Численные методы решения нелинейных уравнений matlab

Решение нелинейных уравнений в Matlab

Доброго времени суток. В этой статье мы разберем решение простых нелинейных уравнений с помощью средств Matlab. Посмотрим в действии как стандартные функции, так и сами запрограммируем три распространенных метода для решения нелинейных уравнений.

Общая информация

Уравнения, которые содержат переменные, находящиеся в степенях, отличающихся от единицы, или имеющие нелинейные математические выражения (корень, экспонента, логарифм, синус, косинус и т.д.), а также имеющие вид f(x) = 0 называются нелинейными. В зависимости от сложности такого уравнения применяют методы для решения нелинейных уравнений.

В этой статье, помимо стандартных функций Matlab, мы рассмотрим следующие методы:

• Метод перебора
• Метод простых итераций
• Метод половинного деления

Рассмотрим коротко их алгоритмы и применим для решения конкретной задачи.

Стандартные функции Matlab

Для решения нелинейных уравнений в Matlab есть функция fzero. Она принимает в качестве аргументов саму функцию, которую решаем, и отрезок, на котором происходит поиск корней нелинейного уравнения.

И сразу же разберем пример:

Решить нелинейное уравнение x = exp(-x), предварительно определив интервалы, на которых существуют решения уравнения.

Итак, для начала следует привести уравнение к нужному виду: x — exp(-x) = 0 , а затем определить интервалы, в которых будем искать решение уравнения. Методов для определения интервалов множество, но так как пример достаточно прост мы воспользуемся графическим методом.

Здесь задали примерные границы по оси x, чтобы можно было построить график и посмотреть как ведет себя функция. Вот график:

Из графика видно, что на отрезке [0;1] есть корень уравнения (там, где y = 0), соответственно в дальнейшем будем использовать этот интервал. Чем точнее выбран интервал, тем быстрее метод придет к решению уравнения, а для сложных уравнений правильный выбор интервала определяет погрешность, с которой будет получен ответ.

С помощью стандартной функции Matlab находим корень нелинейного уравнения и выводим. Теперь для проверки отобразим все это графически:

Как вы видите, все достаточно точно просчиталось. Теперь мы исследуем эту же функцию с помощью других методов и сравним полученные результаты.

Метод перебора Matlab

Самый простой метод, который заключается в том, что сначала задается какое то приближение x (желательно слева от предполагаемого корня) и значение шага h. Затем, пока выполняется условие f(x) * f(x + h) > 0, значение x увеличивается на значение шага x = x + h. Как только условие перестало выполняться — это значит, что решение нелинейного уравнения находится на интервале [x; x + h].

Теперь реализуем метод перебора в Matlab:

Лучше всего создать новый m-файл, в котором и прописать код. После вызова получаем такой вывод:

Функцию объявляем с помощью очень полезной команды inline, в цикле пока выполняется условие отсутствия корней (или их четного количества), прибавляем к x значение шага. Очевидно, что чем точнее начальное приближение, тем меньше итераций необходимо затратить.

Метод простых итераций Matlab

Этот метод заключается в том, что функцию преобразуют к виду: x = g(x). Эти преобразования можно сделать разными способами, в зависимости от вида начальной функции. Помимо этого следует задать интервал, в котором и будет производиться итерационный процесс, а также начальное приближение. Сам процесс строится по схеме x_n= g(x_n-1). То есть итерационно проходим от предыдущего значения к последующему.

Процесс заканчивается как только выполнится условие: , то есть, как только будет достигнута заданная точность. И сразу же разберем реализацию метода простых итераций в Matlab для примера, который был приведен выше.

Здесь должно быть все понятно, кроме одного: зачем задавать число итераций? Это нужно для того, чтобы программа не зацикливалась и не выполняла ненужные итерации, а также потому что не всегда программа может просчитать решение с нужной точностью — поэтому следует ограничивать число итераций.

А вот и вывод программы:

Очевидно, что метод простых итераций работает гораздо быстрее и получает точное решение.

