Что обозначает треугольник в уравнении

Дельта — буква, знак и его происхождение, применение в науке

В данной статье поговорим о знаке Дельта — что он из себя представляет, в каких сферах применяется и для чего вообще используется. Также вы узнаете, как выглядит знак и как его можно вставить в текст в такой программе, какой является Ворд из Майкрософт Оффис.

Знак Дельта применяется во многих сферах жизнедеятельности, к примеру, в физике, текстовых редакторах, формулах и других сферах. Чаще всего именно при печати учебной литературы, докладов и других видов документов применяют знак дельта, который имеется в разных версиях ВОРД от Виндовс и других приложениях для создания документов текстового формата на ПК.

О происхождения знака

Появление символа связано с греческими языком, но сама буква появилась от стародревнего финийского языка, в котором именовалась – далет, что обозначало («вход в дверь»). Выглядела «далет» как перевернутый влево равнобедренный треугольник. В греческом алфавите, была такая буква. Позже эта буква дала начало всем известной буквы латинского набора – D , которая и поныне есть во многих алфавитных рядах разных государств мира, к примеру, английский алфавит ее содержит.

Буква, которая служит аналогом в русском алфавите – Д, а вот символ везде одинаков и изображается, как геометрическая фигура, а именно треугольник с равными сторонами (Δ). Эта версия является заглавной, прописная версия выглядит немного иначе, представляя собой кружок с хвостиком, похожий на обозначение в физике плотности (δ).

Где применяется данный символ?

Кроме использования в правописании греков, символ начали активно применять в математике, геометрии, алгебре, физике, химии и географии.

Поговорим отдельно о применении дельта в каждых научных сферах:

1. География. Дельта подразумевает в географическом смысле начальную часть реки, океана или моря, имеет смысловое, нежели символическое, буквенное понятие и восприятие. Почему именно область впадения реки принято так называть? Все просто, дело в форме данной области, если сделать снимок сверху, то отток реки будет иметь форму правильного треугольника, а символ дельта, как раз представляет собой такой геометрический объект. Ярчайшим представителем с выраженной дельтой является река Нил (Египет), которая впадает в Средиземное море, а также Амазонка с ее впадением в океан Атлантики.
2. Применение в математике, алгебре, геометрии. Очень часто знак применяют в математической сфере для таких целей, как: 1) Приращение аргумента подразумевает под дельтой измененную переменную. К примеру, сложим 5 и 4 в итоге получим число 9. Дельтой будет являться увеличение 5 на 4. 2) Применение в теории вероятности по системе Лапласа. Такой метод преподают в ВУЗах, а не школах и в нем используют такой знак. 3) А также символ применяется при обозначении прямой и обратной матриц. 4) Дельта, буква, применяемая в написании формул (как письменным методом, так и через компьютер);
3. Также в математике применяют прописную версию дельта. А именно, такой символ обозначает производную от числа. Обозначение выглядит следующим образом — δy/δx. 2) Используется для описания бесконечной функции-дельта. Бесконечная функция возможна, если все значения аргумента равны нулю. 3) При помощи δ еще обозначают символику Кронекера, символ равен всегда 1, при условии того, что все его индексы равны, либо нулевые при заданных условиях.
4. Физика, астрономия, космогония. Граничащие меж собой научные дисциплины, все особо важные и по-своему интересные, в каждой из дисциплин можно встретить знак дельта. В физике связь всех производных осуществляется при помощи формул с интеграцией. К примеру, формула скорости, которая выглядит следующим образом — δS к δt , является отношением одной части к другой. В данном случае расстояние, которое преодолел объект, соотносится со временем, затраченном на преодоление. Вторая производная – это ускорение, где тоже важна взаимосвязь одной составляющей формулы к другой. В космологии и астрономии применяют формулы, расчеты с данным символом, только в прописном варианте.

Как ввести в «Ворд»?

Для вставки символа заходим в верхние меню редактора и ищем колонку «Вставка», наводим на колонку курсором мыши без нажатия правой кнопки. Высвечивается несколько наименования разделов, необходимо нажать на «Символ» , где можно путем перелистывания за счет колеса мыши искать необходимый знак, либо в строке поиска выбрать категорию (статистические или математические) и найти знак. Прописной или заглавный символ высветится в рабочей области окна вставки , вам только стоит нажать правой кнопкой мыши «вставить» или «окей».

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p — a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p — b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Виды треугольников

Что такое треугольник в математике

Треугольник — геометрическая фигура, образующаяся в случае соединения трех отрезков с тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Вершинами треугольника называют три точки, которые соединяются отрезками, а отрезки называют сторонами.

На рисунке видно, что угол A является углом, образованным двумя сторонами (AB+AC), он лежит напротив стороны BC. Угол B — угол, который образован сторонами BA+BC, лежит напротив стороны AC. Угол C является углом, который образован сторонами CB+CA, противолежит стороне AB.

Внутренний угол (угол треугольника) — угол, вершина которого соответствует вершине треугольника, его стороны проходят через стороны треугольника. Например, угол ABC — внутренний, как и углы CAB и ACB.

Буква в середине обозначения угла (например B в угле ABC) — вершина.

Углы и стороны треугольника являются элементами треугольника.

Рассмотрим основные определения для темы «треугольник».

Периметр — сумма всех длин сторон треугольника. Обычно обозначается буквой «P».

