Числовые равенства и неравенства уравнения

Что такое числовые выражения, равенства, неравенства и уравнения

Выражение

Числовое выражение — это числа, соединённые знаками арифметических действий: сложение, вычитание, умножение и деление.

Найти значение числового выражения — это значит выполнить все указанные арифметические действия и получить конкретное число.

Кроме арифметических действий выражения могут содержать скобки, которые влияют на порядок действий при решении выражения.

Пример 1:

• 2 • 5 — 3 — числовое выражение
• 7 — значение числового выражения.

Равенство

Равенства — это числа или выражения, соединённые знаком = (равно).

Равенство считается верным, если числа или числовые выражения слева и справа от знака =, имеют равное значение.

Равенство считается неверным, если числа или числовые выражения слева и справа от знака =, не равны (≠).

При решении равенств соблюдается следующий порядок действий:

• надо найти значение выражения слева от знака =, действуя по правилам выполнения действий в числовых выражениях;
• надо найти значение выражения слева от знака =, действуя по правилам выполнения действий в числовых выражениях;
• надо сравнить полученные значения и сделать вывод.

Пример 2:

1) 5 = 7 — равенство неверно, так как 5 ≠ 7.

2) 36 : 2 = 6 • 3 — равенство верно, так как:

3) 48 + 9 = 54 — 1 — равенство неверно, так как:

Неравенство

Неравенства — это числа или числовые выражения соединённые знаком > (больше) или (больше), то значение выражения слева должно быть больше, чем значение выражения справа;

Пример 3:

1) 5 > 7 — неравенство неверно, так как 5

3) 4 + 5 • 6 > (4 + 5) • 6 — неравенство неверно, так как:

• 4 + 5 • 6 = 4 + 30 = 34
• (4 + 5) • 6 = 9 • 6 = 36
• 34

Уравнение

Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное какой-либо латинской буквой: x, y, a, b, z, d и т.д.

Корень уравнения — это число, при подставлении котрого вместо буквы в равенство делает это равенство верным.

Решить уравнение — это значит найти все возможные корни уравнения.

Порядок и правила решения уравнений зависят от того, к какому типу они относятся:

Числовые равенства и неравенства. Методика изучения числовых равенств и неравенств.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Числовые равенства и неравенства. Методика изучения числовых равенств и неравенств.

Возьмём два числовых выражения 32-20 и 144 : 12.

Соединим их знаком равенства. 32 -20 = 144 : 12 (и), т. к. 12=12

Получим высказывание, которое называется числовым равенством.

Это высказывание истинно.

14 + 4 • 8 = 4 • 9 (л), т. к. 46≠ 36

Определение 1. Два числа или два числовых выражения, соединённые знаком равенства, называются числовым равенством.

Определение 2. Высказывание вида a = b , где а и в числовые выражения, называется числовым равенством.

Символически числовое равенство записывается так: a = b .

Если знаком равенства соединены 2 числовых выражения, значения которых равны, то получится истинное числовое равенство, если не равны, то ложное.

Таким образом, с логической точки зрения числовое равенство — это высказывание, истинное или ложное.

Числовое равенство истинно, если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают .

Свойства истинных числовых равенств

1) Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же число с, или числовое выражение, имеющее смысл, то получится истинное числовое равенство.

Дано: a = b истинное числовое равенство, c – число или числовое выражение, имеющее смысл

По свойству рефлексивности отношения «равно» можно записать a + c = a + c .

По условию a = b , в правой части равенства заменим а на в , получим, а + с = в + с ч.т.д.

Следствие: Любой член истинного числового равенства можно переносить из одной части в другую, поменяв знак на противоположный.

2) Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же число с, или числовое выражение, имеющее смысл, то получится истинное числовое равенство.

Дано: a = b истинное числовое равенство, c – число или числовое выражение, имеющее смысл

По свойству рефлексивности отношения «равно» можно записать a • c = a • c .

По условию a = b , в правой части равенства заменим а на в , получим, а • с = в • с ч.т.д.

Следствие: О бе части истинного числового равенства можно разделить на одно и то же число , не равное нулю.

В начальной школе истинные числовые равенства называют верными, ложные– неверными.

-Какие выражения называются числовыми выражениями? ( Они образуются из чисел, знаков действий и скобок).

-Что такое значение числового выражения? (Если выполнить все действия, указанные в выражении, получим число, которое называется значением числового выражения).

-Существуют ли числовые выражения, значения которых нельзя найти?

Какие действия выполняются раньше 1 или 2 ступени? (действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание)).

