Алгаритм решения уравнении
Алгаритм решения уравнении для учащихся начальных классов.
Просмотр содержимого документа
«Алгаритм решения уравнении»
Алгоритм решения уравнений на нахождение уменьшаемого.
уменьшаемое, вычитаемое, разность
Назови, что известно
вычитаемое 4, разность 6.
Назови, что неизвестно
чтобы найти неизвестное уменьшаемое надо к разности 6 прибавить вычитаемое 4
в первую запись вместо х запиши полученное число
Сосчитай, чему равна левая часть, посмотри, равна ли она правой части
уравнение решено верно
У вас получилась запись: 4 6
вычитаемое разность
Х
– 4 = 6
Х
= 6 + 4
10 – 4 = 6 ? (уменьшаемое)
Алгоритм решения уравнений на нахождение вычитаемого.
уменьшаемое, вычитаемое, разность
Назови, что известно
уменьшаемое 8, разность 3
Назови, что неизвестно
чтобы найти неизвестное вычитаемое надо из уменьшаемого 8 вычесть разность 3.
в первую запись вместо у запиши полученное число
сосчитай, чему равна левая часть, посмотри, равна ли она правой части
уравнение решено верно
У вас получилась запись: вычитаемое 3
? разность
8 
– у = 3
8 – 5 = 3 уменьшаемое
Алгоритм решения уравнений на нахождение слагаемого.
1 слагаемое, 2 слагаемое, сумма
Назови, что известно
1 слагаемое – 6, сумма — 9
Назови, что неизвестно
Чтобы найти неизвестное 2 слагаемое надо из суммы 9 вычесть 1 слагаемое 6
в первую запись вместо у запиши полученное число
сосчитай, чему равна левая часть, посмотри, равна ли она правой части
уравнение решено верно
У вас получилась запись:
6 + у = 9 1 слагаемое 2 слагаемое
у
= 9 – 6 6 ?
у
= 3
9 = 9 9 сумма (целое)
Уравнение — математическое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами (числами), верное только для определённых наборов этих величин.
Неизвестные числа обозначаются латинскими буквами Х (икс) и У (игрек)
Х
+ 5 = 9
левая часть правая часть
Решить уравнение – это значит найти неизвестное число (неизвестную величину). Если подставить его в уравнение вместо буквы, то должно получиться верное равенство.
Исследовательская работа «Алгоритм решения уравнений»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Алгоритм решения уравнений»
Введение. Актуальность, проблема, цель, гипотеза, задачи и методика исследования……………………………………………………………. 3
Анализ учебной литературы с целью поиска правила или алгоритма решения уравнений с одним неизвестным в несколько действий ……………………………………………………………………………….5
Поиск алгоритма …………………………………. 6
Как пользоваться алгоритмом …………………………………………….7
Применение алгоритма при решении уравнений ………………………..8
Одно из важнейших математических умений, которым должны овладеть учащиеся школы, — умение решать уравнения. Корень уравнения находят в одно или более действий, многие текстовые задачи решаются алгебраическим способом, в уравнении могут участвовать целые, рациональные и другие числа, можно сделать вывод, что уравнения одновременно сами по себе являются задачами и способами решения задач, умение решать которые необходимы всем учащимся школы. В этом видится актуальность темы.
В каждом классе есть ученики, которые, несмотря на тщательную работу, ошибаются в нахождении корня уравнения. Ошибки в вычислениях для данного исследования неактуальны, так как они достаточно редко становятся причиной неверного решения. Простые уравнения, то есть уравнения на нахождение одного из компонентов арифметического действия, решают, используя правило о нахождении данного компонента. Затем дети знакомятся с уравнениями, в которых для нахождения неизвестного необходимо выполнить несколько действий.
Суть ошибок в нахождении корня уравнения заключается в том, что ученики неправильно разделяют уравнения на компоненты арифметических действий. Например:
В таком уравнении ученики часто в первую очередь находят компонент деления – делитель:
(30 + х) = 100 * 2, что приводит к ошибке.
