Что представляет собой уравнение эйнштейна

Уравнения Эйнштейна

Десять лет понадобилось Эйнштейну чтобы обобщить специальную теорию относительности (1905 г.) до общей теории относительности (1916 г.). Принцип эквивалентности позволил осознать, что гравитация как-то связана с искривлением самого пространства-времени. Кульминацией усилий по точной количественной формулировке данного факта являются уравнения Эйнштейна:

Они записаны с помощью математики, никогда прежде не появлявшейся в уравнениях физики — Римановой геометрии. Буквы с индексами есть не что иное как тензоры: \( \displaystyle R_<\mu \nu>\) — тензор Риччи, \( \displaystyle g_<\mu \nu>\) — метрический тензор, \( \displaystyle T_<\mu \nu>\) — тензор энергии-импульса. Само тензорное исчисление появилось всего несколькими годами ранее теории относительности.

Индексы \( \displaystyle\mu \) и \( \displaystyle \nu\) в уравнениях Эйнштейна могут принимать значения от единицы до четырех, соответственно тензоры можно представить матрицами 4х4. Поскольку они симметричны относительно диагонали, независимы друг от друга оказываются только десять компонент. Таким образом, в развернутом виде имеем систему из десяти нелинейных дифференциальных уравнений — уравнений Эйнштейна.

Задачей решения уравнений Эйнштейна является нахождение явного вида метрического тензора \( \displaystyle g_<\mu \nu>\), полностью характеризующего геометрию пространства-времени. Исходными данными являются тензор энергии-импульса \( \displaystyle T_<\mu \nu>\) и начальные/граничные условия. Тензор Риччи \( \displaystyle R_<\mu \nu>\) и скалярная кривизна Гаусса \( \displaystyle R\) являются функциями метрического тензора и его производных и характеризуют кривизну пространства-времени. Концептуально уравнения Эйнштейна можно представить как:

геометрия (левая часть) = энергия (правая часть)

Правая часть уравнений Эйнштейна это начальные условия в виде распределения масс (помним, \( \displaystyle E=mc^<2>\)), а левая это чисто геометрические величины. То есть уравнения говорят, что масса (энергия) влияет на геометрию пространства-времени.

Искривленная геометрия в свою очередь определяет траектории движения материальных тел. То есть согласно Эйнштейну — гравитация это и есть пространство-время. Просто оно в отличие от Ньютоновской теории не является статическим неизменным объектом, а может деформироваться, искривляться.

Метрический тензор — решение уравнений Эйнштейна — в общем случае разный в разных точках пространства, то есть является функцией координат. По-сути само пространство-время становится динамическим объектом (полем), аналогично другим физическим величинам типа электромагнитного поля.

Внешне уравнения Эйнштейна совсем не похожи на закон всемирного тяготения Ньютона:

Но в приближении малых масс и скоростей они повторяют результаты Ньютоновской теории. Из-за множества тензорных компонент аналитические вычисления крайне запутаны, благо сейчас все моделирование можно производить на компьютере.

В рамках ОТО существуют эффекты отсутствующие в Ньютоновской гравитации, например, увлечение систем отсчета вблизи вращающихся массивных тел или недавно экспериментально обнаруженные гравитационные волны.

Гравитация остается единственным полем для которого так и не построена соответствующая квантовая теория. Даже для кварков (составляющих нейтронов и протонов), теоретически предсказанных только в 1960-х, уже давно построена квантовая теория поля.

Это объясняется тем, что все физические величины обычно выражаются в виде функций от пространственных координат и времени \( \displaystyle x=f(t)\). Что делать когда само пространство \( \displaystyle x\) и время \( \displaystyle t\) теряют классический смысл? По-сути стоит задача построить квантовую теорию самого пространства-времени. Наивные подходы, вводящие минимальную длину и минимальный промежуток времени, несостоятельны вследствие относительности этих величин (изменении при преобразованиях Лоренца).

Среди физиков бытует мнение, что квантовая механика более тесно связана с гравитацией чем предполагалось ранее и их объединение приведет к качественно новой теории.

Уравнения Эйнштейна и его свойства Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Казакбаев Жандос Бектореевич

В статье рассматривается уравнение Эйнштейна . Общая теория относительности Эйнштейна, соединившая гравитацию со специальной теорией относительности, произвела революцию в наших представлениях о пространстве и времени. Выйдя за пределы законов Ньютона, она раскрыла перед нами Вселенную черных дыр, кротовых нор и гравитационных линз. Уравнение Эйнштейна с тензором энергии импульса материи является неоднородным нелинейным дифференциальным уравнением. Его решения определяют гравитационные поля материальной среды. В данной статье мы рассмотрим общий вид уравнения Эйнштейна и его свойства. Рассмотрена также краткая история создания общей теории относительности гравитационного поля .

