Что содержит обыкновенное дифференциальное уравнение

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Содержание:

Обыкновенные дифференциальные уравнения

При решении многих задач математики, техники, экономики и других отраслей науки бывает трудно установить закон, связывающий искомые и известные переменные величины. Но удается установить связь между производными или дифференциалами этих переменных, которая выражается уравнениями или системами уравнений. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Термин «дифференциальное уравнение» введен в 1676 году В. Лейбницом.

Мы рассмотрим только уравнения с функциями одной переменной и обычными производными, которые называют обычными дифференциальными уравнениями.

Основные понятия о дифференциальных уравнениях

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и еепроизводные или дифференциалы разных порядков, то есть уравнение
(7.1)

Важно понять, что искомая функция в дифференциальном уравнении входит под знак дифференциала или под знак производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение.

Так, уравнение y’ – 2 xy 2 + 5 = 0 является дифференциальным уравнением первого порядка, а уравнения y» + 2 y’ – y – sin x = 0 — дифференциальным уравнением второго порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения (7.1) называется такая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение (7.1) превращает его в тождество.

Например, для дифференциального уравнения
y’- 2 x = 0 (7.2)
решением является функция y = x 2 . Найдем производную y’= 2x и подставим в уравнение, получим: 2x – 2x = 0, 0 ≡ 0.

Следует заметить, что y = x 2 не единственное решение уравнения. Это уравнение имеет бесконечное множество решений, которые можно записать так: y = x 2 + C.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее первую производную:
F (x, y, y’) = 0. (7.3)

Поскольку производную можно записать в виде отношения дифференциалов, то в уравнение производная может не входить, а будут входить дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Если уравнение (7.2) решить относительно у’, то оно будет иметь вид:
y’= f (x, y) или . (7.4)

Простые примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений. Это мы видим на примере уравнения (7.2). Легко убедиться также, что дифференциальное уравнение имеет решениями функции y = Cx, а дифференциальное уравнение — функции где C — произвольное число.

Как видим, в решение указанных дифференциальных уравнений входит произвольное число C. Предоставляя постоянной C различные значения, будем получать различные решения дифференциального уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (7.3) называется функция
у = φ (х, С), (7.5)
которая зависит от одной произвольной постоянной и удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольном значении C.

Если функция (7.5) выражается неявно, то есть в виде
Ф (х, у, С) = 0, (7.6)
то (7.6) называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (7.3) называется такое решение, которое получается из общего решения (7.5) при некотором конкретном значении постоянной C.

Ф (х, у, С₀) называется частным интегралом дифференциального уравнения.

На практике при решении конкретных задач часто приходится находить не все решения, а решение, которое удовлетворяет определенным начальным условиям. Одной из таких задач является задача Коши, которая для дифференциального уравнения первого порядка формулируется так: среди всех решений дифференциального уравнения (7.3) найти такое решение y, которое при заданном значении независимой переменной x = x₀ равна заданному значению y₀ , то есть y (x₀) = y₀ или (7.7)

Условие (7.7) называется начальным условием решения.

Покажем на примере, как найти частное решение дифференциального уравнения, когда известно общее решение и задано начальное условие.

Мы видим, что дифференциальное уравнение имеет общее решение y = Cx. Зададим начальное условие . Подставим эти значения в общее решение, получим 6 = 2С, откуда С = 3. Следовательно, функция y = 3x удовлетворяет и дифференциальное уравнение, и начальное условие.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение (7.4) имеет
решение, дает теорема Коши.

ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения). Если функция f (x, y) и ее частная производная определены и непрерывные в области G, которая содержит точку M0 (x0; y0) , то существует единственное решение y = φ (x) уравнения (7.4), которое удовлетворяет начальному условию: y (x₀) = y₀.

Теорема Коши дает достаточные условия существования единого решения дифференциального уравнения (7.4). Заметим, что в условии теоремы не требуется существования частной производной .

График произвольного частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению отвечает семья кривых. Так мы проверили, что уравнение имеет общее решение y = Cx, то ему соответствует семья прямых,
которые проходят через начало координат (рис. 1).

