Что называется решением дифференциального уравнения первого порядка

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Содержание:

Обыкновенные дифференциальные уравнения

При решении многих задач математики, техники, экономики и других отраслей науки бывает трудно установить закон, связывающий искомые и известные переменные величины. Но удается установить связь между производными или дифференциалами этих переменных, которая выражается уравнениями или системами уравнений. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Термин «дифференциальное уравнение» введен в 1676 году В. Лейбницом.

Мы рассмотрим только уравнения с функциями одной переменной и обычными производными, которые называют обычными дифференциальными уравнениями.

Основные понятия о дифференциальных уравнениях

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и еепроизводные или дифференциалы разных порядков, то есть уравнение
(7.1)

Важно понять, что искомая функция в дифференциальном уравнении входит под знак дифференциала или под знак производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение.

Так, уравнение y’ – 2 xy 2 + 5 = 0 является дифференциальным уравнением первого порядка, а уравнения y» + 2 y’ – y – sin x = 0 — дифференциальным уравнением второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение (7.1) превращает его в тождество.

Например, для дифференциального уравнения
y’- 2 x = 0 (7.2)
решением является функция y = x 2 . Найдем производную y’= 2x и подставим в уравнение, получим: 2x – 2x = 0, 0 ≡ 0.

Следует заметить, что y = x 2 не единственное решение уравнения. Это уравнение имеет бесконечное множество решений, которые можно записать так: y = x 2 + C.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее первую производную:
F (x, y, y’) = 0. (7.3)

Поскольку производную можно записать в виде отношения дифференциалов, то в уравнение производная может не входить, а будут входить дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Если уравнение (7.2) решить относительно у’, то оно будет иметь вид:
y’= f (x, y) или . (7.4)

Простые примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Это мы видим на примере уравнения (7.2). Легко убедиться также, что дифференциальное уравнение имеет решениями функции y = Cx, а дифференциальное уравнение — функции где C — произвольное число.

Как видим, в решение указанных дифференциальных уравнений входит произвольное число C. Предоставляя постоянной C различные значения, будем получать различные решения дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (7.3) называется функция
у = φ (х, С), (7.5)
которая зависит от одной произвольной постоянной и удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольном значении C.

Если функция (7.5) выражается неявно, то есть в виде
Ф (х, у, С) = 0, (7.6)
то (7.6) называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (7.3) называется такое решение, которое получается из общего решения (7.5) при некотором конкретном значении постоянной C.

Ф (х, у, С₀) называется частным интегралом дифференциального уравнения.

На практике при решении конкретных задач часто приходится находить не все решения, а решение, которое удовлетворяет определенным начальным условиям. Одной из таких задач является задача Коши, которая для дифференциального уравнения первого порядка формулируется так: среди всех решений дифференциального уравнения (7.3) найти такое решение y, которое при заданном значении независимой переменной x = x₀ равна заданному значению y₀ , то есть y (x₀) = y₀ или (7.7)

Условие (7.7) называется начальным условием решения.

Покажем на примере, как найти частное решение дифференциального уравнения, когда известно общее решение и задано начальное условие.

Мы видим, что дифференциальное уравнение имеет общее решение y = Cx. Зададим начальное условие . Подставим эти значения в общее решение, получим 6 = 2С, откуда С = 3. Следовательно, функция y = 3x удовлетворяет и дифференциальное уравнение, и начальное условие.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (7.4) имеет
решение, дает теорема Коши.

ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения). Если функция f (x, y) и ее частная производная определены и непрерывные в области G, которая содержит точку M0 (x0; y0) , то существует единственное решение y = φ (x) уравнения (7.4), которое удовлетворяет начальному условию: y (x₀) = y₀.

Теорема Коши дает достаточные условия существования единого решения дифференциального уравнения (7.4). Заметим, что в условии теоремы не требуется существования частной производной .

График произвольного частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению отвечает семья кривых. Так мы проверили, что уравнение имеет общее решение y = Cx, то ему соответствует семья прямых,
которые проходят через начало координат (рис. 1).

Уравнение имеет общее решение, ему соответствует семья равносторонних гипербол (рис. 2).

Если задано начальное условие то это означает, что задана точка M₀ (x₀;y₀), через которую должна проходить интегральная кривая, отвечающая искомому частному решению. Таким образом, отыскание частного решения дифференциального уравнения по заданному начальному условию геометрически означает, что из семьи
интегральных кривых мы выбираем проходящую через точку M₀ (x₀; y₀).

Надо заметить, что нахождение решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения. При этом операцию интегрирования функций называют квадратурой.

Общего метода решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует. Рассмотрим некоторые методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Определение. Уравнение вида
f₁ (y) dy = f₂ (x) dx, (7.8)
где f₁ (y) и f₂ (x) — заданные функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

В этом уравнении каждая из переменных находится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал. Уравнение dy = f (x) dx является частным случаем уравнения (7.8). Чтобы решить уравнение (7.8), надо проинтегрировать обе его части:
.

Понятно, что произвольную постоянную С можно записывать в любой части равенства.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
, удовлетворяющее начальному условию

Решение. Проинтегрируем левую и правую части уравнения, причем для удобства потенцирования, произвольную постоянную запишем в виде ln |C| получим:


— это общее решение дифференциального уравнения.
Подставляя в общее решение начальное условие, найдем С: 2 = С.
Итак,
является частным решением данного уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Уравнение вида
f1 (x) f2 (y) + g1 (x) g2 (y) = 0 (7.9)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

В этом уравнении переменные еще не разделены, но, поделив обе части уравнения на произведение f₂ (y) g₁ (x), получим уравнение с разделенными переменными:

Интегрируя это уравнение, запишем
.

Получили общий интеграл данного уравнения.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
x (y + 1) dx – (x 2 + 1) ydy = 0.

Решение. Поделим обе части этого уравнения на (y + 1) (x 2 + 1), после чего получим
.

Интегрируя, получим

— общий интеграл дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 + x 2 ) dy + ydx = 0, удовлетворяющее начальному условию y (0) = 1.

Решение. Отделим переменные, поделив уравнение на y ⋅ (1 + x 2 ), и проинтегрируем данное уравнение:

Получили общий интеграл дифференциального уравнения.

Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С:
ln 1 + arctg 0 = C, откуда C = 0.

Найденную постоянную подставим в общий интеграл и отыщем частное решение:
откуда

Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция двух переменных f (x, y) называется однородной n- го измерения, если выполняется условие

Например, f (x, y) = x 2 + y 2 , f (tx, ty) = t 2 f (x 2 + y 2 ) — однородная функция второго измерения.

Определение. Дифференциальное уравнение
y ‘= f (x, y) (7.10)
называется однородным, если функция f (x, y) однородная нулевого измерения.

Покажем, что это уравнение можно свести к уравнению с разделенными переменными.
Рассмотрим функцию f (tx, ty). Сделаем замену будем иметь:

Тогда уравнение (7.10) запишется в виде (7.11)
В общем случае переменные в однородном уравнение не разделяются сразу. Но, если ввести вспомогательную неизвестную функцию u = u (x) по формуле
или y = xu, (7.12)
то мы сможем превратить однородное уравнение в уравнение с разделенными переменными.

Из формулы (7.12) найдем y’ = u + xu’ и уравнение примет вид: u + xu’ = φ (u),
то есть , откуда .

После интегрирования получим
Отсюда находим выражение для функции u, возвращаемся к переменной y = xu и получим решение однородного уравнения.

Чаще всего не удается найти функцию u явно выраженной, тогда, после интегрирования, в левую часть следует подставить вместо u.
В результате получим решение уравнения в неявном виде.

Пример 1. Найти решение однородного уравнения

Решение. Заменой y = xu сведем заданное уравнение к уравнению
или .

Отделяя переменные, найдем
откуда или , то есть
.
Возвращаясь к переменной y, получим общее решение: .

Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое содержит искомую функцию и ее производную в первой степени без их произведения:
y’ + P (x) y = Q (x). (7.13)

Здесь P (x), Q (x) — известные функции независимой переменной x. Например, y’ + 2 xy = x 2 .