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Казакбаев Жандос Бектореевич

Текст научной работы на тему «Уравнения Эйнштейна и его свойства»

Уравнения Эйнштейна и его свойства Казакбаев Ж. Б.

Казакбаев Жандос Бектореевич /КсЕакЬауеу 2капЛэ$ Ве1йотееУ1ск — магистрант, кафедра общей и теоретической физики, физико-технический факультет, Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева, г. Астана, Республика Казахстан

Аннотация: в статье рассматривается уравнение Эйнштейна. Общая теория относительности Эйнштейна, соединившая гравитацию со специальной теорией относительности, произвела революцию в наших представлениях о пространстве и времени. Выйдя за пределы законов Ньютона, она раскрыла перед нами Вселенную черных дыр, кротовых нор и гравитационных линз. Уравнение Эйнштейна с тензором энергии — импульса материи является неоднородным нелинейным дифференциальным уравнением. Его решения определяют гравитационные поля материальной среды. В данной статье мы рассмотрим общий вид уравнения Эйнштейна и его свойства. Рассмотрена также краткая история создания общей теории относительности гравитационного поля. Ключевые слова: уравнение Эйнштейна, гравитационное поле, пространство — время.

Нашей наукой сто лет назад было произведено неповторимое открытие в сфере естественных наук. Максвелл обьединил силы электричества и магнетизма, показав, что свет является проявлением такого единства. Это стало началом новой эры развитии науки и техники и новых теоретических поисков. Со временем, в 1905 г. Эйнштейн обьединил понятия пространства и времени, а через одиннадцать (1916 г.) лет он же показал, что Ньютоновская гравитация является проявлением этого обьединения, а именно описывается кривизной единого пространственно-временного многообразия. Так наука обогатилась гениальным открытием — ОТО. После создания ОТО возникла идея применить теорию к описанию Вселенной в целом [1]. Эйнштейн хотел построить единую теории поля на основе ОТО и исследовал эту теорию до конца жизни. В общем уравнения Эйнштейна — уравнения гравитационного поля в общей теории относительности, связывающие между собой метрику искривленного пространства — времени со свойствами заполняющей его материи.

Выглядят уравнения Эйнштейна следующим образом:

где — тензор Риччи, получающийся из тензора кривизны пространства — времени

посредством свёртки его по паре индексов.

Я — скалярная кривизна свёрнутая с дважды контравариантным метрическим тензором §цу и

тензором Риччи. цу -представляет собой тензор энергии — импульса материи, с — скорость света в вакууме, п — число Пи, С — гравитационная постоянная Ньютона. Тензор

у Яцу 0 § ЦУ называют тензором Эйнштейна.

1. Свойства уравнения Эйнштейна

Сформулируем в этом разделе основные общие свойства уравнений Эйнштейна —

Я у—ё^ у + А£^ у = —— Т у, которые необходимо иметь ввиду при конкретных задач:

1. Уравнения Эйнштейна представляют собой систему 10 нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно компонент римановой метрики § .

Физическую природу нелинейности можно пояснить следующим образом. Согласно основной идее ОТО гравитационное поле порождается любым видом энергии. Но гравитационное поле само обладает энергией [2]. Таким образом, гравитация может порождать саму себя, что и выражается нелинейностью уравнений. Отсюда, в частности, следует невыполнимость принципа суперпозиции: сумма двух решений уравнений Эйнштейна уже, в общем случае, не будет решением этих уравнений. Однако в случае слабых гравитационных полей, принцип суперпозиции приближенно выполняется.

2. Десять уравнений Эйнштейна удовлетворяют четырем тождествам, поэтому, на самом деле, независимых уравнений оказывается только шесть, из которых можно найти лишь шесть из десяти компонент метрики. Оставшийся произвол отражает свойство общей ковариантности ОТО: четыре из десят компонент метрики в каждой точке можно приписать произвольные значения за счет

надлежащего подбора четырех функций X = /(X) общих координатных преобразований. Таким образом, гравитационное поле в общем случае обладает шестью независимыми физическими степенями свободы. Иногда оставшиеся координатные степени свободы по аналогии с электромагнитной теорией называют калибровкой.

3. Прямая задача ОТО заключается в задании типа источника гравитационного поля и, как правило, типа его симметрии (аксиальная, сферическая, плоская, однородное пространство и т. д.). Для каждого типа симметрии, как правило, существует система координат, в которой метрика записывается наиболее просто. Составляя для такого максимально простого вида метрики систему уравнений Эйнштейна, мы получаем конкретную систему нескольких дифференциальных уравнений в частных производных или даже обыкновенных дифференциальных уравнений, которые затем необходимо решать относительно компонент метрики. Ввиду нелинейности уравнений, стандартные методы математической физики в большинстве случаев не работают, поэтому для интегрирования уравнений Эйнштейна часто приходится использовать специальные технические приемы [3].

