Что такое групповой анализ дифференциальных уравнений
Групповой анализ дифференциальных уравнений возник как научное направление в работах выдающегося математика XIX века Софуса Ли (18421899) и служил главной составной частью его важнейшего творения теории непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа вопрос о разрешимости в квадратурах дифференциальных уравнений была практически решена самим Ли, но не нашла широкого применения. Хотя подход Ли к дифференциальным уравнениям ещё использовался его ранними последователями, позже исследования в этом направлении прекратились, и надолго.
Интерес к групповому анализу возродил Л. В. Овсянников, показав в своих работах 19581962 гг., что главное орудие, которым пользовался Ли, описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп обнаруживает свою силу не только в вопросах о полной разрешимости, но и при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики. Такое расширение области применений потребовало существенного углубления методов группового анализа, разработки новых понятий и алгоритмов. Возникшие в связи с этим проблемы и перспективы развития стимулировали большое число исследований (см. книги [7], [9] и обзор [10]). Стало ясно, каким действенным инструментом является групповой анализ при решении сложных задач. Он существенно расширяет и уточняет интуитивное понимание симметрии, вооружает конструктивными методами её использования, ведёт к правильной постановке задач, а во многих случаях позволяет увидеть возможные пути их решения.
К сожалению, приходится констатировать, что и сегодня практическое применение свойств симметрии основывается чаще всего не на знании методов группового анализа, а на случайных, более или менее удачных догадках. Странность положения усугубляется тем, что в настоящее время разработаны и ждут применения новые мощные методы группового анализа. Поэтому знакомство с классическими его основами и современными методами становится важным элементом математической культуры для тех, кто имеет дело с построением и изучением математических моделей задач естествознания. Для этого наряду с имеющимися монографиями по групповому анализу нужен учебник, рассчитанный на широкую аудиторию и пригодный для первоначального ознакомления с предметом.
Данная брошюра, по замыслу автора, и должна сыграть роль такого учебника. При её чтении рекомендуется тщательно разобрать примеры и прорешать предлагаемые упражнения, так как групповой анализ относится к одной из тех областей, которые необходимо изучать на примерах. Сюда в полной мере относятся слова И. Ньютона о том, что «при изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила». Недостаточно лишь формально знать теорию групп, ею надо овладевать творчески, решая многочисленные упражнения и нестандартные задачи.
При работе над этой брошюрой основным источником послужили работы С. Ли, в частности его книга [8]. Хорошее представление о работах Ли по обыкновенным дифференциальным уравнениям и о его манере мышления можно получить по статье [5] Л. Диксона одного из бывших слушателей
 |
| |||||||||||||||||||||||||||
Эта брошюра является продолжением «Азбуки группового анализа» и связана с ней единством замысла дать общедоступное изложение теории Ли дифференциальных уравнений. Я стремился свести до минимума подготовительные теоретические построения и привести читателя к методам решения дифференциальных уравнений кратчайшим путём. Ибо как начинающему купальщику невозможно нырнуть вместе с надувным кругом, так отягощённое трактатностью и подчёркнутой строгостью изложение мало способствует погружению в необычный мир группового анализа.
Для первоначального ознакомления с предметом достаточно прочесть первые две главы. В первой главе собраны ключевые понятия группового анализа и сформулированы в виде теорем те факты, которые лежат в основе используемых алгоритмов. Этот раздел поможет читателю быстро научиться вычислять допускаемую группу и освоиться с другими простыми приёмами группового анализа. Во второй главе изложена основная схема Ли интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений методом теории групп. Ограничение уравнениями второго порядка вызвано не существом метода, а стремлением сосредоточиться на конкретном материале и привести к исчерпывающим результатам.
Остальные главы предназначены для желающих углубиться в предмет. Заинтересовавшийся читатель может перейти далее к изучению специальной литературы, указанной в библиографии.
которая поможет заинтересованному читателю более подробно ознакомиться с теоретическими вопросами группового анализа, многообразием приложений и современным развитием, а также с биографией Софуса Ли.
- Э.Л.Айнс . Обыкновенные дифференциальные уравнения . Харьков: ОНТИ, 1939. Гл. IV. С. 127153.
- В.А.Байков , Р.К.Газизов , Н.X.Ибрагимов . Приближённые симметрии // Матем. сб. 1988. Т. 136. Вып. 4. С. 435450.
- В.А.Галактионов , В.А.Дородницын , Г.Г.Еленин , С.П.Курдюмов , А.А.Самарский . Квазилинейное уравнение с источником: обострение, локализация, симметрия, точные решения, асимптотики, структуры // Итоги науки и техники: Современные проблемы математики: Новейшие достижения. М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 28. С. 95205.
- Э.Гурса . Курс математического анализа . М.Л.: ГТТИ, 1933. Т. II. Ч. II. гл. XIX. Разд. IV. С. 92104.
- L.E.Dickson . Differential equations from the group standpoint // Annals of Math. 1924. V. 25. P. 287378. назад к тексту
- В.А.Дородницын , Г.Г.Еленин . Симметрия в решениях уравнений математической физики . М.: Знание, 1984. 64 с. См. также сб.: Компьютеры и нелинейные явления. М.: Наука, 1988. С. 123191.
- Н.X.Ибрагимов . Группы преобразований в математической физике . М.: Наука, 1983. 280 с. назад к тексту
- S.Lie . Vorlesungen über continuierliche Gruppen . Leipzig: Teubner, 1893. 805 c. назад к тексту
- Л.В.Овсянников .
- Групповые свойства дифференциальных уравнений . Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. 240 с.
- Групповой анализ дифференциальных уравнений . М.: Наука, 1978. 400 с. назад к тексту
- Л.В.Овсянников , Н.X.Ибрагимов . Групповой анализ дифференциальных уравнений механики // Итоги науки и техники: Общая механика. М.: ВИНИТИ, 1975. Т. 2. С. 552. назад к тексту
- Е.М.Полищук . Софус Ли . Л.: Наука, 1983. 214 с.
- Н.Г.Чеботарев . Теория групп Ли . М.Л.: ГИТТЛ, 1940. 396 с.
Добавлю сюда ещё одну книгу П. Олвер. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям (М., Мир, 1989), которую, благодаря достаточно недавнему (по сравнению с другими книгами) году выпуска, объёму в 600 с лишним страниц и ясности изложения, можно поставить в начало этого списка.
ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, теория симметри й, раздел математики, предметом к‑рого является совместное рассмотрение непрерывных групп преобразований и допускающих эти группы дифференциальных уравнений. Методы Г.а.д.у. используются в математике (теория дифференц. уравнений, математическая физика, теория групп), теоретич. физике, механике и др.
В Башкортостане Г.а.д.у. развивается с 70‑х гг. 20 в. в БГУ: иссл. задач о классификации интегрируемых ур‑ний привели к возникновению нового направления в Г.а.д.у. — симметрийные методы классификации интегрируемых ур‑ний (А.Б.Шабат); в сер. 80‑х гг. начаты иссл. интегрируемости ур‑ний со связями, получены необходимые условия наличия у них последовательности симметрий, порядки к‑рых стремятся к бесконечности, что позволило классифицировать интегрируемые эволюционные ур‑нияс тремя связями (Ф.Х.Мукминов, С.И.Свинолупов, В.В.Соколов).
В УГАТУ (В.А.Байков, Р.К.Газизов, Н.Х.Ибрагимов) ведутся иссл. по развитию теории приближённых групп преобразований, представляющей собой синтез методов классич. Г.а.д.у. с методами возмущений теории. С нач. 90‑х гг. в Ин-те механики (С.В.Хабиров) на основе методов Г.а.д.у. создана классификация дифференциально-инвариантных и уточнена классификация инвариантных подмоделей; в БГПУ (И.З.Голубчик, Соколов) развивается теория интегрируемых ур‑ний, где применяются группы преобразований и алгебры Ли. В сер. 90‑х гг. в СГПИ в ходе иссл. интегрируемости гиперболич. систем ур‑ний с квадратичной нелинейностью доказано, что таким системам соответствуют Z‑градуированные алгебры Ли; определены условия, при к‑рых гиперболич. система ур‑ний имеет две связанные калибровочным преобразованием иерархии симметрий (А.А.Бормисов, Мукминов). В 2001 в Ин-те математики получен полный список ур‑ний лиувиллевского типа (А.В.Жибер, Соколов), применён симметрийный подход при иссл. граничных задач для нелинейных ур‑ний (И.Т.Хабибуллин).
Лит.: Адлер В.Э., Хабибуллин И.Т., Черданцев И.Ю. Групповой анализ дифференциальных уравнений. Уфа, 1999.
«А.В. КРАСНОСЛОБОДЦЕВ ГРУППОВОЙ И БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ПЕРЕНОСА, ВОЗНИКАЮЩИХ В БИОФИЗИКЕ Учебное пособие Москва . »
ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ «ОБРАЗОВАНИЕ»
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ
А.В. КРАСНОСЛОБОДЦЕВ
ГРУППОВОЙ И БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ПЕРЕНОСА,
ВОЗНИКАЮЩИХ В БИОФИЗИКЕ
Учебное пособие Москва 2008 Инновационная образовательная программа Российского университета дружбы народов «Создание комплекса инновационных образовательных программ и формирование инновационной образовательной среды, позволяющих эффективно реализовывать государственные интересы РФ через систему экспорта образовательных услуг»
Экс пе ртн ое за к лю ч ени е – доктор физико-математических наук, доцент М.И. Скворцова Краснослободцев А.В.
Групповой и бифуркационный анализ нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в задачах переноса, возникающих в биофизике: Учеб. пособие. – М.: РУДН, 2008. – 194 с.
В пособии дается широкий обзор групповых методов решения и анализа дифференциальных и других уравнений, возникающих в различных вопросах математической физики. В качестве основного объекта первоначального изучения были взяты уравнения, часто применяемые в биофизике, и модельные уравнения линейной и нелинейной диссипативной физики, к ним примыкающие. Учебное пособие адресовано магистрам, обучающимся по специальностям «Математика», «Прикладная математика».
Учебное пособие выполнено в рамках инновационной образовательной программы Российского университета дружбы народов, направление «Комплекс экспортоориентированных инновационных образовательных программ по приоритетным направлениям науки и технологий», и входит в состав учебно-методического комплекса, включающего описание курса, программу и электронный учебник.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение…………………………………………………………………… Глава 1. Однопараметрические группы § 1. Сведения из общей теории групп и теории матричных групп и алгебр Ли………………………………………………………………….
§ 2. Однопараметрические группы преобразований……………………. § 3. Локальные однопараметрические группы преобразований……….. § 4. Уравнения Ли…………………………………………………………. § 5. Инфинитезимальный оператор однопараметрической группы преобразований……………………………………………………………..
Глава 2. Группы симметрии дифференциальных уравнений § 6. Инвариантные функции и многообразия……………………………. § 7. Теория продолжения точечных преобразований…………………… § 8. Алгебры Ли……………………………………………………………. § 9. Локальные группы Ли………………………………………………… § 10. Схема вычисления основной группы, допускаемой системой дифференциальных уравнений. Определяющие уравнения…………….
§ 11. Алгебры симметрии уравнений, моделирующих биофизические процессы – уравнений теплопроводности, уравнения Бюргерса, уравнения Фишера (Колмогорова-Петровского-Пискунова), системы Тьюринга (Белоусова-Жаботинского)…………………………………….
