Численные методы решения уравнений программа

Рабочая программа дисциплины ОП.10 Численные методы
рабочая программа

Рабочая программа разработана в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования (ФГОС СПО) по специальности 09.02.07 Информационные системы и программирование, утвержденного приказом Министерства образования и науки от 9 декабря 2016 года № 1547.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Министерство образования Саратовской области

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Саратовской области «Энгельсский политехникум»

(ГАПОУ СО «Энгельсский политехникум»)

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ОП.10 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

программы подготовки специалистов среднего звена

для специальности технического профиля

09.02.07 Информационные системы и программирование

на базе основного общего образования

с получением среднего общего образования

2019 г.

РАССМОТРЕНО на заседании предметно-цикловой комиссии информационно-коммуникационных технологий

Протокол №__, дата «___»________2019 г.

Председатель комиссии _______________

Протокол №__, дата «___»________2020 г.

Председатель комиссии ______________

Протокол №__, дата «___»________2021 г.

Председатель комиссии _______________

Протокол №__, дата «___»________2022 г.

Председатель комиссии _______________

ОДОБРЕНО методическим советом техникума

Протокол №___ от «_____» __________2019 г.

Протокол №___ от «_____» __________2020 г.

Протокол №___ от «_____» __________2021 г.

Протокол №___ от «_____» __________2022 г.

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Саратовской области ГАПОУ СО «Энгельсский политехникум»

Цацаева Т.Н., преподаватель специальных дисциплин ГАПОУ СО «Энгельсский политехникум»

Внутренний : Ковалева Т.С., методист ГАПОУ СО «Энгельсский политехникум»

1 . ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ОП.10 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

1.1. Место дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы. Учебная дисциплина ОП.10 Численные методы принадлежит к общепрофессиональному циклу.

1.2. Цель и планируемые результаты освоения дисциплины:

ОК 1, 2, 4, 5, 9, 10,

использовать основные численные методы решения математических задач;

выбирать оптимальный численный метод для решения поставленной задачи;

давать математические характеристики точности исходной информации и оценивать точность полученного численного решения;

разрабатывать алгоритмы и программы для решения вычислительных задач, учитывая необходимую точность получаемого результата.

методы хранения чисел в памяти электронно-вычислительной машины (далее – ЭВМ) и действия над ними, оценку точности вычислений;

1. методы решения основных математических задач – интегрирования, дифференцирования, решения линейных и трансцендентных уравнений и систем уравнений с помощью ЭВМ.

2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

2.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы

Объем образовательной программы

Промежуточная аттестация — зачет

2.2. Тематический план и содержание учебной дисциплины ОП.10. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Наименование разделов и тем

Содержание учебного материала и формы организации деятельности обучающихся

Коды компетенций, формированию которых способствует элемент программы

Тема 1. Элементы теории погрешностей

Содержание учебного материала

ОК 1, 2, 4, 5, 9, 10,

Источники и классификация погрешностей результата численного решения задачи.

В том числе практических занятий и лабораторных работ

Вычисление погрешностей результатов арифметических действий над приближёнными числами.

Вычисление погрешностей результатов арифметических действий над приближёнными числами.

Самостоятельная работа обучающихся (не предусмотрена)

Тема 2. Приближённые решения алгебраических и трансцендентных уравнений

Содержание учебного материала

ОК 1, 2, 4, 5, 9, 10,

Постановка задачи локализации корней.

Численные методы решения уравнений.

В том числе практических занятий и лабораторных работ

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом половинного деления и методом итераций.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методами хорд и касательных.

Самостоятельная работа обучающихся

Разработка алгоритмов и программ для решения уравнений численными методами.

Тема 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Содержание учебного материала

ОК 1, 2, 4, 5, 9, 10,

Метод итераций решения СЛАУ.

В том числе практических занятий и лабораторных работ

Решение систем линейных уравнений приближёнными методами.

Решение систем линейных уравнений приближёнными методами.

Самостоятельная работа обучающихся

Разработка алгоритмов и программ для решения систем уравнений численными методами.

Составление сводной таблицы «Области применения методов решения СЛАУ методами Гаусса, итераций, Зейделя».

Тема 4. Интерполирование и экстраполирование функций

Содержание учебного материала

ОК 1, 2, 4, 5, 9, 10,

Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Интерполяционные формулы Ньютона.

В том числе практических занятий и лабораторных работ

Составление интерполяционных формул Лагранжа, Ньютона, нахождение интерполяционных многочленов сплайнами.

Самостоятельная работа обучающихся (не предусмотрена)

Тема 5. Численное интегрирование

Содержание учебного материала

ОК 1, 2, 4, 5, 9, 10,

Формулы Ньютона — Котеса: метод прямоугольников

Формулы Ньютона — Котеса: метод трапеций

Формулы Ньютона — Котеса: метод парабол.

Интегрирование с помощью формул Гаусса.

В том числе практических занятий и лабораторных работ

Вычисление интегралов методами численного интегрирования.

Самостоятельная работа обучающихся

Разработка алгоритмов и программ для численного интегрирования.

Тема 6. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Содержание учебного материала

ОК 1, 2, 4, 5, 9, 10,

Метод Эйлера. Уточнённая схема Эйлера.

Метод Рунге – Кутта.

В том числе практических занятий и лабораторных работ

Применение численных методов для решения дифференциальных уравнений.

Самостоятельная работа обучающихся

Разработка алгоритмов и программ для решения дифференциальных уравнений численными методами.

Составление сводной таблицы «Области применения методов Эйлера, Рунге-Кутта для решения обыкновенных дифференциальных уравнений».

Промежуточная аттестация — зачет

3. УСЛОВИЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ОП.10. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

3.1. Для реализации программы учебной дисциплины предусмотрено специальное помещение:

Кабинет «Математические дисциплины», оснащенный оборудованием и техническими средствами обучения:

— рабочее место преподавателя;

— посадочные места обучающихся (по количеству обучающихся);

— учебные наглядные пособия (таблицы, плакаты);

— тематические папки дидактических материалов;

— комплект учебно-методической документации;

— комплект учебников (учебных пособий) по количеству обучающихся.

Технические средства обучения:

— компьютер с лицензионным программным обеспечением;

3.2. Информационное обеспечение реализации программы

1. Зенков, А. В. Численные методы : учебное пособие для СПО / А. В. Зенков. — М. : Издательство Юрайт, 2017.

4. КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ОП.10. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Формы и методы оценки

Перечень знаний, осваиваемых в рамках дисциплины:

• методы хранения чисел в памяти электронно-вычислительной машины (далее – ЭВМ) и действия над ними, оценку точности вычислений;
• методы решения основных математических задач – интегрирования, дифференцирования, решения линейных и трансцендентных уравнений и систем уравнений с помощью ЭВМ.

«Отлично» — теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, умения сформированы, все предусмотренные программой учебные задания выполнены, качество их выполнения оценено высоко.

«Хорошо» — теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, некоторые умения сформированы недостаточно, все предусмотренные программой учебные задания выполнены, некоторые виды заданий выполнены с ошибками.

«Удовлетворительно» — теоретическое содержание курса освоено частично, но пробелы не носят существенного характера, необходимые умения работы с освоенным материалом в основном сформированы, большинство предусмотренных программой обучения учебных заданий выполнено, некоторые из выполненных заданий содержат ошибки.

«Неудовлетворительно» — теоретическое содержание курса не освоено, необходимые умения не сформированы, выполненные учебные задания содержат грубые ошибки.

Примеры форм и методов контроля и оценки

• Компьютерное тестирование на знание терминологии по теме

• Наблюдение за выполнением практического задания (деятельностью студента)

• Оценка выполнения практического задания (работы)

• Подготовка и выступление с докладом, сообщением, презентацией

• Решение ситуационной задачи

Перечень умений, осваиваемых в рамках дисциплины:

• использовать основные численные методы решения математических задач;
• выбирать оптимальный численный метод для решения поставленной задачи;
• давать математические характеристики точности исходной информации и оценивать точность полученного численного решения;
• разрабатывать алгоритмы и программы для решения вычислительных задач, учитывая необходимую точность получаемого результата.

