин, таких как цены активов, процентная ставка, и их деривативов. В отличие от детерминированных моделей, таких как обыкновенные дифференциальные уравнения, которые имеют единственное решение для каждого соответствующего начального условия, СДУ имеют решения, являющиеся стохастическими процессами с непрерывным временем. Методы численного решения СДУ основаны схожей технике решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но обобщены для обеспечения стохастической динамики.

Простейшим эффективным численным методом аппроксимации обыкновенных дифференциальных уравнений является метод Эйлера. Метод Эйлера-Маруяма является аналогом метода Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее динамику потребления электроэнергии в ВУЗе [2,3]:

(1)

с начальным условием

(2)

где — потребление энергоресурсов (электроэнергии), — данные по потреблению в начальный момент времени — функция, учитывающая сезонные изменения, σ — коэффициент, учитывающий изменения, носящие случайных характер, — винеровский процесс.

Зафиксируем равномерную сетку

где T — длина рассматриваемого временного промежутка, n — количество месяцев в рассматриваемом промежутке времени, Δt — шаг по времени.

Также введем следующие обозначения:

Проинтегрируем исходное уравнение (1) на промежутке . Получим

(3)

Переходя к конечным разностям из (3) и определения стохастического интеграла, имеем,

(4)

где — приращение винеровского процесса, которое, исходя из свойств винеровского процесса, можно записать в виде:

(5)

то есть ξ_i — случайная величина, распределенная по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Найдем порядок сходимости метода Эйлера-Маруямы для (1).

Говорят, что численное решение с шагом по времени сильно сходится к точному решению в момент времени T, если

В дальнейшем мы будем определять скорость сильной сходимости приближенного решения через понятие порядка. Решение СДУ сходится сильно с порядком m, если математическое ожидание ошибки имеет m-ый порядок от шага, то есть для любого момента времени T,

для достаточно малого размера шага . Это определение обобщает стандартные критерии сходимости для обыкновенных дифференциальных уравнений, и сводится к обычному определению, когда стохастическая часть уравнения обращается в нуль.

Воспользуемся разложением Тейлора-Ито на , которое для поставленной задачи запишется в виде:

(6)

Вычислив повторные интегралы, разложение (6) можно записать в виде:

Откуда получим, что

(9)

где — точное решение СДУ (1), а — численное решение СДУ (1) по методу Эйлера-Маруямы (4) в точке .

Хотя метод Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений имеет первый порядок, метод Эйлера-Маруямы для стохастических дифференциальных уравнений имеет порядок 0,5. Этот факт доказан Гикхманом и Скороходовым в 1972 году.

На основании данных по потреблению электроэнергии за 2010-2011гг. общежитиями студенческого городка ЮФУ в г. Таганроге и предложенной модели (1) были получены следующие прогнозные значения потребления электроэнергии на 2012 год, которые были сравнены с данными по потреблению электроэнергии за тот же период.

При применении метода Эйлера-Маруямы (4) к модельному уравнению (1) были получены следующие результаты:

Рис. 1 – График потребления электроэнергии на 2012 г.

——— — прогнозные данные на 2012 г. по потреблению электроэнергии,

полученные с помощью метода Эйлера-Маруямы (2.27);

– – – – – – — реальные данные по потреблению электроэнергии за 2012 г.

Определение качества модели проводилось по следующим параметрам:

(10)

где — фактическое значение потребления электроэнергии в i-ый момент времени, — значение потребления электроэнергии, полученное с помощью модели (1), в i-ый момент времени.

где — модельная погрешность в i-ый момент времени, определяемая формулой (10), n — длительность периода прогнозирования в месяцах.

где — модельная погрешность в i-ый момент времени, определяемая формулой (10), — фактическое значение потребления электроэнергии в i-ый момент времени, n— длительность периода прогнозирования в месяцах.

1. Средняя относительная ошибка прогноза:

где — модельная погрешность в i-ый момент времени, определяемая формулой (10), — фактическое значение потребления электроэнергии в i-ый момент времени, n— длительность периода прогнозирования в месяцах.

где — фактическое значение потребления электроэнергии в i-ый момент времени, — значение потребления электроэнергии, полученное с помощью модели (2.24), в i-ый момент времени,

где n — длительность периода прогнозирования в месяцах.

где — фактическое значение потребления электроэнергии в ш-ый момент времени, — значение потребления электроэнергии, полученное с помощью модели (1), в i-ый момент времени,

Полученные результаты представленным в таблице 1.

На основании полученных результатов можно сделать вывод о применимости рассматриваемой модели (1) к прогнозированию потребления электроэнергии.

Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений играют важную роль при анализе случайных процессов. Несмотря на то, что скорость сходимости к сильному решению для метода Эйлера-Маруямы составляет всего 0,5, его популярность в сфере финансов обусловлена тем, что он «прост» в построении разностной схемы и не требует большого объема вычислительных ресурсов. Это позволяет применять его для определения качества построенных моделей. Применение численных методов более высоких порядков ведет к резкому возрастанию необходимых вычислительных ресурсов, при этом точность прогноза может изменяться незначительно.

Литература

1. Андерсон Т. – Статистический анализ временных рядов, М.: «Мир», 1980.
2. Кузнецова И.Ю. Математическая модель прогнозирования энергопотребления // Известия Южного федерального университета. Технические науки. — — №4 — С. 121-125.
3. Кузнецова И.Ю. Математическая модель энергопотребления применительно к ВУЗу // Известия Южного федерального университета. Технические науки. — — Т.121 №8 — С. 183-186.
4. Кузнецова И.Ю.Численное решение стохастических дифференциальных уравнений в финансах // Известия Южного федерального университета. Технические науки. — — №4 — С. 175-184.
5. Turner Wayne C., Doty S., Energy management handbook // Library of Congress Cataloging-in-Publication Data. — 6th ed., 2007. — 924 p.