Число степеней свободы системы уравнений математического описания это

Степени свободы (физика)

• Сте́пени свобо́ды — характеристики движения механической системы. Число степеней свободы определяет минимальное количество независимых переменных (обобщённых координат), необходимых для полного описания состояния механической системы. Строгое теоретико-механическое определение: число степеней свободы механической системы есть размерность пространства её состояний с учётом наложенных связей.

Также число степеней свободы равно полному числу независимых уравнений второго порядка (таких, как уравнения Лагранжа) или половине числа уравнений первого порядка (таких, как канонические уравнения Гамильтона), полностью описывающих динамику системы.

Связанные понятия

Упоминания в литературе

Связанные понятия (продолжение)

В квантовой механике импульс, как и все другие наблюдаемые физические величины, определяется как оператор, который действует на волновую функцию.

Эта статья о физическом понятии. О более общем значении термина, см. статью СкалярСкалярная величина (от лат. scalaris — ступенчатый) в физике — величина, каждое значение которой может быть выражено одним действительным числом. То есть скалярная величина определяется только значением, в отличие от вектора, который кроме значения имеет направление. К скалярным величинам относятся длина, площадь, время, температура и т. д.Скалярная величина, или скаляр согласно математическому энциклопедическому словарю.

Статистическим ансамблем физической системы называется набор всевозможных состояний данной системы, отвечающих определённым критериям. Примерами статистического ансамбля являются.

Ниже приведены примеры уравнений непрерывности, которые выражают одинаковую идею непрерывного изменения некоторой величины. Уравнения непрерывности — (сильная) локальная форма законов сохранения.

Степени свободы: как их вычислить, виды, примеры

Степени свободы: как их вычислить, виды, примеры — Наука

Содержание:

Встепени свободы в статистике — это количество независимых компонент случайного вектора. Если вектор имеет п компоненты и есть п линейные уравнения, связывающие их компоненты, то степень свободы это н-р.

Концепция чего-либо степени свободы он также появляется в теоретической механике, где они примерно эквивалентны измерению пространства, в котором движется частица, за вычетом количества связей.

В этой статье будет обсуждаться концепция степеней свободы, применяемая к статистике, но механический пример легче визуализировать в геометрической форме.

Типы степеней свободы

В зависимости от контекста, в котором он применяется, способ вычисления количества степеней свободы может варьироваться, но основная идея всегда одна и та же: общие размеры минус количество ограничений.

В механическом корпусе

Давайте рассмотрим колеблющуюся частицу, привязанную к веревке (маятник), которая движется в вертикальной плоскости x-y (2 измерения). Однако частица вынуждена двигаться по окружности с радиусом, равным длине струны.

Поскольку частица может двигаться только по этой кривой, количество степени свободы ru 1. Это можно увидеть на рисунке 1.

Чтобы рассчитать количество степеней свободы, нужно взять разность количества измерений за вычетом количества ограничений:

степени свободы: = 2 (размеры) — 1 (лигатура) = 1

Еще одно объяснение, которое позволяет нам прийти к результату, заключается в следующем:

-Мы знаем, что положение в двух измерениях представлено точкой с координатами (x, y).

-Но так как точка должна удовлетворять уравнению окружности (x 2 + и 2 = L 2 ) для данного значения переменной x переменная y определяется указанным уравнением или ограничением.

Таким образом, только одна из переменных является независимой, и система имеет одна (1) степень свободы.

В наборе случайных значений

Чтобы проиллюстрировать, что означает эта концепция, предположим, что вектор

Что представляет собой образец п нормально распределенные случайные величины. В этом случае случайный вектор Икс иметь п независимые компоненты, и поэтому говорят, что Икс иметьn степеней свободы.

Теперь построим вектор р отходов

куда представляет собой выборочное среднее значение, которое рассчитывается следующим образом:

Это уравнение, которое представляет собой ограничение (или привязку) к элементам вектора. р остатков, поскольку, если известны n-1 компонент вектора р, уравнение ограничения определяет неизвестную составляющую.

Следовательно, вектор р размерности n с ограничением:

Есть (n — 1) степеней свободы.

Снова применяется, что вычисление числа степеней свободы:

степени свободы: = n (размеры) — 1 (ограничения) = n-1

Примеры

Дисперсия и степени свободы

Дисперсия s 2 определяется как среднее значение квадрата отклонений (или остатков) выборки из n данных:

s 2 = (р•р) / (п-1)

где р — вектор невязок р = (x1 — , х2 — ,…., Xn — ) и толстая точка (•) — оператор скалярного произведения. В качестве альтернативы формулу дисперсии можно записать следующим образом:

В любом случае следует отметить, что при вычислении среднего квадрата остатков оно делится на (n-1), а не на n, поскольку, как обсуждалось в предыдущем разделе, количество степеней свободы вектора р равно (n-1).