Самостоятельная работа в рамках образовательной программы планируется образовательной организацией с соответствии с требованиями ФГОС СПО в пределах объема учебной дисциплины в количестве часов, необходимом для выполнения заданий самостоятельной работы обучающихся, предусмотренных тематическим планом и содержанием учебной дисциплины.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Рабочая программа дисциплины «Валеология»

Валеология (Valeo, греч. — здравствовать, быть здоровым ) — Наука об индивидуальном здоровье, методах его поддержания и укрепления. Впервые термин Валеология был введен Брехманом (1982 г.). Вале.

Рабочая программа дисциплины ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ для специальности «Организация обслуживания в общественном питании»

Программа учебной дисциплиныразработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта по специальности среднего профессионального образования 100114 Организация обслуж.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ОП.01 Экономика организации Для обучающихся по программе подготовки специалистов среднего звена специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

РАБОЧАЯ ПРОГРАММАдисциплины ОП.01 Экономика организацииДля обучающихся по программе подготовки специалистов среднего звенаспециальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям).

Рабочая программа дисциплины «Корпоративные финансы» направление подготовки 38.03.01 Экономика. Профиль подготовки Налоги и налогообложение (программа академического бакалавриата)

Целью освоения дисциплины «Корпоративные финансы» является формирование комплекса знаний об организационных, научных и методических основах организации и управления финансами корпораций (организаций).

Рабочая программа дисциплины ОП.06 Охрана труда по программе подготовки квалифицированных рабочих, служащих по профессии 43.01.09 «Повар, кондитер»

Программа подготовки квалифицированных рабочих, служащих (далее ППКРС) Тамбовского областного государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения «Многоотраслевой колледж&r.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ОСНОВЫ КАЛЬКУЛЯЦИИ И УЧЕТА по программам подготовки квалифицированных рабочих, служащих по профессии: 43.01.09 Повар, кондитер

Рабочая программа дисциплины разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования (приказ Министерства образования и науки РФ от 9 дека.

Положение о структуре, требованиях к оформлению и порядке утверждения рабочей программы дисциплины образовательной программы среднего профессионального образования (циклы ОГСЭ, ЕН, ОП)

Положение о структуре, требованиях к оформлению и порядке утверждения рабочей программы дисциплины образовательной программы среднего профессионального образования (циклы ОГСЭ, ЕН, ОП).

Рабочая программа по дисциплине «Численные методы»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Департамент образования, науки и молодежной политики

ГБПОУ ВО «Острогожский многопрофильный техникум»

З аместитель директора

по учебной работе

_________ О.В. Редина

230115 Программирование в компьютерных системах

Рабочая программа учебной дисциплины разработана на основе учебного плана, утвержденного приказом от 08.07.2013 г. №165.

Организация-разработчик: ГБПОУ ВО «Острогожский многопрофильный техникум»

Разработчик: Родных Н.Н., преподаватель математики и информатики

Рецензенты: Голдинов В.С., преподаватель дисциплин профессионального цикла ГБПОУ ВО «Острогожский многопрофильный техникум»

Петрихина Л.А., преподаватель математики НОУ СПО «Острогожский техникум потребительской кооперации Воронежского облпотребсоюза»

Рабочая программа рекомендована цикловой комиссией математики и информатики

Протокол №1 от 07 сентября 2015

Председатель цикловой комиссии __________ Н.В. Меркулова

Заведующий отделением ______________ О.Н. Гончарова

Методист _______________ Н.В. Козлова

1. паспорт ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

1.1. Область применения программы

Рабочая программа учебной дисциплины является частью основной профессиональной образовательной программы по специальности СПО 230115 «Программирование в компьютерных системах».

1.2. Место учебной дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы : дисциплина входит в профессиональный цикл (за счет часов вариативной части).

1.3. Цели и задачи учебной дисциплины – требования к результатам освоения учебной ди сциплины :

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

использовать основные численные методы решения математических задач;

разрабатывать алгоритмы и программы для решения вычислитель­ных задач, учитывая необходимую точность получаемого результата.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

методы хранения чисел в памяти ЭВМ и действия над ними, оценку точности вычислений, т.е. действия с приближенными числами;

методы решения основных математических задач — интегрирования, дифференцирования, решения линейных и трансцендентных урав­нений и систем уравнений с помощью ЭВМ.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):

ПК 2.1. Разрабатывать объекты базы данных.

