Численные методы решения дифференциальных уравнений реферат

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 24 Июня 2013 в 09:49, курсовая работа

Краткое описание

Целью курсовой работы является разработка программ:
Численных методов интегрирования функции;
Численных методов дифференцирования функции;
Численных методов решения дифференциального уравнения;
Для достижения данной цели есть необходимость выделить следующие основные задачи:
Практически закрепить и повторить знания основ языка C++Builder 6, для успешного программирования;
Повторить теоретический материал по численным методам;
Написать программы численных методов соответственно заданию;
Сравнить методы и сделать выводы по проделанной работе.

Содержание

Введение 3
Теоретическая часть 4
1. Численные методы интегрирования функций 4
1.2 Формула Ньютона – Котеса: метод трапеций. 5
1.3 Формула Ньютона – Котеса: метод Симпсона. 6
1.4 Метод Лежандра – Гаусса. 7
1.5 Метод Монте-Карло. 8
2. Численные методы дифференцирования функций 9
2.1 Интерполяционная формула Ньютона 10
3. Численные методы решения дифференциальных уравнений 11
3.1 Метод Эйлера 11
3.2 Методы Рунге-Кутты 12
Практическая часть 14
Заключение 21
Список использованных источников 22

Вложенные файлы: 1 файл

теория.docx

Федеральное агентство связи

Государственного образовательного бюджетного учреждения

высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ»

Кафедра информатики и вычислительной техники

Допустить к защите

Зав. кафедрой ___________

_{Численное интегрирование и}

_{Решение дифференциальных уравнений}

БФ ФГОБУ СибГУТИ 230100.000 ПЗ

Руководитель /Белоусова М.В./

Студент /Плотников Г.П./

Факультет информационных технологий и экономики

Теоретическая часть 4

1. Численные методы интегрирования функций 4

1.2 Формула Ньютона – Котеса: метод трапеций. 5

1.3 Формула Ньютона – Котеса: метод Симпсона. 6

1.4 Метод Лежандра – Гаусса. 7

1.5 Метод Монте-Карло. 8

2. Численные методы дифференцирования функций 9

2.1 Интерполяционная формула Ньютона 10

3. Численные методы решения дифференциальных уравнений 11

3.1 Метод Эйлера 11

3.2 Методы Рунге-Кутты 12

Практическая часть 14

Список использованных источников 22

Приложение А 23

Приложение Б 27

Введение

Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих электронных вычислительных машин привело к подлинно революционному преобразованию науки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ.

В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание, — вычислительный эксперимент, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики. Разработка и исследование вычислительных алгоритмов, и их применение к решению конкретных задач составляет содержание огромного раздела современной математики — вычислительной математики.

Численные методы дают приближенное решение задачи. Это значит, что вместо точного решения некоторой задачи мы находим решение у другой задачи, близкое к искомому. Основная идея всех методов — дискретизация или аппроксимация исходной задачи другой задачей, более удобной для решения на ЭВМ, причем решение аппроксимирующей задачи зависит от некоторых параметров, управляя которыми, можно определить решение с требуемой точностью.

Целью курсовой работы является разработка программ:

1. Численных методов интегрирования функции;
2. Численных методов дифференцирования функции;
3. Численных методов решения дифференциального уравнения;

Для достижения данной цели есть необходимость выделить следующие основные задачи:

1. Практически закрепить и повторить знания основ языка C++Builder 6, для успешного программирования;
2. Повторить теоретический материал по численным методам;
3. Написать программы численных методов соответственно заданию;
4. Сравнить методы и сделать выводы по проделанной работе.

Теоретическая часть

Погрешность – это разность между истинной величиной и величиной, найденной при вычислении. Изм.

При численном решении математических и прикладных задач почти неизбежно появление на том или ином этапе погрешностей. Погрешностью называют отклонение приближенного решения от истинного решения. Различают следующие типы погрешностей.

1. Неустранимая погрешность. Она связана с приближенным характером исходной содержательной модели (в частности, с невозможностью учесть все факторы в процессе изучения моделируемого явления), а также ее математического описания, параметрами которого служат обычно приближенные величины (например, из-за принципиальной невозможности выполнения абсолютно точных измерений). Для вычислителя погрешность математической модели следует считать неустранимой (безусловной), хотя постановщик задачи иногда может ее изменить.

2. Погрешность метода. Это погрешность, связанная со способом решения поставленной математической задачи и появляющаяся в результате подмены исходной математической модели другой или конечной последовательностью других, например линейных, моделей. При создании численных методов закладывается возможность отслеживания таких погрешностей и доведения их до сколь угодно малого уровня.

