научная статья по теме ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА-ПЛАНКА-КОЛМОГОРОВА, ОПИСЫВАЮЩЕГО СТОХАСТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ ОПОРНО-ДВИГАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ЧЕЛОВЕКА Общие и комплексные проблемы естественных и точных наук
Цена:
Авторы работы:
Научный журнал:
Год выхода:
Текст научной статьи на тему «ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА-ПЛАНКА-КОЛМОГОРОВА, ОПИСЫВАЮЩЕГО СТОХАСТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ ОПОРНО-ДВИГАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ЧЕЛОВЕКА»
Борисов А.В., кандидат технических наук, доцент Филиала Национального исследовательского университета ««МЭИ» в г. Смоленске
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА-ПЛАНКА-КОЛМОГОРОВА, ОПИСЫВАЮЩЕГО СТОХАСТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ ОПОРНО-ДВИГАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ЧЕЛОВЕКА
В статье рассмотрена методика численного решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, описывающего разрушения в элементах опорно-двигательного аппарата человека. Приводится методика графической визуализации решения дифференциального уравнения. В качестве среды реализации использовалась СКМ «Mathematica».
Ключевые слова: уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова, опорно-двигательный аппарат человека, стохастическая модель разрушения.
NUMERICAL SOLUTION OF THE FOKKER-PLANCK-KOLMOGOROV EQUATION, DESCRIBING THE STOCHASTIC MODEL OF DESTRUCTION OF COMPONENTS
OF THE HUMAN LOCOMOTORIUM
The article describes a technique of the numerical solution of the Fokker-Planck-Kolmogorov equation, describing the destruction of the human locomotorium system. The graphic visualization method of the differential equation solution is presented. As the the medium of realization «Mathematica» SCM was used.
Keywords: Fokker-Planck-Kolmogorov equation, human locomotor apparatus, stochastic model of destruction.
Постановка задачи определения функции плотности вероятности появления
и распространения трещины
Рост трещины обуславливается двумя факторами, имеющими место в суставе человека. Во-первых, это регулярная, циклическая сила, возникающая при ходьбе, при выполнении определенных действий на работе, в быту и т.п. Подобные силы действуют на растяжение и сжатие тканей сустава, имеют значения, не превышающие предела упругости элементов сустава, не приводящие к остаточным деформациям или немедленному разрушению. Под действием таких сил происходит накопление микроповреждений, локальных микротрещин в суставе. Идет скрытая фаза разрушения, накопления микроповреждений, сустав при этом является еще здоровым и полнофункциональным. Подобная детерминированная нагрузка приводит к тому, что трещина должна расти равномерно прямолинейно.
Во-вторых, на сустав действует нерегулярная, стохастическая составляющая нагрузки, возникающая в результате случайных перегрузок, например во время падений, занятий спортом и т.п. В суставе имеют место неоднородности структуры материала, другие микротрещины и т. п. Под действием второго фактора в одномерном случае изменяется только скорость роста микротрещины, а в дву- и трехмерном случаях изменяется и направление роста микротрещины, реализуются случайные блуждания конца трещины в суставе. В реальности, в трехмерном случае трещина растет как монета, постепенно увеличивая свой радиус, ее рост в основном, происходит в плоскости, с небольшим изгибом, поэтому в модели, приближенной к реальности необходимы все три пространственные координаты.
Рассмотрим работу опорно-двигательного аппарата человека в течение всей жизни. Количество воздействий на его элементы очень велико. Нагрузки носят нестационарный, случайный характер. Так как речь идет о живом организме, то эмпирической информации о
свойствах костей и суставов человека недостаточно. Их принципиально невозможно получить из-за гуманных соображений. Ткани неживого человека не отражают в полной мере свойства живой ткани. В данном случае, наиболее адекватным биологическому прототипу является вероятностный подход к описанию распространения микротрещин.
Предположим, что направление движения конца трещины и скорость ее распространения в каждый момент времени определяются только действующими нагрузками и свойствами самого материала сустава и не зависят от предыдущего направления движения в предыдущий момент времени. Тогда поведение конца движения микротрещины является марковским случайным процессом. В одномерном случае, возможно следующее описание распространения трещины с использованием уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова [2].
где ч (х, I) — одномерная функция плотности распределения значения координаты конца трещины к моменту времени К1 (х, I) — коэффициент сноса в биологическом материале; К2 (х, ^) — коэффициент диффузии в биологическом материале; ^ — время распространения трещины; х — координата конца трещины.
Это дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа. На его основе опишем кинематику распространения трещины в элементах опорно-двигательного аппарата человека.
Численное решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова
Проведем численное решение исходного уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (1) в системе компьютерной математики «МаШешайса» [1], встроенной функцией К08о1уе. Опишем алгоритм и команды решения.
1. Задаем исходное уравнение (1) с определенными коэффициентами [3], и записываем его в переменную Бд.
2. Численно решаем записанное дифференциальное уравнение в частных производных с нормальным начальным и соответствующими граничными условиями. Его решение записываем в переменную 8о1Бд.
3. Строим график полученного решения, который представлен поверхностью в трехмерном пространстве.
В результате получаем следующий график (рис. 1) Таким образом, найдена функция плотности вероятности роста трещины в твердых тканях человека численно. Описано поведение функции плотности вероятности. Установлено, что наиболее вероятно появление тре-
щин небольшого размера в начальный период и рост размера трещин с увеличением времени процесса.
Рис. 1. Результат численного решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова
Определение среднего времени достижения трещиной границ сустава
Найдем среднее время первого достижения трещиной границ сустава. Уравнение для времени достижения границы процессом T(a,xo,b) получено в предположении о стационарности процесса и приводится в работах [2, 3]. Воспользуемся приводимыми в них результатами.
1 „ , ,dT 1 , ч d2T
Проводя численные расчеты при значениях границ, соответствующим характерным размерам в суставе a = 0, Ь = 6, для времени достижения границы из соответствующего начального положения, решим численно исходное дифференциальное уравнение (2) при тех же значениях параметров и нормальными граничными условиями.
Решение проведем в СКМ МаШешайса. Задаем исходное уравнение: Ед=-1= =Б^[х],х]+(1/2)Б[2*,^х],<х,2>]
В качестве результата строим график (рис. 2): Р1о1;[Еуа1иа1е^[х]/.Е1г81;[8о1Ед]],<хД6>,Ахе8ЬаЬе1-><"х0","Т">]
Рис. 2. Зависимость среднего времени первого достижения трещиной границы от начального положения начальной микротрещины
Таким образом, нами получены оценки среднего времени достижения трещиной границы
1. Построено численное решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова применительно к одномерной задаче распространения трещины в биологическом материале в среде системы компьютерной математики.
2. Решена задача нахождения среднего времени первого достижения трещиной границы от начального положения микротрещины.
1. Дьяконов В.П. МаШешайса 5.1/5.2/6 в математических и научно-технических расчетах. -М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2008. — 744 с.
2. Казаков В.А. Введение в теорию Марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. — М.: «Советское радио», 1973. — 232 с.
3. Чигарев А.В., Борисов А.В. Предельные нагрузки в суставах человека. // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева Серия: Механика предельного состояния. 2010. №2 (8). С. 548-552.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.