Численные методы решения функциональных уравнений

Численные методы решения эволюционных функционально-дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Жуковская Татьяна Владимировна, Молоканова Елена Анатольевна

Рассматривается общий метод приближенного решения задачи Коши для функционально-дифференциального уравнения эволюционного типа. На основании общего метода получены аналоги классических методов Эйлера и Рунге-Кутты для численного решения функционально-дифференциальных уравнений . Приведены условия сходимости методов

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Жуковская Татьяна Владимировна, Молоканова Елена Анатольевна

NUMERICAL METHODS FOR SOLUTION OF EVOLUTIONARY FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS

General method for construction of approximate solution to the Cauchy problem for evolutionary functional-differential equation is described. Analogs of the Euler method and the Runge-Kutta method for numerical methods of solution of evolutionary functional-differential equations are given on the basis of this method. Conditions for convergence of methods are presented.

Текст научной работы на тему «Численные методы решения эволюционных функционально-дифференциальных уравнений»

УДК 517.988.6, 519.62

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

© Т. В. Жуковская, Е. А. Молоканова

Ключевые слова: вольтерров оператор; т -вольтерров оператор; функционально-дифференциальное уравнение; задача Коши; приближенное решение; численные методы. Рассматривается общий метод приближенного решения задачи Коши для функционально-дифференциального уравнения эволюционного типа. На основании общего метода получены аналоги классических методов Эйлера и Рунге-Кутты для численного решения функционально-дифференциальных уравнений. Приведены условия сходимости методов.

Функционально-дифференциальные уравнения описывают многочисленные процессы в физике, технике, экономике, медицине и т. д. Найти «точное» решение таких уравнений можно только в исключительных случаях, поэтому особенно актуальной является задача приближенного решения функционально-дифференциальных уравнений. В работах 1 для линейного уравнения рассматриваются методы приближенного построения функции Коши, основанные на построении обратного оператора и аппроксимации ядра оператора ступенчатыми функциями. Ряд работ посвящен численным методам решений специальных типов функционально-дифференциальных уравнений 7: с авторегулируемым запаздыванием, нейтрального типа, интегро-дифференциальным и др. В случае, когда решение дифференциального уравнения не продолжаемо на весь отрезок [a, b] и имеет вертикальную асимптоту, в [10, 11] предлагается модификация метода Эйлера для численного построения решения.

В настоящей работе предлагается общий подход к построению численных методов решения уравнения

Здесь оператор F : ACp[a,b] ^ Lp[a,b] является вольтерровым [12], т. е.

Vy £ [0,b — a] Vxi, x2 £ ACp[a, b]

(xi(t) = X2(t) Vt £ [a,a + 7]) ^ ((Fxi)(t) = (Fx2)(t) Vt £ [a,a + 7]).

Свойство вольтерровости оператора F позволяет рассматривать решение данного уравнения, определенное не на всем [a, b] , а на его части — отрезке [a,a + 7] , 7 £ (0, b — a), и определить понятие продолжения решения. Вот почему уравнение с вольтерровым оператором F называют эволюционным [13]. Предлагаемые численные методы решения такого уравнения используют специфику вольтеррового оператора F и являются эволюционными в том смысле, что значение решения вычисляются постепенно при все больших значениях аргументов. Таким свойством обладают, например, известные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (методы Эйлера, Рунге-Кутты, Адамса).

1. Метод Тонелли

На примере метода Тонелли, известного для обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [14]), удобно проследить основную идею многих эволюционных методов приближенного решения уравнений с последействием.