§ 12. Симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений………. § 13. Симметрии динамических систем………………………………….. Глава 3. Инвариантные решения уравнений § 14. Инвариантные решения дифференциальных уравнений…………. § 15. Инвариантные решения уравнений биофизики…………………… Глава 4. Группы симметрии линейных систем и интегродифференциальных уравнений § 16. Алгебры симметрии бесконечных систем дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальных уравнений…………………… § 17. Алгебра симметрии линейных дифференциальных уравнений….. § 18. Теорема Хопфа на плоскости………………………………………. Литература ……………………………………………………………….. Приложение 1. Элементарные сведения из общей топологии…………. Приложение 2. Основные сведения из общей теории групп………….. Приложение 3. Темы рефератов…………………………………………. Приложение 4. Задачи по курсу………………………………………… Описание курса и программа …………………………………………. Студенты естественнонаучного профиля впервые сталкиваются с групповым анализом дифференциальных уравнений на втором курсе, когда слушают курс по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Однородные, обобщенно-однородные уравнения, интегрирующий множитель для уравнений первого порядка – вот те задачи, которые студенты решают, используя каждый раз некоторые специальные методы, между которыми на первый взгляд нет никакой связи. В курсе уравнений математической физики строят ядро Пуассона для уравнения теплопроводности, используя теорему о свертке. Групповой смысл этого решения также остается непроясненным. Автомодельные решения, пи-теорема в механике сплошных сред, теоретической механике имеют то же происхождение. Поэтому представляется разумным дать широкий обзор групповых методов решения и анализа дифференциальных и других уравнений, возникающих в различных вопросах математической физики. В качестве основного объекта первоначального изучения были взяты уравнения, часто применяемые в биофизике, и модельные уравнения линейной и нелинейной диссипативной физики, к ним примыкающие.
Биофизические модели процессов переноса связывают между собой различным образом диффузию и нелинейность, причем диффузия также может быть и неоднородной и нелинейной. Моделей в биофизике к настоящему времени накоплено великое множество, мы остановились, прежде всего, на уравнении теплопроводности, уравнении Бюргерса, обобщенных уравнениях Фишера (Колмогорова-Петровского-Пискунова), уравнениях Белоусова-Жаботинского. Первые два уравнения взяты, поскольку в них диффузионные и нелинейные процессы выражены в чистом виде. Подчеркнем, что, однако, эти уравнения рассматриваются как первоначальный учебный материал по теоретико-групповым свойствам дифференциальных уравнений с частными производными.
Из другого материала отметим рассмотрение основных теоретикогрупповых вопросов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Причем рассмотрены как классические симметрии Ли, так и динамические симметрии. Указаны различия между ними. Изучение динамических симметрий позволяет в дальнейшем перейти к симметрийному изучению интегрируемых бесконечномерных систем.
Отдельный параграф посвящен симметриям линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Приведены различные подходы к этим вопросам, в том числе дано определение нелиевских симметрий.
Указаны возможные нелокальные обобщения.
Из современного материала в пособии рассмотрены вопросы группового анализа нелинейных интегродифференциальных уравнений и бесконечных систем дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих как законы сохранения для интегродифференциальных уравнений. Круг решенных задач здесь не слишком широк, это обусловлено отсутствием общего подхода к подобного рода задачам. В пособии изложены результаты автора по групповому анализу интегродифференциальных уравнений Бенни, описывающих сильно нелинейные волны на воде со свободной поверхностью, плазменным уравнениям, описывающим ионосферную плазму, и модельным кинетическим уравнениям, возникшим как замена уравнения Больцмана. Изучены полные алгебры классических симметрий, получены формулы производства решений, не имеющие групповой характер. Кроме того, найдены максимальные алгебры классических симметрий для эволюционных интегродифференциальных уравнений с квадратичной гидродинамической нелинейностью. В частности, на этом пути была построена полная алгебра классических симметрий для уравнения Бенжамина-Оно.
Всюду в пособии, там, где это, возможно, подчеркивается роль инвариантно-групповых решений для получения временной асимптотики задачи Коши для дифференциальных уравнений с частными производными.
Для биофизических уравнений подробно рассмотрен этот круг вопросов.
В книге также представлены некоторые вопросы теории бифуркаций.
Прежде всего, речь идет о теореме Хопфа на плоскости. Изучаемые биофизические модели допускают решения, инвариантные относительно некоторых однопараметрических групп. Фактор-система в этом случае обычно представляет двумерную динамическую систему, которая, как правило, зависит от параметра. Появление их периодических решений в зависимости от изменения параметра позволяет изучить бифуркационная техника, которая в дальнейшем может быть применена к многомерным и бесконечномерным системам.
Отметим то, чего нет в пособии, и что предполагается изложить в предполагаемой второй части. Это, прежде всего вариационные симметрии, контактные преобразования, группы Ли-Бэклунда (или высшие симметрии), теоретико-групповые методы асимптотического анализа динамических систем и сопутствуюшие им вопросы теории бифуркаций. Несмотря на это, автор надеется, что настоящая книга, основанная на реальных лекциях и практических занятиях, будет полезна не толькоширокому кругу студентов, но и читателям, интересующимся представленными выше вопросами.
Глава 1. Однопараметрические группы § 1. Сведения из теории матричных групп и матричных алгебр В этом параграфе рассматриваются матричные группы и матричные алгебры, изучается связь между ними. Используя матричную экспоненту, на уровне матричных групп и алгебр Ли фактически доказаны теоремы Ли, устанавливающие связь между общими алгебрами и группами Ли.
Пример 1. Матричные группы преобразований Множество всех квадратных матриц с вещественными элементами обоM ( n, R ). M ( n, R ) является линейным пространством, значается как a ij. Множество M ( n, R ) не является группой по умноженые элементы нию, так матрицы, у которых Справедлива следующая лемма, которая также выполняется и в бесконечномерном случае.
Лемма. Если матрица, при этом обратная матрица представляется в виде Доказательство: так как как геометрическая прогрессия, при этом тельно, ряд верно равенство, то, переходя к пределу (ряд сходится) и учитывая наты следующим образом:
точно малых 1). Полная линейная группа GL( n, R ). Множество невырожденных матM ( n, R ) условием det( a ij ) 0, где риц, задаваемое в пространстве A = ( a ij ) M ( n, R ), есть область в M ( n, R ). Произведение матриц c = ak bk. Рассматривая произведение матриц как отображение R n R n R n, получаем, что это отображение гладкое в силу того, что является многочленом. Точно так же рассматривая взятие обратной матриGL( n, R ) как отображение R n R n, видим, что это отображение M ( n, R ) как касательное пространство в любой точке открытого падает с множества пространства 2). Специальная линейная группа SL( n, R ). Это множество матриц из M ( n, R ) с определителем, равным 1. Из свойств определителей сразу следует, что выполняются аксиомы группы по умножению матриц. Пусть дана кривая det( A(t )) = 1.
Таким образом, имеем Следовательно, d (det( A(t )) n лю. Поверхность является неособой, так как для любой строки или столбца градиент по компонентам строки (столбца) не равен нулю, ибо в противоположном случае определитель будет равен нуля, что следует из разложения определителя по этой строке (столбцу). Следовательно, размерность риц с нулевым следом имеет такую же размерность. Таким образом, любая бесследная матрица является касательным вектором для некоторой кривой, проходящей через 3). Ортогональная группа O ( n, R ). Состоит из матриц, принадлежащих M ( n, R ), удовлетворяющих условию AAT = I, где AT означает трансA(t ), лежащую в O ( n, R ), понированную матрицу. Рассмотрим кривую так что A(0) + AT (0) = 0. Отсюда следует, что касательное прополучаем, что странство состоит из антисимметричных матриц. Из рассмотрения матричной экспоненты далее будет следовать, что любая антисимметричная матрица является касательным вектором для некоторой кривой, т.е. группа задана системой невырожденных уравнений.
O ( n, R ) с определителем, равным 1. Эта группа составляет надлежащих одну из двух связных компонент группы O ( n, R ), а именно ту, которая соI. Касательное пространство совпадает с пространством предыдержит дущей группы.
5). Унитарная группа Состоит из комплексных матриц порядка n, удовлетворяющих условиям AAT = I, где чертой обозначено комплексное сопряжение. Рассматривая кривые A = A(t ), A(0) = I, в группе U ( n ), аналогично пункту получим, что A + AT = 0. Такие матрицы называются эрмитово антисимметричными или просто антиэрмитовыми.
Группа задана регулярно.
6). Специальная унитарная группа с определителем, равным антиэрмитовых матриц с нулевым следом (синтез пунктов 3 и 5).
Матричные алгебры Ли Все эти множества являются векторными пространствами матриц над полем действительных или комплексных чисел, в которых введена дополниX,Y ] = XY YX, называемая 1). Алгебра R. Замкнутость относительно коммутатора очевидна.
2). Алгебра sl ( n, R ). Это множество всех матриц над полем R, у которых след равен 0. Структура векторного пространства очевидна. Поскольку след (обозначение одинаков для произведения матриц, т.е.
TrAB = TrBA, то алгебра sl ( n, R ) замкнута относительно коммутатора.
o( n, R ). Это векторное пространство матриц с дополнительАлгебра ным свойством Если Следовательно, доказана замкнутость относительно коммутации.
u( n ). Это алгебра матриц над полем комплексных чисел, соАлгебра стоящая из матриц, удовлетворяющих условиям векторного пространства очевидна, докажем замкнутость относительно su( n ). Это алгебра антиэрмитовых бесследных матриц. Это 5). Алгебра векторное пространство, которое выдерживает коммутирование матриц, что следует из предыдущих пунктов.
Пример 3. Матричная экспонента. Связь между матричными группами и матричными алгебрами Ли.
Экспоненциальное отображение (синоним — матричная экспонента) определяется с помощью формального ряда Справедлива следующая теорема:
1). Ряд (2) сходится для всех 2). Если матрицы 3). Для всякой матрицы exp A exp( A) = I,exp( AT ) = (exp A)T.
4). Для всех exp( BAB 1 ) = B (exp A) B 1.
5). Имеет место равенство det e A = eTrA.
Теорема 2. Экспоненциальное отображение переводит матричные алгебры Ли в следующие матричные группы:
Доказательство: 1). Из пункта 3 теоремы 1 следует, что матрица обратима. Это доказывает утверждение.
3). Если следует из пункта 3 теоремы 1. Утверждение доказано.
4). Аналогично пункту 3 получаем 5). Утверждение вытекает из доказанных пунктов 2 и 4.
§ 2. Однопараметрические группы преобразований M называется взаимно-однозначное отображение множества множества M на себя (синоним – биекция). Тогда T ( M ) — множество всех преобраM. Групповая операция в T ( M ) есть композиция зований множества отображений:
Единицей в множестве f 1 T ( M ) называется отображение, обратное к преобразоэлементом ванию Определение 1. Представлением группы T ( M ), ее также называют представлением группы G в виде группы преобразований множества f ( x, g ), так что ( x, g ) ( g )( x ) называется действием группы G G. Задание действия определяет групповую структуру на на множестве множестве T ( M ).
(или изоморфизмом), если отображение есть групповой изоморфизм.
Из определения сразу следует, что точно тогда и только тогда, когда ( g ) = I верно лишь для g = e.
Далее в этом параграфе пространство которое рассматривается как группа по сложению.