-Что называется выражением с переменной ( Запись, состоящая из чисел, знаков действий, скобок и букв)

-Областью определения выражения с переменной? (множество тех значений переменной, при которых выражение имеет смысл).

-Какие преобразования относятся к тождественным?

-приведение дробей к общему знаменателю;

-группировка или заключение в скобки)

-Что такое тождественное преобразование? (Замена выражения с переменной другим выражением тождественно равным ему называется тождественным преобразованием ).

-Как называются такие записи: (3 + 2)) — 12 или 3х-у:+)8, (их нельзя назвать ни числовым выражением, ни выражением с переменной).

Задача 1. Найти значение выражения Зх(х-2) + 4(х-2) при х = 6.

1 способ . Подставим число 6 вместо переменной в данное выражение: 3-6(6-2) + 4(6-2). Чтобы найти значение полученного числового выражения, выполним все указанные действия:

3-6-(6-2) + 4-(6-2) = 18-4 + 4-4 = 72+ 16 = 88. Следовательно, при х = 6 значение выражения

Зх(х-2)+4(х-2) равно 88.

2 способ . Прежде чем подставлять число 6 в данное выражение, упростим его:

Зх(х-2) + 4(х-2) = (х-2)(Зх+4). И затем, подставив в полученное выражение вместо Х число 6, выполним действия: (6-2)-(3-6 + 4)= 4-(18+4) = 4-22 = 88.

Обратим внимание на следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение заменяли другим. Например, выражение 18-4+4-4 заменяли выражением 72+16, а выражение Зх (х-2) + 4(х-2)-выражением (х — 2)(3х + 4), причем эти замены привели к одному и тому же результату. В математике, описывая решение данной задачи, говорят, что мы выполняли тождественные преобразования выражений.

-Какие два выражения называются тождественно равными? (если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны).

— Как получить тождество? (Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве).

Например, 5(х + 2) = 5х + 10 — тождество на множестве действительных чисел, потому что для всех действительных чисел значения выражения 5(х + 2) и 5х + 10 совпадают. Используя обозначение квантора общности, это тождество можно записать так: (  х  R ) 5(х + 2) = 5х + 10. Тождествами считают и верные числовые равенства.

Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.

Решение. Сгруппируем члены данного выражения по два (первый со вторым, третий с четвертым): ax — bx + ab — b 2 = = ( ax — bx ) + ( ab — b 2 ). Это преобразование возможно на основании свойства ассоциативности сложения действительных чисел.

Вынесем в полученном выражении из каждой скобки общий множитель: ( ax — bx )+( ab — b 2 ) = x ( a — b )+ b ( a — b ) — это преобразование возможно на основании свойства дистрибутивности умножения относительно вычитания действительных чисел.

В полученном выражении слагаемые имеют общий множитель, вынесем его за скобки: x ( a — b )+ b ( a — b ) = ( a — b )( x — b ). Основой выполненного преобразования является свойство дистрибутивности умножения относительно сложения.

I . Повторение изученного:

— Какое предложение называют числовым равенством?

— Приведите примеры числовых равенств.

Возьмем, например, числовые выражения 3 + 2 и 6 — 1 и соединим их знаком равенства 3 + 2 = 6-1. Оно истинное. Если же соединить знаком равенства 3 + 2 и 7 — 3, то получим ложное числовое равенство 3 + 2 = 7-3.

— Можно ли числовое равенство считать высказыванием? (Да)

— Какое числовое равенство истинно? (Если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают).

— Назовите свойства истинных числовых равенств.

Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

Если два числовых выражения соединить знаком «>» или « числовое неравенство.

Определение. Два числовых выражения, соединённые знаком «>» или « числовое неравенство.

Например, если соединить выражение 6 + 2 и 13-7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13-7 (И). Если соединить те же выражения знаком « 13-7(Л).

Таким образом, с логической точки зрения числовое неравенство — это высказывание, истинное или ложное. А, следовательно, к числовым неравенствам можно применить логические операции.

Конъюнкцию двух числовых неравенств принято записывать в виде двойного неравенства.

Дизъюнкцию числового равенства и неравенства записывают в виде нестрогого неравенства

(5 > 4 V 5 = 4 ) ( 5 ≥ 4 )

Определение. Если два числовых неравенства имеют одинаковые знаки, то их называют неравенствами одинакового смысла , если у неравенств разные знаки, то неравенствами противоположного смысла .

a > b и c > d – одинакового смысла;

a > b и c d – противоположного смысла.

Рассмотрим свойства истинных числовых неравенств .

Нам дано, что a > b .По опр отношения «>», существует такое натуральное число к, что a = b + к. => по 2 опр разности a — b = к. Так как к  N , к > 0, то a — b > 0 ч.т.д.

Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.

(  a , b , с ) ( a > b => a +с > b + с).

По условию a > b , тогда по 1 свойству a — b > 0 => ( a — b ) + ( с – с) > 0 =>применяем сочет свойство ( a + с ) — ( b + с) > 0 => по свойству 1 a +с > b + с ч.т.д.

Обе части истинного числового неравенства можно умножать на одно и то же положительное число, в результате получим истинное числовое неравенство того же смысла.

(  a , b , с>0 ) ( a > b => a • с > b • с).

По условию a > b , => a — b > 0 => ( a — b ) • с > 0 =>применяем распределит свойство a • с — b • с > 0 => a • с > b • с ч.т.д.

Обе части истинного числового неравенства можно умножать на одно и то же отрицательное число, в результате получим истинное числовое неравенство противоположного смысла (с противоположным знаком).

(  a , b , с ) ( a > b => a • с b • с).

Истинные числовые неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, в результате получается неравенство того же смысла.

(  a, b, с , d ) ( a >b и c >d => a + c > b +d ).

Истинные числовые неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, сохраняя знак того неравенства, из которого вычитаем.

(  a, b, с , d ) ( a > b и c => a — c > b — d ).

Истинные числовые неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно перемножать, в результате получается истинное числовое неравенство того же смысла.

(  a, b, с , d ) ( a >b >0 и c >d >0 => a • c > b • d ).

Истинные числовые неравенства одинакового смысла с отрицательными частями можно почленно перемножать, в результате получается истинное числовое неравенство противоположного смысла.

(  a, b, с , d ) ( a и c => a • c > b • d ).

Обе части истинного числового неравенства можно возводить в одну и ту же степень с натуральным показателем, при этом получается неравенство того же смысла.

Числовые равенства, свойства числовых равенств

После получения общих сведений о равенствах в математике переходим к более узким темам. Материал этой статьи даст представление о свойствах числовых равенств.

Что такое числовое равенство

Первый раз мы сталкиваемся с числовыми равенствами еще в начальной школе, когда происходит знакомство с числами и понятием «столько же». Т.е. самые примитивные числовые равенства это: 2 = 2 , 5 = 5 и т.д. И на том уровне изучения мы называли их просто равенствами, без уточнения «числовые», и закладывали в них количественный или порядковый смысл (который несут натуральные числа). Например, равенство 2 = 2 будет соответствовать изображению, на котором – два цветка и на каждом сидит по две шмеля. Или, к примеру, две очереди, где вторыми по порядку стоят Вася и Ваня.

По мере появления знаний об арифметических действиях числовые равенства становятся сложнее: 5 + 7 = 12 ; 6 — 1 = 5 ; 2 · 1 = 2 ; 21 : 7 = 3 и т.п. Затем начинают встречаться равенства, в записи которых участвуют числовые выражения разного рода. Например, ( 2 + 2 ) + 5 = 2 + ( 5 + 2 ) ; 4 · ( 4 − ( 1 + 2 ) ) + 12 : 4 − 1 = 4 · 1 + 3 − 1 и т.п. Дальше мы знакомимся с прочими видами чисел, и числовые равенства приобретают все более и более интересный и разнообразный вид.

Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.

Свойства числовых равенств

Сложно переоценить значимость свойств числовых равенств в математике: они являются опорой многому, определяют принцип работы с числовыми равенствами, методы решений, правила работы с формулами и многое другое.Очевидно, что существует необходимость детального изучения свойств числовых равенств.

Свойства числовых равенств абсолютно согласованы с тем, как определяются действия с числами, а также с определением равных чисел через разность: число a равно числу b только в тех случаях, когда разность a − b есть нуль. Далее в описании каждого свойства мы проследим эту связь.

Основные свойства числовых равенств

Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:

• свойство рефлексивности: a = a ;
• свойство симметричности: если a = b , то b = a ;
• свойство транзитивности: если a = b и b = c , то a = c ,где a , b и c – произвольные числа.

Определение 2

Свойство рефлексивности обозначает факт равенства числа самому себе: к примеру, 6 = 6 , − 3 = − 3 , 4 3 7 = 4 3 7 и т.п.

Нетрудно продемонстрировать справедливость равенства a − a = 0 для любого числа a : разность a − a можно записать как сумму a + ( − a ) , а свойство сложения чисел дает нам возможность утверждать, что любому числу a соответствует единственное противоположное число − a , и сумма их есть нуль.

Согласно свойству симметричности числовых равенств: если число a равно числу b ,
то число b равно числу a . К примеру, 4 3 = 64 , тогда 64 = 4 3 .