Если Q (x) = 0, то уравнение (7.13) называется линейным однородным и является уравнением с разделяющимися переменными.

Если Q (x) ≠ 0, то уравнение (7.13) называется линейным неоднородным, которое можно решить несколькими способами.

Рассмотрим метод Бернулли, с помощью которого уравнение (7.13) можно свести к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Решение дифференциального уравнения (7.13) ищем в виде y = u (x) v (x) или y = uv, (7.14)
где u (x), v (x) — неизвестные функции. Одну из этих функций можно взять произвольную, а другая определяется из уравнения (7.13).

Из равенства y = uv найдем производную y’:
y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.

Подставим y и y’ в уравнение (7.13):
u’v + uv’ + P (x) ⋅ u⋅ v = Q (x) или u’v + u (v’ + P (x) ⋅ v) = Q (x).

Выберем функцию v такой, чтобы v’ + P (x) v = 0. (7.15)
Тогда для отыскания функции u получим уравнение:
u’v = Q (x). (7.16)

Сначала найдем v из уравнения (7.15).
Отделяя переменные, имеем , откуда

Под неопределенным интегралом здесь будем понимать какую-то одну первообразную от функции P (x), то есть v будет определенной функцией от x.

Зная v, находим u из уравнения (7.16):

откуда

Здесь мы уже берем для u все первообразные.

Найденные функции u и v подставляем в (7.14) и получаем общее решение линейного дифференциального уравнения:
(7.17)

При решении конкретных примеров проще выполнять эти выкладки, чем применять громоздкую формулу (7.17).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Решение ищем в виде y = uv, тогда y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.
Подставим y и y’ в уравнение: или
. (7.18)

Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю, имеем
или

Отделим переменные, домножив обе части уравнения на , тогда .
После интегрирования, получим ln |v| = ln |x| (здесь ограничимся одной первообразной), откуда v = x.
Подставим v = x в уравнение (7.18):

Общее решение запишется:
y = x (x + C) = x 2 + Cx.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения который удовлетворяет начальному условию y (0) = 0.

Решение. Заданное уравнение — это линейное неоднородное уравнение первого порядка, решение которого ищем в виде y = u⋅v.
Тогда

Подставим v в уравнение и найдем u:

Общее решение дифференциального уравнения будет:

Подставляем начальные условия в найденное решение и находим С:

Из общего решения получаем частное решение
.

Дифференциальное уравнение Бернулли

Определение. Уравнения вида
(или )
называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Данное уравнение отличается от уравнения (7.13) только множителем y» (или x») в правой части. Для того, чтобы права часть данного уравнения была такой, как в (7.13), разделим его левую и праву часть на y»:

Сделаем замену:
Домножим левую и правую части полученного уравнения на (n + 1) и, используя замену, получим:

Мы получили линейное дифференциальное уравнение относительно новой переменной

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + y = y 2 ln x.

Решение. .
Сделаем замену Тогда

Данное уравнение решим, сделав замену z = u (x) ⋅ v (x).

Выбираем функцию v (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, и эта функция была бы частным решением уравнения

Тогда .

Проинтегрировав правую часть этого уравнения по частям, получим , а при y -1 = z = uv, имеем

Обыновенное дефференциальное уравнение

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется любое соотношение, связывающее независимую переменную искомую функцию и производные искомой функции до некоторого порядка включительно.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

Здесь — известная функция, заданная в некоторой области

Число т. е. наивысший из порядков производных, входящих в (1), называется порядком уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. уравнения, интегрируемые в квадратурах

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Основные понятия и определения

Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной. В соответствии со сказанным во введении, уравнение первого порядка имеет вид

В этой главе мы будем рассматривать уравнение, разрешенное относительно производной:

Наряду с этим уравнением мы всегда будем рассматривать перевернутое уравнение

используя последнее в окрестности тех точек, в которых обращается в бесконечность.

Во многих случаях оказывается целесообразным «место уравнении (2) и (2′) рассматривать одно равносильное им дифференциальное уравнение

Обе переменные и входят в это уравнение уже равноправно, и любую из них мы можем принять за независимую переменную.

Умножая обе части уравнения (3) на некоторую функцию получаем более симметричное уравнение:

где Обратно, всякое уравнение вида (4) можно переписать в виде уравнений (2) или (2′), разрешая его относительно или так что уравнение (4) равносильно следующим двум уравнениям:

Иногда уравнение записывают *з так называемой симметрической форме:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Решение уравнения. Предположим, что правая часть уравнения (2), определена на некотором подмножестве вещественной плоскости Функцию определенную в интервале мы будем называть решением уравнения (2) в этом интервале*, если:

1. Существует производная для всех значений из интервала (Отсюда следует, что решение представляет собою функцию, непрерывную ею всей области определения).
2. Функция обращает уравнение (2) в тождество:

справедливое для всех значений из интервала Это означает, что при любом из интервала точка принадлежит множеству и

Так как наряду с уравнением (2) рассматривается перевернутое уравнение (2′), то и решения этого перевернутого уравнения естественно присоединять к решениям уравнения (2).

В этом смысле в дальнейшем мы будем для краткости называть решения уравнения (2′) решениями уравнения (2).

Примеры с решением

Пример 1.

является решением уравнения

в интервале ибо она определена и дифференцируема в эгои интервале, и, подставляя се в уравнение (9), получаем тождество:

справедливое при всех значениях

Пример 2.

Функция есть решение равнения в интервале

Пример 3.

является решением уравнения

в интервале

Иногда функцию обращающую уравнение (2) в тождество (7), т. е. решение уравнения (2), называют интегралом этого уравнения. Мы будем употреблять термин интеграл только в смысле п. 16.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих задач нужно найти функции y₁ = y₁ (x), y₂ = y₂ (x), . y_n = y_n (x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих независимую переменную x , искомые y₁ , y₂ , . y_n и их производные.

Пример. Пусть материальная точка массы m имеет криволинейную траекторию движения в пространстве. Определить положение точки в любой момент времени t, когда на нее действует сила .

Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z; следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекциями вектора скорости точки на оси координат будут производные x’ , y’ , z’.
Положим, что сила, а соответственно и ее проекции F_x, F_y, F_z зависят от времени t, от положения x, y, z точки и от скорости движения точки, то есть от . Искомыми неизвестными функциями в этой задаче будут три функции x = x (t), y = y (t), z = z (t). Эти
функции определяются из уравнений динамики:

Мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае движения, когда траектория является плоской кривой, лежит, например, в плоскости Оxy, получим систему двух уравнений для определения неизвестных функций x (t) и y (t):

Рассмотрим простейшие системы дифференциальных уравнений.

Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Система n уравнений первого порядка с n неизвестными функциями имеет вид:
(7.38)

где x — независимая переменная, y₁, y₂, . y_n — неизвестные функции.

Если в левой части уравнений системы стоят производные первого порядка, а правые части уравнений вовсе не содержат производных, то такая система уравнений называется нормальной.

Решением системы называется совокупность функций y₁, y₂, . y_n, которые превращают каждое уравнение системы в тождество относительно x.

Задача Коши для системы (7.38) состоит в нахождении функций y₁, y₂, . y_n , удовлетворяющих систему (7.38) и заданные начальные условия:
(7.39)

Интегрирование системы (7.38) делают следующим образом. Дифференцируем по x первое уравнение системы (7.38):

Заменим производные
их выражениями f₁, f₂, . f_n из уравнений системы (7.38), получим уравнение

Дифференцируем полученное уравнение и, подставив в это равенство значения производных из системы (7.38), найдем

Продолжая дальше таким образом, получим

В результате получаем следующую систему уравнений:
(7.40)

Из первых (n-1) уравнений определим y₂, y₃, . y_n:
(7.41)

и подставим их значения в последнее уравнение системы (7.40) для определения y₁:

Продифференцируем это выражение (n-1) раз, определим
как функции от x, C₁, C₂, . C_n. Подставим эти функции в (7.41), найдем
(7.43)

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям, остается только найти значение произвольных постоянных из уравнений (7.42) и (7.43) так, как мы это делали для одного дифференциального уравнения.

