Что называют графиком уравнения с двумя переменными

Алгебра. 9 класс

Рассмотрим уравнение 3x 2 + y = 13.

Это уравнение является уравнением с двумя переменными x и y.

При подстановке вместо переменной x числа 2, а вместо переменной y числа 1 мы получим верное равенство.

Значит, пара чисел 2 и 1 является решением данного уравнения. Эту пару чисел записывают в круглых скобках, причём на первом месте записывают значение переменной x, а на втором – значение переменной y: (2; 1).

Итак, сформулируем определение решения уравнения с двумя переменными.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая уравнение в верное равенство.

Если все эти пары чисел представить как координаты точек и изобразить на координатной плоскости, то получится график данного уравнения.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

Вспомним, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными.

Вы также знакомы с графиком уравнения второй степени y = x 2 .

Рассмотрим уравнение (x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 .

Графиком этого уравнения является окружность с центром в точке с координатами (а; b) и радиусом r.

Все пары чисел, которые будут являться решением данного уравнения, при изображении их на координатной плоскости будут принадлежать окружности с центром в точке с координатами (1; 2) и радиусом, равным 3.

График линейного уравнения с двумя переменными

Разделы: Математика

1. Знать определение графика уравнения с двумя переменными;

2. Знать, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными;

3. Уметь строить график линейного уравнения с двумя переменными.

Развивающая: учить анализировать, сравнивать, обобщать определять и объяснять понятия, т.е. умение мыслить.

Воспитательная: развивать нравственные отношения у школьников с окружающим миром (качество честности, трудолюбие).

карточки для дополнительного уровневого задания;

таблица “Уравнения с двумя переменными и их графики”;

таблица “Расположение графиков линейного уравнения с двумя переменными относительно осей координат”.

1. Запись домашней работы: (учитель проговаривает)

п.41, повторить п.п.15-16.

№1046, №1049, для желающих № 1152 — график с параметром.

2. Проверка домашнего задания. (До урока на перемене)

Выразить одну переменную через другую (а, б)

На доске “Проверь себя” (До урока на перемене учащиеся проверяют домашнее задание, сверяя с решением на доске.) – решение уравнений, критерии оценок.

(Выразить одну переменную через другую (а, б))

Точки: (0; 3,5), (1; 0,5), (2;-2,5).

ах – 2у = 1, х=5, у = 7, а = ?

Все решено правильно и самостоятельно — “5”;

Все решено правильно, но с помощью — “4”;

Решено с помощью и с ошибкой — “3”.

№ 1140 — оценивается по тем же критериям, только “5” и “4”.

После записи домашней работы предлагаю выставить оценки согласно критериям каждому за свою домашнюю работу (самооценка) в рабочую карту (предварительно подписав карт). Рабочая карта отражена на рисунке 4.

3. Совместная постановка цели урока.

Читаем тему урока на доске.

— Ребята, как вы думаете, что должны знать и чему научиться на этом уроке?

[1. Знать определение графика уравнения с двумя переменными.]

[2. Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными.]

[3. Уметь строить график линейного уравнения с двумя переменными.]

А что бы этого достичь, нужно анализировать, сравнивать, объяснять понятия. Работая в классе, необходимо с уважением относиться к окружающим и быть предельно честным.

Для успешной работы повторим теоретический материал, разгадывая кроссворд. Кроссворды находятся в каждой группе (на работу 3 минуты).

Рисунок 1. Кроссворд.

Вопросы к кроссворду:

1. Что является графиком линейной функции?

2. Один из способов задания функции.

3. Пара чисел, изображающаяся в координатной плоскости.

4. Независимая переменная.

5. Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

6. Зависимость между переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственной значение зависимой переменной.

7. Какими называются уравнения с двумя переменными имеющие одни и те же решения, или не имеющие решений?

Чья группа угадает быстрее, получает жетон. Всего дается три жетона, т.е. первым трем группам.

Для тех, кто закончил работу, на доске задание (устно):

1. Назвать коэффициенты в уравнениях;

2. Выразить у через х из уравнений:

3. Как назвать эти равенства:

Внимание на доску, проверим кроссворд. (Ответы на кроссворд и критерий оценки работы на доске:)

Критерий: Быстро и правильно — два “+”, отметить на жетоне номер группы;

— Поднимите руку, кто получил два “+”, один “+”. Кто не угадал, повторить определения.

Переходим к проверке (решению) устного упражнения:

1. Проговариваем коэффициенты;

2. Выражаем у через х из уравнений;

3. Называем эти равенства — уравнениями с двумя переменными.