Обосновать данное свойство можно через разность чисел. Условию a = b соответствует равенство a − b = 0 . Докажем, что b − a = 0 .

Запишем разность b − a в виде − ( a − b ) , опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус. Новая запись выражения равна — 0 , а число, противоположное нулю, это нуль. Таким образом, b − a = 0 , следовательно: b = a .

Свойство транзитивности числовых равенств гласит, что два числа равны друг другу в случае их одновременного равенства третьему числу. К примеру, если 81 = 9 и 9 = 3 2 , то 81 = 3 2 .

Свойству транзитивности также отвечает определение равных чисел через разность и свойства действий с числами. Равенствам a = b и b = c соответствуют равенства a − b = 0 и b − c = 0 .

Докажем справедливость равенства a − c = 0 , из чего последует равенство чисел a и c . Посколькусложение числа с нулем не меняет само число, то a − c запишем в виде a + 0 − c . Вместо нуля подставим сумму противоположных чисел − b и b , тогда крайнее выражение станет таким: a + ( − b + b ) − c . Выполним группировку слагаемых: ( a − b ) + ( b − c ) . Разности в скобках равны нулю, тогда и сумма ( a − b ) + ( b − c ) есть нуль. Это доказывает, что, когда a − b = 0 и b − c = 0 , верно равенство a − c = 0 , откуда a = c .

Прочие важные свойства числовых равенств

Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:

Прибавив к (или убавив от) обеим частям числового равенства, являющегося верным, одно и то же число, получим верное числовое равенство. Запишем буквенно: если a = b , где a и b – некоторые числа, то a + c = b + c при любом c .

В качестве обоснования запишем разность ( a + c ) − ( b + c ) .
Это выражение легко преобразуется в вид ( a − b ) + ( c − c ) .
Из a = b по условию следует, что a − b = 0 и c − c = 0 , тогда ( a − b ) + ( c − c ) = 0 + 0 = 0 . Это доказывает, что ( a + c ) − ( b + c ) = 0 , следовательно, a + c = b + c ;

Если обе части верного числового равенства перемножить с любым числом или разделить на число, не равное нулю, тогда получим верное числовое равенство.
Запишем буквенно: когда a = b , то a · c = b · c при любом числе c . Если c ≠ 0 , тогда и a : c = b : c .

Равенство верно: a · c − b · c = ( a − b ) · c = 0 · c = 0 , и из него следует равенство произведений a · c и b · c . А деление на отличное от нуля число c возможно записать как умножение на обратное число 1 c ;

При a и b , отличных от нуля и равных между собой, обратные им числа также равны.
Запишем: когда a ≠ 0 , b ≠ 0 и a = b , то 1 a = 1 b . Крайнее равенство нетрудно доказать: с этой целью разделим обе части равенства a = b на число, равное произведению a · b и не равное нулю.

Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:

При почленном сложении верных числовых равенств получается верное равенство. Запись этого свойства такова: если a = b и c = d , то a + c = b + d для любых чисел a , b , c и d .

Обосновать это полезное свойство возможно, опираясь на указанные ранее свойства. Мы знаем, что к обеим частям верного равенства возможно прибавить любое число.
К равенству a = b прибавим число c , а к равенству c = d — число b , итогом станут верные числовые равенства: a + c = b + c и c + b = d + b . Крайнее запишем в виде: b + c = b + d . Из равенств a + c = b + c и b + c = b + d согласно свойству транзитивности следует равенство a + c = b + d . Что и нужно было доказать.

Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и три, и более;

Наконец, опишем такое свойство: почленное перемножение двух верных числовых равенств дает верное равенство. Запишем при помощи букв: если a = b и c = d , то a · c = b · d .

Доказательство этого свойства подобно доказательству предыдущего. Умножим обе части равенства на любое число, умножим a = b на c , а c = d на b , получим верные числовые равенства a · c = b · c и c · b = d · b . Крайнее запишем как b · c = b · d . Свойство транзитивности дает возможность из равенства a · c = b · c и b · c = b · d вывести равенство a · c = b · d , которое нам необходимо было доказать.

И вновь уточним, что данное свойство применимо для двух, трех и более числовых равенств.
Так, можно записать: если a = b , то a n = b n для любых чисел a и b , и любого натурального числа n .

Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:

Если a = b , то b = a .

Если a = b и b = c , то a = c .

Если a = b , то a + c = b + c .

Если a = b , то a · c = b · c .

Если a = b и с ≠ 0 , то a : c = b : c .

Если a = b , a = b , a ≠ 0 и b ≠ 0 , то 1 a = 1 b .