Пример 1. Проинтегрировать систему

когда заданы начальные условия
Решение. Дифференцируем по x первое уравнение, имеем:
. Подставляем сюда значение и из системы, получим

Из первого уравнения системы найдем и подставим в полученное нами уравнение:
или

Общим решением этого уравнения является
(*)
и тогда (**)

Подберем постоянные С₁ и С₂ так, чтобы выполнялись начальные условия. На основании (*) и (**) имеем:
1 = С₁ – 9; 0 = С₂ – 2С₁ + 14, откуда С₁ = 10, С₂ = 6.
Таким образом, решением системы, которое удовлетворяет заданным начальным условиям, будет:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Система дифференциальных уравнений:
(7.44)
где коэффициенты a_ij — постоянные числа, t — независимая переменная, x₁ (t), . x_n (t) —
неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решать путем сведения к одному уравнению n-го порядка, как это было показано выше. Но эту систему можно решить и другим способом. Покажем, как это делается.

Будем искать решение системы (7.44) в виде:
(7.45)

Надо определить постоянные α₁, α₂, . α_n и k так, чтобы функции (7.45) удовлетворяли систему (7.44). Подставим функции (7.45) в систему (7.44):

Сократим на e kt и преобразуем систему, сведя ее к такой системе:
(7.46)

Это система линейных алгебраических уравнений относительно α₁, α₂, . α_n. Составим определитель системы:

Мы получим нетривиальные (ненулевые) решения (7.45) только при таких k, при которых определитель превратится в ноль. Получаем уравнение n-го порядка для определения k:

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (7.44).

Рассмотрим отдельные случаи на примерах:

1) Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение системы записывается в виде:

Пример 2. Найти общее решение системы уравнений:

Решение. Составим характеристическое уравнение:
или k 2 – 5k + 4 = 0, корни которого k₁ = 1, k₂ = 4.

Решение системы ищем в виде

Составим систему (7.46) для корня k₁ и найдем и :
или

Откуда Положив получим
Итак, мы получили решение системы:

Далее составляем систему (7.46) для k = 4:

Откуда
Получим второй решение системы:
Общее решение системы будет:

2) Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные:

k₁ = α + iβ, k₂ = α – iβ. Этим корням будут отвечать решения:

(7.47)

(7.48)

Можно доказать также, что истинные и мнимые части комплексного решения также будут решениями. Таким образом, получим два частных решения:
(7.49)
где — действительные числа, которые определяются через .

Соответствующие комбинации функций (7.49) войдут в общий решение системы.

Пример 3. Найти общее решение системы

Решение. Составляем характеристическое уравнение:
или k 2 + 12k + 37 = 0, корни которого k₁ = –6 + i, k₂ = –6 – i .

Подставляем поочередно k₁, k₂ в систему (7.46), найдем

Запишем уравнение (7.47) и (7.48) для наших данных

Перепишем эти решения в таком виде:

За частные решения можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части:

Общим решением системы будет

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме «Дифференциальные уравнения»

Разделы: Математика

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y’ в уравнение, получим – тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y» — 5y’ +6y = 0. Функция – решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.

А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

— общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x₀) = y₀, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y) при условии y(x₀) = y₀,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y) которая проходит через заданную точку M₀(x₀,y₀).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых , уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

1. Производную функции переписать через её дифференциалы
2. Разделить переменные.
3. Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
4. Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’ заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Найти частное решение уравнения

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x₀ = 1, y₀ = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:

Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Используя начальные условия, x = 2 и y = — 3 найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) — некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y’ = f(x)y

Если то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k — некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида y’ = kx + b,

где k и b— некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y — 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно, где С – произвольная постоянная.

Ответ:

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v — неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение: u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ + f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y») = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C₁ и C₂.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C₁ и C₂.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y» + py’ +qy = 0, где pи q— постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y» + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y» через r 2 , y’ через r, yчерез 1: r 2 + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант D = p 2 -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде , где C₁ и C₂ — произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде

Общее решение

Дифференцируя общее решение, получим

Составим систему из двух уравнений

Подставим вместо ,и заданные начальные условия:

Таким образом, искомым частным решением является функция

.

2. Найти частное решение уравнения

1.

1.

2. а)

2. а)

б)

б)

в)

в)

г)

г)

Дифференциальные уравнения первого порядка с примерами решения и образцами выполнения

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у(х) и ее производные у'(х), у»(х), … , (наличие хотя бы одной производной обязательно). Здесь — заданная функция своих аргументов.

Замечание:

Обозначения зависимой и независимой переменных через х и у, используемые в приведенном определении, не являются жесткими; часто в качестве независимой удобно брать переменную t, иными буквами обозначают и зависимую переменную (см. ниже пример 2).

В обыкновенном дифференциальном уравнении искомая функция у = у(х) есть функция одной независимой переменной x. Если искомая функция есть функция двух (и более) независимых переменных, то имеем дифференциальное уравнение с частными производными. В этой и двух следующих главах мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида

где f(x) — известная непрерывная на некотором интервале (а, b) функция, а у = у(х) — искомая функция. С таким уравнением мы уже встречались в интегральном исчислении, когда поданной функции f(x) требовалось найти ее первообразную F(x). Как известно, всякая функция, удовлетворяющая уравнению (2), имеет вид

где F(x) — какая-нибудь первообразная для функции f(x) на интервале (а, Ь), а С — произвольная постоянная. Таким образом, искомая функция у = у(х) определяется из уравнения (2) неоднозначно.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например,

— дифференциальное уравнение 1-го порядка;

— дифференциальное уравнение 2-го порядка;

— дифференциальное уравнение пятого порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (а, b) называется всякая функция имеющая на этом интервале производные до n-го порядка включительно и такая, что подстановка функции и ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее в тождество по х на интервале (а, b).

Например, функция у = sin х является решением дифференциального уравнения второго порядка

на интервале В самом деле, Подставив в данное уравнение найденные значения получим —

Задача:

Найти совпадающие решения двух дифференциальных уравнений (не решая самих уравнений):

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. К составлению и интегрированию дифференциальных уравнений приводят многочисленные задачи как самой математики, так и других наук (физики, химии, биологии и т. п.).

Пример:

Найти такую кривую, чтобы тангенс угла наклона касательной в каждой ее точке численно равнялся ординате точки касания.

— уравнение искомой кривой. Как известно, tg а = у'(х) и, значит, определяющее свойство кривой есть

— дифференциальное уравнение первого порядка. Нетрудно видеть, что функция

Есть решение этого уравнения. Оно также имеет очевидное решение у = 0. Кроме того, решениями будут функции

где С — произвольная постоянная, так что уравнение имеет бесконечное множество решений.

Пример:

Найти закон прямолинейного движения материальной точки, движущейся с постоянным ускорением а.

Требуется найти формулу выражающую пройденный путь как функцию времени. По условию имеем

— дифференциальное уравнение второго порядка. Последовательно находим:

Произвольные постоянные можно определить, если положить

В самом деле, полагая t = to в первом из соотношений (*), получаем = Из второго соотношения (*) при t = tо имеем

Подставляя найденные значения C1 и С2 в выражение для функции s(t), приходим к известному закону движения материальной точки с постоянным ускорением:

Эквивалентные дифференциальные уравнения. Задача Коши

Пусть имеем дифференциальное уравнение первого порядка

Если в этом уравнении удается выразить производную у’ через х и у, то получаем уравнение

разрешенное относительно производной. Здесь f — заданная функция своих аргументов.

Наряду с уравнением (1) рассматривают эквивалентное ему дифференциальное уравнение

или уравнение более общего вида

получаемое из (1′) путем умножения на некоторую функцию известные функции своих аргументов).

Два дифференциальных уравнения

называются эквивалентными в некоторой области D изменения величин х, у, у’, если всякое решение одного из этих уравнений является решением другого уравнения и наоборот. При преобразовании дифференциальных уравнений надо следить затем, чтобы преобразованное уравнение было эквивалентным исходному.

Если дифференциальное уравнение имеет решение, то, как правило, множество его решений оказывается бесконечным. Впрочем, дифференциальное уравнение

имеет только одно решение

y = х,

вообще не имеет действительных решений.