Определение 5. Представление : R T ( R n ) называется локально точным, если существует симметричный относительно нуля интервал R, такой, что для a равенство f ( a ) = I возможно лишь для a = 0.
Определение 6. Локально точное представление называется однопараметрической группой преобразований пространства a T ( Rn ). Соответствующее этому представлению действие группы R на пространстве R n определяется как отображение f : M G M, так что Наоборот, свойства действия позволяют восстановить групповые свойR.
ства представления группы Теорема 1. Групповые свойства представления ( R ) равносильны следующим свойствам действия 3) существует симметричный относительно нуля интервал если Доказательство: фиксируем циями x R n, при этом a, то a = 0, поэтому представление локально точное.
Замечание. Если кроме свойств 1-3 выполнено свойство 4) действие нопараметрическая группа называется непрерывной однопараметрической группой преобразований.
Пример 2. Группа сдвигов.
Фиксируем произвольную точку x = x + ax0. Свойства однопараметрической группы выполняются очевидным образом.
Пример 3. Однопараметрические группы в группе линейных гомеоморфизмов евклидова пространства.
Группа невырожденных линейных преобразований (гомеоморфизмов) евкR n есть группа GL( n, R ). Рассмотрим представлелидова пространства лежит классу C Рассмотрим однопараметрическую группу как гладкую кривую в проGL( n, R ) ными от каждого матричного элемента). Дифференцируя равенство a = exp(aA), a R.
u симметричная матрица, тогда невырожденным преобразованием Пусть можно привести матрицу A к диагональному виду. Матричная экспонента от диагональной матрицы (см. пример 2 из §1) также есть диагональная a = exp( aA) = diag (exp( a1. an )). Следовательно, преобразование пространства сводится к растяжениям вдоль координатных осей.
Пример 5. Группа вращений.
Этот случай мы уже рассмотрели при произвольном значении n = 3 матричная экспонента переводит антисимметричную матрицу в ортогональную матрицу, которую можно связать с I непрерывным путем.
u( x ) = 0. Следовательно, exp(tu )( x ) = x. Выберем систему координат, exp(tu ) = sin t cos t 0. Этой матрице соответствует группа враx3, которая соответствует направлению собстщений относительно оси венного вектора §3. Локальные однопараметрические группы преобразований вается дифференцируемый в обе стороны требуемое число раз гомеоморфизм :V1 V2, где Vi — это области в пространстве R n.
Определение 2. Если 0. Отображение f : V R n называется однопараметрическим сеR n, если для всякого мейством локальных преобразований пространства a отображение f : V R n является локальным преобразованиRn.
ем пространства Определение 3. Локальной однопараметрической группой Ли локальR n называется такое однопараметных преобразований пространства рическое семейство локальных преобразований имеет следующие свойства:
3) Если Для локальной группы Ли принято обозначение Определение 4. Отображение группу G, называется локальным действием группы G1 также рассматривается как представление : T ( R n ), элеa : V Rn, ментами которого являются локальные преобразования Пример 1. Проективная группа.
Принципиально локальной группой является следующее однопараметрическое семейство локальных преобразований: здесь V = ( ( x, y ) : x 1, y (, + )), = ( 1,1). Действие группы задается следующими формулами:
Аксиомы группы легко проверяются, например, рассмотрим групповое M,, соответствующее этому действию представление, и задано p : M M — преобразование множества M. Тогда отображение следовательно, и соответствующее действие обладает требуемыми свойстназываются эквивалентными, а на множестве всех представлений введено отношение эквивалентности. Соответствующие им действия групп также называются эквивалентными.
Вся терминология подобия групп переносится на локальные группы преобразований.
рим все диффеоморфизмы между Vi бесконечной гладкости, которые обозначим буквой p.
Определение 6. Группы преобразование такие, что для любого Пример 2 [3]. Пусть группа растяжений задана явными формулами V задается условиями x 0, =1 n. Преобразование p : V R n Область определяется формулами Рассмотрим формулу для действия получим, что Следовательно, мы получили группу сдвигов, которая подобна группе растяжений.
Пусть действие чим, что f ( x,0) = x.
Смысл следующей теоремы Ли состоит в том, что первый член разложеf ( x, a ).
ния Тейлора полностью определяет действие Теорема Ли (см. [2]). Пусть ется решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнение Ли) с начальными условиями:
Коши (1) удовлетворяет групповому свойству.
Доказательство: пусть выполнено групповое свойство, следовательно, выполнено равенство С другой стороны, ражения и переходя к пределу по переменной a, приходим к уравнению Начальные условия получаются из разложения Тейлора.
Обратно, пусть x две функции:
является решением уравнений Ли, сразу получаем, что уравнениям Ли:
Уравнения одинаковы, начальные условия одни и те же. Следовательно, по теореме единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решения совпадают в некоторой окрестности нуля переa, т.е.
менной Теорема доказана.
Пример 1. Рассмотрим конкретную систему Ли Интегрируя первое уравнение, получим y=. Это функции задают действие проективной группы.
Неканоническая групповая операция [4]. Если групповая операция в локальной группе задана не как операция сложения, то заменой параметра задача сводится к операции сложения. Действительно, что если групповое действие удовлетворяет равенству некоторых значений параметров из окрестности нуля. Дифференцируя (5) Положив в (6) b = 0, c = a, получим a в силу непрерывности функций. Поэтому можно записать малых лучим, что виде a (он называется каноническим) групповая операция является сложением.
В дальнейшем для выкладок всегда будет использоваться канонический параметр, кроме специально оговоренных случаев.
§5. Инфинитезимальный оператор однопараметрической группы преобразований вается множество вида f ( x, a ), где a пробегает множество, при a = 0 орбита проходит через точку x.
нопараметрической группы C k, k 1. Рассмотрим значение отображения на орбите элемента x, ходящая при 1). Пусть первого порядка называется инфинитезимальным оператором первого порядка.
: R n R m. Тогда правая часть равенства (1) имеет вид 2).
Следовательно, результат отображения касательных векторов можно записать как результат действия инфинитезимального оператора.
Таким образом, если ный вектор.
ца линейного преобразования, 3). Оператор растяжения.
4). Оператор вращения вокруг оси Глава 2. Группы симметрии дифференциальных уравнений § 6. Инвариантные функции и многообразия Всюду далее рассматривается локальная группа преобразований, область определения явно не указывается, при необходимости области могут быть сужены.
том группы Из определения следует, что Теорема 1. Отображение инвариантом группы ( f ( x, a )) = ( x ). Следовательно, продифференцировав это выражеa при a = 0, получим требуемое.
ние по параметру Обратно. Пусть ( ) ( x ) = 0, x V. Следовательно, заменяя пеx на x, получим, что ( f ( x, a )) не зависит от параметра a.
ременную Следовательно, Уравнение (3) является линейным однородным уравнением в частных производных первого порядка, интегрирование его сводится к нахождению ( n 1) функционально независимого первого интеграла системы характеристических уравнений (см. [1]):
Общее решение этого уравнения имеет вид где i — независимые интегралы.
Примеры нахождения инвариантов.
пишется так Система характеристик имеет вид Отсюда получаем, что 2). Инварианты проективной группы. Необходимо решить уравнение вательно, 3). Инварианты группы вращений. Уравнение (3) имеет вид в данном слуx 2 1 + x1 2 ) = 0. Решая систему обыкновенных чае уравнений, получаем два первых интеграла Теорема 1. Всякая группа преобразований невырожденной заменой переменных вдоль оси Доказательство: пусть группа v = i ( x ) i. Так как оператор инвариантен относительно замены коорj n 1 функционально независимых инвариантов 1 ( x ). n 1 ( x ) группы G1. В качестве новых переменных в R n возьмем следующие функции:
x = 1 ( x ). x = n 1 ( x ), в качестве x возьмем решение уравнения v ( x ) = 1. Полученная система функций является функционально независимой и определяет искомую замену переменных. По построению в ноn вых переменных Доказательство окончено.
M является ( n s ) — мерной поверхностью (многообразием), заданной системой уравнений является гладкой ( i C ) и регулярной, т.е.
x = f ( x, a ) = x + a ( x ) + o( a ), если для всякого x M орбита точки x лежит на поверхности M. Таким образом, если x является решением системы Теорема 2 [2,5]. Поверхность ( x ) = 0, является инвариантной относительно группы G1 с инфинитеv = тогда и только тогда, когда зимальным оператором ниях a. Это означает, что векторное поле ( x ) касается поверхности M в точках орбиты. Последнее свойство инвариантно относительно любых невырожденных замен координат. Следовательно, если мы докажем требуемый результат в одной системе координат, то докажем и в любой другой.
«Выпрямим» поверхность, сделав замену переменных угловой минор порядка s. Если отличен другой минор, то мы можем переименовать переменные, чтобы минор стал угловым. В новых переменных поверхность x = 0, i = 1. s; x, j = s + 1. n произвольные переменные, т.е. в этих переменных поверхность является гиперплоскостью, рассматриваемой локально. Далее двойную черту для переменных опустим. Тогда услоv i = 0, i = 1. s k (0. 0, x s +1. x n ) = 0, k = 1. s.
x = 0, x = (0. 0, x s +1. x n ). Записывая уравнения Ли для двух групп переменных, мы получим В качестве начального условия берется произвольная точка т.е.
то прямая проверка показывает, что начальные условия. Остальные переменные шения задачи Коши гарантирует инвариантность многообразия Примеры инвариантных множеств.
1). Пусть M =
ния инвариантна относительно оператора вращения вокруг оси Можно показать, что любые инвариантные поверхности можно представить с использованием инвариантов группы.
ную относительно группы Доказательство: предполагая, что поверхность, как и в теореме 2, задана ность. Замена переменных x = 0, i = 1. s; x, j = s + 1. n; где вторая группа переменных принимает произвольные значения. Так как поверхность инвариантна, то функционально независимый инвариант. Рассмотрим значения инварианi тов исходной группы этих инвариантов равно Пусть число независимых инвариантов среди них n s 1 n s 1.
Следовательно, существует s функциональных связей Считая (9) известными, определим новую поверхность корней уравнения По построению очевидно, что M размерность dim M dim M. Следовательно, n s n s, s s. Вместе с ранее указанным условием Из равенства размерностей и условия поверхности совпадают. Следовательно, инвариантная поверхность может быть задана требуемым образом.
рических локальных групп преобразований (основные определения см. § 9).
Пусть на множестве G r, a = ( a1. a r ) изменяется в некоторой окрестности нуля вие группы O в пространстве R r, так что f ( x, u, a ) X U, X открытое подR n, U открытое множество пространства R m.
множество пространства Пространство переменных, на которые действуют элементы группы разделено на две группы, называемые «независимыми» — ( X ) и «зависиU ).
бражения группы, если для всяких ( x, u, a ) X U O будет выполнено равенство раторами Тогда справедлива теорема, обобщающая полученные ранее результаты на случай многопараметрических групп преобразований.
Теорема 4. Отображение C 1 ( X U ) является инвариантом группы G r тогда и только тогда, коX U имеет место равенстгда во всех точках открытого множества Доказательство немедленно вытекает из того факта, что в канонической системе координат произвольное преобразование f ai. Фиксируя все параметры, кроме одного, получаем по предыдущему требуемый результат. Поскольку при замене групповых параметров получается изморфизм соответствующих алгебр Ли, то требуемый результат верен всегда.
ное с помощью векторного уравнения лежит многообразию Справедлива следующая теорема, которая обобщает на случай однопасм.
