Что такое эпюра скорости запишите уравнение этой эпюры

Техническая механика

Сопротивление материалов

Построение эпюр в сопромате

Прикладное значение науки сопротивление материалов заключается в возможности определения основных критериев работоспособности деталей машин и различных конструкций – прочности, деформации и устойчивости.
Применяя метод сечений в сочетании с приемами статики и других разделов прикладной механики, можно определить напряжения, возникающие в том или ином сечении бруса (детали, элемента конструкции), и, исходя из анализа полученного результата, сделать выводы о работоспособности этого бруса при приложении к нему расчетных нагрузок.
Именно напряжение является основным фактором, влияющим на прочностные характеристики элемента конструкции, а также его способность противостоять деформации. По этой причине в сопромате главной задачей, чаще всего, является определение напряжений, возникающих в том или ином сечении детали или элемента конструкции.

Для удобства анализа напряженности отдельных участков и сечений конструкции (бруса) используют графическое изображение нагрузок и напряжений в каждом сечении. Это позволяет визуально анализировать распределение нагрузок и напряжений по всей длине бруса, определять при этом наиболее нагруженные (критические) участки и сечения. Такие графические изображения нагрузок, напряжений, а также деформаций элементов конструкций называют эпюрами.

При анализе степени напряженности и деформирования элемента конструкции (детали, бруса) наиболее часто производят построение следующих типов эпюр:

• эпюры внутренних сил (продольных или поперечных), действующих в сечениях бруса;
• эпюры вращающих (крутящих) моментов;
• эпюры изгибающих моментов;
• эпюры напряжений (нормальных или касательных);
• эпюры перемещений (удлинений, укорочений, прогибов и т. п.).

Иногда на одной эпюре показываются несколько внутренних силовых факторов (эпюра продольных и поперечных сил, эпюра изгибающего и вращающего моментов), но такие эпюры при сложных нагрузках и переменных сечениях бруса сложны для чтения.

Как упоминалось выше, наиболее важную информацию о прочностных характеристиках элемента конструкции (бруса), т. е. способности противостоять разрушению, можно получить, используя эпюры напряжений, а информацию о степени деформации под действием расчетной нагрузки – по эпюрам перемещений.
Эпюры внутренних усилий и моментов в большинстве случаев не дают полной информации о степени напряженности и деформирования отдельных сечений и участков бруса, а являются промежуточным звеном при построении эпюр напряжений и перемещений, особенно если брус имеет ступенчатую форму или переменное поперечное сечение по длине.

Правила построения эпюр

При построении эпюр придерживаются определенных стандартных правил, позволяющих одинаково читать, истолковывать и анализировать эпюру всем участникам процесса конструирования изделия.

Построение эпюры начинают с изображения нулевой линии, которая символизирует линию бруса в ненапряженном состоянии. При этом, если брус имеет сложную пространственную форму, нулевая линия эпюры повторяет контуры центральной (осевой) линии бруса, и имеет такую же пространственную форму.

Нулевую линию эпюры обозначают названием и нулевым символом. Слева от нулевой линии указывается название эпюры (эпюра сил, моментов, напряжений и т. п.), справа от нулевой линии ставится цифра « 0 ». При указании называния эпюры обычно используют символ изображаемой нагрузки, например, внутренние продольные силы чаще всего обозначаются буквой « N », поперечные – буквой « Q », эпюры изгибающих моментов – буквами « M_из », эпюры вращающих моментов – буквами « Т » или « M_кр », эпюры напряжений – буквами « σ » или « τ » и т. п. Рядом с буквенным названием эпюры (или под ним) указывается единица измерения (ньютон, мегапаскаль, мм и т. п.).

Следующий этап построения эпюры – определение границ силовых участков бруса, т. е. таких участков, где внутренний силовой фактор в сечениях или деформация бруса изменяются по одной закономерности (или остаются постоянными). Как правило, границами силовых участков являются сечения, где приложена внешняя нагрузка или (и) площадь поперечного сечения бруса изменяется. В некоторых случаях, при построении эпюр брусьев сложной объемной формы, границы участков определяют аналитически. Границы силовых участков обозначаются тонкими вертикальными линиями, проведенными от изображения бруса через все эпюры.

Для оптимальной наглядности графика эпюры важно правильно выбрать масштаб изображаемого силового фактора, напряжения или деформации. Если масштаб окажется слишком мелким – эпюра будет трудна для чтения и анализа, если слишком крупным – она займет много места на чертеже.
Если учесть, что для одного бруса выполняют, как правило, несколько эпюр, расположенных одна под другой, то крупный масштаб не позволит выполнить построение эпюр на одном листе.
Для правильного выбора масштаба эпюры предварительно следует просчитать значение отображаемого фактора по всем контрольным сечениям бруса, и после этого определиться с масштабом.
Если, например, в результате расчетов окажется, что вся эпюра займет положительную область (над нулевой линией), то при построении графика эпюры это следует учесть.

Положительные значения фактора откладываются вверх от нулевой линии, отрицательные – вниз. Если на каком-либо участке силовой фактор равен нулю, эпюра совпадает с нулевой линией по всей длине этого участка. После построение внешнего контура эпюры на контрольных сечениях проставляются значения фактора (обычно на внешних углах эпюры), при этом знак фактора (плюс или минус) не указываются.
На положительной области (в самой широкой части) ставится знак «+» в кружке, а на отрицательной области – знак «—» в кружке (см. примеры построения эпюр). Иногда знаки «+» и «—» на эпюре указываются сверху и снизу цифры « 0 » (справа нулевой линии), тогда на площади графика эпюры эти знаки (в кружках) не ставятся.

По окончании построения эпюры по ее площади проводят тонкие вертикальные линии через равные промежутки. Эти линии символизируют сечения бруса. Иногда, в случае построения сложной пространственной эпюры, линии выполняют не вертикально, а в соответствии с проекционным направлением участка на графике эпюры.

Определение знака фактора на эпюре

При построении эпюр внутренних силовых факторов или деформаций необходимо правильно определять знак фактора на данном силовом участке бруса. Для этого следует пользоваться следующими общепринятыми правилами:

• сжимающая продольная нагрузка считается отрицательной, растягивающая – положительной;
• поперечная сила Q , направленная вниз считается отрицательной, вверх – положительной;
• вращающий (крутящий) момент считается положительным, если он вращает «отсеченную» часть бруса против часовой стрелки, отрицательным – по часовой;
• эпюра изгибающих моментов строится в соответствии с «правилом дождя». Это правило используется следующим образом: если в результате деформации от изгибающего момента исследуемое сечение прогнулось вниз, значит, эпюра имеет положительное значение (образовалась «воронка», в которой может задерживаться «дождевая вода»); если же балка прогнулась вверх, то эпюра имеет отрицательное значение («вода» будет скатываться с балки). Более подробно о знаках эпюр поперечных сил и изгибающих моментов здесь.

Особенности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Для облегчения построения эпюр и контроля правильности графика следует запомнить ряд правил, вытекающих из теоремы Журавского:

На участке, где равномерно распределенная нагрузка q отсутствует, эпюра поперечных сил Q представляет собой прямую линию, параллельную нулевой линии (оси бруса), а эпюра изгибающих моментов M_из – наклонную прямую.

В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть ступенчатый скачок на величину этой силы, а на эпюре M_из – излом (изменение направления графика).

На участке действия равномерно распределенной нагрузки q эпюра Q представляет собой наклонную прямую, а эпюра M_из – параболу, обращенную выпуклостью навстречу стрелкам, изображающим направление распределенной нагрузки.

Если эпюра Q на наклонном участке в каком-либо сечении пересекает нулевую линию эпюры, то в этом сечении на эпюре изгибающих моментов M_из будет иметь экстремальное значение (минимальное или максимальное).

Если на границе действия распределенной нагрузки нет сосредоточенных сил, то наклонный участок эпюры Q соединяется с горизонтальным без «ступеньки», а параболический участок эпюры M_из соединяется с наклонным участком плавно, без излома.

