Что называется системой уравнения второй степени

Что называется системой уравнения второй степени

Система уравнений второй степени. Способы решения

Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.

Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:

1) в уравнении первой степени одну переменную выражают через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, благодаря чему получается уравнение с одной переменной;

3) решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Пример : Решим систему уравнений

1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В ней выражаем переменную x через y:

2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y:

Раскрываем скобки и упрощаем:

Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:

4) Осталось найти значения x. Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y. Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
х – 0,25 = 1
х = 1 + 0,25
х₁ = 1,25.

Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.

1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.

Пример : Решим систему уравнений

Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:

(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).

В результате наша система уравнений обретает иной вид:

Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.

Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:

Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений.

Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.

Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у:

Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:

Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:

Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:

Итак, у нас есть первые ответы:

Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:

Таким образом, исходная система уравнений решена.

1 1
(–3 — ; –1 — ), (3; 1), (2,5; –0,5), (–2; 1).
2 6

2. Решение способом сложения.

Пример 2 : Решим систему уравнений

Второе уравнение умножим на 3:

Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y, которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).

Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:

Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:

Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:

Приравняем уравнение к нулю:

Это уравнение можно представить в виде x(x – 2y) = 0.

Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.

Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:

Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y.

Итак, в первой системе мы уже знаем значение x. Это ноль. То есть x₁ = 0. Легко вычислить и значение y: это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).

Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

3. Решение методом подстановки.

Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.

Пример . Решить систему уравнений

│х + у = 9
│у 2 + х = 29

Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у:

Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:

у 2 + 9 – у = 29
у 2 – у – 20 = 0

D = b 2 – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81

Осталось найти значения х. Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:

1) х + 5 = 9
х = 9 – 5
х₁ = 4

2) х – 4 = 9
х = 9 + 4
х₂ = 13

Урок алгебры в 9-м классе «Системы уравнений второй степени»

Разделы: Математика

Цели урока:

• Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся применять различные способы решения систем уравнений второй степени с учетом дифференцированного подхода.
• Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы.
• Побуждать учеников к самоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний.

Оборудование:

• Мультимедийный проектор, экран .
• Компьютеры
• CD-диск “Интерактивный задачник. Алгебра 9. Решаем задачи из учебника под ред. С. А. Теляковского”
• Рабочая карта урока.

Тип урока. Урок систематизации и проверки знаний, умений и навыков.

Ход урока

Презентация

1. Организационный момент (3 мин).

Здравствуйте! Сегодняшний урок мне хотелось бы начать словами великого ученого и политика Альберта Эйнштейна (слайд):

“Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

Тема нашего сегодняшнего урока “Системы уравнений второй степени” (слайд). Мы повторим, закрепим изученные способы решения систем уравнений, познакомимся с новыми, попробуем свои силы в ходе выполнении теста и самостоятельного решения систем. У вас у всех есть “Рабочая карта урока”, куда вы будете заносить свои оценки за каждый этап урока, а затем подведете итог и выставите итоговую оценку за урок, которая пойдет в журнал.

Рабочая карта урока

Фамилия, имя _____________________________________________

А девизом урока будут слова “Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий” (слайд).

1. Устная работа (4 мин).

Знаете ли вы, ребята, что означает словосочетание “блицтурнир”? Каково происхождение слова “блиц”? Давайте выясним это вместе. Сначала узнайте по таблице, из какого языка к нам попало это слово. Для этого решите задание и найдите верный ответ в таблице (слайд).

Задание. Решите систему уравнений:

Немецкий

Французский(2; 1)

(0,5; -0,5)

Теперь, когда вы узнали, что слово “блиц” пришло к нам из немецкого языка, давайте определим, что оно означает в переводе на русский язык. Для этого выполните ряд заданий и составьте слово соответственно найденным ответам.

Задания(слайды с заданиями).

1. Подберите решения системы уравнений.

Ответ: (15; -11) — М

1. Используя графические представления, определите, сколько решений имеет система:

Ответ: 1 – О

1. Используя теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета, решите систему уравнений:

Ответ: (10; -2);(-2; 10) – Л

1. Решите систему уравнений:

Ответ: (20; 10) – Н

1. Используя графические представления, определите, сколько решений имеет система:

Ответ: 2 – И

1. На рисунке изображены графики функций у = х + 3, у = 1 — х и у = — х 2 – 2х + 3. Пользуясь рисунком, решите систему:

Ответ: (-3; 0); (0; 3) – Я.

Итак, “блицтурнир” — это молния. В телеигре “Что? Где? Когда?” всегда присутствует вопрос – “блиц”. Это означает, что на обдумывание вопроса время сокращается в три раза – три вопроса – за одну минуту, тогда как на другие вопросы время – 1 минута.

Давайте, ребята, мы с вами тоже сыграем в “блицтурнир”. Я буду задавать вопросы, вы же будете писать ответы в столбик (такой небольшой математический диктант).

1. Математический диктант (5 мин).

(Слайды с заданиями)

1. Найдите х + у:
2. Найдите ху:
3. Подберите решение системы уравнений:
4. Используя теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета, решите систему уравнений:
5. Используя графические представления, определите, сколько решений имеет система уравнений:

Ответы: 1. 8; 2. 5,5; 3. (-1; 1); 4. (2; 1); 5. 3

Занесите, пожалуйста, оценки за диктант в рабочие карты.

1. Теоретический опрос (2мин).

(Слайд). “Кто не знает, в какую гавань он плывет, для того нет попутного ветра” . (Сенека).

• Что называется системой уравнений с двумя или несколькими переменными?
• Что значит решить систему уравнений?
• Сформулируйте алгоритм графического решения системы уравнений.
• Сформулируйте алгоритмы решения систем методом подстановки и методом сложения.