Чтобы выделить определенное решение уравнения (1), надо задать начальное условие, которое заключается в том, что при некотором значении Xо независимой переменной х заранее дано значение Yo искомой функции у(х):

Геометрически это означает, что задается точка через которую должна проходить искомая интегральная кривая.

Задачу отыскания решения у(х) уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называют задачей Коши (начальной задачей) для уравнения (1).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения у’ = f(x, у)

Теорема:

Существования и единственности решения. Пусть имеем дифференциальное уравнение

и пусть функция f(x,y) определена в некоторой области D на плоскости хОу. Выберем произвольную точку Если существует окрестность этой точки, в которой функция f(x,y)

1) непрерывна по совокупности аргументов;

2) имеет ограниченную частную производную то найдется интервал на котором существует, и притом единственная, функция являющаяся решением уравнения (1) и принимающая при X = Xo значение Yо (рис. 1)

Геометрически это означает, что через точку проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (1).

Теорема 1 имеет локальный характер: она гарантирует существование единственного решения уравнения (1) лишь в достаточно малой окрестности точки х0. Из теоремы 1 вытекает, что уравнение (1) имеет бесконечное множество различных решений (например, одно решение, график которого проходит через точку (Xo, Yо); другое решение, когда график проходит через точку (Xо, Y1 ) и т. д.).

Пример:

у’ = х + у

f(x,y) = x + у

определена и непрерывна во всех точках плоскости хОу и имеет всюду В силу теоремы 1 через каждую точку (Xо, Yо) плоскости хОу проходит единственная интегральная кривая этого уравнения.

Пример:

определена и непрерывна на всей плоскости хОу. Здесь

так что второе условие теоремы 1 нарушается в точках оси Ох. Нетрудно проверить, что функция

где С — любая постоянная, является решением данного уравнения. Кроме того, уравнение имеет очевидное решение

Если искать решения этого уравнения, соответствующие условию у(0) = 0, то таких решений найдется бесчисленное множество, а частности, следующие (рис. 2):

Таким образом, через каждую точку оси Ох проходят по крайней мере две интегральные кривые и, следовательно, в точках Этой оси нарушается единственность.

Если взять точку М1 (1,1), то в достаточно малой ее окрестности выполнены все условия теоремы 1. Следовательно, через данную точку в малом квадрате проходит единственная интегральная кривая

уравнения Если квадрат взять достаточно большим (подумайте, каким), то в нем единственность решения уже не будет иметь места. Это подтверждает локальный характер теоремы 1.

Теорема 1 дает достаточные условия существования единственного решения уравнения у’ = f(x,y). Это означает, что может существовать единственное решение у = у(х) уравнения у’ = f(x, у), удовлетворяющее условию хотя в точке (Xo, Yо) не выполняются условия 1) или 2) теоремы или оба вместе.

Пример:

В точках оси Ох функции разрывны, причем

Но через каждую точку (Хо, 0) оси Ох проходит единственная интегральная кривая

Замечание:

Если отказаться от ограниченности то получается следующая теорема существования решения.

Теорема:

Если функция f(x, у) непрерывна в некоторой окрестности точки (х0, уо), то уравнение у’ = f(x, у) имеет в этой окрестности по крайней мере одно решение принимающее при х = х0 значение у0.

Задача:

Найти интегральную кривую уравнения

проходящую через точку О (0,0).

Задача:

Найти решение задачи Коши

Определение:

Общим решением дифференциального уравнения

в некоторой области существования и единственности решения задачи Коши называется однопараметрическое семейство S функций зависящих от переменной х и одной произвольной постоянной С (параметра), такое, что

1) при любом допустимом значении постоянной С функция является решением уравнения (1):

2) каково бы ни было начальное условие можно подобрать такое значение С0 постоянной С, что решение будет удовлетворять начальному условию

При этом предполагается, что точка (Хо, Уо) принадлежит области существования и единственности решения задачи Коши.

Пример:

Показать, что общим решением дифференциального уравнения

у’ = 1

у = х + С,

где С — произвольная постоянная.

В данном случае f(x, у) = 1, и условия теоремы 1 выполняются всюду. Следовательно, через каждую точку (Хо, Уо) плоскости хОу проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.

Проверим, что функция

у = х + С

удовлетворяет условиям 1) и 2), содержащимся в определении общего решения. Действительно, при любом С имеем

у’ = (х + С)’ = 1,

так что у = х + С есть решение данного уравнения. Потребовав, чтобы при Х = Хо решение принимало значение Уо, приходим к соотношению Уо = Хо + Со. откуда

Решение у = х + Уо — Хо, или

удовлетворяет поставленному начальному условию.

Частным решением дифференциального уравнения (1) называется решение, получаемое из общего при каком-либо конкретном значении произвольной постоянной С (включая ). Таким образом, общее решение этого дифференциального уравнения можно определить как множество всех частных решений уравнения.

В процессе интегрирования дифференциального уравнения мы часто приходим к уравнению

неявно задающему общее решение уравнения. Уравнение (2) называют общим интегралом дифференциального уравнения (1).

где — некоторое конкретное значение постоянной С, называется частным интегралом.

Замечание:

Название происходит от того, что для простейшего дифференциального уравнения вида

его общее решение действительно записывается при помощи обычного неопределенного интеграла

Пример:

Общий интеграл уравнения

имеет следующий вид

В дальнейшем для краткости мы будем иногда говорить, что решение уравнения проходит через некоторую точку если точка лежит на графике этого решения.

Определение:

дифференциального уравнения (1) называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую его точку кроме этого решения проходит и другое решение уравнения (1), не совпадающее с в сколь угодно малой окрестности точки .

График особого решения называют особой интегральной кривой уравнения. Геометрически это — огибающая семейства интегральных кривых дифференциального уравнения, определяемых его общим интегралом.

Если для дифференциального уравнения (1) в некоторой области D на плоскости хОу выполнены условия теоремы 1, то через каждую точку проходит единственная интегральная кривая уравнения. Эта кривая входит в однопараметрическое семейство кривых

образующих общий интеграл уравнения (1), и получается из этого семейства при конкретном значении параметра С, т.е. является частным интегралом уравнения (1). Никаких других решений, проходящих через точку , здесь быть не может. Следовательно, для существования особого решения у уравнения (1) необходимо, чтобы не выполнялись условия теоремы 1. В частности, если правая часть уравнения (1) непрерывна в рассматриваемой области D, то особые решения могут проходить только через те точки, где производная становится бесконечной.

Напомним, что огибающей семейства кривых называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых из этого семейства.

Например, для уравнения

функция непрерывна всюду, но производная обращается в бесконечность при у = 0, т. е. на оси Ох плоскости хОу. Уравнение (3) имеет общее решение

— семейство кубических парабол — и очевидное решение

проходящее через те точки, где производная не ограничена. Решение — особое, так как через каждую его точку проходит и кубическая парабола, и сама эта прямая у = 0 (см. рис. 2). Таким образом, в каждой точке решения нарушается свойство единственности. Особое решение не получается из решения ни при каком числовом значении параметра С (включая ).

Из теоремы 1 можно вывести только необходимые условия для особого решения. Множество тех точек, где производная не ограничена, если оно является кривой, может и не быть особым решением уже потому, что эта кривая, вообще говоря, не является интегральной кривой уравнения (1). Если, например, вместо уравнения (3) взять уравнение

то в точках прямой у = 0 по-прежнему нарушается условие ограниченности производной , но эта прямая, очевидно, не является интегральной кривой уравнения (4).

Итак, чтобы найти особые решения уравнения (1), надо

1) найти множество точек, где производная обращается в бесконечность;

2) если это множество точек образует одну или несколько кривых, проверить, являются ли они интегральными кривыми уравнения (1);

3) если это интегральные кривые, проверить, нарушается ли в каждой их точке свойство единственности.

При выполнении всех этих условий найденная кривая представляет собой особое решение уравнения (1).