В сечениях, где к брусу приложены сосредоченные пары сил, на эпюре M_из будут иметь место ступенчатые скачки на величину действующих внешних моментов, а эпюра Q изменения не претерпевает (приложенные к брусу изгибающие моменты не влияют на эпюру поперечных сил).

Примеры построения эпюр

Материалы раздела «Сопротивление материалов»:

Расход и средняя скорость. Эпюра скоростей.

1°.Параллельноструйное, плавно изменяющееся и резкоизменяющееся движения. Можно различать частный случай потока, когда линии тока его являются строго параллельными прямыми. Таксе движение жидкости назо­вем параллельнсструйным. Часто, однако, приходится сталкиваться с пото­ками, отличными от параллельноструйного. Рассматривая такого рода по­токи, различаем так называемые плавно изменяющееся движение и резко изменяющееся движение.

Плавно изменяющимся движением называется движение, близкое к парал-лельноструиному[6]. При плавно изменяющемся движении поток должен удовлетворять следующим двум условиям;

а) радиус r кривизны линий тока должен быть весьма велик (рис. 3-10, а);

б) угол ϴ,образованный линиями тока, должен быть близок к нулю (рис3-10, б).

Рис. 3-10. К пояснению плавно и резко изменяющегося движения

Рис. 3-11. Живое сечение А—В

При несоблюдении этих двух условий или одного из них получаем дви­жение, называемое резко изменяющимся.

2°. Живое сечение.Изобразим на рис. 3-11поток жидкости и покажем внутри этого потока целый ряд линий тока. Проведем нормально к этим ли­ниям тока[7] поверхность АВ.

Поверхность АВ, нормальная к линиям тока и лежащая внутри потока, называется живым сечением.

Величину площади АВ принято обозначать через ( — площадь живого сечения).

Рис. 3-12. Замена живого сечения А—В плоским расчетным

Величину площади АВ принято обозначать через ( — площадь живого сечения).

При параллельноструйном движении живые сечения являются плоскими.

При плавно изменяющемся движении живые сечения должны быть близкими к плоским.[8] Покажем на рис. 3-12 живое сечение АВ; в случае

плавно изменяющегося движения это живое сечение должно иметь небольшую кривизну.

При расчетах плавно изменяющихся потоков всегда действительные несколько искривленные живые сечения заменяют плоскими расчетными живыми се­чениями (см. на рис. 3-12 плоское расчетное живое сечение А’В’).

Действительная линия тока, проходящая через точку т живого сечения, будет ортогональна к дей­ствительному живому сечению АВ. Разложим дей­ствительную скорость и, имеющуюся в точке т, на две составляющих: и_п, нормальную к сечению А’В’, и , лежащую в плоскости сечения А’В’. Можно движение, при котором величиной составляющей скорости и вели­чиной составляющей ускорения , направленными вдоль плоского расчет­ного сечения, можно пренебречь и считать, что

и_п и; ,

где — ускорение в точке т; — составляющая его, нормальная к сече­нию А’В’.

3°. Расход жидкости. Расходом жидкости называется объем ее, проходя­щий в единицу времени через живое сечение. Величину расхода принято обо­значать буквой Q. Размерность Q:

например, м 3 /сек, дм 3 /сек (т. е. л/сек) и т. п.

Если через da обозначить элементарную часть площади живого сечения, которое в общем случае представляет собой криволинейную поверхность, то величина элементарного расхода, проходящего через площадку da, выра­зится так:

(3-29)

Поскольку скорости и в разных точках жи­вого сечения различны, то величину Q, исходя из выражения (3-29), можно представить в виде:

(3-30)

где интеграл берется по всей площади живого ABMN сечения (в общем случае криволинейного).

Рис. 3-13. Эпюра скоростей

4°. Средняя скорость. Было отмечено, что скорости течения и в разных

точках живого сечения могут быть различны (рис. 3-11):

Имея это в виду, для упрощения расчетов в случаях параллельноструйного и плавно изменяющегося движений вводят понятие средней для данного живого сечения скорости течения. Эту скорость (фиктивную, в действитель­ности не существующую) принято обозначать через v.

Величина v определяется соотношением

или (3-31)

откуда и ясен ее смысл. Как видно, v есть гидравлическая характеристика данного живого сечения потока.

Величина расхода Q для данного живого сечения выражается согласно (3-31) формулой

Подчеркнем, что понятием средней скорости v пользуются только в слу­чаях параллельноструйного и плавно изменяющегося движений, когда опе­рируют плоскими живыми сечениями (иногда, впрочем, поня­тием v пользуются также в случае так называемых осесимметричных задач; см., например, § 3-22, п. 4°).

5°. Эпюра скоростей. Будем рассматривать поток, имеющий плоские живые сечения: наметим на рис. 3-13 вертикаль М—N, принадлежащую од­ному из живых сечений потока. Покажем векторами и₁ и₂, и₃, . . . скорости течения в различных точках этой вертикали. Соединив концы этих векторов линией АВМ, получим фигуру ABMN, которая представляет характер распределения скоростей и по вертикали. Эта фигура называется эпюрой скоростей (построенной в данном случае для вертикали М—N).

Обозначим ее площадь через Ω и представим себе далее, что канал на рис. 3-13 имеет прямоугольное поперечное сечение шириной b, причем эпюры скоростей для любых вертикалей, взятых в плоскости рассматриваемого жи­вого сечения, одинаковы. В этом случае величина дает расход:

(3-33)

величина же Q, т. е. площадь эпюры скоростей, численно равна расходу, приходящемуся на единицу ширины канала:

(3-34)

Проведем на чертеже линию С—D с таким расчетом, чтобы площадь полу­ченного прямоугольника CDMN равнялась Ω. Ясно, что ширина этого прямоугольника даст величину средней скорости v.

В действительности эпюры скоростей для различных вертикалей М—./V не везде будут одинаковы (с приближением к берегам скорости уменьшаются). Поэтому в действительности «эпюра» скоростей, построенная для всего живого сечения канала, будет представлять собой некоторое пространствен­ное тело (объем которого дает величину Q).

Что такое эпюра скорости запишите уравнение этой эпюры

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Возьмем любую точку в потоке жидкости. Через эту точку протекает жидкость, имеющая определенное направление и скорость движения. Если во всех точках потока направление и скорость движения жидкости не изменяются в течение времени – движение установившееся.

Если это условие не выполняется – движение неустановившееся.

Рассмотрим движущуюся в потоке жидкость. Возьмем любую произвольную точку и отложим вектор скорости. На небольшом расстоянии от нее, на векторе скорости, отложим следующую точку (строго говоря, это расстояние должно быть бесконечно малым). Но в этой точке и направление движения и скорость будут иными, по сравнению с первой точкой. Если мы попытаемся повторить процедуру, аналогичную получению первого отрезка, то мы увидим, что второй отрезок не будет продолжением первого. Это построение можно продолжать, в результате чего мы получим нарисованную выше кривую. Эта кривая будет называться линией тока.

Линия тока – линия, касательные к которой совпадают с векторами скорости.

Следует отличать линию тока от траектории частицы жидкости. Линия тока является мгновенной фотографией потока. Если движение установившееся, то частица в точности пройдет по линии тока. А если нет? В следующий момент времени, когда частица подойдет к очередной точке, вектор скорости в ней будет уже другим и частица продолжит путь в другом направлении и с другой скоростью.

Живое сечение – сечение, проведенное перпендикулярно вектору скорости и лежащее внутри потока. В общем случае живое сечение в потоке является криволинейной поверхностью, однако в практических расчетах, если поток изменяется плавно, сечение считают плоским.

Выше приведены примеры живых сечений, где стрелками отмечены векторы скорости, а пунктирными линями – живые сечения.

Представим себе поток жидкости, проведем живое сечение, в котором выделим элементарную площадку d w . Через все точки площадки проведем линии тока.