1. Творческое домашнее задание (5 мин).

(Слайды).

1. Системы симметрических уравнений (метод замены переменной)

Существует универсальный метод решения: вводится подстановка:

Преобразуем первое уравнение системы, прибавив к обеим частям ху.

х 2 + 2ху + у 2 = 4 + ху,

Используем универсальную подстановку:

Делаем обратную замену:

По теореме Виета z 2 + 3z + 5 = 0.

D = 9 – 20 3 – 2х 2 – 1 х – 1 3х 3 – 2х 2 – 1 = (х — 1)( 3х 2 + х + 1)

3х 3 – 3х 2 3х 2 + х + 1 D

1. Итог урока, домашнее задание (1 мин).

Поставьте оценку за решение упражнений с помощью таблицы согласно вашему этапу (слайд). Учитель выставляет оценки некоторым учащимся. Подведите итог. Запишите домашнее задание. Приложение 3.

А закончить урок я хочу словами великой женщины-математика Софьи Ковалевской (слайд):

Если в жизни ты хоть на мгновенье
Истину в сердце своем ощутил,
Если луч света сквозь мрак и
сомненье
Ярким сияньем твой путь озарил:
Что бы в решенье твоем неизменном
Рок ни назначил тебе впереди,
Память об этом мгновенье священном
Вечно храни, как святыню в груди.
Тучи сберутся громадой нестройной,
Небо покроется чёрною мглой,
С ясной решимостью, с верой
спокойной
Бурю ты встреть и померься с грозой.

«Решение систем уравнений второй степени»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: «Решение систем уравнений второй степени»
Цели урока:

Обобщить знания и закрепить умения учащихся решать системы уравнений второй степени различными способами.

Создать условия для отработки навыков самостоятельной работы, работы в группах, при выполнении заданий.

Развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, их интеллектуальные качества: способность к «видению» проблемы, формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли; развивать навыки самопроверки, самоконтроля, развивать умение применять теоретические знания на практике.

Воспитывать умение работать с имеющейся информацией, умение слушать товарищей, содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, общей культуре.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: компьютер, проектор, тестовые знания.

— Здравствуйте, ребята и гости. Посмотрите в окошко – какая сегодня солнечная погода. Сегодня на уроке я вам желаю солнечного и ясного настроения.

Для того, чтобы наш урок прошёл успешно, я предлагаю поработать самостоятельно. А чтобы оценить работу каждого я вам раздам оценочные лисы. Каждый в оценочном листе будет ставить баллы за правильный ответ или решённую задачу.

Общие практические задания

Проверка домашнего задания

— Сейчас мы проверим домашнее задание. У вас были даны задания двух уровней. Поднимите руку те, кто делал уровень А. (Проверка на слайде)

Поднимите руку те, кто делал уровень Б. (Проверка по слайду)

Постановка темы и целей урока.

1.Что называется решением уравнения с двумя переменными?

2. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

3. Что называется системой уравнений второй степени? (система составленная из уравнений второй степени или из одного уравнения первой степени и одного уравнения второй степени)?

2. Что называется решением системы уравнений второй степени? (Решением системы уравнений является пара чисел, обращающая оба уравнения в верные числовые равенства)

3. Что значит решить систему уравнений второй степени? (найти все его решения или доказать, что решений нет)

4. Какие системы уравнений называются равносильными?

(Те которые имеют одинаковые решения или те, которые решений не имеют)

5. Какие основные способы решения систем уравнений вы знаете, в чем их преимущества и недостатки?

6. Какие методы решений систем уравнений аналитическим способом вы знаете?

7. Изложите основные алгоритмы решения систем уравнений с двумя переменными.

8 . Подберите наиболее подходящий метод для решения следующих систем уравнений:

2. Формулировка темы и целей урока.

— Исходя из выполненных заданий давайте сформулируем тему урока.

— А теперь поставим цели нашего урока (решение систем уравнений всеми способами)

— Мы сегодня с вами обобщим и закрепим знания по теме, выполним задания по теме, проверим свои знания в ходе выполнения тестовых заданий.

— На слайде указана тема урока.

-А теперь каждый из вас получит задание.

Решить систему уравнений графическим способом:

Решить систему уравнений методом подстановки:

Решить систему уравнений методом сложения: х 2 — 2у 2 =14,
х 2 +у 2 =9.

— Консультанты за каждое верно выполненное задание дают по 1 баллу.

— Проверим решение систем по слайдам.

— Вы поработали в группах, а теперь каждый из вас поработает самостоятельно, выполнив тестовое задание.

Тесты по вариантам. (3 варианта)

3 . Тест.(самопроверка слайды). Выставление баллов в оценочный лист.

4.Подведение итогов урока.(слайд)
4-5 баллов — «3»

— Чем понравился вам урок?

— Что вы можете взять для себя из этого урока?

— Что вам показалось сложного на уроке?

— На столе лежат ромбики разных цветов (оранжевые и серые). Каждый подойдёт и возьмёт тот, который соответствует вашему настроению в конце урока.

VI .Домашнее задание и его инструктаж .

— домашнее задание карточки и № учебнике….

— Спасибо за урок!

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 590 284 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 16.01.2017
• 500
• 1

• 16.01.2017
• 1322
• 8

• 16.01.2017
• 508
• 0

• 16.01.2017
• 875
• 6

• 16.01.2017
• 1348
• 9

• 16.01.2017
• 1004
• 7

• 16.01.2017
• 1181
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 16.01.2017 654
• DOCX 32.6 кбайт
• 3 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Колобова Ирина Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 10727
• Всего материалов: 20

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.