Но даже для того, чтобы прийти к такому способу решения ученик должен понимать, что для решения уравнения необходимо научиться строить логические цепочки. Но не все дети способны безошибочно построить такую цепочку рассуждений. Выясняется, что вариантов таких уравнений множество, но ни в одном учебнике нет правила, как их решать. В этом видится проблема .
Целью исследования является поиск быстрого и правильного способа решения уравнений с одним неизвестным в несколько действий, а также демонстрация, как следует пользоваться алгоритмом.
Гипотезой исследования стало предположение, что существует такой алгоритм решения уравнений, когда быстро и правильно можно найти корень уравнения с одним неизвестным в несколько действий, который поможет учащимся безошибочно находить корень уравнения.
— изучение темы «Уравнения» в учебниках разных авторов;
— поиск алгоритма решения уравнений в несколько действий с одним неизвестным;
— демонстрация использования алгоритма на практике;
— доказательство практической пользы алгоритма решения уравнений;
— рекомендации по включению алгоритма в учебники.
Методика исследования строилась в соответствии с поставленными задачами. В работе использовался метод критического сравнительного анализа учебной литературы, синтезирование нового метода на основании известного математического правила.
Анализ учебной литературы с целью поиска правила или алгоритма решения уравнений с одним неизвестным в несколько действий
Было изучено три учебных издания «Математика», по одному из которых ранее обучались учащиеся 5 класса:
— комплект Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Математика. 1, 2, 3, 4 классы;
— комплект Аргинская И.И. Математика. 1,2, 3 классы;
— комплект Петерсон Л. Г. Математика. 1, 2, 3, 4 классы.
В следующей таблице представлены данные о наличии в учебных изданиях уравнений, в которых для поиска неизвестного следует выполнить несколько действий, а также предлагаемого способа их решения.
Подготовительная работа помогает пониманию, как решать уравнение, но правила или алгоритма нет.
Подготовительная работа помогает пониманию, как решать уравнение, но правила или алгоритма нет.
Вывод: ни в одном из рассмотренных учебников нет алгоритма решения уравнения, в котором для поиска неизвестного следует выполнить несколько действий.
Мы знаем, что уравнение есть обратная задача на нахождение одного из результатов арифметических действий. Это действие может быть первым, вторым, третьим и так далее в цепочке выражения, для нахождения значения которого мы используем правило о порядке выполнения действий. Следовательно, для решения уравнения мы должны выполнить действия в обратном порядке.
Соотнесем два правила:
Чтобы найти значение выражения, сначала выполняем действия в скобках , затем выполняем умножение и деление по порядку (слева направо), затем сложение и вычитание по порядку (слева направо).
Чтобы найти корень уравнения, сначала находим компоненты сложения и вычитания в обратном порядке (справа налево), затем компоненты умножения и деления в обратном порядке (справа налево), затем компоненты действий, находящихся в скобках, в обратном порядке (справа налево).
Иначе говоря, чтобы найти корень уравнения, в обратном порядке выполняем алгоритм нахождения значения выражения.
Это и есть алгоритм решения уравнения с одним неизвестным.
Как пользоваться алгоритмом
Чтобы решать уравнения, надо уметь раскладывать его на компоненты арифметических действий.
4000 – (3х + 6) : 6 * 2 – 28 = 1000
(При решении данного уравнения заведомо не применяются правила упрощения выражения).
Следуя алгоритму, сначала находим компоненты сложения и вычитания в обратном порядке.
Будем подчеркивать неизвестный компонент (при решении этого делать необязательно):
4000 – (3х + 6) : 6 * 2 – 28 = 1000
Находим уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое:
4000 – (3х + 6) : 6 * 2 = 1000 + 28
4000 – (3х + 6) : 6 * 2 = 1028
Находим вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность:
(3х + 6) : 6 * 2 = 4000 – 1028
(3х + 6) : 6 * 2 = 2972
Следуя алгоритму, находим компоненты умножения и деления в обратном порядке.
Находим множитель. Чтобы найти множитель, надо произведение разделить на другой множитель:
(3х + 6) : 6 = 2972 :2
Находим делимое. Чтобы найти делимое, надо частное умножить на делитель:
Следуя алгоритму, находим компоненты действий, находящихся в скобках, в обратном порядке.
