Что такое квадратное уравнение и неравенства

Квадратные неравенства, примеры, решения

В данном разделе мы собрали информацию о квадратных неравенствах и основных подходах к их решению. Закрепим материал разбором примеров.

Что представляет собой квадратное неравенство

Давайте посмотрим, как по виду записи различать неравенства различных видов и выделять среди них квадратные.

Квадратное неравенство – это такое неравенство, которое имеет вид a · x 2 + b · x + c 0 , где a , b и c – некоторые числа, причем a не равно нулю. x – это переменная, а на месте знака может стоять любой другой знак неравенства.

Вторым названием квадратных уравнений является название «неравенства второй степени». Объяснить наличие второго названия можно следующим образом. В левой части неравенства находится многочлен второй степени – квадратный трехчлен. Применение к квадратным неравенствам термина «квадратичные неравенства» некорректен, так как квадратичными являются функции, которые задаются уравнениями вида y = a · x 2 + b · x + c .

Приведем пример квадратного неравенства:

Возьмем 5 · x 2 − 3 · x + 1 > 0 . В этом случае a = 5 , b = − 3 и c = 1 .

Или вот такое неравенство:

− 2 , 2 · z 2 − 0 , 5 · z − 11 ≤ 0 , где a = − 2 , 2 , b = − 0 , 5 и c = − 11 .

Покажем несколько примеров квадратных неравенств:

Здесь коэффициенты этого квадратного неравенства есть ; 1 2 3 · x 2 — x + 5 7 0 , в этом случае a = 1 2 3 , b = — 1 , c = 5 7 .

Особое внимание нужно обратить на тот факт, что коэффициент при x 2 считается неравным нулю. Объясняется это тем, что иначе мы получим линейное неравенство вида b · x + c > 0 , так как квадратная переменная при умножении на ноль сама станет равной нулю. При этом, коэффициенты b и c могут быть равны нулю как вместе, так и по отдельности.

Пример такого неравенства x 2 − 5 ≥ 0 .

Способы решения квадратных неравенств

Основным метода три:

• графический;
• метод интервалов;
• через выделение квадрата двучлена в левой части.

Графический метод

Метод предполагает проведение построения и анализа графика квадратичной функции y = a · x 2 + b · x + c для квадратных неравенств a · x 2 + b · x + c 0 ( ≤ , > , ≥ ) . Решением квадратного неравенства являются промежутки или интервалы, на которых указанная функция принимает положительные и отрицательные значения.

Метод интервалов

Решить квадратное неравенство с одной переменной можно методом интервалов. Метод применим для решения любого вида неравенств, не только квадратных. Суть метода в том, чтобы определить знаки промежутков, на которые разбивается ось координат нулями трехчлена a · x 2 + b · x + c при их наличии.

Для неравенства a · x 2 + b · x + c 0 решениями являются промежутки со знаком минус, для неравенства a · x 2 + b · x + c > 0 , промежутки со знаком плюс. Если мы имеем дело с нестрогими неравенствами, то решением становится интервал, который включает точки, которые соответствуют нулям трехчлена.

Выделение квадрата двучлена

Принцип выделения квадрата двучлена в левой части квадратного неравенства состоит в выполнении равносильных преобразований, которые позволяют перейти к решению равносильного неравенства вида ( x − p ) 2 q ( ≤ , > , ≥ ) , где p и q – некоторые числа.

Неравенства, сводящиеся к квадратным

К квадратным неравенствам с помощью равносильных преобразований можно прийти от неравенств других видов. Сделать это можно разными способами. Например, перестановкой в данном неравенства слагаемых или переносом слагаемых из одной части в другую.

Приведем пример. Рассмотрим равносильное преобразование неравенства 5 ≤ 2 · x − 3 · x 2 . Если мы перенесем все слагаемые из правой части в левую, то получим квадратное неравенство вида 3 · x 2 − 2 · x + 5 ≤ 0 .

Необходимо найти множество решений неравенства 3 · ( x − 1 ) · ( x + 1 ) ( x − 2 ) 2 + x 2 + 5 .

Решение

Для решения задачи используем формулы сокращенного умножения. Для этого соберем все слагаемые в левой части неравенства, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

3 · ( x − 1 ) · ( x + 1 ) − ( x − 2 ) 2 − x 2 − 5 0 , 3 · ( x 2 − 1 ) − ( x 2 − 4 · x + 4 ) − x 2 − 5 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 0 , x 2 + 4 · x − 12 0 .

Мы получили равносильное квадратное неравенство, которое можно решить графическим способом, определив дискриминант и точки пересечения.

D ’ = 2 2 − 1 · ( − 12 ) = 16 , x 1 = − 6 , x 2 = 2

Построив график, мы можем увидеть, что множеством решений является интервал ( − 6 , 2 ) .

Ответ: ( − 6 , 2 ) .

Примером неравенств, которые часто сводятся к квадратным, могут служить иррациональные и логарифмические неравенства. Так, например, неравенство 2 · x 2 + 5 x 2 + 6 · x + 14

равносильно квадратному неравенству x 2 − 6 · x − 9 0 , а логарифмическое неравенство log 3 ( x 2 + x + 7 ) ≥ 2 – неравенству x 2 + x − 2 ≥ 0 .

Квадратные неравенства

Чтобы решить квадратные неравенства вспомним, что такое квадратичная функция?
Квадратичная функция – это функция записанная формулой : y=ax 2 +bx+c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, при этом a≠0.
Графиком квадратичной функции является парабола.

В зависимости от значения a ветви графика направлены вверх или вниз:

• если a>0, то ветви параболы направлены вверх;
• если a 2 +bx+c=0

Квадратные неравенства имеют вид.

ax 2 +bx+c>0
ax 2 +bx+c 2 +bx+c≥0
ax 2 +bx+c≤0

Чтобы начать решать квадратные неравенства, необходимо знать как решаются квадратные уравнения?
А также для графического метода решения неравенства, необходимо знать алгоритм построения квадратичной функции или параболы?

Как решать квадратные неравенства?

Решение квадратных неравенств рассмотрим на примерах. Для начала разберем случаи, когда у квадратного уравнения дискриминант меньше нуля (нет корней).

Пример:

Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, а это значит, что весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0 (ветви параболы смотрят вверх)

Можно проверить себя взяв любое число с числовой прямой, например число 1. Подставить число 1 вместо переменой х в неравенство 3x 2 +2x+20>0.

Получили верное неравенство 25>0, следовательно так как у нас нет корней уравнения нам подойдут все точки числовой прямой.

Пример:

Рассмотрим этот же пример со знаком неравенства меньше 0

3x 2 +2x+20 2 +2x+20=0

Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, значит парабола не пересекает ось x. Весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0.

А знак уравнения меньше 2 +2x+20 2 +2•1+20 2 +x-2 2 +x-2=0

Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.

Знак уравнения меньше 2 +x-2 2 +(-3)-2 2 +(0)-2 2 +(2)-2 2 +x-2>0

Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.

Знак уравнения больше >0. Нам в ответ необходимо записать часть параболы, которая находится выше оси x. Визуально графически можно оценить по картинке, нам подходят интервалы (-∞;-2) и (1;+∞).

Также можно решить методом интервалов. Ось x делится на три участка.

Первый участок (-∞;-2). На этом участке можно взять любое число меньше -2, например возьмем число -3 и подставим в неравенство x 2 +x-2 2 +(-3)-2>0

Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (-∞; 2) подходит.

Второй участок (-2; 1). На этом участке можно взять число 0.

Получили неверное неравенство -2>0, следовательно этот интервал (-2; 1) не подходит.

Третий участок (1; +∞). На этом участке возьмем число 2.

Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (1; +∞) подходит.

Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами

Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.

Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.

1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.

Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.

Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.

Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.

Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.

Если и – корни квадратного уравнения
, то по теореме Виета:

Решим первое неравенство системы

Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .

Возведем второе уравнение системы в квадрат:

Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .

Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр

График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:

3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения

Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно

1) . Получим линейное уравнение

У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.

2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .

Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:

— Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.

Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.

— Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.

Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.

Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим

Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
.

С учетом пункта 1 получим ответ

4. При каких значениях параметра a уравнение

имеет единственное решение?

Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .

Сделаем замену

Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.

1) В случае уравнение будет линейным

Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.

2) Если , уравнение будет квадратным.

Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.

Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.

Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.

Объединив все случаи, получим ответ.

И наконец – реальная задача ЕГЭ.

5. При каких значениях a система имеет единственное решение?

Решением квадратного неравенства может быть:

В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:

1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)

2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства

Рассмотрим первый случай.

Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или

Если , при этом система примет вид:

Второй корень первого уравнения:

Второй корень второго первого:

Если , при этом система примет вид:

– бесконечно много решений, не подходит.

Рассмотрим второй случай.

– решением является точка, если – является решением второго неравенства.

– решением является точка, если – не является решением первого неравенства.