ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ХИМИИ
- Варвара Кугушева 4 лет назад Просмотров:
1 Э. М. Кольцова, А. С. Скичко, А. В. Женса ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ХИМИИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ АКАДЕМИЧЕСКОГО БАКАЛАВРИАТА 2-е издание, исправленное и дополненное Рекомендовано Учебно-методическим отделом высшего образования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по естественнонаучным направлениям Книга доступна в электронной библиотечной системе biblio-online.ru Москва Юрайт 2018
2 УДК (075.8) ББК я73 К62 Авторы: Кольцова Элеонора Моисеевна доктор технических наук, заведующая кафедрой информационных компьютерных технологий факультета информационных технологий и управления Российского химико-технологического университета имени Д. И. Менделеева; Скичко Алексей Сергеевич кандидат технических наук, доцент кафедры кибернетики химико-технологических процессов факультета информационных технологий и управления Российского химико-технологического университета имени Д. И. Менделеева; Женса Андрей Вячеславович кандидат технических наук, доцент кафедры информационных компьютерных технологий факультета информационных технологий и управления Российского химико-технологического университета имени Д. И. Менделеева. Рецензенты: Дмитриев Е. А. профессор, доктор технических наук, заведующий кафедрой процессов и аппаратов химической технологии факультета инженерной химии Российского химико-технологического университета имени Д. И. Менделеева; Гудилин Е. А. профессор, доктор химических наук, член-корреспондент Российской академии наук, заведующий кафедрой наноматериалов факультета наук о материалах Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. К62 Кольцова, Э. М. Численные методы решения уравнений математической физики и химии : учеб. пособие для академического бакалавриата / Э. М. Кольцова, А. С. Скичко, А. В. Женса. 2-е изд., испр. и доп. М. : Издательство Юрайт, с. (Серия : Бакалавр. Академический курс). ISBN В настоящем учебном пособии излагаются численные методы решения дифференциальных уравнений различного типа, описывающих физикохимические и химико-технологические процессы. Умение пользоваться численными методами необходимо при решении сложных задач математического моделирования. Пособие поможет научиться правильно составлять разностные схемы, проверять их сходимость к истинному решению, определять ошибку аппроксимации. Соответствует актуальным требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по естественнонаучным направлениям, преподавателей и всех интересующихся. УДК (075.8) ББК я73 Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав. Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая компания «Дельфи». ISBN Кольцова Э. М., Скичко А. С., Женса А. В., 2009 Кольцова Э. М., Скичко А. С., Женса А. В., 2018, с изменениями ООО «Издательство Юрайт», 2018
3 Оглавление Введение. 7 Глава 1. Предмет курса Типы дифференциальных уравнений, изучаемых в курсе Классификация дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка Начальные и граничные условия Классификация граничных условий Примеры математических моделей, содержащих обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядков Примеры математических моделей, содержащих дифференциальные уравнения в частных производных Математическая модель процесса массовой кристаллизации из растворов пример системы интегро-дифференциальных уравнений Глава 2. Преобразование дифференциальной задачи в разностную Метод приведения уравнений к безразмерному виду Аппроксимация простейших дифференциальных операторов Аппроксимация дифференциальных уравнений Глава 3. Спектральный метод анализа устойчивости разностных схем Понятия устойчивости разностных схем и сходимости решения разностной схемы к решению исходного дифференциального уравнения Погрешность решения разностной схемы Исследование устойчивости явной разностной схемы, аппроксимирующей дифференциальное уравнение параболического типа Исследование устойчивости неявной разностной схемы, аппроксимирующей дифференциальное уравнение параболического типа Глава 4. Решение дифференциальных уравнений параболического типа Явная разностная схема Неявная разностная схема Разностная схема Кранка Николсона
4 4.4. Разностная схема Саульева Сравнительная характеристика изученных разностных схем Глава 5. Решение дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка Примеры дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка Разностные схемы, аппроксимирующие дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка Явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью Явная разностная схема с аппроксимацией производной по координате левой конечной разностью Неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате правой конечной разностью Неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате левой конечной разностью Влияние наличия искомой функции в составе свободного члена на устойчивость разностных схем Сравнительная характеристика изученных разностных схем Глава 6. Решение дифференциальных уравнений параболического типа, содержащих производную по координате первого порядка Постановка задачи Явная разностная схема Неявная разностная схема Разностная схема Кранка Николсона Неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате первого порядка центральной конечной разностью Сравнительная характеристика изученных разностных схем Глава 7. Решение двумерных дифференциальных уравнений параболического типа Примеры двумерных дифференциальных уравнений параболического типа Разностная сетка для двумерных задач Аппроксимация дифференциальных операторов Явная разностная схема Характеристика неявной разностной схемы Схема расщепления Схема переменных направлений Схема со стабилизирующей поправкой Схема предиктор-корректор Сравнительная характеристика изученных разностных схем
