Как найти k и b по графику линейной функции?
В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции , т.е. найти \(k\) и \(b\) по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):
В статье я расскажу про два простых способа найти \(k\) и \(b\), если известен график линейной функции.
Способ 1
Первый способ основывается на трех фактах:
Линейная функция пересекает ось \(y\) в точке \(b\).
Примеры:
Но не советую определять так \(b\), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом.
Если функция возрастает, то знак коэффициента \(k\) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то \(k=0\).
Чтоб конкретнее определить \(k\) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить \(k\) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.
Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.
\(b=3\) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит \(k 0\). \(k=+\frac
Теперь перейдем к функции \(g(x)\). Найдем координаты точек \(D\) и \(E\): \(D(-2;4)\), \(E(-4;1)\). Можно составить систему:
Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать \(b\):
\(g(x)=1,5x+7\). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем \(f(x)\) и \(g(x)\).
Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку «скачать статью».
Коэффициенты k и b
Содержание
Положение прямой на графике зависит от величины коэффициентов $k$ и $b$
Коэффициент $k$ называют угловым, так как он показывает угол наклона линейной функции на графике относительно оси $Ox$
При $k > 0$ угол между графиком и осью $Ox$ меньше $90 \degree$ (острый)
При $k
Коэффициент b
Коэффициент $b$ называют свободным. На графике он показывает длину отрезка, который отсекает линия функции по оси ординат относительно начала координат.
Другими словами, коэффициент $b$ показывает, насколько график сдвинут вдоль оси $Oy$. Если $b > 0$, то график будет сдвинут вверх, и если $b
Так на нашем графике функции из примера про копилку видно, что прямая пересекает ось $Oy$ выше начала координат на $500$ единиц (этому числу и равен коэффициент $b$).
График функции $y=50x + 500$
Частные случаи. b = 0
В случае, когда коэффициент $b = 0$, а функция прямо пропорциональна, ее график будет проходить через начало координат $O(0;0)$. Ведь при подставлении в формулу $x = 0$ получим и $y = 0$.
Для построения графика такой функции достаточно найти одну точку, вторая – начало координат $О(0;0)$.
Важно: график в виде вертикальной прямой, параллельной оси $Oy$, не является графиком функции. В таком случае одному значению аргумента соответствует множество значений $y$. Это не наш случай, потому что он не соответствует самому определению функции.
При этом прямой, параллельной оси $Ox$, график функции может быть. Это возможно, когда коэффициент $k = 0$. Угол наклона также будет равен $0$. Формула принимает вид $y = b$.
Линейная функция y = kx+b и её график
Определение линейной функции
Рассмотрим движение машины по прямой со скоростью 50 км/ч, но не из начальной точки. Допустим, что мы уже находимся на расстоянии 20 км от начала координат и будем удаляться. Тогда зависимость расстояния до начала координат от времени s = 50t+20. От прямой пропорциональности s = 50t эту формулу отличает дополнительное слагаемое, связанное с ненулевыми начальными условиями.
Если обобщить формулы, описывающие подобные зависимости, то получаем:
$$<\left\< \begin
Функция такого вида называется линейной .
Прямая пропорциональность y = kx является частным случаем линейной функции y = kx+b, при k $\neq$ 0 и b = 0.
График линейной функции
Графиком линейной функции является прямая.
Согласно аксиоме планиметрии, через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Значит, положение прямой на плоскости полностью определяется двумя точками . Получаем:
Алгоритм построения графика линейной функции
- Выбрать два произвольных значения аргумента $x_1, x_2$
- Вычислить соответствующие значения функции $y_1 = kx_1+b, y_2 = kx_2+b$
- Отметить на координатной плоскости точки $(x_1,y_1 )$ и $(x_2,y_2 )$
- Провести прямую через точки $(x_1,y_1 )$ и $(x_2,y_2 )$
Эта прямая – график линейной функции y = kx+b.
http://obrazavr.ru/algebra/7-klass-algebra/linejnaya-funktsiya-i-eyo-grafik/linejnaya-funktsiya/koeffitsienty-k-i-b/
http://reshator.com/sprav/algebra/7-klass/linejnaya-funkciya-y-kx-b-i-eyo-grafik/