Что можно рассчитать по уравнению фурье плотность

Простыми словами о преобразовании Фурье

Я полагаю что все в общих чертах знают о существовании такого замечательного математического инструмента как преобразование Фурье. Однако в ВУЗах его почему-то преподают настолько плохо, что понимают как это преобразование работает и как им правильно следует пользоваться сравнительно немного людей. Между тем математика данного преобразования на удивление красива, проста и изящна. Я предлагаю всем желающим узнать немного больше о преобразовании Фурье и близкой ему теме того как аналоговые сигналы удается эффективно превращать для вычислительной обработки в цифровые.

(с) xkcd

Без использования сложных формул и матлаба я постараюсь ответить на следующие вопросы:

• FT, DTF, DTFT — в чем отличия и как совершенно разные казалось бы формулы дают столь концептуально похожие результаты?
• Как правильно интерпретировать результаты быстрого преобразования Фурье (FFT)
• Что делать если дан сигнал из 179 сэмплов а БПФ требует на вход последовательность по длине равную степени двойки
• Почему при попытке получить с помощью Фурье спектр синусоиды вместо ожидаемой одиночной “палки” на графике вылезает странная загогулина и что с этим можно сделать
• Зачем перед АЦП и после ЦАП ставят аналоговые фильтры
• Можно ли оцифровать АЦП сигнал с частотой выше половины частоты дискретизации (школьный ответ неверен, правильный ответ — можно)
• Как по цифровой последовательности восстанавливают исходный сигнал

Я буду исходить из предположения что читатель понимает что такое интеграл, комплексное число (а так же его модуль и аргумент), свертка функций, плюс хотя бы “на пальцах” представляет себе что такое дельта-функция Дирака. Не знаете — не беда, прочитайте вышеприведенные ссылки. Под “произведением функций” в данном тексте я везде буду понимать “поточечное умножение”

Начать надо, наверное, с того что обычное преобразование Фурье — это некая такая штука которая, как можно догадаться из названия, преобразует одни функции в другие, то есть ставит в соответствие каждой функции действительного переменного x(t) её спектр или фурье-образ y(w):

Если приводить аналогии, то примером аналогичного по смыслу преобразования может послужить например дифференцирование, превращающее функцию в её производную. То есть преобразование Фурье — такая же, по сути, операция как и взятие производной, и её часто обозначают схожим образом, рисуя треугольную “шапочку” над функцией. Только в отличие от дифференцирования которое можно определить и для действительных чисел, преобразование Фурье всегда “работает” с более общими комплексными числами. Из-за этого постоянно возникают проблемы с отображением результатов этого преобразования, поскольку комплексные числа определяются не одной, а двумя координатами на оперирующем действительными числами графике. Удобнее всего, как правило, оказывается представить комплексные числа в виде модуля и аргумента и нарисовать их по раздельности как два отдельных графика:

График аргумента комплексного значения часто называют в данном случае “фазовым спектром”, а график модуля — “амплитудным спектром”. Амплитудный спектр как правило представляет намного больший интерес, а потому “фазовую” часть спектра нередко пропускают. В этой статье мы тоже сосредоточимся на “амплитудных” вещах, но забывать про существование пропущенной фазовой части графика не следует. Кроме того, вместо обычного модуля комплексного значения часто рисуют его десятичный логарифм умноженный на 10. В результате получается логарифмический график, значения на котором отображаются в децибелах (дБ).

Обратите внимание что не очень сильно отрицательным числам логарифмического графика (-20 дБ и менее) при этом соответствуют практически нулевые числа на графике “обычном”. Поэтому длинные и широкие “хвосты” разнообразных спектров на таких графиках при отображении в “обычные” координаты как правило практически исчезают. Удобство подобного странного на первый взгляд представления возникает из того что фурье-образы различных функций часто необходимо перемножать между собой. При подобном поточечном умножении комплекснозначных фурье-образов их фазовые спектры складываются, а амплитудные — перемножаются. Первое выполняется легко, а второе — сравнительно сложно. Однако логарифмы амплитуды при перемножении амплитуд складываются, поэтому логарифмические графики амплитуды можно, как и графики фаз, просто поточечно складывать. Кроме того, в практических задачах часто удобнее оперировать не «амплитудой» сигнала, а его «мощностью» (квадратом амплитуды). На логарифмической шкале оба графика (и амплитуды и мощности) выглядят идентично и отличаются только коэффициентом — все значения на графике мощности ровно вдвое больше чем на шкале амплитуд. Соответственно для построения графика распределения мощности по частоте (в децибелах) можно не возводить ничего в квадрат, а посчитать десятичный логарифм и умножить его на 20.