Рассмотрим задачу Коши

X(t) = (GHx)(t), t £ [a,b], x(a) = а. (1)

Здесь операторы H : ACp[a,b] ^ Lr[a,b], G : Lr[a,b] ^ Lp[a,b] вольтерровы. Разобьем

отрезок [a,b] на к равновеликих частей точками a, a + Tk, a + 2r^, b (тk = )■

Алгоритм состоит в замене оператора H оператором Hk : ACp[a,b] ^ Lr[a,b] ,

Вследствие т -вольтерровости оператора Hk решение Xk задачи

Xk(t) = (GHkXk)(t), t £ [a,b], Xk(a) = а, (2)

находится по формулам

xk(t) = а + f(G0)(s)ds, если t £ [a,a + Tk];

Xk(t) = (xk)(a + iTk)+ f (GHkXk)(s)ds, (3)

если t £ [a + iTk,a + (i + 1)Tk], i = 0, 1. k — 1.

Достаточные условия сходимости метода Тонелли предоставляет следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть операторы H : ACp[a, b] ^ Lr [a, b], G : Lr [a, b] ^ Lp[a, b] непрерывны, ограничены и хотя бы один из них является вполне непрерывным. Пусть, далее, для решений Xk задач (2) при любом к выполнено неравенство \\Xk\\acv х1 при І£ [tl,t2),

х2 = х1 + / (Тyl)(s)ds,

хі = хі-1 + / (ТУі-1 )(,з)сІ,в. ІІ— 1

Пример 1. Найдем приближенное решение задачи

х(Ь) = х2(-) — 4 + 1, Ье [0,1], х(0) = 0. (8)

Предварительно проверим выполнение условий теоремы 2. Оператор Т, определяемый равенством (Ту)(Ь) = у2(|) —14 + 1, переводит каждое ограниченное множество пространства 1^2р[а,Ъ] в ограниченное множество пространства Ьр[а,Ъ] и непрерывен [15]. Из результатов работы [16] следует однозначная разрешимость задачи (8). Сравним точное решение задачи (8) х = Ь с приближенным решением, найденным по формулам (7). Возьмем к = 10, т = 0,1, получим

х1 = (—— + 1)dі = 0, 0999,

х2 = 0, 0999 + (-— + 1)dі = 0,1993,

хз = 0,1993 + (0, 09992 — — + 1)dі = 0, 3078,

х10 = 0, 9034 + (0, 80432 — 4 + 1^і = 0, 9980.

Теперь применим формулу (7) к численному интегрированию задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

х(Ь) = /(Ь,х(Ь)), Ь Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Хг = Х—1 + J / (8,Хг-г)“8, I = 1, 2. к.

Если функция / : [а,Ь] х Я ^ Я непрерывна по совокупности аргументов, то для вычисления интегралов можно воспользоваться методом прямоугольников. Тогда

Хг = Хг-1 + Тк ■ /(г-1, Хг-1), г = 1,2,к.

Таким образом, в применении к обыкновенному дифференциальному уравнению предлагаемый метод аналогичен известному методу Эйлера.

Отметим, в заключение, что если для любого х Е АСр[а, Ь] функция (ТРкх)(Ь) кусочно

непрерывна на интервале (Ьг-1,Ьг), то интеграл в формуле (7) можно вычислить прибли-

женно методом прямоугольников. В этом случае получаем

Хг = Хг-1 + Тк ■ (Ту-Щ-г). (9)

3. Улучшенный метод Эйлера

В основе рассмотренных методов лежит идея замены задачи Коши (5) «приближенной задачей», эквивалентной уравнению с т -вольтерровым оператором. Эту идею применим для распространения методов Рунге-Кутты на решение функционально-дифференциальных уравнений. Выведем формулу улучшенного метода Эйлера (метода Рунге-Кутты второго порядка). Для приближенного решения задачи (5) заменим ее задачей

Хк(Ь) = (Т[Ркх + ТкТРкх])(Ь), Ь Е [а, Ь], х(а) = а. (10)

Здесь оператор Тк : Ьр[а,Ь] ^ Ьг [а,Ь] определяется равенством (Тку)(Ь) = / Тк(Ь, 8)у(з)й8,

%(Ь,8) = ( 1 если [— ]тк + а -8 к

Хг+1 = Хг + J /(8,Хг + J /(£,Хг)“£)“,8.

