Что описывает уравнение харди вайнберга

Закон Харди-Вайнберга

В основе популяционной генетики, изучающей генотипы живых организмов без использования скрещиваний, лежит закон Харди-Вайнберга. Его сформулировали независимо друг от друга двое ученых в 1908 г. Данный закон, который также называют равновесием и уравнением, соблюдается только при определенных идеальных условиях.

Уравнение Харди-Вайнберга представляет собой математическую модель, объясняющую, каким образом в генофонде популяции сохраняется генетическое равновесие.

Формулировка закона Харди-Вайнберга

Частота генотипов по определенному гену в популяции остается постоянной в ряду поколений и соответствует уравнению p 2 + 2pq + q 2 = 1, где

• p 2 — частота как доля от единицы гомозигот по одному аллелю (например, доминантному – AA ),
• q 2 — частота гомозигот по другому аллелю ( aa ),
• 2pq — частота гетерозигот ( Aa ),
• p — частота в популяции первого аллеля ( A ),
• q — частота второго аллеля ( a ).

При этом p + q = 1 , или A + a = 1 .

Также из законов математики следует

(p + q) 2 = p 2 + 2pq + q 2

Формула квадрата двучлена используется для одного исследуемого гена, имеющего всего два аллеля.

Может встречаться формулировка не по отношению к генотипам, а по отношению к аллелям: частоты доминантного и рецессивного аллелей в популяции будут оставаться постоянными в ряду поколений при соблюдении ряда условий. То есть значений p и q не будут изменяться из поколения в поколение.

Таким образом, закон Харди-Вайнберга позволяет рассчитать частоты аллелей и генотипов в популяции, что является важной ее характеристикой, так как именно популяция рассматривается как единица эволюции.

Условия соблюдения закона Харди-Вайнберга

Закон Харди-Вайнберга в полной мере соблюдается при выполнении следующих условий:

• Популяция должна иметь большой размер.
• Особи не должны выбирать брачного партнера в зависимости от генотипа по исследуемому гену.
• Миграции особей из популяции и в нее должны отсутствовать.
• В отношении изучаемого гена (его аллелей) не должен действовать естественный отбор. Другими словами, все генотипы по исследуемому гену должны быть одинаково плодовитыми.
• Не должно возникать новых мутаций исследуемого гена.

Так, если в популяции гомозиготы по рецессивному аллелю имеют пониженную жизнеспособность или не выбираются брачными партнерами, то в отношении такого гена закон Харди-Вайнберга не выполняется.

Таким образом, частота аллелей в популяции остается постоянной, если скрещивание особей случайно, и на популяцию не действуют каких-либо внешние факторы.

Отклонение от закона Харди-Вайнберга (это значит, что в популяции частота аллелей гена меняется) говорит о том, что на популяцию действует какой-либо фактор эволюции. Однако в больших популяциях отклонения бывают незначительными, если рассматривать краткосрочный период времени. Данный факт позволяет использовать закон для проведения расчетов. С другой стороны, в эволюционном масштабе динамика генофонда популяции отражает то, как эволюция протекает на генетическом уровне.

Применение уравнения Харди-Вайнберга

В большинстве случаев частоту аллелей и генотипов вычисляют, взяв за основу частоту гомозиготных особей по рецессивному аллелю. Это единственный генотип, который однозначно распознается по фенотипическому проявлению. Тогда как отличить доминантные гомозиготы от гетерозигот часто не представляется возможным, поэтому их долю вычисляют, пользуясь уравнением Харди-Вайнберга.

Допустим, в гипотетической популяции людей присутствуют только два аллеля цвета глаз — карий и голубой. Карий цвет определяется доминантным A аллелем гена, голубой — рецессивным a . Пусть кареглазых людей будет 75% (или в долях 0,75), а голубоглазых 25% (0,25). Требуется определить в популяции

1. долю гетерозигот Aa и доминантных гомозигот AA ,
2. частоту аллелей A и a .