Заскучали? Погодите, еще немного, с занудной частью статьи, объясняющей как интерпретировать графики, мы скоро покончим :). Но перед этим следует понять одну крайне важную вещь: хотя все вышеприведенные графики спектров были нарисованы для некоторых ограниченных диапазонов значений (в частности, положительных чисел), все эти графики на самом деле продолжаются в плюс и минус бесконечность. На графиках просто изображается некоторая “наиболее содержательная” часть графика, которая обычно зеркально отражается для отрицательных значений параметра и зачастую периодически повторяется с некоторым шагом, если рассматривать её в более крупном масштабе.

Определившись с тем, что же рисуется на графиках, давайте вернемся собственно к преобразованию Фурье и его свойствам. Существует несколько разных способов как определить это преобразование, отличающихся небольшими деталями (разными нормировками). Например в наших ВУЗах почему-то часто используют нормировку преобразования Фурье определяющую спектр в терминах угловой частоты (радианов в секунду). Я буду использовать более удобную западную формулировку, определяющую спектр в терминах обычной частоты (герцах). Прямое и обратное преобразование Фурье в этом случае определяются формулами слева, а некоторые свойства этого преобразования которые нам понадобятся — списком из семи пунктов справа:

Первое из этих свойств — линейность. Если мы берем какую-то линейную комбинацию функций, то преобразование Фурье этой комбинации будет такой же линейной комбинацией образов Фурье этих функций. Это свойство позволяет сводить сложные функции и их фурье-образы к более простым. Например, фурье-образ синусоидальной функции с частотой f и амплитудой a является комбинацией из двух дельта-функций расположенных в точках f и -f и с коэффициентом a/2:

Если взять функцию, состоящую из суммы множества синусоид с разными частотами, то согласно свойству линейности, фурье-образ этой функции будет состоять из соответствующего набора дельта-функций. Это позволяет дать наивную, но наглядную интерпретацию спектра по принципу “если в спектре функции частоте f соответствует амплитуда a, то исходную функцию можно представить как сумму синусоид, одной из которых будет синусоида с частотой f и амплитудой 2a”. Строго говоря, эта интерпретация неверна, поскольку дельта-функция и точка на графике — это совершенно разные вещи, но как мы увидим дальше, для дискретных преобразований Фурье она будет не так уж и далека от истины.

Второе свойство преобразования Фурье — это независимость амплитудного спектра от сдвига сигнала по времени. Если мы подвинем функцию влево или вправо по оси x, то поменяется лишь её фазовый спектр.

Третье свойство — растяжение (сжатие) исходной функции по оси времени (x) пропорционально сжимает (растягивает) её фурье-образ по шкале частот (w). В частности, спектр сигнала конечной длительности всегда бесконечно широк и наоборот, спектр конечной ширины всегда соответствует сигналу неограниченной длительности.

Четвертое и пятое свойства самые, пожалуй, полезные из всех. Они позволяют свести свертку функций к поточечному перемножению их фурье-образов и наоборот — поточечное перемножение функций к свертке их фурье-образов. Чуть дальше я покажу насколько это удобно.

Шестое свойство говорит о симметрии фурье-образов. В частности, из этого свойства следует что в фурье-образе действительнозначной функции (т.е. любого “реального” сигнала) амплитудный спектр всегда является четной функцией, а фазовый спектр (если его привести к диапазону -pi. pi) — нечетной. Именно по этой причине на графиках спектров практически никогда не рисуют отрицательную часть спектра — для действительнозначных сигналов она не дает никакой новой информации (но, повторюсь, и нулевой при этом не является).

Наконец последнее, седьмое свойство, говорит о том, что преобразование Фурье сохраняет “энергию” сигнала. Оно осмысленно только для сигналов конечной продолжительности, энергия которых конечна, и говорит о том, что спектр подобных сигналов на бесконечности быстро приближается к нулю. Именно в силу этого свойства на графиках спектров как правило изображают только “основную” часть сигнала, несущую в себе львиную долю энергии — остальная часть графика просто стремится к нулю (но, опять же, нулем не является).

Вооружившись этими 7 свойствами, давайте посмотрим на математику “оцифровки” сигнала, позволяющую перевести непрерывный сигнал в последовательность цифр. Для этого нам понадобится взять функцию, известную как “гребенка Дирака”:

Гребенка Дирака — это просто периодическая последовательность дельта-функций с единичным коэффициентом, начинающаяся в нуле и идущая с шагом T. Для оцифровки сигналов, T выбирают по возможности малым числом, T

Закон Фурье – основной закон теплопроводности.