ПК 2.2. Реализовывать базу данных в конкретной СУБД.

ПК 2.3. Решать вопросы администрирования базы данных.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

1.4. Количество часов, отведенное на освоение программы учебной дисциплины :

максимальной учебной нагрузки обучающихся – 122 часа, в том числе:

обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающихся – 82 часа;

самостоятельной работы обучающегося – 40 часов.

2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

2.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы

Максимальная учебная нагрузка (всего)

Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего)

Самостоятельная работа обучающегося (всего)

в том числе: внеаудиторная самостоятельная работа

работа с материалами учебника (ков);

выполнение индивидуальных заданий.

Формы промежуточной аттестации

– контрольная работа (6 семестр);

– дифференцированный зачет (7 семестр).

2.2. Тематический план и содержание учебной дисциплины «Численные методы»

Наименование разделов и тем

Содержание учебного материала, лабораторные и практические занятия, самостоятельная работа обучающихся, курсовая работа (проект) (если предусмотрены)

Причины появления вычислительной математики. Место ЭВМ в разви­тии вычислительной математики. Проблемы, связанные с применением ме­тодов вычислительной математики.

Раздел 1. Приближенные числа и действия над ними

Содержание учебного материала

Приближенное значение величины. Абсолютная погрешность, относи­тельная погрешность. Верные, сомнительные, значащие цифры. Погрешности арифметических действий.

Вычисление погрешностей результатов ариф­метических действий.

Самостоятельная работа обучающихся

Работа с материалами учебника (ков).

Способы хранения цифр в памяти ЭВМ.

Раздел 2. Численные методы

Тема 2.1. Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений

Содержание учебного материала

Численные методы решения уравнений. Метод половинного деления. Метод итераций. Метод хорд. Метод Ньютона (касательных). Комби­нированный метод хорд и касательных.

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами (методы половинного деления, хорд, касательных).

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами (комбинированный метод хорд и касательных, метод итераций).

Самостоятельная работа обучающихся

Выполнение индивидуальных заданий.

Работа с материалами учебника (ков).

Тема 2.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Содержание учебного материала

Системы уравнений. Матричный метод. Метод Зейделя. Метод Гаусса. Вычисление определителей методом Гаусса. Метод итераций. Метод Крамера.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Решение систем линейных уравнений прибли­женными методами (метод итераций).

Решение систем линейных уравнений прибли­женными методами (метод Зейделя).

Самостоятельная работа обучающихся

Работа с материалами учебника (ков).

Применение метода Гаусса для вычисления обратной матрицы. Метод Зейделя. Сравнение методов.

Тема 2.3. Интерполирование и экстраполирование функций

Содержание учебного материала

Интерполяция. Интерполяционный полином. Интерполирующая функция. Экстраполяция.

Интерполяционный многочлен Ла­гранжа для функции, заданной в неравноотстоящих узлах таблицы. Интерполяционный многочлен Ла­гранжа для функции, заданной в равноотстоящих узлах таблицы.

Использование электронных таблиц MS Excel при вычислении интерполяционного многочлена Лагранжа. Таблица разностей. Экстраполяция как особый вид аппроксимации.

Интерполяционные формулы Ньютона. Конечные разности. Таблица разделенных разностей. Достоинства интерполяционного многочлена в форме Ньютона по сравнению с многочленом Лагранжа. Единственность интерполяционного многочлена.

Нахождение значений функции с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. Часть 1.

Нахождение значений функции с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. Часть 2.

Вычисление значений функции по первой и второй интерполяционным формулам Ньютона.

Самостоятельная работа обучающихся

Работа с материалами учебника (ков).

Выполнение индивидуальных заданий.

Сравнение методов интерполяции.

Тема 2.4. Численное интегрирование

Содержание учебного материала

Формулы Ньютона-Котеса: методы прямоугольников, трапеций, пара­бол. Формулы Гаусса.

Вычисление определённых интегралов по формулам левых и правых прямоугольников.

Вычисление определённых интегралов по формуле средних прямоугольников.

Вычисление определённых интегралов по формуле трапеций.