Уравнение имеет общее решение, ему соответствует семья равносторонних гипербол (рис. 2).

Если задано начальное условие то это означает, что задана точка M₀ (x₀;y₀), через которую должна проходить интегральная кривая, отвечающая искомому частному решению. Таким образом, отыскание частного решения дифференциального уравнения по заданному начальному условию геометрически означает, что из семьи
интегральных кривых мы выбираем проходящую через точку M₀ (x₀; y₀).

Надо заметить, что нахождение решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения. При этом операцию интегрирования функций называют квадратурой.

Общего метода решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует. Рассмотрим некоторые методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Определение. Уравнение вида
f₁ (y) dy = f₂ (x) dx, (7.8)
где f₁ (y) и f₂ (x) — заданные функции, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

В этом уравнении каждая из переменных находится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал. Уравнение dy = f (x) dx является частным случаем уравнения (7.8). Чтобы решить уравнение (7.8), надо проинтегрировать обе его части:
.

Понятно, что произвольную постоянную С можно записывать в любой части равенства.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:
, удовлетворяющее начальному условию

Решение. Проинтегрируем левую и правую части уравнения, причем для удобства потенцирования, произвольную постоянную запишем в виде ln |C| получим:


— это общее решение дифференциального уравнения.
Подставляя в общее решение начальное условие, найдем С: 2 = С.
Итак,
является частным решением данного уравнения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Уравнение вида
f1 (x) f2 (y) + g1 (x) g2 (y) = 0 (7.9)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

В этом уравнении переменные еще не разделены, но, поделив обе части уравнения на произведение f₂ (y) g₁ (x), получим уравнение с разделенными переменными:

Интегрируя это уравнение, запишем
.

Получили общий интеграл данного уравнения.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение
x (y + 1) dx – (x 2 + 1) ydy = 0.

Решение. Поделим обе части этого уравнения на (y + 1) (x 2 + 1), после чего получим
.

Интегрируя, получим

— общий интеграл дифференциального уравнения.

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения (1 + x 2 ) dy + ydx = 0, удовлетворяющее начальному условию y (0) = 1.

Решение. Отделим переменные, поделив уравнение на y ⋅ (1 + x 2 ), и проинтегрируем данное уравнение:

Получили общий интеграл дифференциального уравнения.

Используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С:
ln 1 + arctg 0 = C, откуда C = 0.

Найденную постоянную подставим в общий интеграл и отыщем частное решение:
откуда

Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция двух переменных f (x, y) называется однородной n- го измерения, если выполняется условие

Например, f (x, y) = x 2 + y 2 , f (tx, ty) = t 2 f (x 2 + y 2 ) — однородная функция второго измерения.

Определение. Дифференциальное уравнение
y ‘= f (x, y) (7.10)
называется однородным, если функция f (x, y) однородная нулевого измерения.

Покажем, что это уравнение можно свести к уравнению с разделенными переменными.
Рассмотрим функцию f (tx, ty). Сделаем замену будем иметь:

Тогда уравнение (7.10) запишется в виде (7.11)
В общем случае переменные в однородном уравнение не разделяются сразу. Но, если ввести вспомогательную неизвестную функцию u = u (x) по формуле
или y = xu, (7.12)
то мы сможем превратить однородное уравнение в уравнение с разделенными переменными.

Из формулы (7.12) найдем y’ = u + xu’ и уравнение примет вид: u + xu’ = φ (u),
то есть , откуда .

После интегрирования получим
Отсюда находим выражение для функции u, возвращаемся к переменной y = xu и получим решение однородного уравнения.

Чаще всего не удается найти функцию u явно выраженной, тогда, после интегрирования, в левую часть следует подставить вместо u.
В результате получим решение уравнения в неявном виде.

Пример 1. Найти решение однородного уравнения

Решение. Заменой y = xu сведем заданное уравнение к уравнению
или .

Отделяя переменные, найдем
откуда или , то есть
.
Возвращаясь к переменной y, получим общее решение: .

Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое содержит искомую функцию и ее производную в первой степени без их произведения:
y’ + P (x) y = Q (x). (7.13)

Здесь P (x), Q (x) — известные функции независимой переменной x. Например, y’ + 2 xy = x 2 .

Если Q (x) = 0, то уравнение (7.13) называется линейным однородным и является уравнением с разделяющимися переменными.

Если Q (x) ≠ 0, то уравнение (7.13) называется линейным неоднородным, которое можно решить несколькими способами.

Рассмотрим метод Бернулли, с помощью которого уравнение (7.13) можно свести к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Решение дифференциального уравнения (7.13) ищем в виде y = u (x) v (x) или y = uv, (7.14)
где u (x), v (x) — неизвестные функции. Одну из этих функций можно взять произвольную, а другая определяется из уравнения (7.13).

Из равенства y = uv найдем производную y’:
y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.

Подставим y и y’ в уравнение (7.13):
u’v + uv’ + P (x) ⋅ u⋅ v = Q (x) или u’v + u (v’ + P (x) ⋅ v) = Q (x).

Выберем функцию v такой, чтобы v’ + P (x) v = 0. (7.15)
Тогда для отыскания функции u получим уравнение:
u’v = Q (x). (7.16)

Сначала найдем v из уравнения (7.15).
Отделяя переменные, имеем , откуда

Под неопределенным интегралом здесь будем понимать какую-то одну первообразную от функции P (x), то есть v будет определенной функцией от x.

Зная v, находим u из уравнения (7.16):

откуда

Здесь мы уже берем для u все первообразные.

Найденные функции u и v подставляем в (7.14) и получаем общее решение линейного дифференциального уравнения:
(7.17)

При решении конкретных примеров проще выполнять эти выкладки, чем применять громоздкую формулу (7.17).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Решение ищем в виде y = uv, тогда y’= u’ ⋅ v + u⋅ v’.
Подставим y и y’ в уравнение: или
. (7.18)

Выражение, стоящее в скобках, приравниваем к нулю, имеем
или

Отделим переменные, домножив обе части уравнения на , тогда .
После интегрирования, получим ln |v| = ln |x| (здесь ограничимся одной первообразной), откуда v = x.
Подставим v = x в уравнение (7.18):

Общее решение запишется:
y = x (x + C) = x 2 + Cx.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения который удовлетворяет начальному условию y (0) = 0.

Решение. Заданное уравнение — это линейное неоднородное уравнение первого порядка, решение которого ищем в виде y = u⋅v.
Тогда

Подставим v в уравнение и найдем u:

Общее решение дифференциального уравнения будет:

Подставляем начальные условия в найденное решение и находим С:

Из общего решения получаем частное решение
.

Дифференциальное уравнение Бернулли

Определение. Уравнения вида
(или )
называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Данное уравнение отличается от уравнения (7.13) только множителем y» (или x») в правой части. Для того, чтобы права часть данного уравнения была такой, как в (7.13), разделим его левую и праву часть на y»:

Сделаем замену:
Домножим левую и правую части полученного уравнения на (n + 1) и, используя замену, получим:

Мы получили линейное дифференциальное уравнение относительно новой переменной

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + y = y 2 ln x.

Решение. .
Сделаем замену Тогда

Данное уравнение решим, сделав замену z = u (x) ⋅ v (x).

Выбираем функцию v (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, и эта функция была бы частным решением уравнения

Тогда .

Проинтегрировав правую часть этого уравнения по частям, получим , а при y -1 = z = uv, имеем

Обыновенное дефференциальное уравнение

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется любое соотношение, связывающее независимую переменную искомую функцию и производные искомой функции до некоторого порядка включительно.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

Здесь — известная функция, заданная в некоторой области

Число т. е. наивысший из порядков производных, входящих в (1), называется порядком уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. уравнения, интегрируемые в квадратурах

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Основные понятия и определения

Понятие об уравнении первого порядка, разрешенном относительно производной. В соответствии со сказанным во введении, уравнение первого порядка имеет вид

В этой главе мы будем рассматривать уравнение, разрешенное относительно производной:

Наряду с этим уравнением мы всегда будем рассматривать перевернутое уравнение

используя последнее в окрестности тех точек, в которых обращается в бесконечность.