= Хг + / / (8,Хг + J / (t,xг

Будем предполагать, что функция / : [а, Ь] х Я ^ Я непрерывна по совокупности аргументов. Для вычисления интегралов воспользуемся методом прямоугольников. Тогда

Хг+г = Хг + Тк ■ /(Ьг + 0, 5тк,хг + 0, 5тк/(Ьг,хг)).

Таким образом, для обыкновенных дифференциальных уравнений формула (11) является формулой улучшенного метода Эйлера.

Пусть для любого х Е АСР [а,Ь] функция (ТРкх)(Ь) кусочно непрерывна на интервале (и,и+\). В этом случае определенные интегралы в формуле (11) можно приближенно вычислить с помощью метода прямоугольников. Тогда решение задачи (10) запишется в виде

у0(8) = а, у0(8) = а + 0, 5тк(Ту0)(а), 8Е [а,Ьг],

Хг = а + Тк(Ту0)(а + 0, 5тк);

(8) = \ Уг-г(8), если 8 Е [a,tг],

\ Хг, если 8 Е (и,к+г],

уг-г(8), если 8Е [а,Ьг], (12)

уг(8 1 хг + 0, 5тк(Туг)(Ьг), если 8Е (Ьг,Ьг+г],

Хг+г = хг + Тк(Туг)(Ьг + 0, 5тк).

Пример 2. Применим формулы метода Эйлера и улучшенного метода Эйлера для численного решения задачи

Х(Ь) = 4у х ^2^ — 2, Ь £ [0,1], х(0) = 1.

Эта задача имеет единственное решение х = (Ь + 1)2. Вычисления будем производить по формулам (9) и (12), взяв к = 10, т = 0,1.

Ь£ [0; 0,1] хх = 1 + 0,1 (4л/1 — 2) = 1,2; t £ (0,1; 0,2] Х2 = 1,2 + 0,1 (4^1 — 2) = 1,4;

t £ (0,2; 0,3] Хз = 1,4 + 0,1 (4^1,2 — 2) = 1,638.

И т. д., полностью результаты счета приведены в табл. 1.

2. Улучшенный метод Эйлера.

Уо(з) = 1, уо(з) = 1 + 0,05 (4у/1 — 2) = 1,1; 5£ [0; 0,1],

Хх = 1 + 0,1 (4^/1Д — 2) ^ 1,2195;

Ух(в)^ 1,2195; у1(в) = 1,2195 + 0,05 (4л/1 — 2) = 1,3195; ¿£ [0,1; 0,2),

Х2 = 1,2195 + 0,1 (4^1! — 2)^ 1,4390;

У2(в) = 1, 4390; у2(в) = 1,4390 + 0,05 (4^/ 1,2195 — 2)^ 1,5598; й£ [0,2; 0,3),

уз = 1,4390 + 0,1 (4^1,3195 — 2) = 1,6985.

И т. д., полностью результаты вычислений приведены в табл. 1.

Решение задачи Х(Ь) = 4 у х ^2^ — 2 , t £ [0, 1] , х(0) = 1, методом Эйлера и улучшенным методом Эйлера

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Метод Эйлера 1,200 1,400 1,638 1,838 2,111 2,385 2,697 3,009 3,351 3,693

метод Эйлера 1,2195 1,4390 1,6985 1,9580 5 5 ,2 2, 2,5571 6 6 9 ,8 2, 1 6 3 ,2 3, 3,6155 3,9948

Точное решение 1,21 1,44 1,69 1,96 2,25 2,56 2,89 3,24 3,61 4,00

1 . Азбелев Н.В., Смолин И.М., Цалюк З.Б. Об одном приближенном методе построения функции

Коши // Доклады АН СССР. 1960. Т. 135. № 3. С. 511-514.