Находим слагаемое. Чтобы найти слагаемое, надо из суммы вычесть другое слагаемое:
Находим множитель. Чтобы найти множитель, надо произведение разделить на другой множитель:
Корень данного уравнения – число 2970.
4000 – (3 * 2970 + 6) : 6 * 2 = 1000
Применение алгоритма при решении уравнений
Используя алгоритм, дети легко определяются с выбором действия, чей компонент нужно найти. Рассмотрим несколько примеров из учебников начальной школы:
1. № 64 стр. 93 (Петерсон Л. Г. Математика. 4 класс. Часть 3.):
А) (24 – х) * 5 – 32 = 48
По правилу решения уравнения, находим компонент вычитания – уменьшаемое:
(24 – х) * 5 = 48 + 32
Находим компонент умножения – множитель:
Находим компонент вычитания – вычитаемое:
2. № 144 стр. 157 (Аргинская И.И. Математика. 3 класс.):
(6у – 72) : 2 – 84 = 201
Находим компонент вычитания – уменьшаемое:
(6у – 72) : 2 = 201 + 84
Находим компонент деления – делимое:
Находим компонент вычитания – уменьшаемое:
Находим компонент умножения – множитель:
Таким образом, если у детей есть опора на алгоритм, который ведет их с опорой на действия, количество ошибок резко сокращается.
Этим же алгоритмом можно пользоваться и тем, кому трудно усвоить связь между компонентами и результатом арифметического действия. Можно использовать рассуждения о большой и малых частях. Например:
Рассуждаем так: сначала нахожу компонент сложения ( по алгоритму). Нахожу маленькое число, значит, вычитаю из большего меньшее:
Нахожу компонент деления. Нахожу большое число, значит, перемножаю маленькие числа:
Основываясь на данных исследования, можно утверждать, что алгоритм решения уравнений помогает учащимся быстро и правильно находить корень уравнения, а значит, этот алгоритм может быть использован в учебниках как правило-опора или справочных материалах.
Линейные уравнения — алгоритмы и примеры решений с объяснением для 6 класса
Простые равенства с неизвестными — первоначальный этап знакомства с линейными уравнениями. Примеры с объяснением для 6 класса основываются не только на решении последних, но и на базовых определениях, а также использования формул сокращенного умножения для понижения степени до единицы. Математики рекомендуют начать с теории, а затем перейти к ее практическому применению.
Общие сведения
Уравнение — совокупность чисел и переменных. Иными словами, тождеством, содержащим неизвестные величины, называется математическая запись, в которой следует определить значения переменных, превращающих это выражение в истинное. Например, переменная t в выражении 2t=6 эквивалентна 3, поскольку 2*3=6.
Линейное — тождество, в котором максимальный показатель степени при неизвестной величине всегда эквивалентен единице.
В математике существует термин «корень уравнения». Он означает, что для решения равенства необходимо найти все допустимые значения, превращающие его в истинное тождество. Далее следует разобрать классификацию линейных выражений с переменными.
Классификация уравнений
Прежде чем рассматривать примеры уравнений по алгебре в 7 классе (изучаются подробнее, чем в 6-м), необходимо разобрать их классификацию, поскольку она влияет на алгоритм нахождения корней. Они бывают трех типов:
Первый вид — обыкновенные приведенные линейные уравнения, состоящие из числовых величин и переменных с единичным степенным показателем. Они являются наиболее распространенными не только в математике и физике, но и в других дисциплинах с физико-математическим уклоном. Графиком их функции является прямая линия, которую также называют прямо пропорциональной зависимостью.
Ко второму типу относятся любые многочлены линейного типа, имеющие переменную, а также некоторый параметр. Последний влияет на решение и нахождение корней. Обычно он задается на начальном этапе решения, но бывают и исключения. В последнем случае необходимо указывать диапазон допустимых значений параметра.
Суть решения второго вида уравнений — предотвратить превращение тождества в пустое множество. Для этой цели требуется исключить при помощи записи в виде неравенства все ложные значения параметра. Выражения с параметром применяются в программировании при написании и разработке различных алгоритмов. Кроме того, их можно встретить при описании физических процессов и явлений.