— Что является решением уравнения с двумя переменными? (Пара значений переменных — х и у)

— Сколько решений имеет уравнение с двумя переменными? (Много)

— Как изображается пара значений переменных на координатной плоскости? (Точкой)

— Сколько таких точек можно изобразить? (Много)

— Что является координатами каждой из этих точек? (Абсцисса — значение х, ордината — значение у)

— Что образуют все эти точки на координатной плоскости? (График)

— Так что называется графиком уравнения с двумя переменными? (Множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения)

— Откройте учебник, п.41 и найдите это определение. Прочитаем его. Повторим. А теперь посмотрите на доску. (На доске таблица уравнений с двумя переменными и их графики – рисунок 2).

Рисунок 2. Уравнения с двумя переменными и их графики.

— Что вы видите на таблице? (Уравнения с двумя переменными и их графики).

— Есть ли среди них линейные уравнения с двумя переменными? (Нет)

— Графики этих уравнение вы будите изучать в старших классах. А мы с вами должны узнать, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными.

4. Изучение нового материала.

— Открыли тетради, записали тему урока. Дайте определение линейной функции и запишем:

где х и у — переменные, k, b — некоторые числа.

— Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными и запишем:

где х и у — переменные, а, b, с — некоторые числа.

— Сравните, что общего в этих видах математической записи (входят две переменные х и у, числа).

— Как по-другому называются числа? (Коэффициенты).

— Чем отличаются? (Количеством чисел 2 и 3; в первом — выражена зависимость — функция, во втором — не выражена — уравнение).

— А можно ли в линейном уравнении с двумя переменными выразить зависимость одной переменной от другой? (Да).

— Давайте выразим зависимость переменной у от переменной х в линейном уравнении с двумя переменными:

где х и у — переменные, а, b, с — некоторые числа.

— Выражаем в общем виде: bу = с — ах.

— Что сейчас мы должны обязательно оговорить? (Что коэффициент при переменной у не равен нулю):

у = (с – ах) / b, при условии b 0.

— Запишем в стандартном виде:

у = – (а / b)х + (с / b).

— Таким образом, мы получили вид линейной функции у = kx + b, только по-другому записаны числа.

— Что является графиком линейной функции? (Прямая).

— Что необходимо, что бы построить прямую? (Построить две точки).

— А почему две точки? (Согласно аксиоме).

— Так что же является графиком линейного уравнения с двумя переменными, если коэффициент при у не равен нулю (т.е. b 0)? (Прямая).

— Что является координатами каждой из точек? (Пара значений переменных х и у, которые являются решением данного уравнения).

— Запишем уравнение 2х — у = 3. Коэффициент при переменной у не равен нулю. Запишите одно решение (спрашиваю троих и записываю три решения).

— Как проверить, что каждая пара значений переменных х и у, является решением этого уравнения? (Подставить в уравнение вместо переменных х и у их значения. Если равенство верное, значит, пара чисел является решением).

— Как нашли это решение? (Х — произвольное значение, у — находим).

— Какую фигуру будет изображать пара чисел, являющаяся решением линейного уравнения на координатной плоскости? (Точку).

— Сколько пар решений нужно, чтобы построить график? (Две пары).

— Мы рассмотрели с вами общий случай построения графика линейного уравнения с двумя переменными. Кроме общего случая существуют частные случаи построения графиков, когда хотя бы один из коэффициентов равен нулю.

Постановка проблемного вопроса.

— А что же является графиком линейного уравнения с двумя переменными, если хотя бы один из коэффициентов равен нулю?

— Для ответа на этот вопрос предлагается работа по группам. Возьмите карты-таблицы “Что является графиком уравнения ax + by = с, если хотя бы один из коэффициентов равен нулю?”. Подпишите их. Карта-таблица представлена на рисунке 3.

— Смотрим таблицу. В первом столбце записаны уравнения. Второй столбец вы должны заполнить, записывая коэффициенты линейных уравнений. Потом записываете пары решений для каждого из уравнений. Затем в соответствии с координатной плоскостью строите графики. И в последнем столбце записываете, что является графиком. Таблица заполняется по строкам. (При этой работе вызываю по одному ученику для заполнения карты-таблицы на доске после некоторого времени, когда большинство заполнят).

— Если группа заканчивает работу раньше других, то на доске задание, которое выполняется устно.

По окончании работы заслушиваю двух человек. Обобщаем, что же является графиком линейного уравнения, если хотя бы один из коэффициентов равен нулю? (Прямая).

Рисунок 3. Карта-таблица “Что является графиком уравнения ax + by = с, если хотя бы один из коэффициентов равен нулю?”.

Внимание на доску! (На доске таблица с графиками линейных уравнений).