Задача:

Найти особые решения уравнения

Приближенные методы интегрирования уравнения у’ = f(x, у)

Метод изоклин

Пусть имеем дифференциальное уравнение

где функция f(x, у) в некоторой области D на плоскости хОу удовлетворяет условиям теоремы 1. Это уравнение определяет в каждой точке (х, у) области D значение у’, т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Говорят, что уравнение (1) определяет в области D поле направлений. Чтобы его построить, надо в каждой точке представить с помощью некоторого отрезка направление касательной к интегральной кривой в этой точке, определяемое значением

Совокупность этих отрезков дает геометрическую картину поля направлений. Задача интегрирования дифференциального уравнения (1) может быть теперь сформулирована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке. Такое истолкование дифференциального уравнения и его интегрирования дает графический способ решения уравнения.

Для построения интегральных кривых пользуются изоклинами. Изоклиной называется множество всех точек плоскости хОу, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и то же направление (у’ = const).

Из этого определения следует, что семейство изоклин дифференциального уравнения (1) задается уравнением

где к — числовой параметр. Если придать параметру к близкие числовые значения, можно найти достаточно густую сеть изоклин и приближенно построить интегральные кривые дифференциального уравнения.

Пример:

по способу изоклин.

Семейство изоклин данного уравнения определяется уравнением

Полагая к = 0, + 1, — 1,…, получаем изоклины

по которым строим интегральные кривые уравнения (рис. 4).

определяет множество возможных точек экстремума интегральных кривых (прямая x = 0 в примере 1).

Для большей точности построения интегральных кривых определяют направление вогнутости и точки перегиба этих кривых (если такие точки существуют). Для этого находят у» в силу уравнения (1):

Знак правой части определяет знак у», т. е. направление вогнутости интегральных кривых. Линия, заданная уравнением

есть множество всех возможных точек перегиба интегральных кривых.

В примере 1 имеем

поэтому все интегральные кривые обращены вогнутостью вверх, и точек перегиба интегральных кривых нет.

Метод последовательных приближений

Пусть имеем дифференциальное уравнение

где функция f(x, у) в некоторой области D изменения х, у удовлетворяет условиям теоремы 1, и пусть точка . Решение задачи Коши

равносильно решению некоторого интегрального уравнения, т. е. уравнения, в которое неизвестная функция входит под знаком интеграла. В самом деле, пусть

— решение уравнения (2), заданное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее начальному условию (3). Тогда при имеет место тождество

Проинтегрируем это тождество по х

Отсюда учитывая (3), получаем

так что решение у(х) задачи Коши удовлетворяет интефальному уравнению

Обратно: если непрерывная функция удовлетворяет интегральному уравнению (4), то, как легко проверить, у(х) является решением задачи Коши (2)-(3).

Решение интегрального уравнения (4) для всех х, достаточно близких к , может быть построено методом последовательных приближений по формуле

причем в качестве можно взять любую непрерывную на отрезке функцию, в частности,

Пример:

Методом последовательных приближений решить задачу Коши

Сводим данную задачу к интегральному уравнению

Выбирая за нулевое приближение функцию

Легко видеть, что функция есть решение задачи.

Численные методы решения задачи Коши Метод Эйлера

Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию

Будем предполагать, что в некотором прямоугольнике функция f(x, у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные достаточно высокого порядка по всем аргументам, так что решение задачи Коши (1)-(2) существует, единственно и является функцией, дифференцируемой достаточное число раз.

Численное решение задачи (1)-(2) состоит в построении таблицы приближенных значений решения задачи в точках Чаще всего выбирают Точки Хк называют узлами сетки, а величину h > 0 — шагом сетки. Так как по определению производная есть предел разностного отношения то, заменяя производную этим отношением, вместо дифференциального уравнения (1) получим разностное уравнение (разностную схему Эйлера)

Отсюда последовательно находим значения учитывая, что — заданная величина.

В результате вместо решения у = у(х) мы находим функцию

дискретного аргумента (сеточную функцию), дающую приближенное решение задачи (1)-(2). Геометрически искомая интегральная кривая у = у(х), проходящая через точку заменяется ломаной Эйлера с вершинами в точках (см. рис. 5).

Метод Эйлера относится к группе одно-шаговых методов, в которых для вычисления точки требуется знание только предыдущей вычисленной точки Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки разложим точное решение у = у(х) в окрестности узла по формуле Тейлора

Сравнение формул (4) и (5) показывает, что они совпадают до членов первого порядка по h включительно, а погрешность формулы (4) равна Поэтому говорят, что метод Эйлера имеет первый порядок.

Пример:

Методом Эйлера решить задачу Коши

на отрезке |0; 0,5] с шагом h = 0,1.

В данном случае Пользуясь формулой (4),

и т. д. Результаты вычислений сведем в таблицу

Замечание:

Если рассмотреть задачу Коши

на любом отрезке [0, a] с любым шагом h > 0, то получим так что в этом случае ломаная Эйлера «распрямляется» и совпадает с прямой у = х + 1 — точным решением поставленной задачи Коши.

Понятие о методе Рунге—Кутта

Метод Эйлера весьма прост, но имеет низкую точность. Точность решения можно повысить путем усложнения разностной схемы. Весьма распространенными на практике являются схемы Рунге—Кутта.

Пусть опять требуется решить задачу Коши (1)-(2). Будем строить таблицу приближенных значений решения у = у(х) уравнения (1) в точках (узлах сетки).

Рассмотрим схему равноотстоящих узлов шаг сетки. В методе Рунге—Кутта величины вычисляются по следующей схеме

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

В общем случае, даже зная, что решение уравнения существует, отыскать его довольно трудно. Однако существуют некоторые виды дифференциальных уравнений, методы получения решений которых особенно просты (при помощи интегралов от элементарных функций). Рассмотрим некоторые из них.

Уравнения с разделяющимися переменными

называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Здесь f1(y), f2(x) — известные непрерывные функции своих аргументов.

Покажем, как найти решение этого уравнения. Пусть — первообразные функции соответственно. Равенство (1) равносильно тому, что дифференциалы этих функций должны совпадать

Отсюда следует, что

где С — произвольная постоянная.

Разрешая последнее уравнение (2) относительно у, получим функцию (может быть, и не одну)

которая обращает уравнение (1) в тождество и значит, является его решением.

— уравнение с разделенными переменными. Записав его в виде

и интегрируя обе части, найдем общий интеграл данного уравнения:

в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от у, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, так как путем деления на оно приводится к уравнению с разделенными переменными

Пример:

Деля обе част уравнения на приведем его к виду

Интегрируя обе части полученного равенства, найдем

Заметим, что деление на может привести к потере решений, обращающих в нуль произведение .

Например, разделяя переменные в уравнении

а после интегрирования —

(здесь С может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но При делении на у потеряно решение

которое может быть включено в общее решение у = Сх, если постоянной С разрешить принимать значение С = 0.

Если считать переменные х и у равноправными, то уравнение

теряющее смысл при х = 0, надо дополнить уравнением

которое имеет очевидное решение х = 0.

В общем случае наряду с дифференциальным уравнением

следует рассматривать уравнение

используя уравнение (4′) там, где уравнение (4) не имеет смысла, а уравнение (4′) имеет смысл.

Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными. Например, уравнение вида

где f(x) — непрерывная функция своего аргумента, a, b, с — постоянные числа, подстановкой z = ах + by + с преобразуется в дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

После интегрирования получаем

Заменяя в последнем соотношении z на ах + by + с, найдем общий интеграл уравнения (5).

Пример:

Положим z = x + y, тогда

Интегрируя, находим или

Подставляя вместо z величину х + у, получаем общее решение данного уравнения

Пример:

Известно, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству х еще не распавшегося вещества. Найти зависимость х от времени t, если в начальный момент имелось вещества.

