Кратные корни многочленов
Пусть p(x) – многочлен степени n , а q(x) – многочлен степени n – k , где n и k – натуральные числа, удовлетворяющие неравенству .
Определение . Число α называют корнем кратности k многочлена p(x) , если справедливо равенство
p(x) = (x – α) k q (x) , | (1) |
Утверждение 1 . Число α является корнем кратности k многочлена p(x) тогда и тогда, когда оно является корнем производной этого многочлена кратности k – 1 .
Доказательство . Взяв производную от обеих частей формулы (1), получаем
Поскольку выражение, стоящее в квадратных скобках, при x = α не обращается в нуль, то утверждение 1 доказано.
Из утверждения 1 вытекает следующее
Утверждение 2 . Число α является корнем кратности k многочлена p(x) тогда и тогда, когда выполнены равенства:
Задача . Найти все значения параметра m , при которых многочлен
имеет корень кратности 2 .
Решение . Воспользовавшись утверждением 2, получаем
КРАТНЫЙ КОРЕНЬ
Смотреть что такое КРАТНЫЙ КОРЕНЬ в других словарях:
КРАТНЫЙ КОРЕНЬ
алгебр. ур-ния f(x) = а0хn + + а1хn-1 + . + ап = 0, такое число b, что f(x) делится без остатка на 2-ю или более высокую степень т двучлена (х — b); . смотреть
КРАТНЫЙ КОРЕНЬ
КРАТНЫЙ КОРЕНЬ алгебраического уравнения такое число b, что f(х) делится без остатка на 2-ю или более высокую степень m двучлена (х — b); число m — кратность корня b.
КРАТНЫЙ КОРЕНЬ
КРАТНЫЙ КОРЕНЬ, алгебраического уравнения такое число b, что f(х) делится без остатка на 2-ю или более высокую степень m двучлена (х — b); число m — кратность корня b. смотреть
КРАТНЫЙ КОРЕНЬ
— алгебраического уравнения — такое число b, что f(х) делитсябез остатка на 2-ю или более высокую степень m двучлена (х — b); число m -кратность корня b. смотреть
Кратные корни многочлена
При рассмотрении вопроса о корнях многочлена, особо выделяют понятие кратных корней.
Определение. Пусть задан многочлен $f\left(x\right) \in P\left[x\right]$ ($P\left[x\right]$ — множество всех многочленов от буквы $x$ над полем $P$) и $\alpha$, где $\alpha$ — корень многочлена $f\left(x\right)$. Элемент $\alpha$ назовем $k$-кратным ($k \in \mathbb
Принято рассматривать понятие кратного корня для $k>1$. Если же $f\left(x\right)$ можно представить следующим образом: $$f\left(x\right)=\left(x-\alpha\right) f_<1>\left(x\right),\, f_<1>\left(\alpha\right) \ne 0,$$ то $\alpha$ называется простым (однократным) корнем многочлена$f\left(x\right)$. Если для $f\left(x\right)$ имеет место следующее равенство: $$f\left(x\right)=\left(x-\alpha\right)^2 f_<1>\left(x\right),\, f_<1>\left(\alpha\right) \ne 0,$$ то $\alpha$ называется двукратным корнем многочлена $f\left(x\right)$. Аналогично, существуют корни трехкратные, четырехкратные и так далее.
Часто условие $f_<1>\left(\alpha\right) \ne 0$ заменяют на $f_<1>\left(x\right)\,\bar\vdots\,(x-\alpha)$. Эквивалентность этих условий вытекает из следствий теоремы Безу. Тогда, набор условий, что $f(x)\,\vdots\,\left(x-\alpha\right)^k$, но $f(x)\,\bar\vdots\,\left(x-\alpha\right)^
Процесс нахождения кратности корня
Пусть задан многочлен $f\left(x\right) \in P\left[x\right]$ и его корень $\alpha$ ( $\deg f\left(x\right) > 0$). Рассмотрим задачу о нахождении кратности корня $\alpha$.
Так как $\alpha$ — корень $f\left(x\right)$, то имеет место следующее представление: $$f\left(x\right)=\left(x-\alpha\right)f_<1>\left(x\right).$$ Тогда, если $\alpha$ не является корнем $f_<1>\left(x\right)$ ($f_<1>\left(\alpha\right) \ne 0$), то, по определению, $\alpha$ — простой корень многочлена $f\left(x\right)$. В противном случае, $\alpha$ — $k$-кратный ($k \in \mathbb
Стоит упомянуть, что иногда удобней пользоваться критерием кратности корня.