Периметр вычисляется по следующей формуле:

Периметр равнобедренного треугольника:

Периметр равностороннего треугольника:

Попробуем вычислить периметр треугольников:

Треугольная форма часто встречается в быту. Например, часто ее используют в процессе строительства различных зданий, мостов и тд. В процессе строительства крыш используются стропила треугольной формы.

Как и у всех геометрических фигур, у треугольника есть понятие равенства.

Два треугольника могут быть названы равными, если возможно их скомбинировать в результате наложения друг на друга, то есть скомбинировать их стороны, вершины, углы.

Возьмем бумажный лист прямоугольной формы, разрежем на две части. У нас получаются прототипы равных треугольников. Можно наложить один на другого и убедиться, что они наложатся друг на друга идеально.

У равных треугольников FAC и F1A1C1 будут скомбинированы стороны, вершины и углы.

Важно запомнить, что в равных треугольниках:

1. Напротив равных сторон соответственно противолежат равные углы.
2. Напротив равных углов соответственно противолежат равные стороны.

То есть, в треугольниках FAC и F1A1C1 напротив сторон AC и A1C1 будут лежать абсолютно равные углы F и F1. Напротив углов C и C1 будут лежать стороны FA и F1A1.

Основные свойства

Основные свойства треугольника:

1. Больший угол всегда лежит напротив большей стороны.
2. Равные углы всегда лежат напротив равных сторон.
3. Совокупность углов в данной фигуре всегда будет равна 180 градусам.
4. В случае, если продлить сторону треугольника (например, сторону AC) и отметить на продленной стороне точку F, то будет образован внешний угол BCF к углу ACB.
5. Внешний угол будет равен совокупности двух внутренних углов, которые не являются смежными ему. То есть, угол BCD = 180 градусов отнять угол ACB; угол BCD = угол A + угол B.
6. Любая сторона фигуры будет меньше совокупности двух других сторон, а также больше разности этих сторон. Пример: AB + BC > AC.

Виды треугольников

По свойствам углов выделяют три вида треугольников:

1. Остроугольный. Все его углы являются острыми.
2. Прямоугольный. Только один угол является прямым (то есть, он равен 90 градусам).
3. Тупоугольный. Один угол является тупым.

Рассмотрим внешний вид данных треугольников:

По свойствам сторон выделяют:

1. Равнобедренный.
2. Равносторонний.
3. Прямоугольный.

Определение 4

Равнобедренный треугольник — такая фигура, две стороны которой равны. Равные части такой фигуры будут называться боковыми сторонами, а третья сторона будет носить название основания.

И остроугольный, и тупоугольный, и прямоугольный треугольники могут быть равнобедренными.

Посмотрите на рисунки равнобедренных треугольников:

Рассмотрим свойства равнобедренных треугольников:

1. Углы при основании будут всегда равны.
2. Высота, медиана, биссектриса, которые проводятся в равнобедренном треугольнике к основанию, будут совпадать.

Определение 5

Равносторонний треугольник — фигура, стороны и углы которой являются равными.

Как найти площадь данной фигуры?

Как найти высоту данной фигуры?

Прямоугольный треугольник — фигура, угол которой равен 90 градусам.

Рассмотрим свойства данной фигуры:

1. Совокупность двух острых углов будет равна 90 градусам.
2. Катет, который лежит напротив угла в 30 градусов, будет равен половине гипотенузы.
3. Соответственно, если катет = половина гипотенузы, то этот катет лежит напротив угла в 30 градусов.
4. Медиана, которая проведена из вершины угла прямого, будет равна половине гипотенузы.

Все основные формулы треугольника

Рассмотрим формулы, по которым можно вычислить площадь треугольника:

Формула площади по высоте и стороне.

Вместо стороны A могут быть и показатели других сторон.

S = p ( p — a ) ( p — b ) ( p — c )

В данной формуле полупериметр вычисляется: p = a + b + c 2

По двум сторонам, а также углу между этими сторонами — половина произведения двух сторон, умноженная на синус угла между этими сторонами.

S = 1 2 a × b × sin γ

По трем сторонам, а также радиусу описанной окружности:

По трем сторонам, а также радиусу вписанной окружности. Площадь = произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.

Рассмотрим также подобия треугольников.

Подобные треугольники — такие фигуры, в которых соответствующие углы являются равными, а стороны сходственные являются пропорциональными.

Таким образом, треугольник ABC будет подобен MNK. Так угол альфа будет равен углу альфа1, угол бета будет равен углу бета1, угол гамма будет равен углу гамма1. Иначе ABMN будет равно BCNK будет равно ACMK будет равно k.

Коэффициент k = коэффициент подобия.

Рассмотрим признаки подобия треугольников:

1. Первый признак подобия треугольника. В случае, если два угла треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то такие треугольники называются подобными.
2. Второй признак подобия фигур. В случае, если три стороны данной фигуры пропорциональны трем сторонам другой фигуры (треугольника), то такие треугольники называют подобными.
3. Третий признак подобия треугольника. В случае, если две стороны треугольника будут пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, которые расположены между этими сторонами, являются равными, то такими треугольники называются подобными.

Определение 8

Вписанная окружность — такая окружность, которая касается треугольник со всех трех сторон.

Посмотрите на вписанную окружность:

Основные свойства вписанной окружности:

• Центр вписанной окружности всегда расположен на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
• В любой треугольник возможно вписать окружность, но только одну.