— Какого случая у нас нет? (а 0, b 0, с = 0). Что является графиком? (Прямая пропорциональность).

— А теперь найдите в тексте учебника п.41 определение графика линейного уравнения с двумя переменными и зачитайте его.

— Повторим, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов не равен нулю? (Прямая).

— А можно ли по виду линейного уравнения с двумя переменными определить, что является графиком данного уравнения? (Можно).

На доске записаны линейные уравнения с двумя переменными:

— Назвать уравнения, графиком которых является прямая, плоскость, нет графика. (Прямая — 1, 2, 5; плоскость — 3; нет графика — 4, 6).

— И еще раз, что же является графиком линейного уравнения с двумя переменными, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

— А сейчас за работу с картой-таблицей консультант проставит каждому оценки в рабочую карту. Критерий оценки — как для домашнего задания. Поднимите руку, кто справился на “5”, кто на “4”.

5. Закрепление материала.

— Самостоятельная работа на доске (проверка у консультанта, консультант проверяет у группы).

Постройте график уравнения:

Критерий оценки (на доске):

правильно решены все — “5”;

правильно решены 4-5 — “4”;

правильно решены 3 — “3”.

— Поднимите руку, кто справился на “5”, кто на “4”, кто на “3”.

Тому, кто закончит раньше, даются уровневые карточки.

На рабочей карте (рисунок 4) имеются незаконченные предложения. Пожалуйста, закончите их.

На уроке мне было легко при.

На уроке я испытывал(а) трудности при.

Рабочие карты сдать консультанту для итоговой оценки. Консультанты сдадут мне.

Уравнения с двумя переменными

Содержание:

Уравнения с двумя переменными — это решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с парой чисел (x,y), если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Решение уравнения с двумя переменными. График уравнения с двумя переменными

Рассмотрим уравнение с двумя переменными f(x; у) = 0. Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения. Если дано уравнение с двумя переменными х и у, то принято в записи его решения на первое место ставить значение переменной х, а на второе — значение у.

Так, пары (10; 0), (16; 2), (-2; -4) являются решениями уравнения х — Зу = 10. В то же время пара (1; 5) решением уравнения не является.

Это уравнение имеет и другие решения. Для их отыскания удобно выразить одну переменную через другую, например х через у, получив уравнение х = 10 + Зу. Выбрав произвольное значение у, можно вычислить соответствующее значение х. Например, если у = 7, то х = 10 + 3 * 7 = 31; значит, пара (31; 7) является решением уравнения; если у = -2, то х = 10 + 3 (-2) = 4; значит, пара (4; -2) также является решением заданного уравнения.

Уравнения с двумя переменными называют равносильными, если они имеют одни и те же решения (или оба не имеют решений).

Для уравнений с двумя переменными справедливы теоремы 1 и 2 (см. п. 135) о равносильных преобразованиях уравнения.

Пусть дано уравнение с двумя переменными f(х; у) = 0. Если все его решения изобразить точками на координатной плоскости, то получится некоторое множество точек плоскости. Это множество называют графиком уравнения f(х; у) = 0.

Например, графиком уравнения является парабола (см. рис. 1.10); графиком уравнения у — х = 0 является прямая (биссектриса первого и третьего координатных углов, см. рис. 1.8); графиком уравнения у — 3 = 0 является прямая, параллельная оси х (рис. 1.108), а графиком уравнения х + 2 = 0 — прямая, параллельная оси у (рис. 1.109). Графиком уравнения является одна точка (1; 2), так как координаты только этой точки удовлетворяют уравнению.

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Уравнение вида , где х, у — переменные, а — числа, называют линейным; числа называют коэффициентами при переменных, с — свободным членом.

Графиком любого линейного уравнения , у которого хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля, является прямая; если , то эта прямая параллельна оси у, если , то эта прямая параллельна оси х.

Пример:

Построить график уравнения 2х-3у = -6.

Решение:

Графиком этого линейного уравнения является прямая. Для построения прямой достаточно знать две ее точки. Подставив в уравнение 2х — 3у = -6 вместо х значение 0, получим -Зу = -6, откуда у = 2. Подставив в уравнение 2х — 3у = -6 вместо у значение 0, получим 2х = -6, откуда х = -3.

Итак, мы нашли две точки графика: (0;2) и (-3;0). Проведя через них прямую, получим график уравнения 2х — Зу = -6 (рис. 1.110).

Если линейное уравнение имеет вид 0 * х + 0 * у = с, то могут представиться два случая:

1) с = 0; в этом случае уравнению удовлетворяет любая пара ( х; у), а потому графиком уравнения является вся координатная плоскость;

2) в этом случае уравнение не имеет решения; значит, его график не содержит ни одной точки.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.