Что можно сокращать в уравнениях

Системы уравнений-2

Можно решать такие системы уравнений и более быстрым путем, если мы видим, что какие-то буквенные части можно сократить.

Снова возьмем тот же пример:

Так как это части одного целого, мы можем сложить их

x + 3y + (-2x + 5y) = 14 + 5

Но в таком виде мы ничего не получим…

Но так как это уравнения и к ним можно прибавлять что-то или отнимать, делить или умножать, в общем, хитрить с ними как угодно, то давайте перед сложением умножим первое уравнение на 2 (помним, что надо умножить обе части), результат:

Теперь ясно, зачем мы это делали?

При сложении уравнений у нас взаимно уничтожаться «x» и мы легко найдем «y», смотрим:

(2x + 6y) + (-2x + 5y) = 28 + 5

В итоге, после сокращения «2x» и «-2x» остается:

Пришли к тому же результату.

И теперь, подставив «y» в любое выражение, получим «x».

Вот она — гениальность, простота и красота математики!

Предыдущее видео смотрите в прошлом уроке.

Редактировать этот урок и/или добавить задание Добавить свой урок и/или задание

Добавить интересную новость

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

user->isGuest) < echo (Html::a('Войдите', ['/user/security/login'], ['class' =>»]) . ‘ или ‘ . Html::a(‘зарегистрируйтесь’, [‘/user/registration/register’], [‘class’ => »]) . ‘ , чтобы получать деньги $$$ за каждый набранный балл!’); > else < if(!empty(\Yii::$app->user->identity->profile->first_name) || !empty(\Yii::$app->user->identity->profile->surname))< $name = \Yii::$app->user->identity->profile->first_name . ‘ ‘ . \Yii::$app->user->identity->profile->surname; > else < $name = ''; >echo ‘Получайте деньги за каждый набранный балл!’; > ?>—>

При правильном ответе Вы получите 1 балл

Как проще решатьсистемы уравнений?

Выберите всего один правильный ответ.

Добавление комментариев доступно только зарегистрированным пользователям

Lorem iorLorem ipsum dolor sit amet, sed do eiusmod tempbore et dolore maLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborgna aliquoLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempbore et dLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborlore m mollit anim id est laborum.

28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetu sed do eiusmod qui officia deserunt mollit anim id est laborum.

28.01.17 / 22:14, Иван ИвановичОтветить -2

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing sed do eiusmod tempboLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod temLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborpborrum.

28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5

Как сокращать алгебраические дроби?

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят алгебраические выражения (буквенные множители). Вот так:

Алгебраическая дробь содержит буквенные множители и степени.

Необыкновенной алгебраическую дробь делают буквы. Если заменить их на цифры, то карета превратится в тыкву — алгебраическая дробь тут же станет обыкновенной.

Если вы засомневались, что должно быть сверху — числитель или знаменатель — переходите по ссылке и освежите знания по теме обыкновенных дробей.

Сокращение алгебраических дробей

Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Общий множитель числителя и знаменателя в алгебраической дроби — многочлен и одночлен.

Если в 7 классе только и разговоров, что об обыкновенных дробях, то 8 класс сокращает исключительно алгебраические дроби.

Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:

1. Определите общий множитель.
2. Сократите коэффициенты.
3. Поделите все числители и все знаменатели на общий множитель.

Для сокращения степеней в дробях применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

Пример сокращения дроби со степенями и буквами:

1. Следуя формуле сокращения степеней в дробях, сокращаем x 3 и x 2
2. Всегда делим на наименьшее значение в степени
3. Вычитаем: 3 — 1

Получаем сокращенную дробь.

Запоминаем: сокращать можно только одинаковые буквенные множители. Иными словами, сокращать можно только дроби с одинаковыми буквами.

❌ Так нельзя	✅ Так можно

Примеры сокращения алгебраических дробей с одночленами:

Пример сокращения №1.

1. Общий множитель для числителя и знаменателя — 8.
2. Х и x 2 делим на x и получаем ответ.

Получаем сокращенную алгебраическую дробь.

Пример сокращения №2.

1. Общий множитель для числителя и знаменателя — 7.
2. b 3 и b делим на b.
3. Вычитаем: 3 — 1 и получаем ответ.

Получаем сокращенную дробь.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Сокращение алгебраических дробей с многочленами

Чтобы верно сократить алгебраическую дробь с многочленами, придерживайтесь двух главных правил:

• сокращайте многочлен в скобках только с таким же многочленом в скобках;
• сокращайте многочлен в скобках целиком — нельзя сократить одну его часть, а другую оставить. Не делайте из многочленов одночлены.

❌ Так нельзя	✅ Так можно

Запомните: многочлены в алгебраической дроби находятся в скобках. Между этими скобками вклиниться может только знак умножения. Всем остальным знакам там делать нечего.

Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами:

Последовательно сокращаем: сначала x, затем (x+c), далее сокращаем дробь на 6 (общий множитель).

Сокращаем многочлены a+b (в дроби их 3). Многочлен в числителе стоит в квадрате, поэтому мысленно оставляем его при сокращении.

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

При сокращении алгебраических дробей иногда не хватает одинаковых многочленов. Для того, чтобы они появились, вынесите общий множитель за скобки.

Чтобы легко и непринужденно выносить множитель за скобки, пошагово выполняйте 4 правила:

1. Найдите число, на которое делятся числа каждого одночлена.
2. Найдите повторяющиеся буквенные множители в каждом одночлене.
3. Вынесите найденные буквенные множители за скобку.
4. Далее работаем с многочленом, оставшимся в скобках.