Если доля рецессивных гомозигот составляет 0,25, то доля рецессивного аллеля находится как квадратный корень из этого числа (исходя из формулы p 2 + 2pq + q 2 = 1, где q 2 — частота рецессивных гомозигот, а q — частота рецессивного аллеля), то есть будет 0,5 (или 50%). Поскольку в гипотетической популяции только два аллеля, сумма их долей составит единицу: p + q = 1. Отсюда находим долю доминантного аллеля: p = 1 — 0,5 = 0,5. Таким образом, частота обоих аллелей составляет по 50%. Мы ответили на второй вопрос.

Частота гетерозигот составляет 2pq . В данном случае 2 * 0,5 * 0,5 = 0,5. Отсюда следует, что из 75% кареглазых людей 50% являются гетерозиготами. Тогда на долю доминантных гомозигот остается 25%. Мы ответили на первый вопрос задачи.

Рассмотрим другой пример использования уравнения Харди-Вайнберга. Такое заболевание человека как муковисцидоз встречается только у рецессивных гомозигот. Частота заболевания составляет примерно 1 больной на 2500 человек. Это значит, что 4 человека из 10000 являются гомозиготами, что составляет в долях единицы 0,0004. Таким образом, q 2 = 0,0004. Извлекая квадратный корень, находим частоту рецессивного аллеля: q = 0,02 (или 2 %). Частота доминантного аллеля будет равна p = 1 — 0,02 = 0,98. Частота гетерозигот: 2pq = 2 · 0,98 · 0,02 = 0,039 (или 3,9 %). Значение частоты гетерозигот позволяет оценить количество патогенных генов, находящихся в скрытом состоянии.

Такие вычисления показывают, что, несмотря на малое число особей с гомозиготным рецессивным генотипом, частота рецессивного аллеля в популяциях достаточно велика за счет его нахождения в генотипах гетерозигот (носителей).

Закон Харди-Вайнберга в случае множественного аллелизма

Уравнение Харди-Вайнберга применяется и для случаев множественного аллелизма. При этом для определения частот генотипов в квадрат возводится многочлен из частот аллелей.

Если существует три аллеля гена (a1, a2, a3), то их частоты (p, q, r) в сумме будут давать единицу: p + q + r = 1. Если возвести уравнение в квадрат, то получим следующее распределение частот генотипов:

(p + q + r) 2 = p 2 + q 2 + r 2 + 2pq + 2pr + 2qr = 1

Здесь p 2 , q 2 , r 2 — это частоты гомозигот: соответственно a₁a₁, a₂a₂, a₃a₃. Произведения 2pq, 2pr, 2qr — частоты гетерозиготных генотипов: a₁a₂, a₁a₃, a₂a₃.

Закон Харди—Вайнберга

Чтобы изменить состав генофонда, требуется нечто большее, чем генетическая рекомбинация.

В научном мире нечасто случается, чтобы разные ученые независимо друг от друга наткнулись на одну и ту же закономерность, но все же таких примеров достаточно, чтобы заставить нас поверить в существование «духа времени». К их числу относится и закон Харди—Вайнберга (известный также как закон генетического равновесия) — одна из основ популяционной генетики. Закон описывает распределение генов в популяции. Представьте себе ген, имеющий два варианта — или, пользуясь научной терминологией, два аллеля. Например, это могут быть гены «низкорослости» и «высокорослости», как в случае менделевского гороха (см. Законы Менделя), или наличие/отсутствие предрасположенности к рождению двойни. Харди и Вайнберг показали, что при свободном скрещивании, отсутствии миграции особей и отсутствии мутаций относительная частота индивидуумов с каждым из этих аллелей будет оставаться в популяции постоянной из поколения в поколение. Другими словами, в популяции не будет дрейфа генов.