Во многих случаях оказывается целесообразным «место уравнении (2) и (2′) рассматривать одно равносильное им дифференциальное уравнение

Обе переменные и входят в это уравнение уже равноправно, и любую из них мы можем принять за независимую переменную.

Умножая обе части уравнения (3) на некоторую функцию получаем более симметричное уравнение:

где Обратно, всякое уравнение вида (4) можно переписать в виде уравнений (2) или (2′), разрешая его относительно или так что уравнение (4) равносильно следующим двум уравнениям:

Иногда уравнение записывают *з так называемой симметрической форме:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Решение уравнения. Предположим, что правая часть уравнения (2), определена на некотором подмножестве вещественной плоскости Функцию определенную в интервале мы будем называть решением уравнения (2) в этом интервале*, если:

1. Существует производная для всех значений из интервала (Отсюда следует, что решение представляет собою функцию, непрерывную ею всей области определения).
2. Функция обращает уравнение (2) в тождество:

справедливое для всех значений из интервала Это означает, что при любом из интервала точка принадлежит множеству и

Так как наряду с уравнением (2) рассматривается перевернутое уравнение (2′), то и решения этого перевернутого уравнения естественно присоединять к решениям уравнения (2).

В этом смысле в дальнейшем мы будем для краткости называть решения уравнения (2′) решениями уравнения (2).

Примеры с решением

Пример 1.

является решением уравнения

в интервале ибо она определена и дифференцируема в эгои интервале, и, подставляя се в уравнение (9), получаем тождество:

справедливое при всех значениях

Пример 2.

Функция есть решение равнения в интервале

Пример 3.

является решением уравнения

в интервале

Иногда функцию обращающую уравнение (2) в тождество (7), т. е. решение уравнения (2), называют интегралом этого уравнения. Мы будем употреблять термин интеграл только в смысле п. 16.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих задач нужно найти функции y₁ = y₁ (x), y₂ = y₂ (x), . y_n = y_n (x), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих независимую переменную x , искомые y₁ , y₂ , . y_n и их производные.

Пример. Пусть материальная точка массы m имеет криволинейную траекторию движения в пространстве. Определить положение точки в любой момент времени t, когда на нее действует сила .

Положение точки в любой момент времени t определяется ее координатами x, y, z; следовательно, x, y, z являются функциями от t. Проекциями вектора скорости точки на оси координат будут производные x’ , y’ , z’.
Положим, что сила, а соответственно и ее проекции F_x, F_y, F_z зависят от времени t, от положения x, y, z точки и от скорости движения точки, то есть от . Искомыми неизвестными функциями в этой задаче будут три функции x = x (t), y = y (t), z = z (t). Эти
функции определяются из уравнений динамики:

Мы получили систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. В случае движения, когда траектория является плоской кривой, лежит, например, в плоскости Оxy, получим систему двух уравнений для определения неизвестных функций x (t) и y (t):

Рассмотрим простейшие системы дифференциальных уравнений.

Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Система n уравнений первого порядка с n неизвестными функциями имеет вид:
(7.38)

где x — независимая переменная, y₁, y₂, . y_n — неизвестные функции.

Если в левой части уравнений системы стоят производные первого порядка, а правые части уравнений вовсе не содержат производных, то такая система уравнений называется нормальной.

Решением системы называется совокупность функций y₁, y₂, . y_n, которые превращают каждое уравнение системы в тождество относительно x.

Задача Коши для системы (7.38) состоит в нахождении функций y₁, y₂, . y_n , удовлетворяющих систему (7.38) и заданные начальные условия:
(7.39)

Интегрирование системы (7.38) делают следующим образом. Дифференцируем по x первое уравнение системы (7.38):

Заменим производные
их выражениями f₁, f₂, . f_n из уравнений системы (7.38), получим уравнение

Дифференцируем полученное уравнение и, подставив в это равенство значения производных из системы (7.38), найдем

Продолжая дальше таким образом, получим

В результате получаем следующую систему уравнений:
(7.40)

Из первых (n-1) уравнений определим y₂, y₃, . y_n:
(7.41)

и подставим их значения в последнее уравнение системы (7.40) для определения y₁:

Продифференцируем это выражение (n-1) раз, определим
как функции от x, C₁, C₂, . C_n. Подставим эти функции в (7.41), найдем
(7.43)

Для того, чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям, остается только найти значение произвольных постоянных из уравнений (7.42) и (7.43) так, как мы это делали для одного дифференциального уравнения.