Дифференциальное уравнение процесса

Здесь к > 0 — постоянная распада — предполагается известной, знак «-» указывает на уменьшение х при возрастании t. Разделяя переменные в уравнении (») и интегрируя, получаем

Учитывая начальное условие находим, что поэтому

Любой процесс (не только радиоактивный распад), при котором скорость распада пропорциональна количеству еще не прореагировавшего вещества, описывается уравнением (*). Уравнение

отличающееся лишь знаком правой части от уравнения (*), описывает лавинообразный процесс размножения, например «размножение» нейтронов в цепных ядерных реакциях или размножение бактерий в предположении, что скорость их размножения пропорциональна наличному числу бактерий. Решение уравнения (»»»), удовлетворяющее условию имеет вид

и в отличие от решения уравнения (**) возрастает с возрастанием t. Уравнения (*) и (***) можно объединить в одно

которое дает простейшую математическую модель динамики популяций (совокупности особей того или иного вида растительных или животных Организмов). Пусть y(t) — число членов популяции в момент времени t. Если предположить, что скорость изменения популяции пропорциональна величине популяции, то мы приходим к уравнению (****). Положим k=m-n, где m — коэффициент относительной скорости рождаемости, a n — коэффициент относительной скорости умирания. Тогда к > 0 при m > n и k

при к

Уравнение динамики популяции в этой модели имеет вид

Это так называемое логистическое уравнение — фундаментальное уравнение в демографии и в математической теории экологии. Оно применяется в математической теории распространения слухов, болезней и других проблемах физиологии и социологии. Разделяя переменные в последнем уравнении, получаем

и выражая у через t, окончательно получаем

Считая, что найдем уравнение логистической кривой

При а > 0 и А > 0 получаем, что Логистическая кривая содержит два параметра А и а. Для их определения надо иметь два дополнительных значения y(t) при каких-то t1 и t2.

Уравнения, однородные относительно x и у

Функция f(x, у) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом допустимом t справедливо тождество

Например, для функции

так что — однородная функция относительно переменных x и у второго измерения.

так что есть однородная функция нулевого измерения. Дифференциальное уравнение первого порядка

называется однородным относительно х и у, если функция f(x, у) есть однородная функция нулевого измерения относительно переменных х и у.

Пусть имеем дифференциальное уравнение

однородное относительно переменных х и у. Положив в тождестве f(tx, ty) = f(x, у), получим

т. е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. Обозначая видим, что однородное относительно переменных х и у дифференциальное уравнение всегда можно представить в виде

При произвольной непрерывной функции переменные не разделяются. Введем новую искомую функцию формулой Подставляя выражение в уравнение (6), получаем

Деля обе части последнего равенства на и интегрируя, находим

Заменяя здесь и на его значение получаем общий интеграл уравнения (6).

Пример:

Положим и уравнение преобразуется к виду

Интегрируя, найдем или

Пример:

Найти форму зеркала, собирающего пучок параллельно падающих на него лучей в одну точку.

Прежде всего, зеркало должно иметь форму поверхности вращения, так как только для поверхности вращения все нормали к поверхности проходят через ось вращения.

Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы лучи были параллельны оси Ох и чтобы точкой, в которой собирались бы отраженные лучи, явилось бы начало координат. Найдем форму сечения зеркала плоскостью хОу. Пусть уравнение сечения есть (рис.6). В точке М (х,у) падения луча L на зеркало проведем касательную BN к сечению и обозначим ее угол с осью Ох через а. Пусть N — точка пересечения этой касательной с осью Ох. По закону отражения углы NMO и BML равны. Нетрудно видеть, что угол МОР равен 2а. Так как то во всякой точке кривой выполняется соотношение

— дифференциальное уравнение, определяющее требуемый ход луча. Разрешая это уравнение относительно производной, получаем два однородных уравнения:

Первое из них путем замены преобразуется к виду

Потенцируя последнее соотношение и заменяя и через после несложных преобразований имеем

Полученное уравнение в плоскости хОу определяет семейство парабол, симметричных относительно оси Ох. фокусы всех этих парабол совпадают с началом координат. Фиксируя С и вращая параболу вокруг оси Ох, получаем параболоид вращения

Таким образом, зеркало в виде параболоида вращения решает поставленную задачу. Это свойство используется в прожекторах.

Замечание:

то уравнение (6) имеет вид

и интегрируется разделением переменных. Его общее решение

Если и обращается в нуль при значении то существует также решение или

(прямая, проходящая через начало координат).

Рассмотрим уравнения, приводящиеся к однородным. Уравнение

где — постоянные числа, при является однородным. Пусть теперь по крайней мере одно из чисел отлично от нуля. Здесь следует различать два случая.

1. Определитель отличен от нуля. Введем новые переменные по формулам

где h и k — пока не определенные постоянные. Тогда Уравнение (7) преобразуется при этом в уравнение

Если выбрать h и k как решения системы линейных алгебраических уравнений

то получим однородное относительно уравнение

Заменяя в его общем интеграле найдем общий интеграл уравнения (7).

2. Определитель равен нулю. Система (8) в общем случае не имеет решения и изложенный выше метод неприменим. Но в этом случае т. е. уравнение (7) имеет вид

и приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой z = ax+by. Аналогичными приемами интегрируется уравнение

где f(w) — непрерывная функция своего аргумента.

Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. В общем случае оно имеет вид

где коэффициенты уравнения А(х) и В(х) и его правая часть f(x) считаются известными функциями, заданными на некотором интервале

Если то это уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным. Считая и деля обе части уравнения (9) на А(х), приведем (9) к виду

Теорема:

Если функции р(х) и q(x) непрерывны на отрезке то уравнение (10) всегда имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию точка принадлежит полосе

Разрешая уравнение (10) относительно у’, приведем его к виду

где правая часть

удовлетворяет всем условиям теоремы 1: она непрерывна по совокупности переменных х и у и имеет ограниченную частную производную

в указанной полосе. Отсюда следует справедливость утверждения.

Линейное однородное уравнение, соответствующее уравнению (10), имеет вид

Оно интегрируется разделением переменных:

При делении на у потеряно решение однако оно может быть включено в найденное семейство решений (12), если считать, что С может принимать значение, равное нулю. Формула (12) дает общее решение уравнения (11) в указанной выше полосе

Для интегрирования неоднородного линейного уравнения

может быть применен так называемый метод вариации постоянной. Он основан на том, что общее решение уравнения (10) равно сумме общего решения уравнения (11) и какого-либо частного решения уравнения (10)

Подставляя в левую часть (11) вместо у сумму получим

С другой стороны, разность двух частных решений уравнения (10) является решением однородного уравнения (11)

Поэтому сначала интегрируем соответствующее однородное уравнение

общее решение которого имеет вид

где С — произвольная постоянная. Решение неоднородного уравнения (10) ищем в виде

где С(х) — новая неизвестная функция.

Вычисляя производную и подставляя значения и у в исходное уравнение (10), получаем

где С — новая произвольная постоянная интегрирования. Следовательно,

Это есть общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (10).

В формуле (14) общего решения неопределенные интегралы можно заменить определенными интегралами с переменным верхним пределом:

Здесь поэтому общее решение уравнения (10) можно записать в виде

где роль произвольной постоянной играет начальное значение искомой функции у(х).

Формула (15) является общим решением уравнения (10) в форме Коши. Отсюда следует, что если р(х) и q(х) определены и непрерывны в интервале то и решение у(х) уравнения (10) с любыми начальными данными будет непрерывным и даже непрерывно дифференцируемым при всех конечных значениях х, так что интегральная кривая, проходящая через любую точку будет гладкой кривой в интервале

Пример:

соответствующее данному, проинтегрируем, разделяя переменные:

Решение исходного уравнения будем искать в виде

где С(х) — неизвестная функция. Находя и подставляя и у в (*), последовательно получаем:

где С — постоянная интегрирования. Из формулы (**) находим общее решение уравнения (*)

Частное решение неоднородного уравнения (*) легко усматривается. Вообще, если удается «угадать» частное решение линейного неоднородного уравнения, то разыскание его общего решения значительно упрощается.

Пример:

Рассмотрим дифференциальное уравнение, описывающее изменение силы тока при замыкании цепи постоянного электрического тока.