2 . Жуковская ТВ, Жуковский Е.С. Формула для вычисления значений функции Коши //

Функц. дифференц. уравнения и их приложения. Пермь: Изд-во Пермского политехн. ин-та, 1988. С. 34.

3 . Жуковская Т.В. Интерполяция функции Коши // Вестник Тамбовского университета. Серия

Естественные и технические науки. Тамбов, 2002. Т. 7. Вып. 1. С. 110-111.

4 . Жуковская Т.В. Метод построения функции Коши уравнения с обобщенно вольтерровым опе-

ратором // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2003. Т. 8. Вып. 1. С. 162-163.

5 . Юганова С.А. К вопросу о приближенном построении оператора Коши. Пермь, 1981. 11 с.

Деп. в ВИНИТИ, № 3820-81.

6 . Жуковская Т.В. О приближенных методах решения задачи Коши // Современ. методы теории

краев. задач. Воронеж: Изд-во Воронежского гос. ун-та, 2005. С. 59.

7. Жуковская ТВ, Жуковский Е.С. Численные методы решения функциональнодифференциальных уравнений // Функц. дифференц. уравнения. Пермь: Изд-во Пермского политехн. ин-та, 1988. С. 110-113.

8 . Жуковская Т.В, Жуковский Е.С. Об уравнении Риккати // Современные проблемы механики

и прикладной математики. Воронежская математическая школа. Воронеж, 1998. С.116.

9 . Драхлина Н.Ш. О сходимости одного приближенного метода решения функционально-

дифференциального уравнения // Краевые задачи. Пермь: Изд-во Перм. политех. ин-та, 1988. С. 82-87.

10 . Жуковский Е.С. О параметрическом задании решения дифференциального уравнения и его

приближенном нахождении // Известия ВУЗов. Математика. 1995. № 4 (407). С. 31-34.

11 . Жуковская Т.В, Молоканова Е.А., Стуров Д.Л. О вертикальных асимптотах интегральных

кривых обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского гос. техн. ун-та. Тамбов, 2011. Т. 17. № 3. С. 744-751.

12 . Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым

задачам математической физики // Бюл. Москов. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 1. Вып. 8. С. 1-25.

13 . Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Рахматуллина Л.Ф. О линейном функционально-

дифференциальном уравнении эволюционного типа // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 11. С. 1915-1925.

14 . Мамедов Я.Д. Приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Баку: МААРИФ, 1974. 176 с.

15 . Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М: Едиториал УРСС, 2004.

16 . Азбелев Н.В., Максимов В.П. Априорные оценки решений задачи Коши и разрешимость кра-

евых задач для уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15. № 10. С. 1731-1749.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11-01-00645) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы».

Поступила в редакцию 28 сентября 2012 г.

Zhukovskaya T.V., Molokanova E.A. NUMERICAL METHODS FOR SOLUTION OF EVOLUTIONARY FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATIONS

General method for construction of approximate solution to the Cauchy problem for evolutionary functional-differential equation is described. Analogs of the Euler method and the Runge-Kutta method for numerical methods of solution of evolutionary functional-differential equations are given on the basis of this method. Conditions for convergence of methods are presented.

Key words: Volterra operator; t-Volterra operator; functional-differential equation; Cauchy problem; approximate solution; numerical methods.

Лекция «Численные методы решения уравнений»
учебно-методический материал

Лекция по разделу «Численные методы».

Рассматриваются следующие методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений:

1) метод дихотомии (метод деления отрезка пополам),

3) метод касательных,

4) метод итераций.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема 12.2.Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Задача о нахождении приближенных значений действительных корней уравнения f(x)=0 предусматривает предварительное отделение корня , т.е. установления промежутка, в котором других корней данного уравнения нет.

Будем предполагать, что функция f(x) в промежутке [a; b] непрерывна вместе со своими производными f’(x) и f’’(x) , значения f(а) и f(b) функции на концах промежутка имеют разные знаки, т.е. f(а) ∙ f(b) , и обе производные f’(x) и f’’(x) сохраняют знак во всем промежутке [a; b].