Рассмотрим этот закон на простом примере. Назовем два аллеля Х и х. Тогда у особей могут встречаться четыре следующие комбинации этих аллелей: ХХ, хх, хХ и Хх. Если обозначить через p и q частоту встречаемости индивидуумов с аллелями Х и х соответственно, то согласно закону Харди—Вайнберга

где p 2 — частота встречаемости индивидуумов с аллелями ХХ, 2pq — с аллелями Хх или хХ, а q 2 — частота встречаемости индивидуумов с аллелями хх. Эти частоты, при соблюдении сформулированных выше условий, будут оставаться постоянными из поколения в поколение, независимо от изменения количества индивидуумов и от того, насколько велики (или малы) p и q. Этот закон представляет собой модель, используя которую генетики могут количественно определять изменения в распределении генов в популяции, вызванные, например, мутациями или миграцией. Другими словами, этот закон является теоретическим критерием для измерения изменений в распределении генов.

Английский математик, родился в Кранли, графство Суррей. Сын учителя рисования. Изучал математику в Кембриджском и Оксфордском университете. Пожалуй, самую большую известность Харди принесли совместные работы с Джоном Идензором Литлвудом (John Edensor Littlewood, 1885–1977) и позднее с индийским математиком-самоучкой Cриниваса Рамануджаном (Srinivasa Aaiyangar Ramanujan, 1887–1920), который работал клерком в Мадрасе. В 1913 году Рамануджан послал Харди список доказанных им теорем. Признав гениальность юного клерка, Харди пригласил его в Кембридж, и в течение нескольких лет, предшествовавших безвременной смерти Рамануджана, они опубликовали серию блестящих совместных работ.

Немецкий врач, имевший большую частную практику в Штуттгарте. По воспоминаниям современников, помог появиться на свет 3500 младенцам, в том числе по крайней мере 120 парам близнецов. На основании собственных наблюдений над рождением близнецов и переоткрытых генетических законов Менделя пришел к выводу, что предрасположенность к рождению двуяйцевых (неидентичных) близнецов передается по наследству.

Закон Харди-Вайнберга — суть, формулировка, практичческое применение

Менделевская генетика

В соответствии с ныне дискредитированной теорией смешанного наследования, генетический материал был задуман как жидкость. Она объединяет черты двух индивидуумов в фенотипически промежуточное потомство. Учитывая наблюдаемые закономерности сходства между родителями и потомками, смешение генного материала интуитивно кажется разумным. Именно так думали многие современники Чарльза Дарвина.

Такой способ наследования, однако, поставил под вопрос жизнеспособность дарвинской теории естественного отбора. А ведь она напрямую зависит от существования изменчивости передаваемых признаков у различных видов организмов. Смешивание генофонда быстро разрушило бы такие вариации, поскольку весь материал будет передаваться от одного поколения к другому до тех пор, пока все особи не будут иметь один и тот же смешанный генотип.

В своих знаменитых экспериментах на растениях гороха Грегор Иоганн Мендель отверг этот механизм, продемонстрировав, что альтернативные версии аллелей объясняют различия в унаследованных признаках, хотя на самом деле не знал о генах как таковых. Он опубликовал свои выводы в 1866 году. Эта работа долгое время оставалась неясной, пока не была повторно открыта в 1900, что помогло создать современную область генетики.

Закон сегрегации Менделя в актуальных терминах гласит, что диплоидный индивид несёт две отдельные копии каждого аутосомного гена (то есть по одной на каждого члена пары гомологичных хромосом). Каждая гамета получает только одну копию, которая выбирается случайным образом. Согласно менделевскому закону разделения, обе реплики имеют равные шансы стать частью половой клетки.

Даже после того, как бо́льшая часть научного сообщества приняла законы Менделя, оставалась путаница в отношении сохранения генетической изменчивости в природных популяциях. Некоторые противники утверждали, что доминантные черты должны увеличиваться, а рецессивные уменьшаться по частоте, что не наблюдается в реальных экосистемах.

В 1908 году Харди опроверг такие аргументы в статье, которая вместе с независимо опубликованным документом Вайнберга заложила основы для области популяционной генетики.