Если R — сопротивление цепи, Е — внешняя ЭДС, то сила тока I = I(t) постепенно возрастает от значения, равного нулю, до конечного стационарного значения

Пусть L — коэффициент самоиндукции цепи, роль которой такова, что при всяком изменении силы тока в цепи появляется электродвижущая сила, равная и направленная противоположно внешней ЭДС. На основании закона Ома, по которому в каждый момент t произведение силы тока на сопротивление равно фактически действующей ЭДС, получаем

Уравнение (*) есть линейное неоднородное уравнение относительно I(t). Нетрудно видеть, что его частным решением является функция

Общее решение соответствующего однородного уравнения

откуда общее решение неоднородного уравнения (*):

При t = 0 имеем I(0) = 0, поэтому так что окончательно

Отсюда видно, что сила тока при включении асимптотически приближается при к своему стационарному значению

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение

может быть проинтегрировано также следующим приемом. Будем искать решение у(х) уравнения (10) в виде

где — неизвестные функции, одна из которых, например v(x), может быть выбрана произвольно. Подставляя у(х) в форме (16) в уравнение (10), после элементарных преобразований получим

Выберем в качестве v(x) любое частное решение уравнения

Тогда в силу (17) для u(х) получим уравнение

которое без труда интегрируется в квадратурах. Зная , найдем решение у(х) уравнения (10).

Пример:

Найти общее решение уравнения

Будем искать решение у(х) данного линейного неоднородного уравнения в виде

Подставляя в исходное уравнение, получим

Определим функцию v(x) как решение уравнения

Разделяя переменные, найдем

Выберем любое частное решение, например, отвечающее С = 1. Тогда из (17′) получим

откуда

Для общего решения исходного уравнения получаем выражение

Преимущество метода вариации постоянной заключается в том, что он переносится на линейные неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка.

Уравнение Бернулли

Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть сведены к линейным. К числу таких уравнений относится уравнение Бернулли

Уравнение это предложено Я. Бернулли в 1695 г., метод решения опубликовал И. Бернулли в 1697 г.

При а = 1 получаем однородное линейное уравнение

При а = 0 — неоднородное линейное уравнение

Поэтому будем предполагать, что (для а нецелого считаем, что у > 0).

Подстановкой уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению относительно функции z(x).

Однако уравнение Бернулли можно проинтегрировать сразу методом вариации постоянной. Это делается так. Сначала интегрируем уравнение

Его общее решение

Решение уравнения Бернулли будем искать в виде

где С(х) — новая неизвестная функция. Подставляя это выражение для у(х) в уравнение Бернулли, получаем

— уравнение с разделяющимися переменными относительно С(х). Интегрируя это уравнение,находим

где С — постоянная интегрирования. Тогда из формулы (*) получаем общий интеграл уравнения Бернулли

Замечание:

При а > 0 уравнение Бернулли имеет очевидное решение

Для интегрирования уравнения Бернулли

можно также воспользоваться подстановкой

где в качестве v(x) берется любое нетривиальное решение уравнения

а функция u(х) определяется как решение уравнения

Пример:

Найти решение уравнения Бернулли

Ищем решение у(х) уравнения в виде

Подставляя в исходное уравнение, получим

Выберем в качестве v(x) какое-нибудь ненулевое решение уравнения

и проинтегрируем его,

Поскольку нас интересует какое угодно частное решение, положим С = 1, т.е. возьмем Тогда для и(х) получим уравнение

интегрируя которое, найдем

Общее решение у(х) исходного уравнения определится формулой

Уравнения в полных дифференциалах

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции u(х, у) двух независимых переменных х и у, т. е.

В этом случае u(х, у) = С будет общим интегралом дифференциального уравнения (18).

Будем предполагать, что функции М(х, у) и N(x, у) имеют непрерывные частные производные соответственно по у и по x в некоторой односвязной области D на плоскости хОу.

Теорема:

Для того чтобы левая часть М(х, у) dx + N(x, у) dy уравнения (18) была полным дифференциалом некоторой функции и(х, у) двух независимых переменных х и у, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество

Необходимость:

Предположим, что левая часть уравнения (18) есть полный дифференциал некоторой функции u(х, у), т. е.

тогда Дифференцируем первое соотношение по у, а второе по х:

Отсюда, в силу равенства смешанных производных, вытекает тождество

Необходимость (19) доказана.

Достаточность:

Покажем, что условие (19) является и достаточным, а именно, предполагая его выполненным, найдем функцию u(х, у) такую, что du = M(x, у) dx + N(x, у) dy, или, что то же,

Найдем сначала функцию u(х, у), удовлетворяющую первому условию (20). Интегрируя это равенство по х (считаем у постоянной), получаем

где — произвольная функция от у.

Подберем так, чтобы частная производная по у от функции и, определяемой формулой (21), была равна N(x,y). Такой выбор функции при условии (19) всегда возможен. В самом деле, из (21) имеем

Приравняв правую часть полученного равенства к N(x, у), найдем

Левая часть последнего равенства не зависит от x. Убедимся в том, что при условии (20) в его правую часть также не входит х. Для этого покажем, что частная производная по x от правой части (22) тождественно равна нулю. Имеем

Теперь, интегрируя равенство (22) по у, получим, что

где С — постоянная интегрирования. Подставляя найденное значение для в формулу (21), получим искомую функцию

полный дифференциал которой, как нетрудно проверить, равен

Приведенный прием построения функции u(х, у) составляет метод интегрирования уравнения (18), левая часть которого есть полный дифференциал.

Пример:

Проверить, что уравнение

является уравнением в полных дифференциалах, и проинтегрировать его.

В данном случае

Следовательно, уравнение (*) есть уравнение в полных дифференциалах. Теперь находим и (см. (21)):

Находя от функции и из (**) и приравнивая функции получаем

откуда и, следовательно,

Подставив найденное выражение для i в (**), найдем

— общий интеграл исходного уравнения.

Иногда можно найти такую функцию что

будет полным дифференциалом, хотя М dx + N dy может им и не быть. Такую функцию называют интегрирующим множителем. Можно показать, что для уравнения первого порядка

при определенных условиях на функции М(х, y) и N(x, у) интегрирующий множитель всегда существует, но отыскание его из условия

в общем случае сводится к интегрированию уравнения в частных производных, что составляет, как правило, задачу еще более трудную.

Задача:

Найти интегрирующий множитель для линейного дифференциального уравнения

Указание. Искать множитель в виде

Уравнение Риккати

где q(x), р(х), г(х) — известные функции, называется уравнением Риккати. Если р, q, г — постоянные, то оно интегрируется разделением переменных:

В случае, когда уравнение (1) оказывается линейным, в случае — уравнением Бернулли. В общем случае уравнение (1) не интегрируется в квадратурах.

Укажем некоторые свойства уравнения Риккати.

Теорема:

Если известно одно частное решение уравнения Риккати, то его общее решение может быть получено с помощью квадратур.

Пусть известно частное решение уравнения (1), тогда

Полагая новая искомая функция, в силу тождества (2) получаем

— уравнение Бернулли, которое интегрируется в квадратурах.

Пример:

Проинтегрировать уравнение Риккати

если известно его частное решение

для функции z(x) получаем

решением исходного уравнения будет функция

Частным случаем уравнения (1) является специальное уравнение Риккати:

где a, b, а — постоянные. При а = 0 имеем

и уравнение интегрируется разделением переменных.

При а = -2 получаем

Полагая — новая неизвестная функция, находим

Это уравнение однородное относительно х, z. Оно интегрируется в квадратурах.

Кроме а = 0 и а = -2 существует еще бесконечное множество других значений а, при которых уравнение Риккати (3) интегрируется в квадратурах. Они задаются формулой

При всех других значениях а решение уравнения Риккати (3) не выражается в квадратурах.

Замечание. Если же положить в уравнении (3)

где u = u(x) — новая неизвестная функция, то придем к уравнению второго порядка

решение которого может быть выражено в функциях Бесселя.

Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной

Рассмотрим теперь общий случай уравнения первого порядка

не разрешенного относительно производной.

Уравнения, относящиеся к этому классу, весьма разнообразны, и поэтому в общем случае становится невозможным делать выводы о существовании и единственности решения, даже накладывая достаточно сильные ограничения на участвующие в уравнении функции (ограниченность, гладкость, монотонность и т. п.). Например, уравнение

вообще не имеет действительных решений. Для уравнения

решения суть прямые так что через каждую точку плоскости хОу проходят две взаимно перпендикулярные интегральные линии. Поле интегральных кривых уравнения получается наложением полей уравнений Если уравнение

удается разрешить относительно производной у’, то получаются уравнения вида

которые иногда могут быть проинтегрированы изложенными выше методами.