раметрической группы критерий инвариантности многообразия [2]).
Теорема 5. Многообразие всякого Доказательство аналогично однопараметрическому случаю.
§ 7. Теория продолжения точечных преобразований В случае, когда требуется решать какие-либо уравнения, замены переменных могут затрагивать как независимые переменные, так и зависимые. При этом если функциональная зависимость рассматривается в одной системе координат, то она может рассматриваться и в других системах координат. Если в уравнение входят производные, то их необходимо выражать в разных системах координат. Рассмотрим случай, когда преобразования переменных задачи образуют однопараметрическую группу:
x = ( x1. x n ), u = (u1. u m ). Так что группа действует в проЗдесь странстве R. Введем другое пространство переменных u =
Пусть группе Тогда оператор продолженной группы Прежде чем получить формулы в общем случае, рассмотрим простой случай, когда есть только одна независимая переменная и одна зависимая.
Пример 1. (см., например, [6,7]). Теория продолжения для обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
Последняя строка определяется первыми двумя строками в силу условия Сравнивая последнюю строку (6) с последним выражением (7), можно однозначно определить все коэффициенты продолженного оператора первого порядка Аналогично рассматривается второе продолжение. Введем обозначеdy dp Действие продолженной группы Тогда получим Разлагая в ряд последнюю дробь и сравнивая выражения как ряды по параметру a, получим Пример 2 [3,6,7]. Теория продолжения для одной зависимой переменной и двух независимых.
Эта теория непосредственно применима к дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка от двух независимых переменных.
x = ( x, y ), u = z. Оператор группы G1 имеет следующий вид:
Здесь Зададим совокупность преобразований следующим образом:
Тогда совокупность преобразований (12) образует однопараметрическую dz = pdx + qdy, d z = pd x + qd y. Таким образом, получим следующие соотношения:
эффициенты при соответствующих степенях формулы:
Для второго порядка используются дифференциальные соотношения dp = rdx + sdy, dq = sdx + ldy. Требуя, чтобы эти дифференциальные формы сохранялись и после преобразований, однозначно определим групповую операцию в пространстве Аналогично тому, как мы это делали для первого порядка, можно получить формулы для второго продолжения, которые, однако, далее удобно иметь в общем виде [2,3].
Общие формулы продолжения [2,8,5].
x, u, u считаются алгебраически независимыми, но связанПеременные Так как операторы дифференцирования действуют на функции конечного числа переменных, то все операции корректно определены. Оператор Di называется оператором полного дифференцирования, подразумевая, что мы дифференцируем сложные функции.
Аналогично вводятся пространства высокого порядка Здесь аналогично действует оператор полного дифференцирования, наuij = D j (ui ) = Di D j (u ).
пример, Рассмотрим совокупность дифференциальных форм первого порядка Тогда равенства ui = можно записать в следующем виде:
вательно, надо продолжить преобразования на продолжение задается следующими формулами:
Этому расширенному пространству соответствует оператор По полученному ранее критерию инвариантности многообразий имеем Из этих соотношений, действуя так же как в примерах 1 и 2 из этого параграфа, находится следующая формула для продолжения:
Аналогично рассматривается второе продолжение. Тогда имеем и систему дифференциальных форм Опуская простые, но громоздкие выкладки, получим следующие формулы Аналогично получаются формулы продолжения например, [8]). Для функции полная производная по Здесь, по всем мультииндексам Смысл полной производной проясняется, если вместо переменных u, ui, uij. подставить функцию u ( x ) и вычислить производную сложx i, используя цепное правило дифференциной функции по переменной рования. Для общего случая верна следующая теорема, доказательство которой может быть проведено по индукции.
Теорема 1. Пусть инфинитезимальный оператор однопараметричеx, u ), тогда продолжеv = i ( x, u ) ской группы есть ние порядка где суммирование ведется по всем мультииндексам § 8. Алгебры Ли Определение 1. Линейное пространство торой выполнено тождество Якоби:
Пример 1. Векторное пространство трехмерных векторов вместе с операцией векторного произведения обладает структурой алгебры Ли.
Пример 2. Пространство матриц [ A, B ] = AB BA является алгеброй Ли.
Доказательство. Вычислим последовательно Сложим все и получим 0.
Доказательство вытекает из пункта 2. Следовательно, все ранее рассмотренные матричные алгебры являются алгебрами Ли.
Пример 4. Алгебра линейных операторов в векторном пространстве с операцией коммутации где справа стоит разность композиций операторов. Проверка тождества Якоби дословно совпадает с примером. Другие примеры будут приведены далее.
Рассмотрим случай конечномерной алгебры Ли ei, e j = Cij ek. Числа называются структурными константами алk гебры Ли V. При изменении базиса в алгебре Ли константы меняются по тензорному закону (тензор третьего ранга типа (1,2)). Они антисимметричны по нижним индексам и удовлетворяют тождеству Якоби Коммутатор может быть задан с помощью структурных констант, а именk творяющих условию (2), определяем коммутатор страняем билинейным способом на все вектора из V. Легко проверить, что получена структура алгебры Ли.
ром Определение 2. Линейное отображение гомоморфизмом алгебр Ли, если для всяких x, y V будет выполнено равенство Определение 3. Алгебры V и V называются изоморфными, если сущеL : V V, являющийся биекцией. Изоморфизм на ствует гомоморфизм себя называется автоморфизмом.
Теорема 2. Множество всех автоморфизмов алгебры Ли подгруппой группы линейных гомоморфизмов алгебры V.
Доказательство. Если их композиция как Изоморфизм конечномерных алгебр Ли можно охарактеризовать в терминах структурного тензора.
Теорема 3. Если структурные константы алгебр V собой, то эти алгебры Ли изоморфны. Обратно, если они изоморфны, то найдутся базисы алгебр Ли, в которых структурные константы совпадут.
Пример 5. Во всякой алгебре Ли V являются подалгеброй и идеалом алгебры Ли V. Все остальные алгебры и идеалы называются собственными подалгебрами и идеалами.
Определение 6. Пусть [ x, y ], x A, y B (т.е. множество конечных линейных комбинаций i [ xi, yi ] ).
Тогда определения подалгебры и идеала можно сформулировать так:
гебры Ли [V, N ] = 0, называется центром алгебры Ли. Для любого центра ловию [ N, N ] = 0, т. е. коммутатор в центре всегда абелев.
Напоминание. Заданы векторное пространство подпространств x = xi, xi Vi. Если при этом такое представление единственно, то гоi = V является прямой суммой подпространствVi. Это факт запиворят, что сывается в виде V Определение 8. Если алгебра Ли V удовлетворяет следующим условиям:
тогда говорят, что алгебра Ли V является прямой суммой алгебр Vi.
Очевидно, что Vi ; i I является идеалом в алгебре Ли V. Рассмотрим в V отношеПусть ние эквивалентности x y (mod I ) x y I. Это действительно отношение эквивалентности, так как Следовательно, алгебра Px = x + I эквивалентных элементов. На множестве классов Px можно ввести операции сложения, умножения на число и коммутации. Проверим x1 = y1 + i1, x = y2 + i2 ; отсюда следует, что I идеал, то [ x1, x2 ] [ y, y2 ], т.е. операция корректно определеТак как на. Все свойства алгебры Ли проверяются очевидно. Полученная структура называется факторалгеброй и обозначается V Определение 9. Пространство ядром гомоморфизма и является идеалом в алгебре Ли V. Очевидно, что V / L и ( L) изоморфны, как алгебры Ли.
Основной пример 5. Алгебра инфинитезимальных операторов.
зывается векторным полем в пространстве C (V ) образуют векторное пространство (бесконечномерполя класса ное). В локальной теории область Обычное обозначение, — это производные векторных полей, рассматриваемых как Здесь гладкие отображения, Замечание. Точно так же определяется коммутатор произвольных гладких векторных полей на мнообразии любой карте на многообразии. Пространство векторных полей на многообM обозначается D ( M ).
разии С помощью инфинитезимального оператора предыдущее определение можно записать следующим образом:
Понятие коммутатора векторных полей переносится на операторы.
Определение 11. Коммутатором инфинитезимальных операторов ; называется инфинитезимальный оператор определяется формулой Определение основано на формуле, которая получается в результате сокращения вторых производных в силу их гладкости ляет бинарную операцию. Эта операция обладает следующими свойствами:
1) билинейность:
2) антисимметричность:
3) тождество Якоби:
Первые два свойства очевидны. Докажем третье свойство. Доказательство третьего состоит в последовательном развертывании определений:
(,, ) (,, ) (,, ). Раскрыв все слагаемые в равенстве Якоби, так же как для первого слагаемого, получим требуемый результат.
Таким образом мы доказали, что S, неособой и гладкой, то и [, ] ( x ) тоже касается этой поверхсти ности.
Доказательство. Пусть для краткости поверхность задается одним уравнеf ( x1. x n ) = 0.
менных поверхность системе координат, то в силу инвариантности объектов, теорема доказана в любой системе координат. Черту сверху далее для краткости опустим.
В последней суммме при k = n имеем Следствие. Множество гладких векторных полей на поверхности (многообразии) § 9. Локальные группы Ли G, на котором введена групповая структура, при этом мое многообразие групповые операции 1) умножение ( x, y ) xy ; 2) взятие обратного x x 1 являются гладкими функциями на многообразии G.
Пример 1. Матричные группы преобразований SL( n, R ), O ( n, R ), SO ( n, R ),U ( n ), SU ( n ) все являются группами Ли, так как групповые операции выражаются либо в виде многочленов, либо в виде дробно-рациональных функций в евклидовом пространстве.
зывается групповой гомоморфизм, который задается с помощью гладкого отображения многообразия Определение 3. Декартовым произведением G и p — мерной группы Ли G называется многообразие G G размерноr + p, в котором групповая операция определяется следующим расти вая операция задается гладкими функциями в декартовом произведении многообразий G G.
множество N : N N, максимального ранга в любой своей точке. Здесь N — некоторое другое многообразие, называемое пространством параметров.
торое обладает следуюшим свойством: для любой точки подмногообраx1. xn ), в которой подмногообзия существует координатная карта разие задается уравнениями В дальнейшем, как правило, у нас будут рассматриваться только регулярные подмногообразия.
зием гулярное подмногообразие в G. Обратно, всякая регулярная подгруппа Ли группы G замкнута (доказательство см.[8,9]).
Определение 4. Локальной r — параметрической группой Ли называU, ), где U — это окрестность нуля в R r, отображение ется пара : U U R r, обладающее следующими свойствами:
Теорема 2 (см.[2]). Для локальной группы Ли существует окрестV U, существует отображение i : V U, i C (V ), ность нуля i1, i2 : V U, такие, что (i1 ( a ), a ) = 0; ( a, i2 (a )) = 0. Из свойства 2) определения следует Свойства гладкости отображений требуемые. Теорема доказана.
Основной пример 2. Способ построения локальных групп. Возьмем глобальную группу Ли, рассмотрим карту из атласа, на которой изображена единица. Рассматрим групповые операции в этой карте. Очевидно, что получаем локальную группу Ли.
:U U называется локальным гомоморфизмом группы бражение (U, ) в группу (U, ), если где при необходимости можно сузить область определения Определение 6. Если гомоморфизм биективный и гладкий в обе стороны, то он называется локальным изморфизмом локальных групп Ли.
Определение 7. Пусть заданы пространство (U, ). Представление группы(U, ) в множестве T ( R n ) есть групповой гомоморфизм : U T ( R n ), т.е.