Основы равновесия

Теорема Харди — Вайнберга имеет дело с менделевской теорией в контексте популяций диплоидных, размножающихся половым путём, особей. Учитывая набор предположений, эта работа гласит:

• Частоты аллелей в совокупности организмов одного вида не будут меняться на протяжении поколений.
• Если частоты популяционных генотипов с двумя генами в локусе равны p и q, то ожидаемые признаки — p ², 2 pq и q ². Это частотное распределение не изменится для потомков, когда видовое население находится в равновесии Харди-Вайнберга. Например, локусы в конкретной популяциях p и q соответствует аллелям A и a, тогда частота генотипа AA = p ², Aa = 2 pq и aa = q ². Если в локусе только два аллеля, то по необходимости p + q равно единице. Закон Харди — Вайнберга и его математическое выражение (в виде уравнения) выглядит следующим образом: (p + q) ² = p ² + 2 pq + q ² = 1. Применение этой теоремы возможно и к локусам с более чем двумя версиями генов. В этом случае ожидаемые частоты генотипов определяются мультиномиальным разложением для всех k аллелей, выделяющихся в популяции: (p1 + p2 + p3 +… + pk) ².

Выводы из теоремы Харди — Вайнберга применимы только тогда, когда совокупность соответствует следующим допущениям:

• Естественный отбор не действует на данный локус. То есть нет постоянных различий в вероятностях выживания или размножения между генотипами.
• Ни мутация (происхождение новых аллелей), ни миграция (перемещение особей или их генов в популяцию или из неё) не привносят в видовое сообщество новых генотипов.
• Размер популяции бесконечен. Это означает, что генетический дрейф не вызывает случайных изменений в частотах аллелей из-за ошибки выборки от одного поколения к следующему. Очевидно, что все естественные видовые совокупности конечны и, следовательно, подвержены дрейфу. Однако ожидается, что в малых популяциях такой эффект будет более выраженным.
• Скрещивание людей, по отношению к рассматриваемому локусу, происходит случайным образом. Хотя неслучайное спаривание не меняет версий генов на протяжении поколений, если выполняются другие условия. Например, оно может генерировать отклонения от ожидаемых частот генотипа или подготовить почву для естественного отбора, чтобы вызвать эволюционные изменения.

Если версии генов отклоняются от формулировки закона Харди — Вайнберга, то для того, чтобы привести их в равновесные пропорции, требуется только одно поколение случайных спариваний. Но только при условии, что вышеупомянутые предположения верны, а частоты аллелей равны у мужчин и у женщин (или что особи являются гермафродитами), и этот локус аутосомен.

Учитывая эти условия, легко получить ожидаемые частоты генотипа Харди — Вайнберга, если подумать о случайном спаривании с точки зрения вероятности создания каждого набора версий генов посредством случайного объединения гамет в зиготы. Поскольку существует два способа формирования гетерозиготных генотипов (А или а яйцеклетка и а или А сперматозоид), просуммировать вероятности этих двух типов союзов и прийти к ожидаемой частоте, согласно формуле Харди — Вайнберга.

Главные выводы

Важно признать, что такое равновесие является нейтральным. Это означает, что популяция, возмущённая частотами своего генотипа, действительно достигнет такой модели после одного поколения случайного спаривания (если оно подчиняется другим допущениям теоремы). Однако если частоты аллелей изменились, то это будет новое равновесие. Такое свойство отличает нейтральную модель от стабильной, в котором нарушение системы возвращает её в то же состояние.

Учитывая популяцию, в которой известно число людей с каждым генотипом, можно проверить статистическое отклонение от теоремы, используя простой критерий соответствия хи — квадрат или более мощный и точный тест. Последний класс методов оказался особенно полезным для крупномасштабных исследований генома. В них учёные оценивали тысячи локусов, сегрегирующих для множественных аллелей.

Наблюдаемые пропорции генотипа в природных популяциях обычно практически соответствуют правилам теоремы, поскольку можно ожидать, что видовая группа, выведенная из равновесия, может достичь новых равновесных частот только после одного поколения случайного спаривания.