Введем понятие общего решения (интеграла) для уравнения (1). Допустим, что это уравнение в окрестности точки может быть разрешено относительно производной, т. е. распадается на уравнения

и пусть каждое из этих уравнений имеет общее решение

или общий интеграл

Совокупность общих решений (2) (или общих интегралов (3)) будем называть общим решением (общим интегралом) уравнения (1). Так, уравнение

распадается на два:

Их общие решения у = х + С, у = -х + С в совокупности составляют общее решение исходного уравнения . Общий интеграл этого уравнения часто записывают в виде

Однако не всегда уравнение (1) легко разрешимо относительно у’ и еще реже полученные после этого уравнения интегрируются в квадратурах. Рассмотрим некоторые методы интегрирования уравнения (1).

Пусть уравнение (1) имеет вид

причем существует по крайней мере один действительный корень этого уравнения. Так как это уравнение не содержит — постоянная. Интегрируя уравнение получаем

Но является корнем уравнения; следовательно,

— интеграл рассматриваемого уравнения.

2. Пусть уравнение (1) имеет вид

Если это уравнение трудно разрешить относительно у’, то бывает целесообразно ввести параметр t и заменить уравнение (5) двумя:

Следовательно, искомые интегральные кривые определяются уравнениями в параметрической форме

Пример:

Полагаем,

и параметрические уравнения искомых интегральных кривых:

Если уравнение (5) легко разрешимо относительно у, то обычно за параметр берут у’. Действительно, если то, полагая у’ = р, получаем так что

Параметрические уравнения интефальных кривых:

Исключая параметр р, получаем общий интеграл

Пример:

Разрешим уравнение относительно у:

Положим у’ = р, тогда

Таким образом, находим параметрические уравнения интегральных кривых

Параметр р здесь легко исключить. В самом деле, из первого уравнения системы находим

Первую часть второго уравнения преобразуем следующим образом:

— общее решение данного дифференциального уравнения.

3. Пусть уравнение (1) имеет вид

Если это уравнение трудно разрешить относительно у’, то, как и в предыдущем случае, целесообразно ввести параметр t и заменить уравнение (6) двумя:

Следовательно, интегральные кривые уравнения (6) определяются в параметрической форме уравнениями

Если уравнение (6) легко разрешимо относительно х:

то в качестве параметра удобно выбрать откуда

Пример:

Положим у’ = р. Тогда

В параметрической форме семейство интегральных кривых данного уравнения определяют уравнения

Уравнение Лагранжа

Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение вида

линейное относительно х и у. Здесь — известные функции.

Введя параметр получаем

— соотношение, связывающее переменные х, у и параметр р. Чтобы получить второе соотношение, нужное для определения х и у как функций параметра р, продифференцируем (8) по х:

Уравнение (10) линейно относительно х и и, следовательно, легко интегрируется, например, методом вариации постоянной. Получив общее решение

уравнения (10) и присоединив к нему уравнение

получим параметрические уравнения искомых интегральных кривых.

При переходе от уравнения (9) к (10) пришлось делить на . При этом теряются решения, для которых р постоянно, а значит,

Считая р постоянным, замечаем, что уравнение (9) удовлетворяется лишь в том случае, если р является корнем уравнения

Итак, если уравнение имеет действительные корни то к найденным выше решениям уравнения Лагранжа надо еще добавить решения

— это прямые линии.

Уравнение Клеро

Уравнением Клеро называется дифференциальное уравнение вида

Полагая у’ = р, получаем

Дифференцируя по х, имеем

откуда или и, значит, р = С, или

В первом случае, исключая р, найдем семейство прямых

— общее решение уравнения Клеро. Оно находится без квадратур и представляет собой однопараметрическое семейство прямых. Во втором случае решение определяется уравнениями

Можно показать, что, как правило, интегральная кривая (12) является огибающей найденного семейства прямых.

Пример:

Решить уравнение Клеро

Общее решение данного уравнения видно сразу:

Другое (особое) решение определяется уравнениями

Исключая параметр р, находим

— огибающую прямых

Для уравнения вида

через некоторую точку вообще говоря, проходит не одна, а несколько интегральных кривых, так как, разрешая уравнение относительно у’, мы, как правило, получаем не одно, а несколько действительных значений

и если каждое из уравнений в окрестности точки удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения, то для каждого из этих уравнений найдется единственное решение, удовлетворяющее условию

Поэтому свойство единственности решения уравнения , удовлетворяющего условию обычно понимается в том смысле, что через данную точку по данному направлению проходит не более одной интегральной кривой уравнения .

Например, для решений уравнения

свойство единственности в этом смысле всюду выполнено, поскольку через каждую точку плоскости хОу проходят две интегральные кривые, но по различным направлениям. Для уравнения Клеро

(см. пример 4) через точку (0,0) проходят также две интегральные линии: прямая

входящая в общее решение этого уравнения, и парабола

причем эти линии имеют в точке (0,0) одно и то же направление:

Таким образом, в точке (0,0) свойство единственности нарушается.

Теорема:

Пусть имеем уравнение

и пусть в некоторой окрестности точки — один из действительных корней уравнения

функция удовлетворяет условиям:

1) непрерывна по всем аргументам;

2) производная существует и отлична от нуля;

3) существует ограниченная производная

Тогда найдется отрезок на котором существует единственное решение у = у(х) уравнения удовлетворяющее условию для которого

Геометрические вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями 1-го порядка. Ортогональные траектории

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка определяет семейство плоских кривых, зависящее от одного параметра С.

Поставим теперь в некотором смысле обратную задачу: дано однопараметрическое семейство кривых

и требуется составить дифференциальное уравнение, для которого будет общим решением.

Итак, пусть дано соотношение

где С — параметр. Дифференцируя (1) по х, получим

Если правая часть (2) уже не содержит С, то формула (2) будет представлять дифференциальное уравнение семейства кривых (1). Например, если будет дифференциальным уравнением семейства прямых у = х + С.

Пусть теперь правая часть (2) содержит С. Разрешая соотношение (1) относительно С, определим С как функцию х и у:

Подставляя это выражение для С в формулу (2), получим дифференциальное уравнение 1-го порядка

Нетрудно убедиться в том, что представляет собой общее решение уравнения (4).

Если соотношение между величинами х, у и С задано в виде

то, дифференцируя его по х, получим

Исключая С из соотношений (5) и (6), приходим к уравнению

Можно показать, что (5) является общим интегралом уравнения (7).

Ортогональные траектории

В ряде прикладных вопросов встречается следующая задача. Дано семейство кривых

Требуется найти такое семейство

чтобы каждая кривая семейства Ф(х, у, С) = 0, проходящая через точку (х, у), пересекалась в этой точке кривой семейства под прямым углом, т. е. чтобы касательные к кривым семейства в точке (х, у) были ортогональны (рис.8). Семейство называется семейством ортогональных траекторий к (и наоборот). Если, например, кривые семейства Ф = 0 — силовые линии некоторого силового поля, то ортогональные траектории — эквипотенциальные линии.

Аналитически это означает следующее. Если

есть дифференциальное уравнение семейства

то дифференциальное уравнение траекторий, ортогональных к семейству Ф = 0, имеет вид

(угловые коэффициенты касательных к кривым семейств в каждой точке должны быть связаны условием ортогональности

Таким образом, чтобы найти ортогональные траектории к семейству 0, надо составить дифференциальное уравнение этого семейства и заменить в нем Интегрируя полученное таким образом уравнение, найдем семейство ортогональных траекторий.

Пример:

Найти ортогональные траектории семейства

окружностей с центром в начале координат.

Составляем дифференциальное уравнение семейства (8). Дифференцируя (8) по х, получим

Это дифференциальное уравнение данного семейства. Заменив в нем найдем дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий:

Интегрируя последнее уравнение, получаем, что искомыми ортогональными траекториями будут полупрямые (рис. 9)

Дополнение к дифференциальным уравнениям первого порядка

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института