В 1807 году французский ученый Фурье доказал экспериментально, что во всякой точке тела (вещества) в процессе теплопроводности присуща однозначная взаимосвязь между тепловым потоком и градиентом температуры:

,

где Q – тепловой поток, выражается в Вт;

grad(T) – градиент температурного поля (совокупности числовых значений температуры в разнообразных местах системы в выбранный момент времени), единицы измерения К/м;

S – площадь поверхности теплообмена, м 2 ;

Градиент температуры получится характеризовать в виде векторной суммы составляющих по осям декартовых координат:

,

где i, j, k – ортогональные между собой единичные векторы, нацеленные по координатным осям.

Значит, данный закон устанавливает величину теплового потока при переносе тепла посредством теплопроводности.

Закон Фурье для поверхностной плотности теплового потока принимает вид:

.

Знак « минус» обозначает, что векторы теплового потока и градиента температуры разнонаправленные. Следует понимать, что теплота передается в направлении спада температуры.

И все же не лишним будет указать, что закон Фурье не принимает в расчет инерционность процесса теплопроводности, иначе говоря, в представленной модели колебание температуры в любой точке мгновенно распространяется на всё тело. Закон Фурье некорректно применять для характеристики высокочастотных процессов таких как, к примеру, распространение ультразвука, ударной волны.

Вопрос 31. Теплопроводность. Закон Фурье. Коэффициент теплопроводности.

Теплопроводность — процесс передачи теплоты путем непосредственного соприкосновения тел, имеющих различную температуру. При этом процесс теплообмена происходит за счет передачи энергии микродвижения одних частиц другим.
Тепловой поток , .

Закон Фурье: тепловой поток пропорционален градиенту температуры и площади, то есть .
Плотность теплового потока , .
Коэффициент теплопроводности — количество теплоты, которое проходит в единицу времени через единицу поверхности через единичную толщину стенки при перепаде температуры в один градус, .
_____________________________________________________________________

Вопрос 32. Дифференциальное уравнение теплопроводности. Условия однозначности.
Условности:

1. Теплофизические свойства системы: , , .

2. Микрочастицы тела неподвижны.

3. Внутренние источники теплоты распределены в теле равномерно.

, где – коэффициент температуропроводности, характеризующий скорость изменения температуры в любой точке тела, [ ]
– теплоемкость тела; – плотность тела; – объемная плотность тепловыделения, [вm/м 3 ]; – температура; – оператор Лапласа.
(для полярных координат , , ),
Условия однозначности – математическое описание частных особенностей рассматриваемого процесса.
Решая уравнение , получим общее решение, которое в совокупности с условиями однозначности даст нам частные решения.

Условия однозначности:

1. Геометрические условия (характеризуют форму, размеры и положение тела в пространстве):

a. Форма тела (плоское, цилиндрическое сферическое тело)

b. Ограниченное тело.

c. Неограниченное тело.

2. Физические условия (определяют физические свойства тела и среды)

a. Характер изменения физических параметров:

i. Характер изменения .

ii. Характер изменения .

iii. Характер изменения .

iv. Характер изменения .

3. Временные условия (дают представление о распределении температуры в исследуемом теле в начальный момент времени):

a. :

i. .

ii. .

b. .

4. Граничные условия (определяют особенности взаимодействия на границе изучаемого тела с окружающими телами (средой)):

a. Граничные условия первого рода – закон изменения температуры на границе тела:

i. .

ii. .

b. Граничные условия второго рода – закон изменения температурного потока в стенке тела:

i. .

ii. .

c. Граничные условия третьего рода:

i. Закон изменения температуры окружающей среды.

ii. Закон, по которому идёт теплообмен тела с окружающей средой, .

d. Граничные условия четвёртого рода, .

________________________________________________________

Билет 33. Теплопроводность через однослойные и многослойные плоские стенки.
Теплопроводность – процесс передачи теплоты соприкасающимися, беспорядочно движущимися структурными частицами вещества

В основу теории теплопроводности положен закон Фурье – тепловой поток прямо пропорционален температурному градиенту и площади поверхности тела. Закон Фурье для плоской однослойной стенки

Плотность теплового потока – отношение теплового потока к площади поверхности теплопроводности. Для плоской стенки:
, где .
Коэффициент теплопроводности λ характеризует способность тел проводить теплоту.
Плотность теплового потока для стенки, состоящей из n слоёв:
,
где R – термическое сопротивление многослойной стенки
Многослойную стенку можно заменить эквивалентной однослойной, толщина которой равна толщине многослойной стенки