Хотя статистическое отклонение обычно указывает на возможное нарушение предположений теоремы, обратное утверждение не всегда верно. Некоторые формы естественного отбора могут генерировать распределение генотипических частот, которые соответствуют тем, что описывает закон. Но также может быть верно, что процессы миграции или мутации происходят, но с такими низкими показателями, которые невозможно обнаружить с помощью доступных статистических методов. И, конечно же, все популяции в биологии конечны и подвержены, по крайней мере, некоторой эволюции через генетический дрейф.

Следствия закона

Теорема демонстрирует, что менделевские локусы, сегрегирующие по множественным аллелям в диплоидных популяциях, сохранят предсказуемые уровни генетической изменчивости при отсутствии факторов, которые влияют на структурные изменения генотипов. Основным способом визуализации этих вероятностей является график p ², 2 pq и q ² в зависимости от частот аллелей. Если его нарисовать, то можно увидеть два важных следствия:

• Популяционная гетерозиготность наиболее высокая при выполнении равенства p = q = 0,5.
• Редкие аллели обнаруживаются главным образом у гетерозигот, как и должно быть, учитывая, что q ² намного меньше, чем 2 pq, когда q близко к нулю, и p ² мало, в соотношении с 2 pq, если p стремится к 0.

Второй пункт приобретает особое значение, если рассмотреть возможность естественного отбора влиять на частоты новых мутаций. Когда популяция соответствует всем другим вероятностям закона, отбор в конечном счёте определит полезный ген, так что все индивидуумы будут гомозиготными по этому аллелю. Первоначальное увеличение частоты редкого, выгодного, доминантного гена происходит быстрее, чем у редкого, рецессивного аллеля.

Новая доминантная мутация характеризуется тем, что она сразу видна при естественном отборе, потому что его влияние на физическую форму проявляется у гетерозигот. Таким образом, Харди продемонстрировал, что доминирование само по себе не изменяет частоты аллелей в локусе, но, как правило, оказывает существенное влияние на эволюционные траектории.

Отбор, мутация, миграция и свободный генетический дрейф являются механизмами, которые влияют на изменение версий генов. И когда действует одна или несколько этих сил, популяция нарушает постулаты описываемого закона и происходит эволюция.

Эволюционные механизмы

Надо сказать, что идеальных решений нет. И постулаты теоремы нарушаются соответственно различным механизмам эволюции:

• Мутация. Хотя она и является исходным источником всех генетических вариаций, её частота довольно низкая для большинства организмов. Поэтому влияние совершенно новых мутаций на частоты аллелей от одного поколения к следующему обычно невелико.
• Неслучайное спаривание. Например, никто не устанавливал ограничение на то, чтобы одни организмы спаривались с другими того же или разных генотипов. Однако этот механизм сам по себе не изменит вариаций генов в популяции.
• Поток гена. Когда индивидуумы перемещаются вместе со своими гаметами (например, ветер разносит пыльцу растений) и входят в состав другого видового сообщества, то они могут стать довольно сильным агентом эволюции.
• Генетический дрейф. Он включает в себя изменение в частоте аллелей из-за случайных событий. Этот механизм иногда называют «случайной выборкой». Дрейф может произойти в любой популяции с бесконечными размерами, хотя наибольшее влияние оказывает на небольшие видовые сообщества.
• Естественный отбор. Это самый известный механизм. Его задача — сделать организм более приспособленным, то есть способным выживать и размножаться в конкретной среде обитания.

Все перечисленные механизмы могут действовать в той или иной степени в любой естественной популяции. Фактически эволюционная траектория гена может быть результатом нескольких инструментов эволюции, действующих одновременно. Мутация может продуцировать новый аллель, который затем одобряется (или нет) естественным отбором.

Эволюция происходит прямо здесь и сейчас. Это означает, что любая популяция меняется в своём генетическом составе в течение нескольких поколений. И изменения могут быть незначительными. Например, у волков может быть сдвиг в частоте генного варианта для чёрного, а не для серого меха. Иногда такие изменения происходят в результате естественного процесса отбора. В других случаях причина тому миграция новых организмов в популяцию или случайные события, всё это — эволюционная лотерея.