4. Уравнения Эйнштейна вне источника, то есть в точках пространства-времени, где Т = 0, принимают следующий универсальный вид:

В отличие от электродинамики Максвелла ввиду нелинейности уравнений ККц У = 0 никакого

общего решения этих уравнений, аналогичного разложению свободного электромагнитного поля по плоским волнам, неизвестно.

5. Уравнения С = допускают другие эквивалентные формы записи.

6. С точки зрения последовательного применения принципа геометризации, ОТО не является законченной теорией, поскольку правая часть уравнений Эйнштейна — тензор энергии-импульса источника гравитации — остается негеометризованной. На это обстоятельство неоднократно обращал внимание сам Эйнштейн [4].

2. Вывод уравнений Эйнштейна из вариационного принципа

В 1916 г., через пару недель после публикации основополагающей работы Эйнштейна, в которой были впервые записаны уравнения ОТО, Д. Гильберт опубликовал статью, в которой эти уравнения были выведены из вариационного принципа [5]. Поэтому иногда уравнения гравитационного поля ОТО называются уравнения Эйнштейна и Гильберта. Для вывода уравнений Эйнштейна действие зададим в виде

Для вывода уравнений Эйнштейна необходимо варьировать выражение (2.1)

Некоторые известные выражения, которые мы будем использовать:

Три значения самого знаменитого уравнения Эйнштейна

Эйнштейн выводит СТО перед аудиторией; 1934.

Сотни лет в физике присутствовал непреложный закон, в котором никогда не сомневались: в любой реакции, происходящей во Вселенной, сохраняется масса. Неважно, какие ингредиенты использовать, какая реакция произошла, и что получилось – сумма того, с чего вы начинали, и сумма того, с чем вы оказывались, будут равными по массе. Но по законам специальной теории относительности масса не может быть сохраняющейся величиной, поскольку различные наблюдатели не согласятся по поводу того, какой энергией обладает система. Вместо этого Эйнштейн смог вывести закон, который мы используем и по сей день, управляемый одним из простых и наиболее мощных уравнений: E=mc 2 .

Ядерную ракету готовят к испытаниям в 1967. Ракета работает на преобразовании массы в энергию, E = mc 2 .

У самого знаменитого уравнения Эйнштейна всего три составляющих:

1. E, или энергия, полностью занимающая одну часть уравнения, и представляющая полную энергию системы.
2. m, масса, связанная с энергией через преобразовательный множитель.
3. c 2 , квадрат скорости света – нужный фактор, обеспечивающий эквивалентность массы и энергии.

Нильс Бор и Альберт Эйнштейн обсуждают множество тем дома у Пауля Эренфеста в 1925. Дебаты Бора с Эйнштейном были наиболее влиятельным фактором во время разработки квантовой механики. Сегодня Бор наиболее известен своим вкладом в квантовую физику, а Эйнштейн – за вклад в теорию относительности и эквивалентность энергии и массы.

Смысл этого уравнения изменил весь мир. Как писал сам Эйнштейн:

Из специальной теории относительности следовало, что масса и энергия – разные проявления одной вещи. Эта концепция была незнакома среднему человеку.

И вот три самых значимых следствия этого простого уравнения.

Кварки, антикварки и глюоны Стандартной модели обладают цветным зарядом, в дополнение ко всем другим свойствам вроде массы и электрического заряда. Не имеют массы только глюоны и фотоны; все остальные, даже нейтрино, обладают ненулевой массой покоя.

Даже у покоящихся масс есть присущая им энергия. В школе вы изучали все типы энергий – механическую, химическую, электрическую, кинетическую. Все эти виды энергий присущи движущимся или реагирующим объектам, и эти формы энергии можно использовать для выполнения работы, например, для запуска двигателя, свечения лампочки или перемалывания зерна в муку. Но даже обычная масса покоя обладает присущей ей энергией: и огромным количеством. Это ведёт к потрясающему следствию: гравитация, возникающая между двумя любыми массами в ньютоновой вселенной, тоже должна работать на основании энергии, эквивалентной массе согласно уравнению E = mc 2 .

Создание пар частиц из материи/антиматерии из чистой энергии (слева) – реакция полностью обратимая (справа), ведь материя и антиматерия могут аннигилировать, породив чистую энергию. Этот процесс сотворения и аннигиляции подчиняется уравнению E = mc 2 , и является единственным известным способом создания и уничтожения материи и антиматерии.

