Что имеет квадратное система линейных уравнений

Квадратная система линейных уравнений с определителем основной матрицы, отличным от нуля

Система квадратов следующего линейного уравнения Ненулевая основная матричная лемма. Давайте дадим квадрат Линейная система уравнений \ X \ + CL12X2 + … + CLinXn = С.10) \ X \ + an2X2 + … + appxn = bn Ненулевой определитель A главной матрицы A = ах шум ^ 22 ар2 С.11) Такие системы дополнительно включают в себя и найдите это решение.

Сначала докажите, что система C.10) может делать. Существует только одно решение (то есть, доказать единственность решения В.10) Предполагая его существование). Предположим, что существует n чисел xi, X2, …, xn. Подставляя эти числа в систему, C.10) весь баланс Выражение этой системы меняется на идентичность (то есть Второе решение системы C.10) xi, x2, …, xn).

Затем умножьте тождества C.10), алгебраические дополнения A \ j ^ A ^ j, …, Anj соответственно. Людмила Фирмаль

Сложите с j-ro элементом определителя столбца A матрицы C.11) Далее получаем идентификатор полученный таким образом ( Число j равно 1, 2, …, n) г = 1 aniAnj) = bnAnj. сумма произведений элементов в столбце r-ro соответствует Существующее алгебраическое дополнение элементов последовательности j-ro r = j для r f j и равна определителю A матрицы C.11) Получить из последнего равенства XjA = bAq + b2A2j + … + bnAnj. С.12) 8) гл. См.

Свойство 4 ° в подразделе 4 §2. 1. Отображать с помощью Aj (pi) (или проще с помощью Aj) Определитель, полученный из определителя А основной матрицы C.11) Заменить j-й столбец на пустой столбец-член B \, b, …, bn (если вы хотите сохранить все остальные столбцы без изменений Cov L).

Обратите внимание, что в правой части C.12 есть именно определители. Aj (pi) 9) это равенство принимает вид (J = 1, 2, …, n). С.13) Определитель Λ матрицы C.11) не равен нулю и равен Эквивалент C.13) Xj = ^ (i =! ‘2’¦ • ¦’ «) ¦ С.14) Таким образом, решение x1, x2, …, xn системы C.10 имеет вид Кроме определителя A основной матрицы C.11) Если la существует, это решение однозначно определяется формой Лами С.14).

Уравнение C.14) называется уравнением Крамера 10). Формула Крамера до сих пор была Предположение о существовании решения и доказательство его единственности нос Осталось доказать существование решения системы C.10). Для этого Благодаря Кронекеру — теоремы Капелли достаточно, чтобы доказать ее ранг Основная матрица С.11) равна рангу расширенной матрицы 11) «11 «22 «В 2р «Nl» n2 С.15)

Но это очевидно. Из-за отношения Φ0, основной ранг Матрица n является n, ранг расширенной матрицы, содержащей n строк C.15) Поскольку оно не может превышать число n, оно равно основному рангу Матрица. 9) Чтобы убедиться в этом, достаточно записать разложение детерминанта Aj (pi) элементом в i-м столбце. 10) Габриэль Крамер A704-1752) — швейцарский математик.

11) Есть еще один способ доказать существование системного решения мы C.10), который состоит из проверки того, что числа x \, X2, •••, xn определены. Согласно уравнению Крамера C.14), они превращают все уравнения системы C.10) в тождества. Таким образом, линейная квадратная система полностью доказана Формула С.10)

Определитель основной матрицы отлично С нуля, имеет единственное решение, определяемое по форме Мул Крамер C.14). Утверждение, которое мы доказали, еще легче установить По-новому. Для этого замените (как в §1§1) Система C.10) Эквивалентное матричное уравнение AX = B.

Где A — основная матрица системы C.11, X и B — столбцы, С.16) X = X2 В = Людмила Фирмаль

Первый определяется, а второй дается. Поскольку определитель матрицы A не равен нулю, Обратная матрица от A до r (см. Подраздел 7 из 2 в главе 1). Предположим, что решение для системы C.10) существует. Столбец X является тождеством матричного уравнения С.16). Умножьте указанный тождество слева на обратное Рица А

1 A’1 (AX) = A’1 B С.17)

Из-за сочетания характеристик трех продуктов, Матрица (см. Подраздел 2 главы 1 § 1) и соотношение A-1A = E, E Матрица идентичности (см. Раздел 7§2Ch. 1), A (AX) = (от A до rA) X = EX = = X, так что берите из С.17) Х = А до 1В. С.18) Расширяя уравнение C.18), принимая во внимание форму обратной матрицы 12), Получите выражение Крамера для элемента в столбце X.