Пример 1. Проинтегрировать систему

когда заданы начальные условия
Решение. Дифференцируем по x первое уравнение, имеем:
. Подставляем сюда значение и из системы, получим

Из первого уравнения системы найдем и подставим в полученное нами уравнение:
или

Общим решением этого уравнения является
(*)
и тогда (**)

Подберем постоянные С₁ и С₂ так, чтобы выполнялись начальные условия. На основании (*) и (**) имеем:
1 = С₁ – 9; 0 = С₂ – 2С₁ + 14, откуда С₁ = 10, С₂ = 6.
Таким образом, решением системы, которое удовлетворяет заданным начальным условиям, будет:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Система дифференциальных уравнений:
(7.44)
где коэффициенты a_ij — постоянные числа, t — независимая переменная, x₁ (t), . x_n (t) —
неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решать путем сведения к одному уравнению n-го порядка, как это было показано выше. Но эту систему можно решить и другим способом. Покажем, как это делается.

Будем искать решение системы (7.44) в виде:
(7.45)

Надо определить постоянные α₁, α₂, . α_n и k так, чтобы функции (7.45) удовлетворяли систему (7.44). Подставим функции (7.45) в систему (7.44):

Сократим на e kt и преобразуем систему, сведя ее к такой системе:
(7.46)

Это система линейных алгебраических уравнений относительно α₁, α₂, . α_n. Составим определитель системы:

Мы получим нетривиальные (ненулевые) решения (7.45) только при таких k, при которых определитель превратится в ноль. Получаем уравнение n-го порядка для определения k:

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (7.44).

Рассмотрим отдельные случаи на примерах:

1) Корни характеристического уравнения действительны и различны. Решение системы записывается в виде:

Пример 2. Найти общее решение системы уравнений:

Решение. Составим характеристическое уравнение:
или k 2 – 5k + 4 = 0, корни которого k₁ = 1, k₂ = 4.

Решение системы ищем в виде

Составим систему (7.46) для корня k₁ и найдем и :
или

Откуда Положив получим
Итак, мы получили решение системы:

Далее составляем систему (7.46) для k = 4:

Откуда
Получим второй решение системы:
Общее решение системы будет:

2) Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные:

k₁ = α + iβ, k₂ = α – iβ. Этим корням будут отвечать решения:

(7.47)

(7.48)

Можно доказать также, что истинные и мнимые части комплексного решения также будут решениями. Таким образом, получим два частных решения:
(7.49)
где — действительные числа, которые определяются через .

Соответствующие комбинации функций (7.49) войдут в общий решение системы.

Пример 3. Найти общее решение системы

Решение. Составляем характеристическое уравнение:
или k 2 + 12k + 37 = 0, корни которого k₁ = –6 + i, k₂ = –6 – i .

Подставляем поочередно k₁, k₂ в систему (7.46), найдем

Запишем уравнение (7.47) и (7.48) для наших данных

Перепишем эти решения в таком виде:

За частные решения можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части:

Общим решением системы будет

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Дифференциальное уравнение обыкновенное

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ обыкновенное, уравнение, содержащее искомую функцию одной независимой переменной, её производные различных порядков и саму независимую переменную. Точнее, обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида (1)

относительно функции х(t) переменной t, где Ф — известная функция от n + 2 переменных, а х’, х», . х(n) обозначают производные функции х соответствующих порядков. Такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка. Эти уравнения называют обыкновенными дифференциальными уравнениями с тем, чтобы отличить их от дифференциальных уравнений с частными производными. Как для самой функции х, так и для процесса нахождения этой функции используется термин «решение дифференциального уравнения» (иногда процесс нахождения решения называют «интегрированием дифференциального уравнения»). Говорят, что дифференциальное уравнение n-го порядка (1) является разрешённым относительно старшей производной, если оно записано в виде (2)

Реклама

Простейшие дифференциальные уравнения появились в работах И. Ньютона: задача о нахождении первообразной (неопределённого интеграла) х(t) для данной функции f(t) эквивалентна решению уравнения х’(t) = f(t). Термин «дифференциальное уравнение» предложил Г. В. Лейбниц (1676).