Метод половинного деления Matlab

Метод достаточно прост: существует отрезок поиска решения [a;b], сначала находят значение функции в точке середины c, где c = (a+b)/2. Затем сравнивают знаки f(a) и f(c). Если знаки разные — то решение находится на отрезке [a;c], если нет — то решение находится на отрезке [c;b]. Таким образом мы сократили область в 2 раза. Такое сокращение происходит и дальше, пока не достигнем заданной точности.

Перейдем к реализации метода в Matlab:

Все самое важное происходит в цикле: последовательно сокращаем область нахождения решения, пока не будет достигнута заданная точность.
Вот что получилось в выводе:

Этот метод хорошо работает, когда правильно определен интервал, на котором находится решение. Тем не менее, метод простых итераций считается наиболее точным и быстрым.

Заключение

Сегодня мы рассмотрели решение нелинейных уравнений в Matlab. Теперь нам известны методы перебора, половинного деления, простых итераций. А также, когда нам не важно реализация метода, то можно использовать стандартную функцию в Matlab.

На этом все — спасибо за внимание. В следующей статье мы разберем решение систем нелинейных уравнений в matlab.

Численные методы решения уравнений в среде MatLab

В этом посте я расскажу о численных методах решения уравнений, что очень удобно для их расчёта на компьютере. Приведу 3 вида и 3 примера кода, для каждого вида соответственно, а также расскажу о предостерегающих трудностях и путях их решения.

Иногда нам приходится решать уравнения, кому-то по работе, а кому-то понадобилась для домашних нужд — назовём это так. В школе нас учили, что для решения уравнения, необходимо выразить искомую переменную и тогда мы получим символьное решение уравнения, а если вместо букв поставить числа, то получим численное решение того или иного уравнения. Однако, бывают такие уравнения, в которых нельзя явно выразить искомую переменную, например, уравнение ниже.

Решать такие уравнения приходиться численно, то есть получая ответ в виде числа, а если вам нужна зависимость, то придётся задать диапазон начальных условий и получить, соответственно, диапазон значений искомого параметра.

Предлагаю вам ознакомиться с моей презентацией, а после чего прочитать комментарии и пояснения к ней ниже. Также, в конце записи я опубликовал листинги программ для расчёта указанными методами в среде MatLab.

При решении уравнений 2 или 3 типа, может возникнуть ситуация , когда из большого шага между двумя значениями x и(или) y, мы можем не достичь требуемой точности и тогда результат будет не предсказуем. Для избежания таких случаев предлагаю использовать не сравнение результата с заданным уровнем точности, а сравнение точностей для каждого значения переменной и выбор значения с наибольшей точностью. Подробнее расскажу на примере кода. Рекомендую использовать следующей алгоритм действий для уравнений типа f(x)=const:

1. разбиваете заданный диапазон значений на n равных интервалов и получаете n+1 значений x
2. решаете уравнение для каждого значения х
3. выбираете то значение х_i, при котором точность максимальна.
4. из п. 3 следует, что точное решение находится между х_i-1 и х_i+1. Устанавливаете новый диапазон значений для x от х_i-1 до х_i+1, сохраняя то же число интервалов.
5. Вновь расчитываете уравнение для нового интервала с новым шагом
6. Повторяете указанные действия до тех пор, пока интервал значений х не будет достаточно мал, чтобы получить требуемую точность вычислений.

Аналогичный алгоритм, лишь с некоторым поправками, можно использовать и для решения уравнений вида f(x,y)=y.

Листинг программы для решения уравнений вида f(x)=x в среде MatLab

Если кому интересно, то ниже производится решение следующего уравнения относительно γ.

Листинг программы для решения уравнений вида f(x,y)=y в среде MatLab

Этот код решает следующее уравнение относительно θ.

На выходе данной программы получаем массив значений угла θ. Границы диапазона θ от 61.7 до 61.8 найдены путём последовательных приближений. Сначала уравнение решалось для всех гамма в пределах угла от 1 до 90 с шагом в 1 градус, затем диапазон сужался по тому же принципу, что и в случае с предыдущем кодом, и действия повторялись до достижения требуемой точности.

Если у вас есть какие-либо вопросы, замечания или предложения, то их в комментариях к данному посту! Удачных вам математических расчётов!