Что называется характеристическим уравнением матрицы

13.4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИИ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Пусть А = [arsl представляет собой квадратную матрицу гс-го порядка, а I — единичная матрица такого же порядка. Характеристической матрицей для А называется матрица

an — Я а12 • — а1п А —Я1 = «21 а22 — Я . • • 2 п -anl ап2 •• апп — где Я — любой множитель или параметр.

Определитель | А — Я1| матрицы, если его написать в развернутом виде, представляет собой многочлен степени п относительно Я, коэффициенты которого составлены из элементов матрицы [ars]. Член, имеющий наивысшую степень относительно Я, равен (—1)ПЯП, а свободный член равен | А|. Труднее выразить в общем виде коэффициенты при Яп-1, Яп

2, . ит. д. (см. упражнение 3). Если мы приравняем этот характеристический многочлен нулю, получим уравнение степени п относительно Я, корни которого Ях> Я2, . Яп могут быть как вещественными числами, так и попарно сопряженными комплексными числами. Мы получаем таким образом характеристическое уравнение квадратной матрицы А, и его корни называются характеристическими, или скрытыми, корнями, а иногда собственными значениями матрицы А.

Определение. Характеристическим уравнением квадратной матрицы А гс-го порядка называется уравнение

характеристические корни (или собственные значения) которого будут Ях, Я2, . Яп.

Если Яг — характеристический корень этого уравнения, так что | А — ЯД| = 0, то матрица А — ЯД является особенной. Следовательно (см. 13.1), ее строки и столбцы линейно зависимы, и можно подобрать такую систему чисел, из которых не все равны нулю, что если представить их в виде вектора-столбца

Вектор кг называется собственным вектором, соответствующим собственному значению Яг.

Свободным членом характеристического уравнения является |А|. Если матрица А неособенная, то | А| Ф 0, и ни один из характеристических корней не равен нулю. Если же матрица А особенная, то по меньшей мере один из характеристических корней равен нулю. Развивая эту мысль, мы должны доказать, что если ранг матрицы А равен г, то имеется г ненулевых и п — г нулевых характеристических корней.

Пример (а). Матрица А= —1 особенная.

ее ранг равен 2. Характеристическое уравнение этой матрицы после упрощений приводится к многочлену Xs—6А,2Ц-9А = 0, корни которого равны 3, 3 и 0. Существование- одного нулевого корня свидетельствует о том, что ранг матрицы А на единицу меньше 3*

При рассмотрении этого вопроса мы воспользуемся понятием подобных матриц. Будем рассматривать только квадратные матрицы w-го порядка. Матрицы А и В называются подобными, если можно подобрать такую неособенную матрицу Р, что В = РАР»1. Идея доказательства заключается в том, чтобы установить подобие матрицы А и некоторой диагональной матрицы X, а затем показать, что диагональные элементы матрицы X суть характеристические корни матрицы А. Выполнить это довольно сложно; в самом деле,, не всегда осуществима такая «диагонализация» матрицы А. Приведем доказательство для частного случая, взятое из книги Мёрдока [10].

Одну из посылок доказать легко: если матрица А ранга г подобна диагональной матрице X, диагональные элементы которой суть Х2, . то тогда эти элементы представляют собой характеристические корни матрицы А, причем г из них отличны от нуля. Это доказательство распадается на две части.

I. Подобные матрицы имеют один и тот же ранг и одинаковые характеристические корни.

Доказательство. Для подобных матриц А и В (ранг которых одинаков,, см. раздел 12.9) В^РАР»1, и поскольку PIP ^PP ^ I, то

В —XI — PAP»1 — X PIP»1 — Р (А — АЛ) Р1.

Далее, |Р’Ч = 1/|Р|, так что

|В — Я1| = |Р||А—АЛ|| Р»11 = | А — А, 11,

что и требовалось доказать.

Доказательство. Матрица (X — XI) также является диагональной, по ее диагонали расположены элементы (Хг — Х), <К2—Х)>. (Хп — Х). Значит,, характеристическим уравнением этой матрицы будет

что и требовалось доказать.

Из I и II следует, что если матрицы А и X (обе ранга г) подобны,, то матрица А имеет те же характеристические корни, что и матрица X, то есть (А1, Х2, . Хп). Но ранг матрицы X равен г только в том случае,, если г и только г чисел X отличны от нуля.

Задача состоит в том, чтобы «диагонализовать» матрицу А. Рассмотрим здесь только один частный случай — матрица А симметрическая, так что А’ = А. Тогда все характеристические корни матрицы А оказываются вещественными числами. Это представляет значительное упрощение, поскольку отпадают трудности, связанные с наличием комплексных элементов во взятых нами матрицах. Доказывается этот вывод следующим образом. Пусть симметрическая матрица А имеет характеристический корень к = а + ф, а сопряженный ему обозначим через А/ = а — ф. Тогда |А —Л1| = 0. Составим матрицу:

В = (А-Ы) (A-^’I) = A2-2aA + (a2 + P2)I=:(A-aI)2 + p2I,

которая является квадратной матрицей, составленной из вещественных чисел. Эта матрица особенная, поскольку из |А — Я1| = 0 следует, что | В | = 0. Значит, в соответствии с пунктом I раздела 13.2, Вх = 0 для некоторого ненулевого вектора х, а значит, х’Вх = х’0 = 0. Вместе с тем

х’Вх = х’ (А — a I)2 х + х’ Р2 їх.