Определение 8. Представление называется точным, если существуV U, что для a V равенство ( a ) = I R n возет окрестность нуля можно лишь для Определение 9. Локальной группой Ли локальных преобразований проV ) точного представления, для коn странства R называется образ C. Отображение f ( x, a ) называется порождающим отображением (действием).
Теорема 3. Порождаюшее отображение обладает следующими свойствами:
Здесь Доказательство теоремы полностью аналогично однопараметрическому случаю.
Gx = ( f ( x, a ); a U ). Это множество является подмногообразием пространства Определение 11. Группа 1) полурегулярно, если все орбиты имеют одну и ту же размерность;
2) регулярно, если она действует полурегулярно, и для каждой точx D существует окрестность Ox точки x, что любая орбита в группе пересекает G группа Ли, a — фиксированный элемент группы G. ОтобраПусть La : G G, определенное формулой La ( h ) = ah, является дифжение феоморфизмом, обратный к которому есть антным, если странство всех левоинвариантных векторных полей на G (линейная структура).
Таким образом, все векторные поля получаются разнесением заданного енное векторное поле является левоинвариантным. Действительно, так как падает с размерностью касательного пространства в Определение 13. Коммутатор в пространстве левоинварианти G. Рассматривая эти векторные поля как дифференполя на группе Ли именно Доказательство: доказываемый результат не зависит от выбора системы торой системе координат, то тем самым он доказан в любой системе коорf диффеоморфизм, то системы координат с многообразия динат. Так как f ( x ) N имеют одни и те же координаты ( x1. x n ). Таким образом, ними и теми же функциями. Теорема доказана.
Корректность операций над левоинвариантными векторными полями. Структура векторного пространства выполняется очевидным образом.
Докажем, что коммутатор левоинвариантных полей является левоинвариантным полем. Этот результат опирается на теорему 4, так что что и требовалось доказать.
Пример 3 [10]. Левоинвариантные поля на группы GL( n, R ) ).
Левые сдвиги задаются формулой Тогда, если ответственно получим имеем [, ] = рицами, то вместо индексов i, p будут двойные индексы. Таким образом, получаем Здесь x — независимые переменные, при получен обычный матричный комутатор в Замечание 1. Тем самым мы доказали, что алгеброй Ли группы GL( n, R ) является множество M ( n, R ), которое в данном контексте обозначалось как матричная алгебра же доказывается, что список матричных алгебр o( n, R ), u( n ), su( n ) является списком алгебр Ли для матричных групп Замечание 2. Вместо левоинвариантных векторных полей можно было брать правоинвариантные. Получившаяся алгебра Ли будет изоморфна алгебре Ли, построенной выше.
Конструкция [8,9,10]. Траектории левоинвариантных векторных полей.
Пусть дано гладкое многообразие многообразии x (t ) = f ( x0, t ). По доказанному ранее, f ( x0, t ) обладает групповым свойством (см. §4), рассматриваемая как локальная однопараметрическая группа. Часто так же обозначают обозначения следует из группового свойства.
Определение 14. Гладкое отображение называется однопараметрической подгруппой, если Это определение обобщает на случай произвольной глобальной группы Ли предыдущие определения.
Теорема 5. Всякое левоинвариантное векторное поле полное, любая параметрической подгруппой. Обратно, любая однопараметрическая подG является интегральной кривой левоинвариантного векгруппа группы торного поля.
Доказательство: пусть bf ( a, t ) = f ( ba, t ) при всех t, при которых это равенство имеет Тогда ная кривая векторного поля с начальным условием вид Lb x ( 0 ) = bf ( a,0) = ba. Поэтому в силу единственности решений bf ( x, t ) = f ( ba, t ), что доказывает утверждение.
В силу доказанного равенства получаем Следовательно, существования решения как при любых конечных интервалах бежно Обратное утверждение доказывается аналогично.
G группа Ли, ve — касательный вектор из касательного проПусть Te к единице в группе G. По ve строится левоинвариантное странства группой в Определение 15.
называется экспоненциальным отображением.
Следовательно, (exp t ) =. Отображение гладкое, так как решение дифференциt = ального уравнения гладко зависит от параметров и начальных условий.
отождествлено касательное пространство к ei = (0. 1. 0), где единица стоит на i — ом месте (в любом базисе по теореме об обратной функции заключаем, что имеем локальный диффеоморфизм.
Определение 16. Каноническая система координат.
Если выбрать в TeG. Координаты переносятся в окрестность e с помощью построенв ного диффеоморфизма. Эти координаты в окрестности каноническими координатами первого рода.
Пример 4. Однопараметрические группы в уже рассмотрен в §1. Сейчас мы его рассмотрим в контексте общих построений.
GL( n, R ) определяются уравнениями f ( x0, t ) = x0 exp ( t e ), здесь справа стоит обычная матричная Тогда экспонента.
Действительно, решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид x ( t ) = x0 = x0 ete. Так как решение задаn чи коши единственно, то Аналогично рассматриваются другие матричные группы и алгебры Ли. Таким образом, мы восстанавливаем по алгебре Ли группу Ли (точнееокрестность единицы группы Ли). В силу полученного результата матричная экспонента является экспоненциальным отображением.
Конструкция. Алгебры Ли локальных групп Ли.
области определения полностью характеризуется своим значением в касательном пространстве e, размерность пространства всех таких векторных полей равна r. Пок скольку закон умножения в этом случае задан в координатном виде, то и алгебру Ли можно представить в координатном виде, точнее в виде инфинитезимальных операторов.
порождается векторными полями Доказательство: чтобы писать касательные векторы в стандартном виде, (0,0) = ki, то имеем линейный изоморфизм для любых тоТак как чек, близких к и требовалось доказать.
§ 10. Схема вычисления основной группы, допускаемойсистемой дифференциальных уравнений. Определяющие уравнения.
ная поверхность (многообразие), заданная системой дифференциальных уравнений в частных производных порядка Определение 1. Система дифференциальных уравнений (1) инвариG1 (допускает антна отнооднопараметрической группы преобразований эту группу, если поверхность в пространстве переменных заданная системой (1), как системой алгебраических уравнений, инвариs — го продолжения продожения группы G1, т.е.
антна относительно ременных u = (u xx, u xy, u xz, u yz, u yy, uzz ). Уравнение изучается в пространстве x = (t, x ), u = (u ). Все разворачивается в пространстве переменных (t, x, u, ut, u x, utt, u xt, u xx ). Допускаемый оператор однопараметричесой группы В таком виде обычно ищут симметрии эволюционных уравнений. Приведем формулы продолжения второго порядка для оператора однопараметрической группы:
Операторы полного дифференцирования имеют вид Для любой функции зависимых и независимых переменных получим:
Формулы второго продолжения Схема нахождения допускаемых однопараметрических групп основывается на применении к системе уравнений критерия инвариантности поверхности.
Теорема 1. Система (1) допускает однопараметрическую группу G с однопараметрическим оператором При этом необходимо выполнить следующие шаги:
1) построить продолжения оператора V ;
2) подействовать продолженным оператором на систему дифференциальных уравнений (1). Здесь оператор действует на каждое уравнение системы независимо;
3) перейти в полученных выражениях на систему уравнений (1). Локально это означает, что некоторые переменные из пространства производных исключаются и остаются лишь независимые переменные в пространстве производных, что, в свою очередь, означает параметризацию поверхности (1) областью евклидова пространства. Поскольку полученные уравнения должны удовлетворяться тождественно, то, приравнивая коэффициенты при одинаковых одночленах в пространстве производных, получим систеV, которая наму уравнений для нахождения коэффициентов оператора зывается системой определяющих уравнений.
Приведенные этапы вычислений можно подытожить следующей теоремой.
ма уравнений, ее касательное векторное поле (ее инфинитезимальный оператор) удовлетворяет определяющим уравнениям. Обратно, каждое решение системы определяющих уравнений задает оператор, который является оператором некоторой однопараметрической группы, допускаемой системой уравнений (1).
Свойства определяющих уравнений.
1). Определяющие уравнения линейные и однородные относительно коэффициентов оператора V. Это следует из того, что этим свойством обV. Следовательно, множество решений является линейладает оператор ным пространством.
2). Поскольку допускаемые операторы являются, будучи продолженными, касательными векторами для поверхности в продолженном пространстве, которая задается системой уравнений, то из результатов § 8 следует, что допускаемые операторы образуют алгебру Ли, не обязательно конечномерную.
3). Рассмотрим совокупность преобразований пространства зависимых и независимых переменных, каждое из которых принадлежит некоторой G1, допускаемой системой уравнений (1). Можно ввести основное группе определение группового анализа дифференциальных уравнений.
Определение 2. Основной группой системы дифференциальных уравнений (1) называют группу локальных преобразований пространства заывисимых и независимых переменных, которая является конечнопорожденным множеством преобразований, принадлежащих всевозможG1, допускаемым системой (1).
ным однопараметрическим группам § 11. Алгебры симметрии уравнений, моделирующих биофизические процессы, – уравнений теплопроводности, уравнения Бюргерса, уравнения Фишера (Колмогорова – Петровского — Пискунова), системы Тьюринга (Белоусова — Жаботинского) Основными механизмами рождения структур в нелинейных задачах математической биологии являются диффузия и нелинейные распределенные источники, причем сама диффузия также может быть нелинейной. Вариантов очень много. Поэтому мы рассмотрим наиболее типичные. Начнем с уравнения теплопроводности с чистой диффузией, а затем будем усложнять нелинейным образом системы. Главной целью этого параграфа является обучение методу группового анализа дифференциальных уравнений и изучение зависимости допускаемых алгебр Ли от нелинейных свойств уравнений. Биофизические уравнения позволяют это сделать.
1. Уравнение теплопроводности:
Допускаемый оператор будем искать в следующем виде:
Находим второе продолжение допускаемого оператора Записывая уравнение (1) в виде = = 0, после применения ut, свободными переменными в пространстве производных являются 1, u x, utt, utx, u xx и их различные произведения. Подставляя выражения для выражений Это полином свободных переменных в пространстве производных. Выпишем коэффициенты при имеющихся мономах, ставя слева одночлен в пространстве производных, при котором рассматривается коэффициент:
Из уравнений (1.3),(1.4) следует, что = (t ). Поэтому из (1.2) получаем u = 0, т.е. = (t, x ). Тогда уравнения (1.1),(1.6) выполняются автоматически. Таким образом, остаются уравнения Из (1.7) следует, что является линейной функцией по переменной u. Тогда = p (t, x )u + q(t, x ), где функции p (t, x ), q(t, x ) подлежат определению.
функция. Подставим полученные выражения в уравнения (1.8),(1.9):
Отсюда сразу получается, что p (t, x ) является квадратичной функцией по переменной жит определению. Так как p (t, x ), q(t, x ) не зависят от u, то получим паpt p xx = 0; qt qxx = 0. Подставим ру уравнений:
p = tt x 2 rt x + m(t ) в уравнение pt p xx = 0. Полученное выx:
ttt x 2 rtt x + mt + tt = 0. Отсюда следует, что так как, m, r являются функциями только от переменной t, то необходимо выполнение Подставляя полученные формулы в выражения для коэффициентов операc1t 2 + c2 t + c3 ;
q(t, x ) — произвольное решение уравнения теплопроводности. ПриЗдесь ведем базисные векторные поля (инфинитезимальные операторы), допускаемые уравнением теплопроводности:
Замечание 1. Допускаемая алгебра операторов бесконечномерна, так плопроводноссти, а пространство таких решений бесконечномерно. СтрукL = L6 L, где L6 по- тура допускаемой алгебры операторов имеет вид рождается шестью первыми операторами Vi, V. Отметим, что подобный результат находится в полном соответствии с выводами § 17, так что можно было сразу искать алгебру операторов в таком виде. Однако, имея в виду анализ нелинейных уравнений, такая техника здесь применяться не будет.