Вычисление определённых интегралов по формуле «трёх восьмых».

Вычисление определённых интегралов по формулам Гаусса.

Самостоятельная работа обучающихся

Работа с материалами учебника (ков).

Сравнение методов интегрирования.

Тема 2.5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Содержание учебного материала

Численное решение дифференциального уравнения. Метод Эйлера или метод ломаных. Метод Рунге-Кутта. Сравнение методов.

Приближённое решение дифференциального уравнения усовершенствованным методом ломаных.

Приближённое решение дифференциального уравнения методом Эйлера-Коши. Часть 1.

Приближённое решение дифференциального уравнения методом Эйлера-Коши. Часть 2.

Самостоятельная работа обучающихся

Работа с материалами учебника (ков).

Уточненная схема Эйлера.

Тема 2.6. Численное решение задач оптимизации

Содержание учебного материала

Методы минимизации функций одной и двух переменных: методы ди­хотомии, золотого сечения. Линейное программирование. Общий случай задачи оптимизации. Решение задачи линейного программирования.

Нахождение экстремумов функций одной пе­ременной приближенными методами.

Нахождение экстремумов функций двух пере­менных приближенными методами.

Решение задач линейного программирования.

Самостоятельная работа обучающихся

Работа с материалами учебника (ков).

Многомерные методы оптимизации: методы покоординатного спуска, наискорейшего спуска. Сравнение методов.

Для характеристики уровня освоения учебного материала используются следующие обозначения:

1. – ознакомительный (узнавание ранее изученных объектов, свойств);

2. – репродуктивный (выполнение деятельности по образцу, инструкции или под руководством);

3. – продуктивный (планирование и самостоятельное выполнение деятельности, решение проблемных задач).

3. условия реализации УЧЕБНОЙ дисциплины

3.1. Требования к минимальному материально-техническому обеспечению

Реализация учебной дисциплины требует наличия учебной лаборатории.

Оборудование учебного кабинета:

1. посадочные места по количеству обучающихся;

2. рабочее место преподавателя;

3. комплект сетевого оборудования, обеспечивающий соединение всех компьютеров, установленных в кабинете в единую сеть, с выходом через прокси-сервер в Интернет;

4. аудиторная доска для письма;

5. компьютерные столы по числу рабочих мест обучающихся;

6. вентиляционное оборудование, обеспечивающие комфортные условия проведения занятий.

Технические средства обучения:

1. персональные компьютеры с лицензионным программным обеспечением;

2. лазерный принтер;

4. устройства вывода звуковой информации: звуковые колонки;

3.2. Информационное обеспечение обучения. Перечень учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы

Колдаев В.Д. Численные методы и программирование: учебное пособие / Под ред. проф. Л.Г. Гагариной. – М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2011. – 336 с.

Воробьёва Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике: Учеб. пособие для техникумов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1990. – 208 с.

Дадаян А.А. Математика: Учебник. – 3-е издание. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М. 2014. – 544 с.

Пирумов У.Г. Численные методы: учеб. пособие для студ. втузов. – 2-е изд.; перераб. и доп.- М.: Дрофа, 2003. – 224 с.

http://www.allmath.ru/ — математический портал, на котором есть материалы по математическим дисциплинам.

http://www.exponenta.ru/ — на сайте есть примеры решения математических задач с использованием системы Mathcad .

4. Контроль и оценка результатов освоения УЧЕБНОЙ Дисциплины

Контроль и оценка освоения дисциплины осуществляется преподавателем в процессе проведения практических занятий, тестирования, а также выполнения обучающимися индивидуальных заданий.

(освоенные умения, усвоенные знания)

Формы и методы контроля и оценки

Использовать основные численные методы решения математических задач.

Устный (письменный) опрос, наблюдение и оценка выполнения практических работ, контроль самостоятельной работы.

Разрабатывать алгоритмы и программы для решения вычислитель­ных задач, учитывая необходимую точность получаемого результата.

Устный (письменный) опрос, наблюдение и оценка выполнения практических работ, контроль самостоятельной работы.

Методы хранения чисел в памяти ЭВМ и действия над ними, оценку точности вычислений, т.е. действия с приближенными числами.