Если для расчета дисперсии разделить на п вместо (n-1) результат будет иметь смещение, которое очень важно для значений п до 50.

В литературе формула дисперсии также встречается с делителем n вместо (n-1), когда речь идет о дисперсии генеральной совокупности.

Но набор случайной величины остатков, представленный вектором р, Хотя он имеет размерность n, он имеет только (n-1) степеней свободы. Однако, если количество данных достаточно велико (n> 500), обе формулы сходятся к одному и тому же результату.

Калькуляторы и электронные таблицы предоставляют обе версии дисперсии и стандартного отклонения (которое является квадратным корнем из дисперсии).

Наша рекомендация с учетом представленного здесь анализа — всегда выбирать версию с (n-1) каждый раз, когда требуется вычислить дисперсию или стандартное отклонение, чтобы избежать смещения результатов.

В распределении хи-квадрат

Некоторые распределения вероятностей в непрерывной случайной величине зависят от параметра, называемого степень свободы, — случай распределения хи-квадрат (χ 2 ).

Название этого параметра происходит именно от степеней свободы базового случайного вектора, к которому применяется это распределение.

Предположим, у нас есть g популяций, из которых взяты выборки размера n:

Население j что среднее и стандартное отклонение Sj,следует нормальному распределению N ( , Sj ).

Стандартизированная или нормализованная переменная zj_я определяется как:

И вектор Zj определяется так:

Zj = (zj₁, zj₂,…, Zj_я,…, Zj_п) и следует стандартизованному нормальному распределению N (0,1).

следовать распределению χ 2 (g) назвал распределение хи-квадрат со степенью свободы грамм.

При проверке гипотез (с проработанным примером)

Если вы хотите проверить гипотезу на основе определенного набора случайных данных, вам необходимо знать число степеней свободы g чтобы иметь возможность применять критерий хи-квадрат.

В качестве примера будут проанализированы собранные данные о предпочтениях мужчин и женщин в отношении шоколадного или клубничного мороженого в определенном кафе-мороженом. Частота, с которой мужчины и женщины выбирают клубнику или шоколад, представлена ​​на Рисунке 2.

Сначала рассчитывается таблица ожидаемых частот, которая составляется путем умножения всего строк для негоитоговые столбцы, деленное на общие данные. Результат показан на следующем рисунке:

Затем мы приступаем к вычислению хи-квадрат (по данным) по следующей формуле:

Где F_или — наблюдаемые частоты (рисунок 2) и F_{а также} — ожидаемые частоты (Рисунок 3). Суммирование проводится по всем строкам и столбцам, которые в нашем примере дают четыре члена.

После выполнения операций вы получаете:

Теперь необходимо сравнить с теоретическим Хи-квадрат, который зависит от число степеней свободы g.

В нашем случае это число определяется следующим образом:

g = (# строк — 1) (# столбцов — 1) = (2 — 1) (2 — 1) = 1 * 1 = 1.

Оказывается, число степеней свободы g в этом примере равно 1.

Если вы хотите проверить или отклонить нулевую гипотезу (H0: нет корреляции между ВКУСОМ и ПОЛОМ) с уровнем значимости 1%, теоретическое значение хи-квадрат рассчитывается со степенью свободы g = 1.

Ищется значение, при котором накопленная частота (1 — 0,01) = 0,99, то есть 99%. Это значение (которое можно получить из таблиц) составляет 6 636.

Когда теоретическая Чи превышает расчетную, нулевая гипотеза проверяется.

То есть с собранными даннымиНе наблюдается взаимосвязь между переменными ВКУС и ГЕНДЕР.

Ссылки

1. Minitab. Какие есть степени свободы? Получено с: support.minitab.com.
2. Мур, Дэвид. (2009) Базовая прикладная статистика. Редактор Антони Боша.
3. Ли, Дженнифер. Как рассчитывать степени свободы в статистических моделях. Получено с: geniolandia.com
4. Википедия. Степень свободы (статистика). Получено с: es.wikipedia.com
5. Википедия. Степень свободы (физическая). Получено с: es.wikipedia.com

5 ключей к преодолению чувства неполноценности

Степени свободы и обобщенные координаты

Страницы работы

Содержание работы

Степени свободы и обобщенные координаты.