3. Вычислительная погрешность (погрешность действий). Этот тип погрешности обусловлен необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники (если, разумеется, не используются специальные программные средства, реализующие, например, арифметику рациональных чисел), т.е. вычислительная погрешность обусловлена округлениями.

Численные методы интегрирования функций

Интервал интегрирования (a, b) разбивается на n равных отрезков длиной

В качестве приближенного значения площади каждой полоски принимается площадь прямоугольника, ширина которого равна h, а высота — значению функции y(x) на левом краю интервала. Локальная формула метода левых прямоугольников:

Общая формула метода левых прямоугольников:

Реферат: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Лабораторная работа 1

Численные методы решения

обыкновенных дифференциальных уравнений (4 часа)

При решении многих физических и геометрических задач приходится искать неизвестную функцию по данному соотношению между неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными. Такое соотношение называется дифференциальным уравнением , а отыскание функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, называется решением дифференциального уравнения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство

, (1)

в котором — независимая переменная, изменяющаяся в некотором отрезке , а — неизвестная функция y ( x ) и ее первые n производные.

Число называется порядком уравнения .

Задача заключается в нахождении функции y, удовлетворяющей равенству (1). Более того, не оговаривая это отдельно, будем предполагать, что искомое решение обладает той или иной степенью гладкости, необходимой для построения и «законного» применения того или иного метода.

Различают два типа обыкновенных дифференциальных уравнений

— уравнения без начальных условий

— уравнения с начальными условиями.

Уравнения без начальных условий — это уравнение вида (1).

Уравнение с начальными условиями — это уравнение вида (1), в котором требуется найти такую функцию , которая при некотором удовлетворяет следующим условиям:

,

т.е. в точке функция и ее первые производных принимают наперед заданные значения.

При изучении способов решения дифференциальных уравнений приближенными методами основной задачей считается задача Коши.

Рассмотрим наиболее популярный метод решения задачи Коши – метод Рунге-Кутта. Этот метод позволяет строить формулы расчета приближенного решения практически любого порядка точности.

Выведем формулы метода Рунге-Кутта второго порядка точности. Для этого решение представим куском ряда Тейлора, отбрасывая члены с порядком выше второго. Тогда приближенное значение искомой функции в точке x ₁ можно записать в виде:

(2)

Вторую производную y «( x ₀ ) можно выразить через производную функции f ( x , y ) , однако в методе Рунге-Кутта вместо производной используют разность

соответственно подбирая значения параметров

Тогда (2) можно переписать в виде:

Рассматривая правую часть (3) как функцию аргумента h , разложим ее по степеням h :

и выберем параметры α , β , γ и δ так, чтобы это разложение было близко к (2). Отсюда следует, что

С помощью этих уравнений выразим β , γ и δ через параметры α , получим

y ₁ = y ₀ + h [(1 — α ) f ( x ₀ , y ₀ ) + α f ( x ₀ +, y ₀ + f ( x ₀ , y ₀ )], (4)

0 (n) =f(x, y, y’, …, y (n-1) ), x (x₀ , X), (14)

сводятся к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка с помощью замены переменных

Учитывая (16), из уравнения (14) получим систему дифференциальных уравнений

(17)

Начальные условия (15) для функций z_l переписываются в виде

Запишем для полученной системы метод Рунге-Кутта:

z_l,i+1 = z_l,i + (K_l,1 + 2K_l,2 + 2K_l,3 + K_l,4 ), (19)

K _0,2 = z _{1, i} + K _1,1 ,

K_{1 ,2} = z_{2 , i} + K_{2 ,1} ,

K_n-1,2 = f(x_i + , z_0,i + K_0,1 , z_1,i + K_1,1 ,…, z_n-1,i + K_n-1,1 ),

K_0,3 = z _{1, i} + K _{1, 2} ,

K_1,3 = z_2,i + K_{2 ,2} ,

K_n-1,3 = f(x_i + , z_0,i + K_0,2 , z_1,i + K_1,2 ,…, z_n-1,i + K_n-1,2 ),

Задания лабораторной работы 1

1. Написать файл-функции для решения поставленных далее задач.

2. Сохранить их в отдельных m-файлах (среда Матлаб)

3. Выполнить и оформить в виде отчета поставленные далее задачи.

Задача № 1 . Решить задачу Коши на отрезке [x₀ ,X] методом Рунге-Кутта четвертого порядка, применяя деление отрезка на N частей. Оценить погрешность.

Варианты заданий в табл.1.

Уравнение