Контроль выполнения практических заданий, устный (письменный) опрос, контроль внеаудиторной самостоятельной работы.

Методы решения основных математических задач — интегрирования, дифференцирования, решения линейных и трансцендентных урав­нений и систем уравнений с помощью ЭВМ.

Контроль выполнения практических заданий, устный (письменный) опрос, контроль внеаудиторной самостоятельной работы.

(освоенные профессиональные компетенции)

Формы и методы контроля и оценки результатов обучения

ПК 2.1. Разрабатывать объекты базы данных.

-наблюдение и оценка деятельности студента в процессе обучения, на практических занятиях;

ПК 2.2. Реализовывать базу данных в конкретной СУБД.

-наблюдение и оценка деятельности студента в процессе обучения, на практических занятиях;

ПК 2.3. Решать вопросы администрирования базы данных.

-наблюдение и оценка деятельности студента в процессе обучения, на практических занятиях;

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

-наблюдение и оценка деятельности студента в процессе обучения, на практических занятиях.

на рабочую программу по дисциплине «Численные методы» для специальности 230115 Программирование в компьютерных системах . Автор: Н.Н. Родных, преподаватель математики и информатики ГБПОУ ВО «Острогожский многопрофильный техникум».

Рабочая программа учебной дисциплины «Численные методы» разработана на основе учебного плана, утвержденного приказом от 08.07.2013 г. №165.

Программа отражает современный уровень эволюционного развития вычислительной математики и возможности использования различных специализированных математических пакетов и систем программирования вычислительных методов как инструмента решения прикладных задач. Современные численные методы в совокупности с возможностью их автоматизации при использовании персональных компьютеров превращаются в рабочий инструмент для решения задач научного, технического, экономического и др. характера.

Данная программа ориентирована на формирование общей математической и информационной культуры студентов и в большой степени связана с мировоззренческими, воспитательными и развивающими задачами в области современных информационных технологий.

Программа состоит из паспорта рабочей программы, структуры и содержания учебной дисциплины, условий реализации программы дисциплины, контроля и оценки результатов освоения дисциплины.

В паспорте рабочей программы учебной дисциплины изложены область применения программы, место дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы, цели и задачи дисциплины, количество часов, отведенное на освоение программы дисциплины. Структура и содержание учебной дисциплины включают в себя объем учебной дисциплины и виды учебной работы, а также тематический план и содержание учебной дисциплины. В тематическом плане учебной дисциплины отражены: наименование тем, содержание учебного материала, перечислены дидактические единицы, максимальная нагрузка студента. Условия реализации учебной дисциплины содержат описание требований к материально-техническому и информационному оснащению процесса обучения дисциплине. Также в рабочей программе раскрываются формы и методы контроля и оценки результатов обучения.

Программа предусматривает изучение теоретического м атериала, выполнение практических работ, планируется самостоятельная работа с указанием ее тематики. Темы практических занятий и самостоятельного изучения подобраны грамотно, с учетом деятельностного аспекта. Указаны виды внеаудиторной работы студентов, которые способствуют умению работать с разными источниками информации.

Содержание программы рассчитано на 122 часа, что соответствует учебному плану по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах .

Рабочая программа правильно оформлена, тщательно продумана ее структура и содержание, может быть использована для составления календарно — тематического плана по дисциплине.

______________ В.С. Голдинов, преподаватель дисциплин профессионального цикла ГБПОУ ВО «Острогожский многопрофильный техникум»

на рабочую программу по дисциплине «Численные методы» для специальности 230115 Программирование в компьютерных системах . Автор: Н.Н. Родных, преподаватель математики и информатики ГБПОУ ВО «Острогожский многопрофильный техникум».

Рабочая программа учебной дисциплины «Численные методы» разработана на основе учебного плана, утвержденного приказом от 08.07.2013 г. №165.

Содержание рабочей программы состоит из паспорта рабочей программы, структуры и содержания учебной дисциплины, условий реализации программы дисциплины, контроля и оценки результатов освоения дисциплины.

В паспорте рабочей программы учебной дисциплины содержатся: область применения программы, место дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы, цели и задачи дисциплины, количество часов, отведенное на освоение программы дисциплины.