Рассмотрим движение материальной точки в декартовом пространстве. Для полного описания движения точки потребуется задать координаты x = x(t), y = y(t), z = z(t). Число независимых переменных, необходимых для описания движения в этом случае равно трем. Говорят, что система обладает тремя «степенями свободы», понимая под этим термином минимальное число независимых переменных, необходимых для описания эволюции системы. Допустим, что движение материальной точки происходит по заданной поверхности – ограничено заданной поверхностью. Поскольку поверхностные координаты определены как функция z = z(x,y) или f(x,y,z) = 0 независимыми из трех являются только две. Говорят, что на 3-х мерное движение наложена одна кинематическая связь. Движение по поверхности z = z(x,y) обладает двумя степенями свободы. Аналогично, уравнение некоторой криволинейной пространственной траектории определяется наложением двух связей. В этом случае движение обладает одной степенью свободы. Координаты вдоль кривой можно определить как функции одной переменной – расстояния пройденного вдоль траектории, отсчитываемого от наперед заданной точки.

Подобные рассуждения справедливы при описании движений в сферических r, q, j ; цилиндрических z, q, j координатах (см. рис.). Всякий раз описание свободного движения требует применения 3-х независимых переменных.

Пример. Сколько степеней свободы у гантельки – 2-х материальных точек, соединенных жестким невесомым стержнем длины l.? Пусть концы стержня обозначены т. A, B. Соответственно x_A, y_A, z_A — координаты одного из концов, x_B, y_B, z_B — координаты другого. Учитывая неизменность длины стержня напишем: (x_A — x_B ) 2 + (y_A — y_B ) 2 + (z_A — z_B ) 2 = l 2 = const. Следовательно из 6-и переменных остается 5 независимых, следовательно имеется 5 степеней свободы.

В общем случае для описания движения N частиц следовало бы потребовать 3N переменных, однако, если наложено f связей, то система обладает S степенями свободы —

S = 3N – f . Числом степеней свободы называется минимальное число независимых переменных необходимых для описания движения системы.

Существуют движения, которые наиболее просто задаются вовсе не в декартовом пространстве, а возможно, в результате ведения каких либо других координат. Назовем вновь введенные из соображений удобства и полноты описания координаты q₁, q₂, q₃, …, q_n – обобщенными. В таком случае dq₁/ dt, dq₂/ dt, dq₃/ dt,…, dq_n/ dt, — обобщенные скорости.

Пример. Для описания движение частицы по окружности вместо плоских декартовых координат достаточно задать единственную переменную – угол относительно выбранного направления j = j (t). Следовательно обобщенной координатой является угол, q = j , обобщенная скорость

Связь силы и движения.

Почему тела движутся? Что приводит тела в движение, почему движение прекращается?

Согласно Аристотелю для поддержания движения, для сохранения неизменной скорости необходима сила. Его рассуждения в конечном итоге сводились к утве6рждению F

v. Чем больше сила, тем больше скорость. Естественным состоянием по Аристотелю считается покой.

Галилей сумел понять, что напротив, если исключить все силы, в частности силы трения, движение будет продолжаться с неизменной скоростью сколь угодно долго. Галилей сумел построить идеализированную модель, в которой учитываются наиболее существенные характеристики явления. Подход сформулированный Галилеем более продуктивен, т.к. дает возможность объяснения более широкого класса явлений.

Наконец, Иссаком Ньютоном в «Математических началах натуральной философии» 1687г. сформулирован закон инерции, впоследствии названный его именем – I-м законом Ньютона. «Всякое тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерного движения до тех пор, пока действующие на него силы не выведут его из этого состояния»

Принцип относительности Галилея.

Можно ли считать одну, какую – либо единственную систему отсчета из множества систем отсчета абсолютной и тогда измерять движение либо тел, либо иных систем отсчета относительно этой абсолютной. Если бы удалось определить такую систему отсчета, то картина мира обладала почти законченным совершенством. Галилей понял, что таковой системы отсчета нет. Можно предположить, что в нашем обыденном опыте таковой абсолютной системой является система отсчета, связанная с горячо любимым самим собой. Допустим, что абсолютная система отсчета, связана с гениальным человеком по имени Вася, стоящим на станции. Вместе с «неподвижным» Васей покоится памятник на привокзальной площади, рельсы, чрезвычайно далекая Америка вместе с истребляемым индейским народом. Предположим вопреки здравому смыслу, что абсолютная система связана с машинистом поезда. В таком случае Земля начала двигаться по воле машиниста. В это трудно поверить, хотя бы потому, что вагон существенно меньше Земли.

Многочисленные опыты и анализ результатов позволили сформулировать строгое научное решение этой проблемы. Все инерциальные системы отсчета равноправны.

Ранее мы сформулировали закон инерции – всякое свободное движение равномерно и прямолинейно. Т.е. движение, освобожденное от внешних сил будет происходить с постоянной скоростью. В движущейся с постоянной скоростью относительно тела А системе отсчета В также постоянна и, следовательно, выполняется закон инерции. Итак, все движущиеся с постоянными скоростями относительно друг друга системы отсчета равноправны.