Траектория и уравнения движения точки
Траектория и уравнения движения точки
- Уравнение движения для локуса и точек 1°.Основные понятия. Траекторией точки называется линия, описываемая точкой движения в пространстве. Траектории могут быть плоскими или пространственными кривыми. Движение точки определяется установлением закона движения. Закон движения точек (уравнения) устанавливает зависимость расположения точек во временном пространстве.
Движение точки M в фиксированной системе координат xyz определяется установкой 3 функций (рис.3.1). * = / > ( ’). J’ = / *( Людмила Фирмаль
Создайте уравнение движения для точки N в декартовой системе координат. Найдите уравнение его орбиты. Определяет полный 1-кратный поворот точки N и точку, в которой координаты обеих точек равны. The solution. To составьте уравнение движения точки N, необходимо представить ее координаты в виде функции времени. Из рисунка найдите координату x в точке N. Х = О с COS Людмила Фирмаль
Затем по координатам определяется максимальное отклонение точки м от центра колебаний О. МПМ = а ХІ =-а. Величина a называется амплитудой колебаний, kt — (- (J называется фазой колебаний, ap-начальной фазой колебаний. Определите период колебаний, то есть время, в течение которого точки совершают 1 полное колебание, то есть возвращаются в исходное положение с той же скоростью и величиной. Обозначим период буквой Т и найдем его значение из условия, что приращение фазы колебаний за это время равно 2π. Иначе говоря
Задача 3.4.Точки перемещаются в соответствии с уравнением. x = A cos(kt-e), (1) г = Б, потому что КТ(2) Определите уравнение траектории движения точки. Как изменяется локус точек при увеличении разности фаз£от 0 до 2r? The solution. To найдя уравнение орбиты точки в явном виде, нужно исключить время из уравнения motion. To для этого сначала преобразуем уравнение движения. х = а соѕ(т-е)= а [потому что КТ потому что£-(- КТ грех грех ЭЖ.(3) решая уравнения (2) и (3) для cos kt и sin kt, получим: Х г — г соз£ а б. Преступление. потому что КТ =£о грех КТ = Добавьте эти уравнения, возведя их в квадрат. г, (т -£»»’) ’ 1 Б% ’ °1 (4) Sin2 е
Или в конце: — В + М — ^^ ко ^ грех ’、 уравнение (4) для любого значения e является уравнением эллипса. Из этого уравнения максимальные и минимальные значения являются Параметры±соответственно. a для x и zt b для y. таким образом, во всех случаях эллипс вписывается в прямоугольники со сторонами 2a и 2b. измените значение от 0 до 2ir. если e = 0, то выражение(4) принимает вид:
Так, если фазы обеих составляющих колебаний перпендикулярны друг другу, то эллипс вырождается в 2 совпадающие прямые, являющиеся диагоналями прямоугольника(рис. в коса -> -= учитывая it_y = 0, горизонтальная дальность полета I определяется из орбитального уравнения (4).
log A x cos2 a следовательно 2 значения x\ Т / л грех 2а х0 = 0, ХН = 1 = 8. Первое значение соответствует первому моменту (моменту отправления точки), А второе определяет горизонтальное расстояние. Сравнивая значения /и 5, можно сделать вывод, что/ = 2s, то есть точки достигают наивысшего положения в диапазоне горизонтальной половины. Итак, положение точки в пространстве в этой точке.
Уравнение (1) представляет собой параметрическое уравнение траектории a point. To найдя уравнение орбиты точки в координатной форме, нужно исключить время из уравнения(1) и получить форму зависимости. БФ,(Ци, г)= 0, 9а, КР, з)= 0. Комбинация этих 2 уравнений определяет кривую, по которой перемещаются точки. Есть и другие способы указать движение points. In векторным методом, определяющим законы движения, радиус-вектор r движущейся точки M (рис.3.1) задается как функция времени r = r (t).Связь между радиус-вектором r и Декартовыми координатами точки представлена уравнением Р = ХІ * \ — ый + ЗК. (2 ) Где i, j и k-единичные векторы (единичные векторы) осей. (2)
Если вы получаете x, y> z, текущие координаты точки A4, как определено y. уравнение(1), то (2) x Дайте закон движения точек в векторной форме. 3-й способ задания движения точек называется natural. In в этом случае движение точек определяется уравнением а = /( (). Сферические и цилиндрические координаты часто используются для изучения движения точки в пространстве. Сферическими координатами точки M (рис.3.4) являются расстояние r точки M от неподвижного центра O, угол φ (угол поворота плоскости zOM относительно неподвижной плоскости xOz) и угол ? =?(’) * (5 *)
Уравнение движения для цилиндрических координат: р = п(о> т = м р = РЗ). (си *) м г Так… 1. Рисунок 3.4. Да. Чтобы перейти от сферических координат к декартовым, используйте следующую формулу:> х = р с с COS
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Уравнение движения материальной точки
Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.
Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.
Система отсчета. Системы координат
Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.
В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:
- сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
- цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
- на полярной плоскости с параметрами r , φ .
В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.
Кинематическое уравнение движения материальной точки
Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.
При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.
Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:
Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.
Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:
x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .
Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.
Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.
Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:
r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .
Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как
q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .
Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.
Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:
Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.
Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.
Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.
Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.
Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c
Найти: υ x ( t ) , S — ?
Решение
При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:
υ x = υ 0 x + a x t .
Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:
x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .
Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .
После подстановки данных в уравнение:
Определим точки, изобразим график:
υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5
Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:
Тема 1.6. Основные понятия кинематики
§1. Кинематика точки. Введение в кинематику.
Кинематикой (от греческого «кинема» — движение) называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.
Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени.
Механическое движение — это изменение положения тел (или частей тела) относительно друг друга в пространстве с течением времени.
Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета.
Тело отсчета — тело (или группа тел), принимаемое в данном случае за неподвижное, относительно которого рассматривается движение других тел.
Система отсчета — это система координат, связанная с телом отсчета, и выбранный способ измерения времени (рис. 1).
Рис.1. Система отчета
Изображать систему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны).
Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем, как трехмерное евклидово пространство.
Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т.е. как функции времени t.
Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано).
Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) — значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени.
Основная задача кинематики точки твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение.
Положение тела можно определить с помощью радиус-вектора или с помощью координат.
Радиус-вектор точки М — направленный отрезок прямой, соединяющий начало отсчета О с точкой М (рис. 2).
Координата х точки М — это проекция конца радиуса-вектора точки М на ось Ох. Обычно пользуются прямоугольной системой координат Декарта. В этом случае положение точки М на линии, плоскости и в пространстве определяют соответственно одним (х), двумя (х, у) и тремя (х, у, z) числами — координатами (рис. 3).
Рис.2. Радиус-вектор
Рис.3. Координаты точки М
Материальная точка — тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.
Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел много меньше всех прочих расстояний в данной задаче или когда тело движется поступательно.
Поступательным называется движение тела, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для описания такого движения тела достаточно описать движение его одной произвольной точки.
В дальнейшем под словом «тело» будем понимать «материальная точка».
Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета.
В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.
Путь s — скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Путь всегда положителен: s> 0.Единицы измерения в системе СИ: м (метр).
Перемещение тела за определенный промежуток времени — направленный отрезок прямой, соединяющий начальное (точка М0) и конечное (точка М) положение тела (см. рис. 2):
где и — радиус-векторы тела в эти моменты времени.Единицы измерения в системе СИ: м (метр).
Проекция перемещения на ось Ох: ∆rx =∆х = х-х0, где x0 и x — координаты тела в начальный и конечный моменты времени.
Модуль перемещения не может быть больше пути: ≤s.
Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется.
Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:
Видео-урок «Механическое движение»
§2. Способы задания движения точки
Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов:
1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.
1. Векторный способ задания движения точки.
Пусть точка М движется по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из начала координат О в точку М (рис. 4).
Рис.4. Движение точки М
При движении точки М вектор будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента t:
Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.
Геометрическое место концов вектора , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.
2. Координатный способ задания движения точки.
Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.4), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости
Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.
3. Естественный способ задания движения точки.
Рис.5. Движение точки М
Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ является траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.5) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О’, которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направления отсчета (как на координатной оси).
Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой s, которая равна расстоянию от точки О’ до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M1, М2. . следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться.
Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость s=f(t).
§3. Вектор скорости точки
Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий.
Скорость — мера механического состояния тела. Она характеризует быстроту изменения положения тела относительно данной системы отсчета и является векторной физической величиной.
Единица измерения скорости – м/с. Часто используют и другие единицы, например, км/ч: 1 км/час=1/3,6 м/с.
Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса-вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется прямолинейным.
Для равномерно-прямолинейного движения ∆r=v∆t, где v – постоянный вектор скорости.
Из соотношения видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени.
http://zaochnik.com/spravochnik/fizika/osnovy-dinamiki/uravnenie-dvizhenija-materialnoj-tochki/
http://www.sites.google.com/site/tehmehprimizt/lekcii/teoreticeskaa-mehanika/kinematika/osnovnye-ponatia-kinematiki