Структура и содержание учебной дисциплины включают в себя объем учебной дисциплины и виды учебной работы, а также тематический план и содержание учебной дисциплины.

В тематическом плане учебной дисциплины отражены: наименование разделов и тем, содержание учебного материала, перечислены дидактические единицы, максимальная нагрузка студента, темы практических занятий, самостоятельная работа.

Условия реализации учебной дисциплины содержат описание требований к материально-техническому и информационному оснащению процесса обучения дисциплине. Также в рабочей программе раскрываются формы и методы контроля и оценки результатов обучения.

Содержание программы рассчитано на 122 часа, что соответствует учебному плану по данной специальности.

В тематическом плане данной программы содержатся теоретическая и практическая части, что указывает на прикладной характер дисциплины «Численные методы». Тематика программы охватывает в достаточном объеме численные методы решения основных математических задач – интегрирования, дифференцирования, решения линейных и трансцендентных урав­нений и систем уравнений с помощью ЭВМ.

Предложенное планирование отражает целостность и последовательность изучаемого материала. В ходе изучения дисциплины пройденный материал по каждой теме является фундаментом для изучения нового более сложного материала.

Рабочая программа по дисциплине «Численные методы» составлена таким образом, что при изучении дисциплины соблюдается преемственность в обучении, единство терминологии и обозначений.

Темы практических занятий и самостоятельного изучения подобранны грамотно, с учетом деятельностного аспекта. Указаны различные виды внеаудиторной работы студентов, что развив ает аналитическое мышление, умение работать с разными источниками информации.

Рабочая программа составлена грамотно и может быть использована преподавателями данного техникума при планировании учебного процесса по дисциплине «Численные методы».

______________ Л.А. Петрихина, преподаватель математики НОУ СПО «Острогожский техникум потребительской кооперации Воронежского облпотребсоюза»

Численные методы решения систем нелинейных уравнений

Введение

Многие прикладные задачи приводят к необходимости нахождения общего решения системы нелинейных уравнений. Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Следует отметить интересный факт о том, что любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме , возвести их в квадрат и сложить.

Для численного решения применяются итерационные методы последовательных приближений (простой итерации) и метод Ньютона в различных модификациях. Итерационные процессы естественным образом обобщаются на случай системы нелинейных уравнений вида:

(1)

Обозначим через вектор неизвестных и определим вектор-функцию Тогда система (1) записывается в виде уравнения:

(2)

Теперь вернёмся к всеми любимому Python и отметим его первенство среди языков программирования, которые хотят изучать [1].

Этот факт является дополнительным стимулом рассмотрения числительных методов именно на Python. Однако, среди любителей Python бытует мнение, что специальные библиотечные функции, такие как scipy.optimize.root, spsolve_trianular, newton_krylov, являются самым лучшим выбором для решения задач численными методами.

С этим трудно не согласится хотя бы потому, что в том числе и разнообразие модулей подняло Python на вершину популярности. Однако, существуют случаи, когда даже при поверхностном рассмотрении использование прямых известных методов без применения специальных функций библиотеки SciPy тоже дают неплохие результаты. Иными словами, новое- это хорошо забытое старое.

Так, в публикации [2], на основании проведенных вычислительных экспериментов, доказано, что библиотечная функция newton_krylov, предназначенная для решения больших систем нелинейных уравнений, имеет в два раза меньшее быстродействие, чем алгоритм TSLS+WD
(two-step least squares), реализованный средствами библиотеки NumPy.

Целью настоящей публикации является сравнение по числу итераций, быстродействию, а главное, по результату решения модельной задачи в виде системы из ста нелинейных алгебраических уравнений при помощи библиотечной функции scipy.optimize.root и методом Ньютона, реализованного средствами библиотеки NumPy.

Возможности решателя scipy.optimize.root для численного решения систем алгебраических нелинейных уравнений

Библиотечная функция scipy.optimize.root выбрана в качестве базы сравнения, потому что имеет обширную библиотеку методов, пригодных для сравнительного анализа.

scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method=’hybr’, jac=None, tol=None,callback=None, ptions=None)
fun — Векторная функция для поиска корня.
x0 –Начальные условия поиска корней

method:
hybr -используется модификация Пауэлл гибридный метод;
lm – решает системы нелинейных уравнений методом наименьших квадратов.
Как следует из документации [3] методы broyden1, broyden2, anderson, linearmixing, diagbroyden, excitingmixing, krylov являются точными методами Ньютона. Остальные параметры являются «не обязательными» и с ними можно ознакомится в документации.