Пример обыкновенного дифференциальное уравнения даёт 2-й закон Ньютона, описывающий движение по прямой материальной точки под действием внешней силы. Если m — масса точки, х(t) — её текущая, изменяющаяся во времени t координата на прямой, а F — приложенная к точке сила (зависящая, вообще говоря, от времени, положения точки и её скорости), то закон движения х(t) определяется дифференциальным уравнением

Простейшее дифференциальное уравнение х’ = 0, которое обращает в тождество любая постоянная функция х(t) = С, показывает, что дифференциальное уравнение (2), вообще говоря, имеет бесконечно много решений. Вся совокупность решений дифференциального уравнения (2), как правило, может быть записана в виде функции х = х (t, С₁, . , C_n), содержащей n параметров (так называемых произвольных постоянных) С₁, . , C_n и называемой общим решением дифференциального уравнения. При любом конкретном выборе числовых значений этих n параметров получается так называемое частное решение дифференциального уравнения (2). Например, уравнению гармонических колебаний х» + ω 2 х = 0, где ω — заданное положительное число, удовлетворяет любая функция х(t) = Asin(ωt + φ), описывающая периодические колебания по времени t с периодом φ и произвольными амплитудой А и фазой φ, играющими роль произвольных постоянных.

Иногда общее решение любого дифференциального уравнения (2) удаётся записать с помощью явной зависимости от t, содержащей алгебраические операции, элементарные функции и n произвольных постоянных. Так, известно, что общее решение так называемого линейного дифференциального уравнения n-го порядка

с постоянными коэффициентами α ≠ 0, α _n-1, . α₁, α₀ имеет вид

где λ1, λ2, . λn — корни характеристического уравнения α_nλ_n + α_n-1λ_n-1 + . + α₁λ + α₀ = 0. Однако такие формулы удаётся получить лишь в исключительных случаях. Это связано с тем, что набор элементарных функций является недостаточным для этих целей. Более того, в связи с дифференциальным уравнением появились новые функции, которые, в отличие от элементарных, называют специальными функциями.

Поскольку дифференциальное уравнение (2) имеет бесконечное множество решений, можно искать его решения, подчинённые одновременно дополнительным условиям. Особенно важны такие дополнительные условия, при выполнении которых выделяется единственное решение дифференциального уравнения (2).

Начальной задачей (Коши задачей) для дифференциального уравнения (2) называется задача отыскания функции х(t), удовлетворяющей, помимо дифференциального уравнения (2), набору начальных условий (4)

где t₀ — фиксированное начальное значение аргумента t, а, а₀, а₁, а₂, . , a_n-1 — заданные числа (начальные значения). Если f — всюду определённая дифференцируемая функция n + 1 переменных, то задача Коши (2), (4) при любом начальном значении аргумента и любых начальных значениях однозначно разрешима, т. е. имеет, и притом единственное, решение. Для 2-го закона Ньютона (3) это означает, что если в начальный момент времени t₀ заданы исходное положение точки х(t₀) и её начальная скорость х’(t₀), то движение точки х(t) определяется однозначно.

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка

где функция f определена и дифференцируема на всей плоскости (t, х), геометрически представляется однопараметрическим семейством гладких кривых х = х(t, С), где С — произвольная числовая постоянная, которые без самопересечений и взаимопересечений покрывают всю плоскость. Так, общим решением уравнения экспоненциального роста х’ = λх является семейство х = Сехр(λt). Другими словами, через каждую точку (t₀, х₀) плоскости проходит, и притом единственная, интегральная кривая — график решения дифференциального уравнение (5) с начальным условием х (t₀) = х₀ это частное решение соответствует значению параметра С, определяемому из соотношения х₀ = х(t₀,С). Любая интегральная кривая х=х(t) дифференциального уравнения (5) в произвольной точке (t, х(t)) имеет касательную, угловой коэффициент которой равен f (t, х(t)).