5 Глава 8. Решение двумерных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка Явные разностные схемы Неявные разностные схемы Сравнительная характеристика изученных разностных схем Решение двумерных дифференциальных уравнений параболического типа, содержащих первые производные по координатам Глава 9. Решение трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа Примеры трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа Разностная сетка для трёхмерных задач Аппроксимация дифференциальных операторов Явная разностная схема Характеристика неявной разностной схемы Схема расщепления Схема со стабилизирующей поправкой Схема предиктор-корректор Сравнительная характеристика изученных разностных схем Решение трёхмерных дифференциальных уравнений параболического типа, содержащих первые производные по координатам Глава 10. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка Анализ возможности использования метода прогонки Метод установления Метод установления с использованием явной разностной схемы Метод установления с использованием неявной разностной схемы Метод установления с использованием разностной схемы Кранка Николсона Обобщение изученных методов Глава 11. Решение дифференциальных уравнений эллиптического типа Примеры дифференциальных уравнений эллиптического типа Метод установления Метод установления с использованием явной разностной схемы Метод установления с использованием схемы расщепления
6 11.5. Метод установления с использованием схемы переменных направлений Метод установления с использованием схемы предиктор-корректор Обобщение изученных методов Глава 12. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Явный метод Эйлера Неявный метод Эйлера Метод Рунге-Кутта второго порядка Семейство методов Рунге-Кутта второго порядка Семейство методов Рунге-Кутта m-го порядка Решение уравнений методом Рунге-Кутта Глава 13. Принцип замороженных коэффициентов Уравнения с непостоянными коэффициентами при производных Уравнения с нелинейным свободным членом Глава 14. Решение интегро-дифференциальных уравнений Постановка задачи Методы численного вычисления интегралов Примеры численного решения интегродифференциальных уравнений Глава 15. Решение сложных систем уравнений Основной подход к решению сложных систем Решение математической модели процесса массовой кристаллизации из растворов Определение устойчивости разностных схем с помощью тестовых задач Новые издания по дисциплине «Численные методы» и смежным дисциплинам. 219
7 Введение Настоящее учебное пособие основано на материалах специаль ного курса «Численные методы решения уравнений математичес кой физики и химии», читаемого студентам факультета кибернети ки химико-технологических процессов Российского химико-техно логического университета им. Д. И. Менделеева. В данном курсе изу чаются методы численного решения дифференциальных уравнений на основе разностных схем. Подавляющее большинство математических моделей физико-хи мических и химико-технологических систем включают в себя диф ференциальные уравнения, описывающие изменение важных пара метров изучаемой системы (температуры, давления, концентрации и т.д.) во времени и пространстве. При решении задач математичес кого моделирования очень часто требуется уметь решать эти уравне ния. При этом лишь в единичных, наиболее простых случаях диффе ренциальные уравнения удаётся решить аналитически. Как прави ло, математические модели включают в себя сложные дифференци альные уравнения или их системы, не поддающиеся аналитическо му решению. В этом случае пользуются численными методами реше ния дифференциальных уравнений, позволяющими найти числен ные значения искомого параметра при определённых значениях пе ременных (времени, координат). Цель настоящего пособия помочь читателю овладеть числен ными методами решения дифференциальных уравнений различно го типа и их систем, научиться правильно составлять разностные схемы, проверять их сходимость к истинному решению, определять ошибку аппроксимации. В результате изучения данного курса студенты должны: знать сравнительные преимущества и недостатки аналитического и численного подходов к решению математических задач; 7
8 основные ситуации, в которых требуется использование приближенных методов решения типовых математических задач; сильные и слабые стороны различных численных методов, предназначенных для решения данной типовой математической задачи; уметь оценивать точность результата, полученного численным методом; выбирать подходящий метод приближенных вычислений (с учетом объема вычислений, необходимых для достижения требуемой точности результата); использовать математический аппарат приближенных вычислений в самостоятельных исследованиях; владеть методами численного решения типовых математических задач; базовыми навыками реализации численных методов. Для ознакомления с материалом излагаемого курса помимо дан ного учебного пособия также рекомендуются следующие книги: