Что такое дифференциальные и интегральные уравнения

Общие понятия. Дифференциальные и интегральные уравнения

Дифференциальные и интегральные уравнения

При изучении химии, физики, экологии часто возникает уравнения связывающие неизвестную функцию и ее производные. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями.

1) dx/dt=-kx—уравнение радиоактивного распада, где k-постоянная распада,

x-количество неразложившегося вещества в момент времени t

Скорость распада dx/dt пропорц. количеству нераспавшегося вещества.

2) —Уравнение движения точки массой m под действием силы F

Сила равна произведению массы на ускорение.

3)

Нахождение неизвестной функции, определенной дифференциальным уравнением, является основной теории дифференциальных уравнений. Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция является функция одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным(ур. 1)и2)). Если неизвестная функция зависит от двух переменных, то уравнение называется уравнением частных производных(ур.(3)).Порядок дифференциального уравнения называется максимальный порядок, входящий в уравнении производной неизвестной функции. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при постановке в дифференциальное уравнение, обращает его в тождество.

Например уравнение радиоактивного распада :

(1.2) где c- произвольная постоянная

Уравнение (1.1) не вполне определяет закон распада x=x(t).

Нужно также знать количество вещества x( в момент времени

Тогда закон Распада примет вид:

x=

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения, называется интегрированием дифференциального уравнения. Не всегда решение находится в явном виде.

При использовании ПО можно решить дифференциальное уравнение приближено с большой плотностью.

Пусть математическая точка движения под действием силы F:

Уравнение Движения : m = F(t, (1,3)

Для нахождения закона движения (t) необходимо знать начальное положение точки и скорость:

( = (1.4)

( ) = (1.5)

При (1.4) и (1.5) называется Задачей Коши

Вектор уравнения 2-ого порядка (1.3) можно переписать в виде системы 2-ух векторных уравнений 1-го порядка, если рассмотреть скорость v как вторую неизвестную формулу:

=

= F (t, , ) (1.6)

Каждое векторное уравнение в трёхмерном пространстве может быть заменено системой из 3-х векторов на оси координат. При интегрировании дифференциального уравнения обычно ставят цель найти все его решения. Например : в уравнение (1.1) все решения получены из решения (1.2) при некотором выборе постоянного C . Решение (1.2) – общее решение уравнения (1.1)

Решение дифференциального уравнения, получившегося из общего решения называется частным. Однако иногда не удаётся включить в общее решение все решения уравнений. Решения не являющееся частными называются особыми.

Говорят, что для дифференциального уравнения поставлена задача, если заданы некоторые дополнительные условия, простые случаи задаются начальные значения искомых функций и её производных. То есть ставиться задача Коши.

Например: в задаче (1.1) задаётся начальное количество веществ , не всегда удаётся найти решение в явном виде.

Иногда оно задаётся не явно ȹ(x+y)=0 – называется интегральным уравнением. Соответственно при не явном задании общего решения уравнения получится общий интеграл.

Рассмотрим уравнение 1-го порядка разрешенное относительно 1-ой производной. Пусть функция x(y) имеет область определений D ϵ , которое также является определённым уравнением (1.7)

Обычно предполагается , что f непрерывно в D:

не прерывно и непрерывно дифференцируема на [a; b] такая, что (x, ϕ(x)) ϵ D и выполняется ϕ ‘ (x)= f (x , ϕ(x)) , x ϵ [a, b]

Решение уравнения (1.7) на [a, b]

4) =2x

y(x)= +c xϵ (-∞; +∞)

y= +2

y= +1

y=

5) = 3

= 3 y

* =

3 y + c =3x

y=

Областью определения является вся плоскость

Заметим, что это уравнение имеет решение y(x)=0, которое нельзя получить из общего выбором константы C.

Геометрическое решение (1.7) y=ϕ(x) соответствует линии лежащей в области D в

и представляет графическую функцию ϕ (x) эта линия — Интегральная линия (1.7)

Так как формула ϕ(x) интегральная линия имеет в каждой точке (x , ϕ(x)) касательную, угловой коэффициент который определяется из уравнения

Очевидно угловой коэффициент можно вычислить в любой точке (x,y) ϵ D не находя самой интегральной кривой.

Выбрав направление векторной касательной, можно сопоставить каждой точке области D некоторой не нулевой векторной_______? так в области D получится направленное поле; и так уравнение (1.7) соответствует в области D векторному полю интегрально направленному.

Задача решения этого уравнения имеет следующею геометрическую интерпретацию:

через каждую точку области D потребуется провести кривую называемую интегральной касательной, в которой каждая точка определяется векторным полем (1.7)

Заметим, что общему решению соответствует семейство кривых , а решение задачи Коши интегрирует кривая проходящая через точку ( , ) ϵ D

При геометрическом решении уравнения (1.7) можно воспользоваться методом Изоклин.

Изоклины— геометрическое место точки, в каждой точке которой вектор задает направленное поле

Различные значения K соответствуют различным изоклинам. B точке пересечения с изоклиной интегрированная линия имеет касательные с угловым коэффициентам K.

6) =

= K

+ =

§ 2 Дифференциальное уравнение 1-го порядка

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка первой степени можно разрешить относительно к производной представляя в виде (1.7). Простейший пример такого уравнения:

= 1(х)

y=

Содержит произвольную постоянную, которая может быть определенна если известно первоначальное значение:

y( ) =

Тогда y= +

Вообще при некотором ограничении на функцию f(x)=y уравнение:

= f (x, y)

также имеет одинаковое решение удовлетворяющее условию :

y ( ) =

а его общее решение зависит от одной произвольной постоянной

Уравнение с раздельной переменой

Дифференциальное уравнение вида:

(y) d y= (x) dx (2.1)

называется уравнением с раздельными переменными

Функции (x) и (y) будем считать непрерывными, если y – решение, то после подстановки его в (2.1) и интегрируя, получим:

Уравнение (2.2)и (2.1) – равносильны

Может получиться так, что интегралы нельзя выразить в элементарной функции. Однако, в этом случаи мы будем считать задачу интегрирования дифференциального уравнения (2.1) выполненной, поскольку мы сведём её к нахождению данного неопределенного интеграла (квадратуры) .

Если надо выделить частное решение, удовлетворяющее условия:

y = (

то оно очевидно определяется уравнением:

=

которое получится из:

= + С

Воспользовавшись начальными условиями: y = (

В котором коэффициент при дифференциале распадается на множители зависимые только от x и от y , называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными и после деления на:

приводит к уравнению с разделенными переменными

dx = dy

При деление на (y) * (x) могут потеряться частные решения, обращающие в ноль произведение (y) * (x)

Уравнения , приводящее к уравнениям с разделенными переменными

Некоторое уравнение путем замены переменных можно подвести к уравнению с разделенными переменными.

a и b –постоянные числа , которые заменой:

приводят к уравнению с разделенными переменными

f (x)

= dx

x = + C

Пример : = 2k + y

= 2 + z

= dx

z = — 2 + e ˄

2 x + y = -2 +

y = -2 -2x +

К уравнению с разделёнными переменными приводит и однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка:

= f ( )

z = y = x z

x =

Напомним , что функция ϕ (x , y) называется однородной степени k

4 (tx , ty ) = ϕ (x , y)

Правая часть однородного уравнения , является однородной функцией переменных x и y нулевой степени однородности.

Поэтому уравнение вида :

M (x, y) dx + N (x , y) dy = 0

Будет однородным если M (x , y) и N (x , y) является однородной функцией (x , y) одинаковой степени однородности, то есть в этом случае

Уравнение такого вида преобразуется в однородное уравнение путем переноса из начала координат в точку пересечения ( ) переменных

Действия в новых координатах

x = x —

y = y —

Свободный член = 0

Коэффициент при текущей координате остается неизменным , а производная :

и уравнение (2.3) преобразится к виду:

)

или ) = ϕ (

и является Однородным Уравнением

Этот метод не применим если эти прямые:

x + y + = 0 — параллельные

x + y + = 0

на = c

= k

И уравнение (2.3) может быть записано в виде : f (

которое с заменой

z = , преобразованное уравнение в уравнении с разделом переменной .

Линейные Уравнения 1-го порядка.

Линейные Дифференциальные Уравнения 1-го порядка -линейное уравнение относительно неизвестной функции и её производной

Линейное уравнение имеет вид :

Где p(x) и f (x) непрерывное функции от x в той области в которой требуется проинтегрировать уравнение (2.4)

Если f(x) ≡ 0 , то уравнение (2.4) – линейное однородное

В линейном однородном уравнении:

ln │y│ = > 0

y = C e —

при делении на y мы потеряем решение y=0. Однако его можно включить в общее решение (2.5) позволив C=0

Для интегрирования неоднородного линейного уравнения (2.4) может быть применен метод вариации произвольного постоянной (М . Лагранжа) :

Интегрируя однородное уравнение, его решение имеет вид (2.5) ;

потом чтобы найти общее решение (2.4) , позволим константе C быть функцией f (x) , то есть

y = C (x) C (x) p(x) *

и подставляем в исходное неоднородное уравнения (2.4)

* -C (x) p (x) + p(x) C (x) = f(x)

C (x) = * dx

y (x) = * * dx (2.6)

В конкретном случае не целесообразно пользоваться формулой (2.6)

А нужно делать вычисления по Методу Лагранжа

Ищем решение по Методу Лагранжа

C(x) =

Ответ: y=( * x

Множества дифференциальных уравнений могут быть сведены к линейным

Например уравнение Бернулли :

Z =

(1 – n )

и подставляя в (2.7) получим линейное уравнение

+ p (x) z = f (x)

Уравнение Риккати

В общем случае не интегрированно в квадратурах

Однако если известно одно частное решение , то уравнение Риккати можно свести к уравнению Бернулли

Для этого положим сделаем замену:

y =

+ p(x) + p (x) z + q (x) * + q (x) * 2 z + q (x) = f (x)

+ p(x) z + 2q (x) z +q(x) = 0

+z (p (x) + 2q (x) ) + q (x) =0

n=2 Бернули

2.5 Уравнение в полных дифференциалах

Может быть , что часть уравнения :

M (x , y) dx + N(x , y ) dy = 0 (2.8)

является полным дифференциалом некоторой функции U (x, y)

d U (x, y) = M (x, y) dx + N (x , y) d y => уравнение (2.8) принимает вид:

Если функция y(x) является решением уравнения (2.8) тогда dU (x, y(x)) ≡ 0

U (x, y(x))= c (2.9)

Если некоторая функция y(x) обращается в тождественное уравнение (2.9) , то дифференциал=0 и наоборот :

Для того чтобы левая часть уравнения (2.8) является полным дифференциалом некоторой функции от (x , y) , как известно необходимо условие Эйлера

(2.10)

Если условие Эйлера выполняется, то уравнения (2.8) легко интегрировать

Дифференцируем d U = M d x + N d y

d U=

При вычитание интеграла величина у рассматривается как const

Поэтому c(y) является произвольной функцией y

Для определения C(y) дифференцируем найденную функцию U(x, y) по y

Получим : (

В некотором случае ,когда левая часть (2.8) не является полной дифференциалом, легко удается подобрать функцию умножения на которую, левая часть (2,8) превращается в полный дифференциал то есть :

d U = ϻM dx + ϻN dy

Такая функция ϻ– интегрируемая множеством ϻ(x, y) может привести к появлению постороннего решения , обращающего (x, y) в ноль

Надо подобрать ненулевое решение уравнения:

Вообще задача интегрирования (2.11) ничем нелегче (2.10)

Если считать ϻ – Ф одной переменной будь то x, y, … , то задача упрощается

Например : условие, когда ϻ (x) => — непрерывная функция x =>

Ln M =

M= C * (2.12)

Можно считать c=1, так как нам нужен хоть 1 интегральный множитель

Если является функцией тока x то интегральное множество найдется по уравнению (2.12)

Аналогично можно выписать условия при которых интегральное множество зависит от другой выбранной переменной

Уравнение Лагранжа

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.048 сек.)

Определения и понятия теории дифференциальных уравнений

С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения 1 -го, 2 -го и 5 -го порядков:

1 ) y ‘ + 1 = 0 ; 2 ) d 2 y d x 2 + y = x · sin x ; 3 ) y ( 5 ) + y ( 3 ) = a · y , α ∈ R

Уравнения в частных производных 2 -го порядка:

1 ) ∂ 2 u ∂ t 2 = v 2 · ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 , u = u ( x , y , z , t ) , v ∈ R ; 2 ) ∂ 2 u ∂ x 2 — ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 , u = u ( x , y )

С порядками ДУ разобрались. Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения n -ого порядка вида F ( x , y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) = 0 или F x , y , d y d x , d 2 y d x 2 , . . . , d n y d x n = 0 , в которых Ф ( x , y ) = 0 — это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении y = f ( x ) .

Интегрирование дифференциального уравнения

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Решением дифференциального уравнения является функция Ф ( x , y ) = 0 , которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у выражать через аргумент х явно.

Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х , который задается заранее.

В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F ( x , y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) для всех х , при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

Функции y = ∫ x d x или y = x 2 2 + 1 можно назвать решением дифференциального уравнения y ‘ = x .

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Функция y = x 3 3 является решением ДУ y ‘ = x 2 . Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y ‘ = x 3 3 = 1 3 · 3 x 2 = x 2 .

Вторым решением данного дифференциального уравнения является y = x 3 3 + 1 . Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.

Общее решение ДУ

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Общее решение дифференциального уравнения y ‘ = x 2 имеет вид y = ∫ x 2 d x или y = x 3 3 + C , где C – произвольная постоянная. Из общего интеграла ДУ y = x 3 3 + C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения С = 0 и C = 1 .

Частное решение ДУ

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

Для ДУ y ‘ = x 2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y ( 1 ) = 1 , будет y = x 3 3 + 2 3 . Действительно, y ‘ = x 3 3 + 2 3 ‘ = x 2 и y ( 1 ) = 1 3 3 + 2 3 = 1 .

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

• задачи Коши;
• задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х ;
• краевые задачи.

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

f ( x 0 ) = f 0 ; f ‘ ( x 0 ) = f 1 ; f ‘ ‘ ( x 0 ) = f 2 ; . . . ; f ( n — 1 ) ( x 0 ) = f n — 1

где f 0 ; f 1 ; f 2 ; . . . ; f n — 1 — это некоторые числа.

Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x 0 и x 1 , которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f ( x 0 ) = f 0 , f ( x 1 ) = f 1 , где f 0 и f 1 — заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.

Линейное обыкновенное ДУ n -ого порядка имеет вид:

f n ( x ) · y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )

При этом коэффициенты f 0 ( x ) ; f 1 ( x ) ; f 2 ( x ) ; . . . ; f n ( x ) — это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.

Уравнение f n ( x ) · y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x ) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f ( x ) ≡ 0 . Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.

В линейных однородных ДУ коэффициенты f 0 ( x ) = f 0 ; f 1 ( x ) = f 1 ; f 2 ( x ) = f 2 ; . . . ; f n ( x ) = f n могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f ( x ) ≡ 0 , в ЛНДУ с постоянными коэффициентами f ( x ) ненулевая.

Характеристическое уравнение ЛНДУ n -ой степени с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение ЛНДУ n -ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n -ой степени вида f n · k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 .

Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.

Что такое дифференциальные и интегральные уравнения

pdf Лекция 1 . Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства, связь с дифференциалом. Таблица основных неопределенных интегралов.

pdf Лекция 2 . Интегрирование подстановкой и заменой переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

pdf Лекция 3 . Рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших (без д-ва). Интегрирование простейших дробей. Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей.

pdf Лекция 4 . Интегрирование выражений, рационально зависимых от тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

pdf Лекции 5-6 . Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Теорема об интегрируемости кусочнонепрерывной функции (без д-ва). Геометрическая интерпретация определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Теоремы об оценке и о среднем значении.

pdf Лекция 7 . Определенный интеграл с переменным верхним пределом и теорема о его производной. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов подстановкой и по частям. Интегрирование периодических функций, интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат.

Модуль 2 — «Приложения определенного интеграла»

pdf Лекция 8 . Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (1-го рода). Несобственные интегралы от неограниченных функций на отрезке (2-го рода). Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.

pdf Лекции 9-10 . Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.

pdf Лекция 11 . Вычисление площадей плоских фигур, ограниченных кривыми, заданными в декартовых координатах, параметрическии и в полярных координатах.

pdf Лекции 12-13 . Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения. Вычисление длины дуги и площади поверхности вращения. Метод Симпсона приближенного вычисления определенного интеграла.

Модуль 3 — «ОДУ первого порядка»

pdf Лекция 14 . Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальное уравнение первого порядка, его решения. Частные и общие решения. Интегральные кривые. Понятие частной производной функции нескольких переменных. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема Коши о существовании решения дифференциального уравнения.

pdf Лекция 15 . Решение дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородных, линейных, Бернулли.

pdf Лекция 16 . Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Изоклины. Геометрическое решение дифференциальных уравнений с помощью изоклин. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения первого порядка.

pdf Лекция 17 . Дифференциальные уравнения n-го порядка. Частные и общие решения. Задача Коши и ее геометрическая интерпретация (n=2). Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (без док-ва). Краевая задача. Понижение порядка некоторых типов дифференциальных уравнений n-го порядка.

Модуль 4 — «ОДУ высших порядков»

pdf Лекции 18-19 . Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, однородные и неоднородные. Теорема существования и единственности решения. Дифференциальный оператор L[y], его свойства. Линейное пространство решений однородного линейного дифференциального уравнения. Линейная зависимость и независимость системы функций на промежутке. Определитель Вронского (вронскиан). Теорема о вронскиане системы линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения. Размерность пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения. Формула Остроградского-Лиувилля и ее следствия. Понижение порядка однородного линейного уравнения (при известном частном решении).

pdf Лекции 20-21 . Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод для n=2). Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Теорема о наложении частных решений. Метод Лагранжа вариации постоянных (вывод для n=2). Структура частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

pdf Лекция 22 . Нормальные системы дифференциальных уравнений. Автономные системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство и фазовые траектории. Задача и теорема Коши. Частные и общее решения. Сведение дифференциального уравнения высшего порядка к нормальной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Сведение нормальной системы к дифференциальному уравнению высшего порядка (вывод для n=2). Первые интегралы системы. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений при помощи первых интегралов. Интегрируемые комбинации. Симметрическая форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений.

pdf Лекция 23 . Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Формула Остроградского-Лиувилля. Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной систем линейных дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных.

pdf Лекция 24 . Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод только для случая действительных и различных корней).