Методы решения систем нелинейных уравнений

Приведенный далее материал действительно можно прочитать в литературе, например в [4], но я уважаю своего читателя и для его удобства приведу вывод метода по возможности в сокращенном виде. Те, кто не любит формулы, этот раздел пропускают.

В методе Ньютона новое приближение для решения системы уравнений (2) определяется из решения системы линейных уравнений:

(3)

Определим матрицу Якоби:

(4)

Запишем(3) в виде:

(5)

Многие одношаговые методы для приближенного решения (2) по аналогии с двухслойными итерационными методами для решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в виде:

(6)

где — итерационные параметры, a — квадратная матрица n х n, имеющая обратную.

При использовании записи (6) метод Ньютона (5) соответствует выбору:

Система линейных уравнений (5) для нахождения нового приближения может решаться итерационно. В этом случае мы имеем двухступенчатый итерационный процесс с внешними и внутренними итерациями. Например, внешний итерационный процесс может осуществляться по методу Ньютона, а внутренние итерации — на основе итерационного метода Зейделя

При решении систем нелинейных уравнений можно использовать прямые аналоги стандартных итерационных методов, которые применяются для решения систем линейных уравнений. Нелинейный метод Зейделя применительно к решению (2) дает:

(7)

В этом случае каждую компоненту нового приближения из решения нелинейного уравнения, можно получить на основе метода простой итерации и метода Ньютона в различных модификациях. Тем самым снова приходим к двухступенчатому итерационному методу, в котором внешние итерации проводятся в соответствии с методом Зейделя, а внутренние — с методом Ньютона.

Основные вычислительные сложности применения метода Ньютона для приближенного решения систем нелинейных уравнений связаны с необходимостью решения линейной системы уравнений с матрицей Якоби на каждой итерации, причем от итерации к итерации эта матрица меняется. В модифицированном методе Ньютона матрица Якоби обращается только один раз:

(8)

Выбор модельной функции

Такой выбор не является простой задачей, поскольку при увеличении числа уравнений в системе в соответствии с ростом числа переменных результат решения не должен меняться, поскольку в противном случае невозможно отследить правильность решения системы уравнений при сравнении двух методов. Привожу следующее решение для модельной функции:

Функция f создаёт систему из n нелинейных уравнений, решение которой не зависит от числа уравнений и для каждой из n переменных равно единице.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью библиотечной функции optimize.root для разных методов отыскания корней

Только один из методов, приведенных в документации [3] прошёл тестирование по результату решения модельной функции, это метод ‘krylov’.

Решение для n=100:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Krylov method iteration = 4219
Optimize root time 7.239 seconds:

Вывод: С увеличением числа уравнений вдвое заметно появление ошибок в решении. При дальнейшем увеличении n решение становится не приемлемым, что возможно из-за автоматической адаптации к шагу, эта же причина резкого падения быстродействия. Но это только моё предположение.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью программы написанной на Python 3 с учётом соотношений (1)-(8) для отыскания корней по модифицированному методу Ньютона

Решение для n=100:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 13
Newton method time 0.496 seconds

Решение для n=200:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 14
Newton method time 1.869 seconds

Чтобы убедиться в том, что программа действительно решает систему, перепишем модельную функцию для ухода от корня со значением 1 в виде:

Получим:
Solution:
[ 0.96472166 0.87777036 0.48175823 -0.26190496 -0.63693762 0.49232062
-1.31649896 0.6865098 0.89609091 0.98509235]
Newton iteration = 16
Newton method time 0.046 seconds

Вывод: Программа работает и при изменении модельной функции.

Теперь вернёмся к начальной модельной функции и проверим более широкий диапазон для n, например в 2 и 500.
n=2
Solution:
[1. 1.]
Newton iteration = 6
Newton method time 0.048 seconds
n=500