Массу можно преобразовать в чистую энергию. Это второе значение уравнения, и E = mc 2 сообщает нам, сколько точно энергии можно получить при преобразовании массы. На каждый килограмм массы, превращающейся в энергию, получится 9 × 10 16 Дж энергии, что эквивалентно 21 мегатонн ТНТ. Наблюдая за радиоактивным распадом, или реакциями деления или синтеза ядер, можно видеть, что итоговая масса оказывается меньше начальной; закон сохранения массы не работает. Но разница равняется количеству освобождённой энергии! Это работает для всех случаев, от распада урана и атомных бомб до ядерного синтеза в ядре Солнца и аннигиляции частиц материи/антиматерии. Уничтожаемая масса превращается в энергию, количество которой рассчитывается по формуле E = mc 2 .

Следы частиц, порождаемых высокоэнергетическими столкновениями на Большом адронном коллайдере, 2014. Композитные частицы распадаются на компоненты, которые рассеиваются в пространстве, но также появляются и новые частицы, благодаря энергии, доступной при столкновении.

Энергию можно использовать для создания массы практически из ничего – просто из чистой энергии. Последнее значение формулы наиболее выдающееся. Если взять два бильярдных шара и сильно столкнуть их вместе, то на выходе получится два бильярдных шара. Если взять фотон и электрон и столкнуть их вместе, то получится фотон и электрон. Но если столкнуть их с достаточно большой энергией, то получится фотон, электрон и новая пара частиц материи/антиматерии. Иначе говоря, можно создать две новые массивные частицы:

• частицу материи, например, электрон, протон, нейтрон, и т.п.,
• частицу антиматерии, например, позитрон, антипротон, антинейтрон и т.п.

которые появятся, только если вложить в эксперимент достаточно энергии. Именно так на ускорителях, таких, как БАК в ЦЕРН, ищут новые, нестабильные высокоэнергетические частицы (такие, как бозон Хиггса или верхний кварк): создавая новые частицы из чистой энергии. Получающаяся масса возникает из доступной энергии: m = E/c 2 . Это также означает, что время жизни частицы ограничено, то из-за принципа неопределённости Гейзенберга ей присуща неопределённость значения массы, поскольку δE δt

ℏ, и, следовательно, из уравнения Эйнштейна следует и соответствующая δm. Когда физики рассуждают о ширине частицы, они имеют в виду эту внутреннюю неопределённость массы.

Искривление пространства-времени гравитационными массами в картине мира ОТО

Эквивалентность энергии и массы также привела Эйнштейна к такому великому достижению, как общая теория относительности. Представьте, что у вас имеется частица материи и частица антиматерии, с одинаковыми массами покоя. Их можно аннигилировать, и они превратятся в фотоны с определённой энергией, точно по формуле E = mc 2 . Теперь представьте, что эта пара частица/античастица быстро двигается, будто бы упав к нам из глубокого космоса, а затем аннигилирует вблизи поверхности Земли. У этих фотонов окажется дополнительная энергия – не только E из E = mc 2 , но и дополнительная E, кинетическая энергия, приобретённая из-за падения.

Если два объекта из материи и антиматерии, находясь в покое, аннигилируют, они превратятся в фотоны совершенно определённой энергии. Если эти фотоны появятся после падения в гравитационном поле, энергия у них будет выше. Значит, должно существовать гравитационное красное или синее смещение, не предсказанное гравитацией Ньютона – иначе энергия бы не сохранялась.

Если энергия должна сохраняться, то гравитационное красное (и синее) смещения должны быть реальными. У гравитации Ньютона нет способа объяснить этот эффект, но в Эйнштейновской ОТО кривизна пространства означает, что падение в гравитационное поле добавляет вам энергии, а выход из гравитационного поля заставляет вас тратить энергию. Получается, что полная и общая взаимосвязь для любого движущегося объекта будет не E = mc 2 , а E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 (где p – импульс). И только обобщая всю информацию, включая в описание энергию, импульс и гравитацию, можно по-настоящему описать Вселенную.

Когда квант излучения покидает гравитационное поле, его частота испытывает красное смещение из-за сохранения энергии; когда он падает в поле, он должен испытывать синее смещение. А это имеет смысл, только если гравитация связана не только с массой, но и с энергией.

Величайшее уравнение Эйнштейна, E = mc 2 , является триумфом мощи и простоты фундаментальной физики. У материи есть присущая ей энергия, массу можно превратить (при определённых условиях) в чистую энергию, а энергию можно использовать для создания массивных объектов, не существовавших ранее. Такой метод размышлений даёт нам возможность открывать фундаментальные частицы, из которых состоит наша Вселенная, изобретать ядерную энергию и ядерное оружие, открывать теорию гравитации, описывающую взаимодействие всех объектов во Вселенной. Ключом к нахождению этого уравнения послужил скромный мысленный эксперимент, основанный на простом предположении: сохранении энергии и импульса. Остальное оказывается неизбежным следствием схемы работы Вселенной.