К дифференциальному уравнению (2) можно присоединять и иного вида дополнительные условия, в которых, например, участвуют, в отличие от начальных условий (4), значения неизвестной функции х(t) при различных значениях аргумента. Таковы, например, краевые условия

где t₁, t₂, . t_n — заданные значения аргумента, а а₁, а₂, . , а_п — фиксированные числа, или

Отыскание решения дифференциального уравнения (2), удовлетворяющего некоторым краевым условиям подобного типа, называют краевой задачей для дифференциального уравнения (2). Например, ответ на вопрос, может ли материальная точка, движущаяся согласно закону Ньютона по прямой, в заранее предписанные моменты времени t₀ и Т оказаться в фиксированных положениях х₀ и х_Т на этой прямой, сводится к выяснению существования решения уравнения (3) с краевыми условиями

т. е. к разрешимости краевой задачи (3), (6). Ответ на вопрос о существовании решения краевой задачи часто вызывает серьёзные трудности.

Наряду с дифференциальным уравнением вида (2) рассматриваются системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7)

Здесь у₁, у₂, . y_n неизвестные функции одного и того же аргумента t, а f₁, f₂, … f_n — заданные функции n + 1 аргумента. Такая система называется системой n-го порядка. Решением системы дифференциального уравнения (7) является любая совокупность n функций у₁(t), у₂(t), . y_n(t) аргумента t, обращающих одновременно все соотношения (7) в тождества. Если ввести вектор y = (y₁, y₂, … y_n) и вектор-функцию f(t,y) = (f₁(t,y), f₂(t,y), … f_n(t,y)) то систему дифференциальных уравнений (7) можно записать в векторной форме (8)

её решением будет вектор-функция у = y(t) = (y₁(t), y₂(t),… y_n(t)). Общее решение системы дифференциальных уравнений (8) — вектор-функция у = у(t,С₁. С_n), содержащая n произвольных постоянных С₁. С_n. Каждое частное решение дифференциальных уравнений (8) можно интерпретировать как кривую в (n + 1)- мерном пространстве (t, у₁, у₂, . y_n).

Часто рассматриваются линейные системы дифференциальных уравнений, которые в векторной форме записываются в виде

(здесь А(t) — заданная n х n матрица, элементами которой являются функции, F(t) — известная n-мерная вектор-функция), и автономные системы дифференциальных уравнений — системы вида (7), для которых правые части не зависят явно от переменной t.

Начальная задача (задача Коши) для системы дифференциальных уравнений (7) заключается в отыскании такого её решения, которое дополнительно удовлетворяет набору начальных условий (9)

где t₀ — фиксированное начальное значение аргумента, а (а₁, а₂, . а_n) — набор заданных чисел (начальное значение решения). Если все входящие в систему (7) функции f₁, f₂, . , f_n всюду определены и дифференцируемы, то задача Коши (7), (9) однозначно разрешима, т. е. имеет единственное решение. Для системы дифференциальных уравнений (7) можно ставить и краевые задачи, в которых дополнительные условия накладываются на значения неизвестных функций при разных значениях независимой переменной.

Если при решении любого дифференциального уравнения (2) ввести новые неизвестные функции переменной t

то оно сводится к системе дифференциальных уравнений (7) частного вида

Поскольку решения уравнения (2) или системы (7) обычно невозможно записать явно с помощью известных функций, возникает проблема выявления свойств решений дифференциальных уравнений (периодичности, ограниченности, положительности, колеблемости, монотонности, поведения при неограниченном росте аргумента и т. д.) без знания представлений решений в виде формул, непосредственно на основе анализа только правых частей этих дифференциальных уравнений. Такими вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений, основоположником которой был А. Пуанкаре.