Следовательно, решение матричного уравнения С.16) имеет вид Если он присутствует, он однозначно определяется соотношением С.18)), Атомная формула Крамера. Легко убедиться, что столбец X определен с помощью: Фактически, C.18) является решением матричного уравнения C.16). 2) гл. См. П. 7 § 2 формулы А.41) 1.

Другими словами, если вы подставите это уравнение, оно превратится в тождество. в Фактически, если столбец X определяется уравнением C.18), AX = = A (от A до 1B) = (AA-> B = EB = B. Следовательно, если определитель D матрицы A отличен от нуля (то есть Существует, если эта матрица невырождена) Единственное решение матричного уравнения С.16) Мои отношения C.18) эквивалентны формуле Крамера.

Пример. Найти решение квадратной системы линейных уравнений коленный xi + 2×2 + Zzh3 + 4zh4 = 30, -xx + 2×2-Зж3 + 4ж4 = 10, % 2-X3 + W4 = 3 X \ + X2 + Xs + X4 = 10 Ненулевой определитель главной матрицы L = 1 -1 0 1 2 2 1 1 3 -3 -1 1 4 4 1 1 = -4. с того времени 30 -1 3 1 10 1 3 4 3 4 -1 1 1 1 = -4, к = Az = 1 2 30 4 №1 2 10 4 0 13 1 1 1 10 1 = -12, L4 = 1 1 0 1 1 1 0 1 30 10 3 10 2 2 1 1 — — 3 -3 -1 1 3 3 1 1 4 4 1 1 30 10 3 10 = -16

Во-вторых, благодаря формуле Крамера, Формат системы: x1-1, x

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Как решать систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:

Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:

Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:

Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

Урок в 9-м классе «Система уравнений, сводящихся к квадратным»

Разделы: Математика

Цели урока:

Повторить ранее изученные различные способы решения уравнений, сводящихся к квадратным.
Научить сотрудничеству учеников посредством работы в малых группах, а так же взаимопомощи в процессе обучения. 3. Развитие познавательного интереса, интереса к педагогической деятельности.

Форма проведения: Работа в малых группах, с участием консультантов.

ХОД УРОКА

I. Организация начала урока.

Деление на группы

II. Сообщение учащимся цели предстоящей работы. Мотивация учения.

III. Интеллектуальная разминка. (Приложение 1)

Разминка в форме тестовых заданий. Подготовка к ЕГЭ.

IV. Проверка индивидуального домашнего задания, направленного на повторение основных понятий, основополагающих знаний, умений, способов действий. У доски работают консультанты. На предыдущем уроке им было задано индивидуальное домашнее задание.

Системы нелинейных уравнений, сводящихся к квадратным. (Приложение 2)

Решить систему уравнений

Решение: Если вычесть второе уравнение из первого, получим Значит надо решить систему уравнений

откуда . Корнями этого квадратного уравнения служат . Если y₁=3, то из находим х₁=1. Если же .

Ответ:

Ответ:

Метод введения новых неизвестных при решении систем уравнений. (Приложение 3)

Решить систему уравнений

Решение. Обозначим через u, а через v. Тогда система примет вид

То есть получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными u и v. Из первого уравнения выражаем u через v: и подставляя во второе уравнение, получим , откуда v=2. Теперь находим u=1 и решаем уравнения

Ответ:

Решить систему уравнений

Решение. Заметим, что для решений системы выполняется условие . В самом деле, из первого уравнения системы следует, что если , а числа не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на . Получится уравнение

Введем вспомогательное неизвестное . Уравнение примет вид . Это квадратное уравнение, имеющее корни . Таким образом, из первого уравнения мы получаем, что либо либо . Осталось подставить выражения и (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получится уравнение , откуда ; соответственно . Во втором случае получается уравнение , откуда ; соответственно