Примеры решения задач
- Пусть задан многочлен $f\left(x\right)=x^3-3x^2+4$. Определить, является ли $2$ корнем многочлена $f(x)$. В случае положительного ответа найти его кратность.
Для решении задачи воспользуемся алгоритмом Горнера. Стоит обратить внимание на то, что хоть и слагаемое вида $a_<1>x^1$ отсутствует в записи, но нулевой коэффициент необходимо не забыть занести в таблицу.
$1$ | $-3$ | $0$ | $4$ | |
$2$ | $1$ | $-1$ | $-2$ | $0$ |
$2$ | $1$ | $1$ | $0$ | |
$2$ | $1$ | $3$ |
Из таблицы видно, что многочлен $f(x)$ поделился на $\left(x-2\right)^2$ без остатка, а на $\left(x-2\right)^3$ — нет. Получаем, что $2$ — двукратный корень многочлена $f(x)$.
Так как $\alpha$ — двукратный корень многочлена $f(x)$, то $f(x)$ представим в следующем виде: $$f\left(x\right)=\left(x-\alpha\right)^2 f_<1>\left(x\right),$$где $f_<1>(\alpha) \ne 0$. Аналогично, $g(x)$ можно представить следующим образом: $$g\left(x\right)=\left(x-\alpha\right) g_<1>\left(x\right),$$где $g_<1>(\alpha) \ne 0$. Тогда, $$f(x)g(x)=\left(x-\alpha\right)^2f_<1>(x)(x-\alpha)g_<1>(x)=\left(x-\alpha\right)^3f_<1>(x)g_<1>(x).$$Так как $f_<1>(\alpha) \ne 0$ и $g_<1>(\alpha) \ne 0$, то $f_<1>(\alpha)g_<1>(\alpha)\ne0$. Обозначим $f(x)g(x)=h(x)$, $f_<1>(x)g_<1>(x)=h_<1>(x)$, тогда перепишем выражение многочлена $f(x)g(x)$ следующим образом: $$h(x)=\left(x-\alpha\right)^3h_<1>(x),$$ где $h_<1>(\alpha)\ne0$. Тогда по определению $\alpha$ — корень $f(x)g(x)$ третьей кратности.
Для решении задачи воспользуемся алгоритмом Горнера.
$1$ | $5$ | $10$ | $10$ | $5$ | $1$ | |
$-1$ | $1$ | $4$ | $6$ | $4$ | $1$ | $0$ |
$-1$ | $1$ | $3$ | $3$ | $1$ | $0$ | |
$-1$ | $1$ | $2$ | $1$ | $0$ | ||
$-1$ | $1$ | $1$ | $0$ | |||
$-1$ | $1$ | $0$ |
Из таблицы видно, что многочлен пятой степени $f(x)$ поделился на $\left(x+1\right)^5$ без остатка. Получаем, что $-1$ — корень пятой кратности.
По определению, для того, что бы $2$ была корнем второй кратности, необходимо что бы имело место следующее представление: $$f(x)=\left(x-2\right)^2f_<1>(x),\, f_<1>(2) \ne 0.$$С другой стороны, в нашем случае: $$f_<1>(x)=x^2+x-6=(x-2)(x+3),\, f_<1>(2)=0.$$ Получаем, что $2$ не корень второй кратности. Тогда найдем его кратность. Выразим $f(x)$ подставив $f_<1>(x)=(x-2)(x+3)$:$$f(x)=\left(x-2\right)^3(x+3)=\left(x-2\right)^3f_<2>(x),$$ $f_<2>(2)=(2+3)=5\ne0$. Значит, по определению, $2$ — корень многочлена $f(x)$ третьей кратности.
Представим исходный многочлен следующим образом: $$f(x)=x^4(x^4-8x^3+10x^2-1).$$
Обозначим $f_<1>(x)=x^4-8x^3+10x^2-1$. Легко убедиться, что $f_<1>(0)=-1\ne0$. Получаем, что, по определению кратного корня, $0$ — корень многочлена $f(x)$ четвертой кратности.
http://rus-bse.slovaronline.com/39002-%D0%9A%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9%20%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8C
http://ib.mazurok.com/2020/06/06/multiple-roots-of-polynomials/