Фундаментальным и практически значимым разделом дифференциальных уравнений является теория устойчивости, ведущая своё начало от работ А. М. Ляпунова. Пусть изучение конкретной проблемы приводит к «эталонной» задаче Коши (7), (9), решение у(t) которой определено на бесконечном промежутке времени t ≥ t₀. В прикладных проблемах (например, в задачах управления движением) как начальные значения (9) решения, так и правые части уравнений (7) принципиально не могут быть указаны абсолютно точно, малые погрешности (возмущения) в их определении неизбежны, поэтому «реальное» решение у*(t) будет отличаться от решения «эталонной» задачи и возникает вопрос, как влияют малые возмущения в данных задачи Коши на отклонение «реальных» решений у*(t) от эталонного решения у(t). Если малые возмущения начальных значений (9) приводят к малым отклонениям любого «реального» решения у*(t) от решения у(t) при всех t ≥ t₀, то решение у(t) называется устойчивым по Ляпунову и его можно (с достаточной степенью точности) использовать в качестве «эталонного» решения рассматриваемой практической задачи. В механике, физике, технике широко используются условия, обеспечивающие устойчивость по Ляпунову положений равновесия или стационарных режимов. Если малые погрешности в правых частях уравнений (7) приводят к малым отклонениям любого «реального» решения у*(t) от решения у(t) при всех t ≥ t₀, то решение у(t) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях. Такое решение можно использовать в качестве «эталонного» в задаче, когда, например, не удаётся учесть флуктуации сил, действующих на движущееся тело.

Любой реальный объект имеет специфические характеристики, которые описываются определёнными параметрами. Поэтому в его математическую модель должен входить (векторный) параметр ε = (ε₁, . , ε_k), так что вместо системы дифференциальных уравнений (8) следует рассматривать систему у’ = f (t, у, ε). Значения этих параметров могут быть известны неточно, и возникает вопрос о нахождении условий, обеспечивающих устойчивость решений по отношению к малым возмущениям параметров. Более общий характер имеет задача выяснения зависимости решений от изменения параметров и, в частности, нахождения так называемых бифуркационных значений параметров, при прохождении которых кардинально меняются свойства решений. Иногда уравнение у’ = f (t, у, ε) имеет простое решение при ε = 0. В этом случае для решения уравнения при малых ε≠0 используются асимптотические методы, в частности возмущений теория.

В реальных прикладных, прежде всего технических, вопросах часто важна не только качественная, но и количественная информация о решении дифференциальных уравнений, нужно знать (с достаточной точностью) значения решения при различных значениях аргумента. Поэтому большое внимание уделяется численным методам решения дифференциальных уравнений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения допускают разнообразные обобщения. В дифференциальном уравнении (5) предполагается, что значения функции х(t) и её производной х’(t) берутся при одном и том же значении t. Уравнение х’(t) = f (t, t — τ, х(t), х (t — τ)), где присутствуют значения неизвестной функции при различных значениях аргумента t и t — τ, τ ≠ 0, называется дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом. Задачами изучения дифференциального уравнения х’ = f (t, х, u), где u — так называемый управляющий параметр, в качестве которого выбираются функции u = u(t), подчинённые различным условиям, занимается теория систем управления. Интенсивно развивается возникшая на базе обыкновенных дифференциальных уравнений теория динамических систем. Аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений изучает свойства решений в случае, когда в уравнении (2) участвуют комплексные функции комплексного переменного. К функциональному анализу примыкает так называемая теория абстрактных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Практическое значение дифференциальных уравнений состоит в том, что часто объективные законы в естествознании, социально-экономических науках и технике удаётся записать в форме дифференциальных уравнений и эти уравнения, таким образом, оказываются адекватным средством для количественного описания этих законов. Например, вычисление траекторий космических полётов осуществляется путём изучения и решения дифференциальных уравнений. Хорошо известно предсказание Дж. К. Адамса (1843-45) и У. Леверье (1846) существования планеты Нептун, осуществлённое с помощью дифференциальных уравнений и лишь затем подтверждённое прямыми астрономическими наблюдениями немецкого астронома И. Галле (1846).

Лит.: Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970; Эрроусмит Д. К., Плейс К. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1986; Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 6-е изд. М.; Ижевск, 2001; Боровских А. В., Перов А. И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.; Ижевск, 2004.