Алгебра не терпит неточность. Всегда проверяйте, верно ли вынесен множитель за скобки — сделать это можно по правилу умножения многочлена на одночлен.

Пример 1.

1. Выносим общий множитель 6
2. Делим 42/6
3. Сокращаем получившиеся одинаковые многочлены.

Пример 2.

Как решаем: выносим общий множитель a за скобки и сокращаем оставшиеся в скобках многочлены.

Сокращение дробей. Формулы сокращенного умножения

Перед формулами сокращенного умножения не устоит ни одна дробь — даже алгебраическая.

Чтобы легко ориентироваться в формулах сокращенного умножения, сохраняйте и заучивайте таблицу. Формулы подскажут вам, как решать алгебраические дроби.

Примеры сокращения дробей с помощью формул сокращенного умножения:

Применяем формулу квадрата разности (a-b) 2 = a 2 — 2ab — b 2 и сокращаем одинаковые многочлены.

Чтобы раскрыть тему сокращения алгебраических дробей и полностью погрузиться в мир числителей и знаменателей, решите следующие примеры для самопроверки.

Примеры сокращения дробей за 7 и 8 классы

Тема сокращения алгебраических дробей достаточно обширна, и требует к себе особого внимания. Чтобы знания задержалась в голове хотя бы до ЕГЭ, сохраните себе памятку по сокращению дробей. Этот алгоритм поможет не растеряться при встрече с алгебраическими дробями лицом к лицу.

• Чтобы сократить дробь, найдите общий множитель числителя и знаменателя.
• Поделите числитель и знаменатель на общий множитель.
• Чтобы разделить многочлен на множители, вынесите общий множитель за скобку.
• Второй способ разделить многочлен на множители — применить формулы сокращенного умножения.
• Выучите все формулы сокращенного умножения — они помогут легко преобразовывать выражения и экономить время при решении задач.
• Можно забыть свое имя, но формулу разности квадратов помнить обязательно — она будет встречаться чаще других.
• Всегда проверяйте результат сокращения: алгебра — точна, коварна и не любит давать вторые шансы.

Возможно тебе будет полезно — Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

Что можно сокращать в уравнениях

РЕШЕНИЕ И СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 1-Й СТЕПЕНИ

§ 4. Дополнительные замечания о решении уравнений.

Выше было сказано, что обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же количество. Говоря это, мы понимаем возможность этих действий в том смысле, что, производя их над данным уравнением, мы получаем новое уравнение, совместное с данным. Заметим теперь, что это указание верно только в том случае, когда множитель или делитель есть или явное количество, или хотя и неявное, но не содержит в себе той самой неизвестной буквы, которая входит в уравнение. Если дано выражение, содержащее то же неизвестное, как и в уравнении, то, вообще говоря, нельзя ни помножать уравнение на это выражение, ни делить на него. Поясним это на примерах:

Возьмем уравнение х = 2, которое очевидно имеет один только корень 2. Если мы умножим обе части его на х, то новое уравнение х 2 =2х не будет уже совместно с данным, потому что кроме прежнего корня 2, оно будет иметь еще корень 0, что обнаруживается и прямо из самаго уравнения, а также при решении полученного уравнения, если заменить его уравнением х 2 —2х=0 и написать последное в виде х(х—2)=0. Подобно этому, умножая данное уравнение х = 2 на выражение х—1, получаем новое уравнение
х 2 —2х=2х —2, совместное с уравнением (х—1)(х—2)=0 и имеющее два корня, прежний 2 и новый 1. Вообще при умножении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, в это уравнение вводятся посторонние корни, а именно те, которые обращают множитель в нуль.

ІІонятно, наоборот, что если мы имеем, напр., уравнение х 2 =3х , корни которого суть 0 и 3 и сократим его на х, то полученное от этого сокращеиия уравнение не будет совместно с данным, потому что оно имеет только один корень 3. Подобно этому, имея уравнение (х—2) 2 =2х—4, корни которого суть 2 и 4, и сократив обе части на х—2, мы теряем корень 2 и получаем уравнение х—2 = 2, имеющее только один корень 4. Вообще при со-кращении обеих частей уравнения на их общий множитель, содержащий неизвестное, теряются корни уравнения и именно те, которые обращают делитель в нуль.

В курсе алгебры доказывается, что уравнение можно умножать на множитель, содержащий неизвестное, только в том случае, когда этот множитель входит в знаменатель дроби, получившейся от соединения всех дробей, входящих в уравнение, в одну дробь, и после окончательного сокращения этой последней.Так, если уравнение имеет вид А+ В /_С=0, где А есть совокупность всех целых членов, а В /_С есть несократимая дробь, то, умножая на С, получим уравнение АС+В=0, совместное с данным. В противном случае, если дробь В /_С сократима, то необходимо сократить ее раньше уничтожения ее знаменателя, чтобы не внести в уравнение постороннего ему корня.

Обратно, только тогда можно разделить обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, когда от этого получатся такие дроби, которые, будучи соединены все в одной части уравнения, дают в результате дробь, не сокращающуюся ни на какой множитель, содержащий неизвестное. В противном случае нужно при сокращении уравнения на делитель, заметить тот корень, который теряется при этом сокращении, и считать его в числе корней данного уравнения.

В нижеследующих задачах звездочкой обозначены те уравнения, при решении которых нужно принимать во внимаиие сделанные выше указания. Остальные задачи можно решать по обыкновенным правилам.