Это уравнение первоначально было предложено для описания турбулентных процессов. В сочетании с некоторыми вероятностными структурами оно продолжает использоваться и в настоящее время. Здесь (6) рассматривается как уравнение, сочетающее в себе нелинейный перенос и диффузию.
Возможны другие формы уравнения (6), например, +u = u xx. Оно сводится к предыдушему заменой u u.
Мы будем пользоваться уравнением, приведенным выше, так как уменьшается количество минусов в выкладках.
Оператор продолжения в этом случае такой же, как и для уравнения теплопроводности. Условие инвариантности уравнения Бюргерса относительно инфинитезимального оператора имеет следующий вид:
Подставляя формулы продолжения из § 10, исключая производную расщепляя уравнения на мономы и приравнивая коэффициенты при них нулю, получим систему определяющих уравнений:
(2.1).1: t xx u x = 0;
(2.4). ( u x ) : u uu + uu = 0;
(2.5). ( utx ) : 2 x = 0;
(2.7).(u x utx ) : 2 u = 0;
(2.9). ( u x ) u xx : uu = 0;
Из формул (2.5),(2.7) следует, что = (t ). Тогда из (2.8) получаем завиt, x ).
симость После этого остаются существенными следующие уравнения:
Отсюда сразу находим, что p, q, r подлежат определению. Подставляя выражения для Функции функций, во второе уравнение из (8), получим, что Так как это тождество по переменной u, то отсюда получаем, что Дифференцируя первое уравнение по переменной x, имеем, что То есть выражения в первое уравнение (8). Тогда имеем = c1t 2 + c2 t + c3, r = c4 t + c5. Таким образом, общий вид коэффициентов допускаемого инфинитезимального оператора имеет следующий вид:
Алгебра операторов пятимерна. Базис этой алгебры таков:
Замечание 1. Введение нелинейности в уравнение, как правило, сужает симметрию. Бесконечномерная алгебра Ли симметрий для уравнения теплопроводности превратилась в пятимерную алгебру для уравнения Бюргерса. На уровне точечных симметрий, не зная заранее результата, трудно установить связь между ними. Точный результат сформулируем в виде упражнения.
Упражнение 1. Уравнение Бюргерса сти 3. Уравнение (Колмогорова — Петровского — Пискунова):
Это одно из основных уравнений биофизики. Далее мы достаточно подробно рассмотрим его решения.
Мы рассмотрим случай, когда получаем уравнение сводится к уравнению теплопроводности (см. задачник [11]). Всегда можно добиться заменами независимых и зависимой переменных, чтобы = 1. Групповая классификация уравнения (13) была выполнена в работе [12,14]. Искомый вид допускаемого оператора все тот же. Выкладки будут практически такие же, что и ранее. Для простоты можно F (u ) аналитической функцией u. Приведем лишь сводку резульсчитать татов.
гда относительно сдвигов по оси s 0;1, то уравнение дополнительно допускает оператор растяжения оператор имеет следующий вид:
Здесь также сразу можно отметить, что в пространственном случае, когда число независимых переменных три, к полученным операторам добавляютcя операторы вращения вокруг координатных осей.
Петровского — Пискунова называется уравнением Фишера. Оно является модельным уравнением нелинейной биофизики. В этом случае уравнение допускает лишь сдвиги по осям 4. Система Тьюринга (упрощенные уравнения Белоусова — Жаботинского):
= 0; 2 = 0 получаются несвязанные уравнения Колмогорова При Петровского — Пискунова, которые мы уже рассматривали.
В биофизике считается, что система Тьюринга удачно моделирует явления морфогенеза, а морфогенез можно объяснить взаимной диффузией и реакциями веществ, которые называют морфогенами.
Опуская довольно громоздкие, но преодолеваемые детали, приведем итог группового анализа системы Тьюринга, впервые осуществленный в работах [13,14].
ринга допускает только сдвиги по осям Расширение алгебры операторов системы происходит лишь в следующих случаях.
4.1. Степенные источники, не вырождающиеся в константы:
В этом случае возникает дополнительный оператор, соответствующий группе подобия где постоянные величины 4. 2. Экспоненциальные источники, не вырождающиеся в конF1 = exp( L1u + L2 v ); F2 = exp( L3u + L4 v ).
Дополнительный оператор в этом случае имеет вид нений 4.3.Источники смешанного экспоненциально-степенного типа:
Дополнительный оператор имеет вид где постоянные Дополнительный оператор имеет вид где константы Этим исчерпывается групповой анализ уравнений Тьюринга.
Замечание 3. Во многих книгах, статьях по групповому анализу рассматривается задача групповой классификации уравнений или систем уравнений, когда в состав уравнений входят произвольные функции. В полном соответствии в приведенным выше анализом возникает нетривиальная зависимость допускаемой алгебры операторов от вида функции или функций. На множестве допускаемых алгебр действуют некоторые преобразования эквивалентности, которые разбивают допускаемые алгебры на эквивалентные классы, каждый из которых характеризуется некоторым представителем (алгеброй операторов наиболее простого вида). Для них и ищутся точные решения. Задача групповой классификации является нетривиальной. Но в нашем случае, поскольку мы, прежде всего, будем исследовать общий случай, задача групповой классификации является излишней.
§ 12. Симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений 1. Диффренциальные уравнения первого порядка. Рассмотрим y = f ( x, y ). Допустим, что это уравнение допускает однопараметричеx скую группу преобразований Первое продолжение оператора имеет вид G1 имеет вид Уравнение (4) часто формально решить труднее, чем исходное дифференциальное уравнение. Но для многих классов уравнений допускаемый оператор находится довольно просто. Итак, допустим, что допускаемый опе- ласти По теореме о выпрямлении векторного поля, заменой в новой системе координат образом в новой системе координат уравнение принимает вид Уравнение (6) является уравнением с разделяющимися переменными и интегрируется в квадратурах. Возвращаясь к исходным переменным, получаем решение исходного уравнения. Итогом этих рассуждений служит теорема.
ет оператор однопараметрической группы то решение дифференциального уравнения может быть найдено в квадратурах.
Замечание 1. По формулам замены переменных для функций ( x, y ), ( x, y ) получаем систему линейных уравнений в частных производных Так что является инвариантом однопараметрической группы.
Пример 1 [4,8]. Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение Мы решим это уравнение не самым коротким способом (см., например,[15]), зато универсальным. Уравнение является инвариантным при ( x, y, y x ) ( kx, ky, y x ), k 0, k = e a. Тогда оператор допускаемой группы имеет следующий вид:
которой происходит выпрямление векторного поля, примет вид Фнкционально независимыми решениями этой системы являются функции дифференцирования сложной функции, получим dy du du ренциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем его и возвращаемся к исходным переменным.
является интегрирующим множителем для дифференциального уравнения (10).
Уравнение (12) дает критерий того, что оператор уравнения (10).
образований получим А условие в точности совпадает с формулой (12). Теорема доказана.
2. Симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков. Пусть задано обыкновенное дифференциальное уравнеn) Допустим, что известен оператор симметрии Считая V 0, сделаем замену переменных u = ( x, y ); v = ( x, y ), в которых оператор примет следующий вид:
Тогда условие инвариантности дифференциального уравнения (14) отноF держит явно переменную v, т.е.
получим дифференциальное уравнение Пример 2. Рассмотрим уравнение вида кает оператор. Сделаем замену переменных F ( u, уравнение первого порядка.
Пример 3. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение втоp ( t ) y + q ( t ) y = 0.
рого порядка с переменными коэффициентами (Это же уравнение рассматривается в § 13). Это линейное уравнение. Оно (t, y ) (t, y ), 0, = e a. Этой однопараметрической группе соотV = y y. Выпрямление векторного поля достигается ветствует оператор заменой переменных группы примет вид Уравнение принимает вид Это уравнение после замены zu + z 2 + p (u ) z + q( z ) = 0. То есть порядок уравнения понижен.
Пример 4 [4]. Интегрирование частного уравнения Риккати.
Рассматривается уравнение частного вида x = xe a ; y = ye a, что проверяется непосредственно. Этой группе соотV = x x y y. Делаем замену переменных для выветствует оператор прямления векторного поля vu + v 2 v 2 = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными интегрируется в элементарных функциях.
Все сказанное в этом разделе можно подытожить теоремой.
F ( x, y, y x. y xn ) ) = 0 инвариантно относительно однопараметричеV, то оно может быть пониской группы преобразований оператором жено в порядке.
3. Дифференциальные инварианты.
s — го порядка называется функция : M R ( M является s антом ым продолжением множества инвариантом продолженного действия группы Пример 5. Дифференциальные инварианты группы вращений.
должение оператора Возникает проблема нахождения дифференциальных инвариантов, если известен какой либо один. Имеет место теорема.
Теорема 4. [2,16]. Пусть для группы инвариантом второго порядка. Любой инвариант не выше второго порядG1 будет функцией.
ка группы Доказательство этой теоремы можно прочитать в книге Л.В. Овсянникова «Групповой анализ дифференциальных уравнений». Смысл построения дифференциальных инвариантов относительно заданной однопараметрической группы состоит в том, что таким образом можно найти общий вид дифференциального уравнения соответствующего порядка, инвариантного относительно заданной однопараметрической группы. Сказанное поясним примером.
Пример 6. Рассмотрим оператор первое и второе продолжение этого оператора следующий вид:
Решая характеристическую систему, например, для второго продолжения, дифференциального уравнения первого порядка инвариантного относиy § 13. Симметрии динамических систем (динамические симметрии).
группы x = x + ( x )a + o( a ). Уравнения Ли для G записываются следующим Рассмотрим более подробно вопрос о преобразовании произвольной функции инфинитезимальный оператор группы Уравнение уравнения Лиувилля позволяет выразить Считая, что рассматриваемые функции являются аналитическими функa, мы можем написать следующее разложециями группового параметра Имеем следующие начальные условия при Аналогично рассматриваются высшие производные. В результате получаем следуюший ряд:
Этот ряд называется рядом Ли, и он также может быть записан в виде Уравнение (3) также можно считать определением операторной экспоненa, получим ты. Дифференцируя формулу (3) по Таким образом доказана формула Это позволяет переписать уравнение Лиувилля в следующей форме:
V = i ( x ) xi, т.е. инфинитезимальный оператор записан в Здесь уже терием.
Уравнение (5) является линейным уравнением в частных производных, решение его равносильно решению уравнения Ли. Точнее, если оборот, пусть известно решение уравнения (5) для любой функции тогда, полагая Пример 1. Проективная группа.
x = ( x, y ), т. е. группа рассматривается на плоскости. Тогда Здесь V = x 2 x + xy y — оператор проективной группы. Тогда Vx = x 2, Здесь Совершенно аналогично имеем функция. Тогда Определение 1 [6,7,17]. Функция функцией оператора для которого верно тора V.
