Что понимается под решением тригонометрического уравнения
Методы решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод.
( метод замены переменной и подстановки ).
2. Разложение на множители.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,
2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,
cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,
cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,
1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,
3. Приведение к однородному уравнению.
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y 1 = — 1, y 2 = — 3, отсюда
1) tan x = –1, 2) tan x = –3,
4. Переход к половинному углу.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
5. Введение вспомогательного угла.
где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:
6. Преобразование произведения в сумму.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
Здравствуй, уважаемый посетитель!
Меня зовут Александр Бабаев. И это мой сайт.Он посвящён не только математике. Вы найдёте здесь много интересных и полезных, я надеюсь, для себя вещей.
Кроме того, что здесь выкладываются интересные задачки, разбираются непонятные моменты и осуществляется помощь в решении трудных задач, на сайте выкладывается фото и видео мероприятий, которые я провожу, в блоге вы найдёте обсуждение различных проблем с которыми я сталкиваюсь и могу поделиться с вами, дорогой посетитель.
Для моих замечательных студентов есть специальный раздел, где они могут посмотреть всё, что им нужно для овладевания курсом математики.
Более того, в специальных разделах я публикую мои рецензии на просмотренные мной фильмы и игры.
Тригонометрические уравнения, вычисления
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы повторим тригонометрические уравнения и вычисления.
В начале урока мы вспомним определения прямой и обратной задачи для некоторой функции и повторим определения основных тригонометрических функций. Решим несколько простейших тригонометрических уравнений и более сложное уравнение с использованием замены переменной.
В конце урока мы вспомним формулы двойного и половинного аргумента, а также формулу универсальной тригонометрической подстановки и решим обобщенную задачу на эту тему.
http://babaev-an.ru/simple_trigonometric_equations.html
http://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/bpovtorenie-kursa-algebry-10-klassab/trigonometricheskie-uravneniya-vychisleniya