Тогда плотность теплового потока , где
_____________________________________________________________________

Вопрос 34. Теплопроводность через однослойные и многослойные цилиндрические стенки
Тепловой поток для цилиндрической однослойной стенки:

где Fm — расчётная поверхность теплопроводности,

где.
δ – толщина стенки, δ=r₂ – r₁
F₁, F₂ – площади внутренней и наружной поверхностей трубы, [м 2 ]
ψ – коэффициент, характеризующий отношение средней логарифмической F_mL к средней геометрической
Линейная плотность теплового потока (тепловой поток, отнесённый к единице длины трубы) однослойной стенки определяется по формуле:

Тепловой поток для многослойной цилиндрической стенки:

Где

Fm – расчётная поверхность теплопроводности стенки;
λ_э – эквивалентный коэффициент теплопроводности многослойной стенки

Линейная плотность теплового потока для многослойной стенки трубы

_____________________________________________________________________

Вопрос 35. Теплоотдача. Уравнение Ньютона. Коэффициент теплоотдачи.
Теплоотдача — конвективный теплообмен между жидкостью и поверхностью твёрдого тела (совместный перенос теплоты конвекцией и теплопроводностью).
Теплоотдачу рассчитывают по формуле Ньютона-Рихмана:

и плотность теплового потока


Коэффициент теплоотдачи зависит от: природы возникновения движения жидкости у поверхности теплообмена, режима движения жидкости, физических свойств жидкости, формы, размеров, положения в пространстве и состояния поверхности теплообмена.
____________________________________________________________________

Вопрос 36. Критериальные уравнения, физический смысл критериев подобия.Числа подобия, составленные только из заданных величин математического описания задачи, называются определяющими критериями подобия. Критерии подобия, содержащие альфа, называются определяемыми.
Число Нуссельта, или критерий теплоотдачи, характеризует соотношение тепловых потоков, передаваемых конвекцией и теплопроводностью по нормали через пристенный слой.
, где
— коэффициент теплоотдачи, [Вт/м^2*С]
l – определяющий линейный размер, [м]
— коэффициент теплопроводности жидкости, [Вт/м**С]
Число Рейнольдса – критерий гидродинамического подобия, характеризуется соотношением сил инерции и молекулярного трения (вязкости)
, где
w – средняя (линейная) скорость жидкости, определяется отношением объемного расхода к площади поперечного сечения потока, [м/с],
— кинематическая вязкость жидкости, [м^2/с]
По числовому значению Re судят о режиме течения жидкости:
Re =10^4 – развитый турбулентный
2320 2 К 4 ], ε – степень черноты наружной поверхности опытной трубы, F – площадь наружной поверхности опытной трубы.
Тепловой поток, передаваемый от опытной трубы в окружающую среду путем конвекции, равен

а опытное значение коэффициента теплоотдачи составляет

Определив при средней температуре пограничного слоя tm теплофизические свойства сухого воздуха λ; ν; β; Pr (находятся значения числа Грасгофа)
и комплекса (GrPr).
В зависимости от значения комплекса (GrPr) подбирается коэффициент C и показатель степени n в уравнении подобия конвективного теплообмена и определяются число Нуссельта

и расчетное значение коэффициента теплоотдачи

_____________________________________________________________________

Вопрос 38. Последовательность расчетов конвективного теплообмена в условиях вынужденной конвекции.
Рассчитаем конвективный теплообмен на примере лабораторной работы

Дано: напряжение U [В]
Динамический напор жидкости ΔH [кГ/м 2 ]
Температура стенки трубы t₁ [°С] (10 измерений)
Температура жидкости на входе в трубу t₁₁ [°C]
Температура жидкости на выходе из трубы t₁₂ [°С]
Рассчитаем коэффициент теплоотдачи
Обработка опытных данных начинается с определения средней темпе-ратуры поверхности стенки трубы tс:

Средняя температура потока воды в трубе:

При средней температуре потока по таблице определяются теплофизические свойства воды: ρ; с_p; λ; v.
Число Прандтля при средней температуре потока (10):

Скорость движения воды в трубе:

При движении жидкость нагревается на:

Количество теплоты в единицу времени, которое получает поток жид-кости от горячей поверхности стенки трубы:

Плотность теплового потока от стенки трубы к потоку жидкости:

Опытное значение среднего коэффициента теплоотдачи:

Число Рейнольдса (8) для потока жидкости в трубе:

В зависимости от полученного значения определяется выражение для поиска числу Нуссельта.
Теоретическое значение среднего коэффициента теплоотдачи вычисляется из определения критерия Нуссельта

_____________________________________________________________________