Последний тип — выражения высшей степени, которые при помощи математических преобразований превращаются в первый или второй тип. Для их решения необходимо знать формулы сокращенного умножения, понижающие степень до единицы, а также навык раскрытия скобок и приведения подобных компонентов.
Обыкновенные тождества
Простое линейное уравнение записывается в таком виде: At+Bt+Ct+As+Bs+Cs=0. Некоторых коэффициентов может и не быть. Кроме того, тождество может записываться в виде выражения, включающего в свой состав скобки. Алгоритм решения имеет следующий вид:
Следует отметить, что также составляются примеры линейных уравнений для тренировки в 7 классе. Необходимо разобрать решение одного из них «7 (t-1)(t+1)-7t (t-1)=8». Решать его нужно по вышеописанному алгоритму:
Последний пункт реализации методики свидетельствует о том, что корень тождества найден правильно. Далее нужно рассмотреть выражения с параметром.
Выражения с параметром
Уравнения с некоторым параметром решаются немного по другой методике. Ее суть заключается в нахождении корня, дополнительно зависящего от некоторого значения. Алгоритм имеет следующий вид:
Реализацию методики необходимо рассмотреть на практическом примере «t-2+pt=0», где р — параметр тождества. Решать выражение нужно по такому алгоритму:
Иногда в некоторых задачах нет необходимости подставлять значение параметра. В этом случае следует просто записать формулу корня, указав допустимый интервал (диапазон) последнего. Например, в вышеописанном примере решение записывается следующим образом: t=2/(1+p)
Понижение степени
Некоторые уравнения представлены степенью при неизвестной, превышающую единицу. К ним относятся следующие виды: квадратные, кубические и бикубические. Каждый из трех видов имеет собственный алгоритм нахождения корней.
Однако некоторые из них можно свести к линейному типу. Для этого применяется метод разложения на множители. Он подразумевает алгебраические соотношения, при помощи которых выражение легко записывается в обыкновенной линейной форме. К ним относятся следующие:
Первая и вторая формула называется квадратом суммы или разности соответственно. Третья — разность квадратов. Кроме того, бывают случаи, при которых невозможно применить эти тождества. Для этого требуется выносить общий множитель за скобки, тем самым понижая степень. Для нахождения корней существует определенная методика:
Реализация алгоритма нужно проверить на практическом примере, т. е. следует решить уравнение «3t^2-3=0». Найти его корни можно, воспользовавшись вышеописанной методикой:
Кубические и бикубические должны сводиться к квадратным, а затем преобразовываться в линейные, поскольку формулы кубов суммы и разности, при их разложении на множители, дают вторую степень. Однако существует еще один частный случай, о котором не упоминалось при классификации линейных выражений с неизвестными — системы уравнений.
Системы линейного типа
Система уравнений — совокупность выражений с неизвестными, которые имеют общие решения. Методика для вычисления корней имеет следующий вид:
Однако для практического применения вышеописанной методики необходимо разобрать систему уравнений, состоящую из двух тождеств (5t-2s=1 и 4t^2-s^2=0). Решать ее нужно по вышеописанной методике:
В третьем пункте математики рекомендуют разложить тождество на множители, поскольку необходимо всегда понижать степень при неизвестной величине. Во всех трех случаях описаны простые примеры, которые позволяют перейти к более сложным заданиям.
Следует отметить, что еще одним методом решения системы уравнений считается построение графиков функций, входящих в ее состав. Методика поиска решений сводится к простым шагам, которые можно править относительно предыдущего алгоритма таким образом:
В последнем пункте методики находятся корни системы уравнений. Далее рекомендуется их подставить в исходные выражения для проверки.
Таким образом, линейные уравнения применяются в различных физико-математических дисциплинах и прикладных науках. Для их решения существуют определенные методики, позволяющие выполнить эту операцию за короткий промежуток времени и не допустить ошибок.
http://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-algoritm-resheniya-uravneniy-3410718.html
http://kupuk.net/uroki/algebra/lineinye-yravneniia-algoritmy-i-primery-reshenii-s-obiasneniem-dlia-6-klassa/