( x ) — собственная функция оператора V, ( x ) — соответстПусть вующее собственное значение. Тогда Свойство собственных функций. Пусть оператора функция оператора V с собственным значением Конструкция 1 [6,7]. Преобразование динамической системы под действием однопараметрической группы преобразований.
Если сделать замену переменных в пространстве силу инвариантности оператора Если потребовать, чтобы формулы замены переменных являлись не фиксированным отображением, а образовывали однопараметрическую группу, то можно переформулировать задачу следующим образом: рассматриваетdx ся динамическая система Кроме этого, задана однопараметрическая группа преобразований коорG1 : u = u ( x, a ) с оператором V = i ( x ) xi. Подинатного пространства сле замены переменных исходная динамическая система примет следуюdu A = X (u, a ) ui. Необходимо установить связь между операторами A, A,V. Так как u = f ( x, a ) = e aV x, то x = f ( u, a ) = e aV u. По построению операторной экспоненты в первом случае оператор имеет вид V = i ( x ) xi, а во втором случае — V = i (u ) ui. Возвращаясь в операA к старым переменным, мы получим оператор A. Тогда по формуторе лам пересчета коэффициентов в операторах, имеем Ae aV u i = X i ( x ). Правые части не зависят от параметра a, следовательa Ae aV u i = 0. Дифференцируя покомпонентно, получим e u A aV u + V Ae aV u = 0, последнее слагаемое получено в нено для всех u из некоторой окрестности, то из последнего равенства следует, что Это уравнение Лиувилля, записанное для оператора. Точно так же решение системы (12) задается в виде ряда по параметру лучен ряд Ли для оператора, который в этом случае называется рядом Хаусдорфа( [6,7]):
Отсюда получаем, что динамическая система не меняется по действием однопараметрической группы преобразований, если деление 2.
Определение 2 [6,7,18]. Оператор однопараметрической группы преобразований называется оператором симметрии динамической системы с A, если в некоторой области переменных выполнено соотоператором ношение A = X i ( x ) xi и известна симметрия динамической системы ратором V = i ( x ) xi, так что [ A,V ] = 0, V 0. Тогда систему можно понизить в порядке, т.е. свести к системе от меньшего числа зависимых переменных.
Доказательство совершенно аналогично результату для обыкновенных дифференциальных уравнений. Так как заменой переменных V=. Раз коммутор операторов равен нулю в одной системе коордиy n нат, то он равен нулю и во всех остальных, следовательно, y По определению это означает, что для любой функции ( y Подставляя последовательно = y. y, получим, что = 0. Таn ким образом преобразованная система не зависит от переменной x = t, y = z, получим систему трех обыкновенных дифСделав замену ференциальных уравнений:
Этой системе соответствует группа симметрий Оператор исходной системы Прямая проверка показывает, что V выпрямлен, для этого необходимо ввести новые коорв которых вектор динаты ма в новых переменных имеет вид Таким образом уравнение свелось к уравнению Риккати. Этот же результат был получен для обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием классических симметрий Ли.
Дополнительные симметрии динамических систем.
Пусть задана динамическая система оператором торая гладкая функция, то это также позволяет понизить порядок системы.
Действительно, лее высокого порядка. В результате получим, что переменных В координатном представлении имеем уравнения системы на последнее уравнение, получим Таким образом, интегральные кривые для системы (20) такие же, как и для исходной системы, что мотивирует определение.
Определение 2. Оператор A = X i ( x ) xi, если существует такая гладкая функция ( x ), что Теорема 2. Если динамическая система допускает группу симметрий в расширенном смысле, то она может быть понижена в порядке.
Доказательство полностью аналогично теореме 1.
Принцип суперпозиции в нелинейных системах.
Пусть даны две динамические системы Этим системам соответствуют операторы По операторам могут быть построены однопараметрические группы x = u( x, t ); x = v ( x, a ). Фиксируя t, a, можно составить композицию групповых преобразований двумя способами:
Теорема 3. Композиция групповых преобразований не зависит от порядка преобразований, если и только если коммутируют операторы однопараметрических групп.
Доказательство: так как e At e Ba x = e Ba e At x при всех значениях групповых параметров. Раскладывая правую и левую части в ряд по параметрам a, t, видим, что все коэфA, B ].
фициенты различным способом выражаются через коммутатор пы коммутируют, то, оставляя линейные по параметрам члены, получаем [ A, B ] = 0.
Теорема 4. Пусть есть две однопараметрические коммутирующие группы. Тогда композиция групповых преобразований, при условии отождествления групповых параметров, также образует однопараметрическую группу.
Доказательство: требуется доказать что следует, что новую группу порождает оператор Следствие [6,7]. Пусть дана динамическая система причем векторному полю а векторному полю Следствие служит просто другой формулировкой теоремы 4 и выражает нелинейную «суперпозицию» в нелинейных системах. Этот результат является важным в асимптотических теориях, так как позволяет «разделить»
быстрые и медленные движения в механических системах [6].
Замечание 1. Динамические симметрии и симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений, вообще говоря, не совпадают. Это следует хотя бы из того факта, что по заданной динамической системе симметрия определяется как решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка. Пространство таких решений бесконечномерно. С другой стороны, обыкновенное дифференциальное уравнение вообще может не допускать никаких однопараметрических групп. Тем не менее для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка симметрии совпадают (см.[6,7]).
Глава 3. Инвариантные решения уравнений § 14. Инвариантные решения дифференциальных уравнений Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с частными произпроводными, которая задается с помощью гладкого отображения странства с координатами x, u, u. u ( x В дальнейшем эту систему будем именовать основной системой.
Так как орбиты разных элементов, полученные действием мнопараметрической группы преобразований, могут иметь разные размерности, то действие группы необходимо характеризовать более детально, чем это было сделано ранее при рассмотрении инвариантных многообразий.
Всякое решение X U, где X R n,U R m. На множестве всех решений основной системы (в случае линейной основной системы это линейное пространство) действует любая группа преобразований, допускаемая основной системой. Оно может совпадать с основной группой преобразований, допускаемой основной системой, или быть ее подгруппой. По смыслу симметрии отсюда следует, что допускаемая группа решение переводит в решение, причем это решение в общем случае отлично от исходного решения.
Любое решение можно представить геометрически. Это множество точек x X R n, X — открытое множество, то рассматриваемое мноскольку жество является многообразием (карта задается с помощью проекции ( x, f ( x )) x, x X ). Соответственно это многообразие является подмногообразием в пространстве [ ]. Размерность [ ], как очевидно, равна n.
Пусть задана некоторая G r, допускаемая основной системой уравнений. Эта группа порождается алгеброй инфинитезимальных операторов Определение 1 [19]. Рангом группы Определение 2. Общим рангом группы X U называется число r = max rank ai ( x0, u0 ),a ( x0, u0 ).
Очевидно, что общий ранг достигается на открытом подмножестве множеX U.
ства гда и только тогода, когда Система уравнений (2) является системой линейных дифференциальных уравнений относительно каждой компоненты отображения показать (см. [19]), что при полной, т.е. существуют решения, причем аналогично однопараметричеn + m r фунционально нескому случаю, существует полный набор из зависимых инвариантов вариантов. По построению, очевидным образом, выполнены соотношения r r, r n + m (ранг меньше или равен минимальному размеру матриr m + n, то тогда по предыдущему существуют инварианты цы). Если группы G. Но они могут быть, даже если нений системы (2).
r — ранг группы G r (синонимы — ранг касательного отображения (a,a ), ранг матрицы a,a на открытом множестве ( X U ).
Определение 3. Точка G r, если в этой точке rank ai ( x0, u0 ),a ( x0, u0 ) = r. Точка ( x0, u0 ) называется особой, если rank ai ( x0, u0 ),a ( x0, u0 ) постоянен на всех точках многообразия [ ] и меньше r.
разием, если оно состоит из неособых точек группы rank ai ( x0, u0 ),a ( x0, u0 ) постоянен на всех точках многообразия [ ] и равен r.
вать способом, аналогичным тому, как это было сделано для однопараметрических групп.
Теорема 1 (см. [2]). Неособые инвариантные многообразия группы G r существуют тогда и только тогда, когда n + m r. Если неособое ( x, u ) = 0, то существует такой инвариант I : X U R k, что [ ] задается уравнением I ( x, u ) = 0.
Определение 6. Рангом неособого инвариантного многообразия [ ] группы G r называется число = n + m k r.
u ( x ) = 0 и обозначаемое [ ]. Пусть G r является некоторой r — параметрической группой, допускаемой основной системой.
вариантным решением относительно группы [ ] является инвариантным многообразием группы G r.
Многообразие [ ] имеет размерность n = dim X. С другой стороны X U равна n + m. Следовательно, [ ] задано регулярно.
ность зия относительно получим систему уравнений Определение 8. Инвариантное решение является неособым, если ров.
Теорема 2. Необходимым условием существования Первое условие уже получено, а второе следует из того, что на n + m берем n.
Сформулируем алгоритм нахождения неособых инвариантных решеG r — параметрической группы, допускаемой ний относитетельно заданной основной системой. Пусть для определенности Чтобы из системы уравнений (4) можно было выразить r (a,a ) = r (a ) [ ]. Как обычно будем считать, что этому условию v = I ( x, u ), [1. m ] ;
Систему (4) запишем теперь в виде Из (4),(5) выразим G r инвариантное решение удовлетворяет новой системе дифференцибое альных уравнений, которая обычно называется фактор-системой относиG r. Итог рассуждений состоит в следующей теореме.
тельно группы Теорема 3. Любое инвариантное решение является решением факторсистемы.
ется системой уравнений в частных производных обыкновенных дифференциальных уравнений случаях теорема 3 дает лишь необходимые алгебраические условия существования решений. Существование решений в каждом случае изучается отдельно.
§ 15. Инвариантные решения уравнений биофизики На основе уравнений, сочетающих в себе нелинейность и диффузию, а потому достаточно универсальных, приведены примеры инвариантных решений.
1. Уравнение теплопроводности:
A). Решения, инвариантные относительно оператора Инвариантами этого оператора являются функции Следовательно, инвариантные решения имеют вид доказали, что решение, инвариантное относительно группы временных сдвигов, имеет следующий вид:
Б). Решения, инвариантные относительно оператора V Инвариантами этого оператора являются функции Инвариантные решения этого уравнения принимают следующий вид:
u = ( ) = ( x ct ), = x ct. Подставляя эту функцию в уравнение (1) и дифференцируя сложную функцию, получим уравнение Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Первое интегрирование дает В). Решения, инвариантные относительно оператора Это инвариантность относительно преобразований Галилея. Инварианты I1 = t; I 2 = u exp( ). Инвариантное решение имеет следующий вид:
u = (t )exp( ). Подставим полученное выражение в уравнение (1) и получим уравнение После сокращений получаем обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными t =. Его общее решение имеет вид =. Здесь C — произвольная постоянная. Тогда общий вид инвариантного решения относительно преобразований Галилея имеет вид С точностью до множителя это фундаментальное решение уравнение теплопроводности или функция источника. Интересно, что оно получено не как решение инвариантное относительно группы растяжений, а как решение, инвариантное относительно преобразований Галилея.
Фундаментальное решение определяет структуру общего решения задачи Коши для уравнения теплопроводности, а также главную асимптотику решения задачи Коши.
операторов растяжения, их наиболее общий вид. Здесь постоянная, множитель I1 = ; I 2 =, следовательно, инвариантное решение необходимо искать как функцию вида выражения в уравнение (1) получается обыкновенное дифференциальное уравнение на функцию :
является решением уравнения теплопроводности. Теперь фундаментальное решение получено как автомодельное решение, т.е. решение, инвариантное относительно группы растяжений. Таким образом, фундаментальное однопараметрических групп.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности на прямой.
Решая задачу (5) с помощью преобразования Фурье (см., например [20]), получим следующее выражение:
Здесь ( k ) — образ Фурье начальной функции, при этом ( k ) = ( k ), так как ( x ) вещественная начальная функция.
переменной позволяет вычислить интегралы. Рассмотрим тождества Получим представление решения инвариантному решению (автомодельному), а роль начальных условий принимает универсальный вид Таким образом доказано, что асимптотика задачи Коши определяется инвариантным решением.
2. Уравнение Бюргерса:
некоторая положительная постоянная, в физической литературе Здесь часто называемая вязкостью.
инвариантные относительно операторов дифференциальное уравнение A — постоянная интегрирования. Полагая, что u u1, u2 при ±, получим, что уравнение примет вид переменными, получим следующий интеграл:
решенная нами задача называется задачей о распространении ударной моделировании нелинейных диффузионных процессов, поскольку описывает решение, связывающее два разных постоянных значения переменной Б). Решения, инвариантные относительно проективной группы.
«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ А.Н. Тюшев В.Д. Вылегжанина КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ Часть 1 Механика Учебное пособие для студентов 1 и 2 курсов Новосибирск 2003 УДК 530 С 26 Рецензенты: Член-корреспондент международной академии акмеологических наук, кандидат педагогических наук, доцент Новосибирского государственного технического университета Э.Б. Селиванова Кандидат физико-математических наук, доцент Сибирской государственной. »
«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Оренбургский государственный университет Кафедра технологии переработки молока и мяса О.В. БОГАТОВА, Н.Г. ДОГАРЕВА ХИМИЯ И ФИЗИКА МОЛОКА Рекомендовано Ученым советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Оренбургский государственный университет в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по программам высшего. »
«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ И.П. Гаркуша ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ Учебное пособие Днепропетровск НГУ 2012 УДК 53(075.4) ББК 22.379 Г 43 Рекомендовано редакційною радою Державного ВНЗ НГУ як навчальний посібник для бакалаврів галузі знань 0503 Розробка корисних копалин (протокол № 2 від 26.06.2012). Гаркуша И.П. Г 43 Элементы физики полупроводников [Текст]: учеб. пособие : – Д. »
«Программа учебной дисциплины КОНЦЕПЦИИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ Составитель: Рыжков С.А., доцент, к.т.н., доцент Распределение часов по темам и видам учебных занятий по дисциплине Концепции современного естествознания Количество аудиторных часов Всего В том числе по видам Наименование разделов и тем учебных занятий лекции семинары Тема 1. Естественно-научная и гуманитарная культуры 6 2 4 Тема 2. Естествознание и математика 6 2 4 Тема 3. Научные революции в концептуальных 18 6 основаниях. »
«ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет филиал в г.Елабуга Инженерно-технологический факультет Кафедра общей инженерной подготовки Масла, смазки и специальные жидкости УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Елабуга 2013 1 УДК 665 ББК 35.514 Д18 Печатается по решению редакционно- издательского совета филиала К(П)ФУ в г. Елабуга, протокол №27, от 28.02.2013 г. Рецензенты: А.В. Костин, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общенаучных дисциплин КНИТУ – КАИ. В.Ю. Шурыгин, кандидат. »
«1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева НОВОМОСКОСКИЙ ИНСТИТУТ Издательский центр МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА примеры решения задач Новомосковск 2000 2 Составители: А.Л. Дюков, В.П. Коняхин. Молекулярная физика и термодинамика. Примеры решения задач: методические указания / РХТУ им. Д.И. Менделеева Новомоскоский институт, сосот.: А.Л. Дюков, В.П. Коняхин. Новомосковск 2000, 67 с. Методические указания составлены в. »
«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В. Н. КАРАЗИНА ЧЕБОТАРЕВ В. И., ДУМИН А. Н., ХОЛОДОВ В. И. ПОЛУПРОВОДНИКИ В РАДИОЭЛЕКТРОНИКЕ Учебно-методическое пособие по основам радиоэлектроники для самостоятельной работы студентов физических специальностей ХАРЬКОВ – 2008 УДК 261.375 ББК 32.844 Че 34 Рекомендовано ученым советом радиофизического факультета Харьковского национального университета имени В. Н. Каразина (протокол № 7 от 27. 08.08) Рецензенты. »
«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Л.Д. Дикусар, И.Г. Баранник ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ИНТЕРНЕТ-ЭКЗАМЕНУ ПО ФИЗИКЕ Утверждено Редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия Новосибирск СГГА 116 2009 УДК 53 (О75) Д 45 Рецензенты: Академик академии естествознания, доктор физико-математических наук, профессор Новосибирского государственного университета экономики и управления Т.Я. Дубнищева Кандидат. »
«Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский государственный университет им. А.М.Горького А.А.Вшивков ХИМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЖИЗНИ Учебное пособие Екатеринбург 2008 ПРЕДИСЛОВИЕ Основной задачей современного естествознания является познание живой природы и бесконечного многообразия ее форм. Выполнение этой задачи невозможно без тесного взаимодействия естественных наук – физики, химии, биологии. Подтверждением этого является тот факт, что с внедрением физических методов исследования. »
«Федеральное агентство по образованию ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра электронных приборов (ЭП) Орликов Л.Н. ТЕХНОЛОГИЯ МАТЕРИАЛОВ И ИЗДЕЛИЙ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ Учебное пособие 2006 Учебное пособие рассмотрено и рекомендовано к изданию методическим советом кафедры электронные приборы ТУСУР _2006 г. Развитие научно-технического прогресса поставило задачу резкого усложнения техники и технологии на базе применения ЭВМ. Большинство явлений. »
«ЗАЯВКА на размещение информации в образовательном портале КЭУ Структура/Кафедра: Математики и естественнонаучных дисциплин Автор(ы): Жумукова Самара Ташыновна Название материала(работы) : Физика Вид (тип) материала: Учебное пособие Для направления/специальности: Коммерция Профиль/ специализация : Таможня и экспертиза товаров Для размещения в базе данных портала: Краткое название материала : Физика В работе дается краткий теоретический курс, примеры и методика решения задач, а также контрольные. »
«Научно-исследовательский институт ядерной физики имени Д. В. Скобельцына Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова Л. И. Мирошниченко Физика Солнца и солнечно-земных связей Под редакцией профессора М. И. Панасюка Учебное пособие Москва Университетская книга 2011 УДК 551.5:539.104(078) ББК 22.3877 М64 Научный редактор профессор М. И. Панасюк На первой странице обложки: логотипы двух российских спутников для исследования Солнца — КОРОНАС-Ф (слева) и КОРОНАС-ФОТОН. »
«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКОЙ АКАДЕМИИ ФИЗИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВЗАОЧНИКОВ ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ РАЗДЕЛ 6 ФИЗИКА АТОМА ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ СЫКТЫВКАР 2000 РАССМОТРЕНО И РЕКОМЕНДОВАНО К ИЗДАНИЮ УЧЕНЫМ СОВЕТОМ СЫКТЫВКАРСКОГО ЛЕСНОГО ИНСТИТУТА (ФИЛИАЛ) САНКТ-ПЕТЕРБУРСКОЙ. »
«Аннотация Программа составлена на базе Примерной программы среднего (полного) общего образования физике (профильный уровень) и авторской программы Г.Я. Мякишева Учебно-методический комплект 1. Мякишев Г. Я. Физика. Механика. 10 класс. — М.: Дрофа,2013г. 2. Мякишев Г. Я., Синяков А. 3. Физика. Молекулярная физика. Термодинамика. 10 класс. -М.: Дрофа, 2007. 3. Мякишев Г. Я., Синяков А. 3. Физика. Колебания и волны. 10 класс. — М.: Дрофа, 2007. 4. Мякишев Г. Я., Синяков А. 3., Слободсков Б. А. »
«М.В. Кириков, В.П. Алексеев ФИЗИКА Учебное пособие для подготовительных курсов Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Центр дополнительного образования М.В. Кириков, В.П. Алексеев Физика Учебное пособие для подготовительных курсов Ярославль 1999 ББК Вя73 К43 Физика: Учебное пособие для подготовительных курсов / Сост. М.В. Кириков, В.П. Алексеев; Яросл.гос. ун-т. Ярославль, 1999. 50 с. Цель учебного пособия — систематизация и. »
«Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова В.Н. Казин, Г.А. Урванцева ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ В ЭКОЛОГИИ И БИОЛОГИИ Учебное пособие Ярославль 2002 ББК Ес25я73 К 14 УДК 543.87 Казин В.Н., Урванцева Г.А. Физико-химические методы исследования в экологии и биологии: Учебное пособие / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2002. 172 с. Учебное пособие написано в соответствии с содержанием Государственных образовательных стандартов и. »
«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра биохимии СТРУКТУРНАЯ БИОХИМИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ МИНСК 2011 1 УДК 577. 11 (112, 113, 114, 115). 15. 16. ББК в.р. Б Авторы О.И. Губич, Т.Н. Зырянова, Е.О. Корик, Т.А.Кукулянская, С.И. Мохорева, Д.А. Новиков, Н. М. Орл, И.В. Семак Рекомендовано Ученым советом биологического факультета 7. 09. 2011 г., протокол № Рецензенты: кафедра биохимии и биофизики УО Международный государственный. »
«Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра экологического мониторинга, менеджмента и аудита Кафедра ЮНЕСКО Н. В. Гончарова, В. Н. Копиця ПРИНЦИПЫ ЭКОЛОГИИ Учебно-методическое пособие Минск МГЭУ им. А. Д. Сахарова 2009 УДК 502/504(075.32) ББК 20.18я722 Г65 Рекомендовано к изданию учебно-методическим объединением высших учебных заведений Республики Беларусь по экологическому образованию в качестве учебно-методического пособия (протокол № 2 от 30 октября 2009 г.). Авторы: Н. В. Гончарова. »
«ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО УКАЗАННЫМ ПОСОБИЯМ Самостоятельная работа по учебным пособиям является главным видом работы студента — заочника. В самостоятельной работе рекомендуется руководствоваться следующими положениями: 1) изучать курс физики необходимо систематически в течение всего учебного процесса; 2) студент должен придерживаться одного пособия при изучении всего курса или раздела; 3) чтение учебного пособия следует сопровождать составлением конспекта; 4) при. »
«Фокин В.Г. Оптические системы передачи и транспортные сети Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению Телекоммуникации Рекомендовано УМО по образованию в области телекоммуникаций в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям 21040165 Физика и техника оптической связи, 21040465 Многоканальные телекоммуникационные системы, 21040665 Сети связи и системы коммутации Москва, 2008 УДК 621.391 621.395 621.396 ББК 32.88 Ф74 В.Г. Фокин. »
© 2013 www.diss.seluk.ru — «Бесплатная электронная библиотека — Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»
Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.
http://bashenc.online/ru/articles/83232/
http://diss.seluk.ru/m-fizika/30000478-1-av-krasnoslobodcev-gruppovoy-bifurkacionniy-analiz-nelineynih-differencialnih-integro-differencialnih-uravneniy-zadachah-perenosa.php