Т.к. действительными корнями уравнения f(x)=0 являются абсциссы точек пересечения кривой y=f(x) с осью ОХ , то отделение корня можно произвести графически.

Иногда полезно уравнение f(x)=0 записать в виде . Действительными корнями исходного уравнения служат абсциссы точек пересечения графиков функций .

Мы рассмотрим 4 численных решения уравнений.

1. Метод дихотомии (метод деления отрезка пополам).

Этот метод можно использовать когда нам предположительно или точно известны границы отрезка, содержащего корень и на этих границах f(x) принимает значения разных знаков, тогда по теореме о достаточных условиях существования корня на заданном отрезке существует хотя бы один корень.

y

1. Делим отрезок [a; b] пополам.
2. Определяем, на границах какой из частей первоначального интервала функция f(x) меняет знак.
3. Полученный интервал снова делим на две части и т.д.

Такой процесс продолжаем до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки.

Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения f(x)=0 , изолированный на отрезке [a;b]. Рассмотрим график функции у= f(x) . Пусть f(а) и f(в) >0. Точки графика А[a;f(a)] и В[b;f(b)] соединим хордой .За приближенное значение искомого корня примем абсциссу х 1 точки пересечения хорды АВ с осью Ох .

Это приближенное значение находится по формуле , где x 1 ∈ (a;b)

Пусть, например, f(x 1 ) тогда за новой (более узкий) промежуток изоляции корня принять [x 1 ,b].

Соединив точки А 1 [x 1 ;f(x 1 )] и В[b;f(b)] , получим в точке пересечения хорды с осью Ох второе приближение x 2 , которое вычислим по формуле: и т.д.

Последовательность чисел a 1 , x 1 , x 2 ,… стремится к искомому корню уравнения f(x)=0 .Вычисление приближенных значений корней уравнения следует вести до тех пор, пока не перестанут изменятся те десятичные знаки, которые мы хотим сохранить в ответе (т.е.пока не будет достигнута заданная степень точности)

Если Х-точный корень уравнения f(x)=0 , изолированный на отрезке [а,в] , а ξ- приближенное значение корня ,найденное методом хорд ,то оценка погрешности этого приближенного значения такова:

1. Метод касательных (Метод Ньютона)

Пусть действительный корень уравнения f(x)=0 изолирован на отрезке [а,в] . Будем предполагать, что все ограничения, сформулированные выше относительно f(x) , сохраняют силу и в этом случае. Выделяем на отрезке [а,в] такое число x 0 , при котором f(x 0 ) имеет тот же знак, что и f’’(x 0 ) т.е. f(x 0 ) f’’(x 0 )>0 (в частности , за x 0 может быть принят тот из концов отрезка [а,в] , в котором соблюдено это условие). Проведем в точке Мо[x 0 , f(x 0 )] касательную к кривой y=f(x) .

y= f(x)

За приближенное значение корня примем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ох . Это приближенное значение корня находится по формуле: .

Применив этот прием вторично в точке M 1 [x 1 ; f(x 1 )] , найдем и т.д.

Полученная т.об. последовательность x 0 , x 1 , x 2 ,… имеет своим пределом искомый корень.

Для оценки погрешности приближенного значения корня, найденного, методом Ньютона, может быть .использовано неравенство:

4. Метод итераций.

Если данное уравнение приведено к виду , где всюду на отрезке [а,в] , на котором исходное уравнение имеет единственный корень, то исходя из некоторого начального .значения x 0 , принадлежащего отрезку [а,в] , можно построить такую последовательность: …

Пределом этой последовательности является единственный корень уравнения f(x)=0 на отрезке [а,в]. Погрешность приближенного значения x n корня Х , найденного методом итерации, оценивается неравенством.