Легко* видеть, что первое слагаемое правой части, будучи квадратичной формой, неотрицательно; второе слагаемое |32х’1х = (32х’х, разлагая по элемента^ вектора х, можно представить в виде $*(x\ + xl + .. . +Яп). Значит, если х есть ненулевой вектор, то х’Вх = 0 только в том случае, если равны нулю как первое слагаемое, то есть [ А — al | = 0, так и второе слагаемое, то есть (3 = 0. Следовательно, к = а и представляет собой вещественное число, что и требовалось доказать.

Обозначим вещественные характеристические корни симметрической матрицы А через к1У . кп и построим, используя их, диагональную матрицу.

Для любой симметрической матрицы А можно подобрать такую ортогональную матрицу Р, что Р

АР представляет собой диагональную матрицу X, построенную на характеристических корнях матрицы А. Из Р

гАР = Х следует, что А=Р^Р-1, и что матрица А подобна диагональной матрице X; наша задача тогда решена. Доказывается приведенное выше положение следующим образом.

Пусть ненулевой вектор хг является собственным вектором, соответствующим характеристическому корню kr- матрицы А, то есть (А— А,г1)хг = 0. Следовательно,

Axr = krxr (r = 1, 2, . (1)

Составим из векторов хг (г = 1, 2, . п), взятых в качестве столбцов, матрицу Р. Тогда п уравнений (1) представятся одним матричным уравнением

Транспонируем обе части уравнения (2); поскольку матрицы А и к симметрические, то есть А’ = А и к’ = к, получаем

Следовательно, правые части уравнений (2) и (3) равны между собой:

а это возможно только в том случае, если РР’ = 1, или Р’ = Р-1. Значитг матрица Р ортогональная, и уравнение (2) можно представить в виде:

что и требовалось доказать.

Всю совокупность полученных результатов можно теперь объединить в следующем предложении: Симметрическая матрица А /г-го порядка и ранга г имеет п вещественных характеристических корней, образующих диагональные элементы диагональной матрицы X, подобной матрице А:

А = РЯА»1, где Р — некоторая ортогональная матрйца\ г характеристических корней отличны от нуля, а п — г нулевые. Продемонстрируем это на следующем примере.

Г 2 -1 -П Матрица А=| —1 2 —1 I симметрическая, ее ранг равен 2;

характеристические корни этой матрицы [см. выше, пример (а)] равны 3, 3 и 0« Рассмотрим матрицу P, ортогональность которой доказана в примере (б) раздела 12.9: Дважды выполнив операцию умножения на А, а затем результат на Р, получим

Р = 1 1 1 » Г 1 і 0

1 /з 1 , так что Р’ —P г = /2 1 /2 1 у 2

1 /6 1/3 J L/S /з /3 , матриц, т.

[ 3 0 0 1 _ 0 3 0 \=х.

о о о J Эта диагональная матрица образована из характеристических корней ^матрицы А« Значит, матрица А преобразована в подобную ей диагональную матрицу X ,с помощью операции

где Р—приведенная выше ортогональная матрица. Отметим, что характеристическому корню 3 соответствует тако,й собственный вектор x = (xv х2, х3), что

Г-1 -і -її (А—ЗІ) х = I —1 —1 —1 х=0.

L—і -і -і J После операции умножения каждый из элементов полученной матрицы оказывается равным —(яі+^г+яз); следовательно, он должен быть равен нулю. Значит, х = (1, —1,0) и х= (1, 1, —2) являются собственными векторами матрицы А. Нужно искать два значения собственных векторов, так как существуют два характеристических корня, равные 3 (кратность равна двум). Возьмем два приведенных выше значения собственных векторов, элементы которых пропорциональны соответственно элементам первого и второго столбцов матрицы Р. Третьему характеристическому корню матрицы А (нулю) соответствует собственный вектор (1, 1, 1), элементы которого пропорциональны элементам третьего столбца матрицы Р.

А)»1 положительна в том

Значительный интерес представляют и квадратные матрицы другого вида, все элементы которых неотрицательны (А>0). Такими матрицами часто пользуются в экономике. Пусть неотрицательная матрица А является и неразложимой — в том смысле, как это понимается в пункте V раздела 12.9. Тогда матрица (И — А) или характеристическое уравнение для матрицы А, обладает рядом свойств, установленных Дебрэ и Герштейном [4]. Если — наибольший из характеристических корней матрицы А, то он и наибольший из корней уравнения |Я1 — А| = 0, первый член которого равен Хп. Следовательно, *если X > Хт, то | XI — А | > 0. Дебрэ и Герштейн первыми сумели показать, что все главные квадратные подматрицы матрицы \Х I — А|, то есть такие подматрицы, в которых опущены столбцы и строки одних и тех же номеров, имеют положительные значения определителей в том и только в том

случае, если X > Хт.

Задачи и упражнения

1. Найти характеристические корни матриц

2. Показать, что характеристические корни симметрической пеособепной матрицы j^J * J равны 1 и —1 и что, следовательно, она подобна матрице Х = ^J .

На этом основании показать, что ортогональная матрица Р в равенстве А = РА,Р-1 имеет следующий вид:

Р== 1 1 , Y2 /2 1 1 L/2 /2J 3. Пусть A = [ars] — любая квадратная матрица третьего порядка. Показать, что | А — XI |= — А3+/?!А,2—Рък^-Рз’

а32 а33 а31 Л33

Представить полученный результат в общем виде для квадратной матрицы А любого порядка п.

4. Матрица А является ортогональной (АА’ = 1). Показать, что А-Х1

=0, а следовательно,

Доказать, что если |А — ХД|=0, То справедливо и осли X—характеристический корень ортогональной матрицы, то характеристическим корнем является и І/Х.

Please wait.

We are checking your browser. gufo.me

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6e0b977828104981 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare