Линейно зависимые и линейно независимые функции. Примеры исследования функций на линейную зависимость по определению.
Функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ называются линейно зависимыми на некотором множестве $T$, если существуют такие константы $\alpha_1,\;\alpha_2,\;\alpha_3,\ldots,\alpha_n$, что $\forall x\in T$ выполняется следующее равенство:
$$ \begin
Примечание к терминологии: показать\скрыть
В определении использован термин «равенство», хотя можно было бы воспользоваться термином «тождество». Фразы «для каждого значения переменной $x\in T$ выполняется равенство $a(x)=b(x)$» и «на множестве $T$ верно тождество $a(x)\equiv b(x)$» равносильны. Например, фраза «равенство $\sin^2x=1-\cos^2x$ выполнено для $\forall x\in R$», равносильна такой: «на множестве $R$ верно тождество $\sin^2x=1-\cos^2x$». Т.е. вместо слов о том, что «$\forall x\in T$ выполняется следующее равенство: $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\ldots+\alpha_n\cdot y_n=0$» можно сказать так: «на множестве $T$ верно тождество $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\ldots+\alpha_n\cdot y_n\equiv 0$». Некоторые авторы предпочитают использовать именно термин «тождество».
Условие (2) можно изложить и в такой формулировке: среди коэффициентов $\alpha_i$ есть хотя бы один, не равный нулю.
Несложно убедиться в равносильности формулировок. Равенство $\alpha_<1>^<2>+\alpha_<2>^<2>+\ldots+\alpha_
Если же равенство (1) возможно лишь при условии:
то функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ именуют линейно независимыми на множестве $T$. По сути, условие (3) равносильно такому: все коэффициенты $\alpha_i$ равны нулю.
Для двух функций несложно вывести простое правило: если $\forall x\in T$ $\frac
Обоснование этого правила: показать\скрыть
Допустим, что $\frac
Если же $\frac
Все примеры, указанные в этой теме, будут опираться на определения и свойство, приведенные выше. Естественно, что в общем случае применение таких определений несколько затруднительно. Существует несколько критериев, которые позволяют упростить процесс проверки функций на линейную зависимость. На сайте рассмотрены два таких способа: с помощью определителя Вронского и определителя Грама.
Выяснить, являются ли функции $y_1(x)=x^2+2x-4$, $y_2(x)=-4x^2+7x-1$, $y_3(x)=-5x^2+20x-14$ линейно зависимыми или линейно независимыми на множестве $R$.
Рассмотрим линейную комбинацию этих функций: $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3$. Если $\forall x\in R$ равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ выполняется только при $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$, то рассматриваемые функции линейно независимы. Если же $\forall x\in R$ равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ возможно при условии, что хотя бы один из коэффициентов $\alpha_i$ не равен нулю, то функции линейно зависимы.
Подставим в выражение $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ заданные функции:
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
$$ \alpha_1\cdot x^2+2\alpha_1\cdot x-4\alpha_1-4\alpha_2\cdot x^2+7\alpha_2\cdot x-\alpha_2-5\alpha_3\cdot x^2+20\alpha_3\cdot x-14\alpha_3=0; $$ $$(\alpha_1-4\alpha_2-5\alpha_3)\cdot x^2+(2\alpha_1+7\alpha_2+20\alpha_3)\cdot x+(-4\alpha_1-\alpha_2-14\alpha_3)=0.$$
Последнее равенство возможно лишь в том случае, когда коэффициенты при степенях переменной $x$ одновременно равны нулю, т.е.:
Мы получили однородную систему линейных уравнений. Нам нет необходимости в её решении, нужно лишь установить количество решений. Если решение лишь одно – нулевое (или, в иной терминологии, тривиальное), т.е. $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$, то функции линейно независимы. Если же есть иные решения, кроме нулевого, то функции линейно зависимы. Найдем ранг матрицы системы $A= \left( \begin
Отсюда получаем решение: $\left\< \begin
$$ 3\cdot y_1+2\cdot y_2-y_3=3\cdot(x^2+2x-4)+2\cdot(-4x^2+7x-1)-(-5x^2+20x-14)=0. $$
Итак, существуют такие константы $\alpha_1;\;\alpha_2;\;\alpha_3$ (например, $\alpha_1=3;\;\alpha_2=2;\;\alpha_3=-1$), не все одновременно равные нулю, что на $R$ выполняется тождество $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3\equiv 0$. Следовательно, рассматриваемые функции линейно зависимы.
Исследовать на линейную зависимость такие функции: $y_1(x)=x\ln(x+4);\;y_2(x)=\ln^2(x+4)$.
Исследование проведем в интервале $T=(-4;+\infty)$, который представляет собой область определения заданных функций. Применим правило для определения линейной зависимости двух функций, указанное в начале страницы. Так как при $x\in(-4;+\infty)$ имеем: $\frac
Исследовать на линейную зависимость функции: $y_1(x)=1$, $y_2(x)=x$, $y_3(x)=x^2$, $y_4(x)=x^3$, $y_5(x)=x^4$.
Область определения этих функций есть вся числовая прямая, т.е. $x \in R$. Рассмотрим равенство:
$$ \begin
Если равенство (4) для всех $x\in R$ возможно лишь при условии $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\alpha_5=0$, то заданные функции линейно независимы. Если же равенство (4) $\forall x\in R$ выполняется на наборе констант $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$, $\alpha_5$, среди которых хотя бы одна отлична от нуля, то заданные функции линейно зависимы. Итак, нужно исследовать равенство (4).
В левой части равенства (4) расположен многочлен, порядок (или, в иной терминологии, степень) которого не превышает $4$. Например, если $\alpha_1=2; \;\alpha_2=0;\;\alpha_3=0;\;\alpha_4=7;\;\alpha_5=0$, то получим многочлен третьего порядка:
$$\alpha_1\cdot 1+\alpha_2\cdot x+\alpha_3\cdot x^2+\alpha_4\cdot x^3+\alpha_5\cdot x^4=7x^3+2.$$
Т.е. в левой части равенства (4) может быть многочлен четвертого, третьего, второго, первого и нулевого порядков.
Рассмотрим случай, когда в левой части равенства (4) расположен многочлен, порядок которого не равен нулю (среди констант $\alpha_2;\;\alpha_3;\;\alpha_4;\;\alpha_5$ хотя бы одна не равна нулю). Любой многочлен первого порядка может обратиться в ноль только в одной точке (т.е. существует только одно значение $x$, при котором многочлен первого порядка равен нулю). Многочлен второго порядка равен нулю не более, чем в двух точках; многочлен третьего порядка – не более, чем в трёх точках; многочлен четвертого порядка обращается в ноль не более, чем в четырёх точках. Т.е. если среди констант $\alpha_2;\;\alpha_3;\;\alpha_4;\;\alpha_5$ есть хотя бы одна, отличная от нуля, то равенство (4) может быть выполнено не более, чем при четырёх значениях $x$ (а не для всех $x\in R$).
Рассмотрим ситуацию, когда среди констант $\alpha_2;\;\alpha_3;\;\alpha_4;\;\alpha_5$ нет ни одной, отличной от нуля, т.е. $\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\alpha_5=0$. В этом случае в левой части равенства (4) получим многочлен нулевого порядка:
$$\alpha_1\cdot 1+\alpha_2\cdot x+\alpha_3\cdot x^2+\alpha_4\cdot x^3+\alpha_5\cdot x^4=\alpha_1$$
А само равенство (4) станет таким: $\alpha_1=0$. Следовательно, для многочлена нулевого порядка выполнение равенства (4) возможно лишь при $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\alpha_5=0$.
Подведём итоги: если в правой части равенства (4) стоит многочлен ненулевого порядка, то равенство (4) не может быть выполнено при всех $x\in R$. Равенство (4) может быть выполнено для всех $x\in R$ только когда в правой части стоит многочлен нулевого порядка, однако это означает $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\alpha_5=0$. Так как равенство (4) выполняется для всех $x\in R$ только при условии $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\alpha_5=0$, то заданные функции линейно независимы на $R$.
Исследовать на линейную зависимость функции: $y_1(x)=4$, $y_2(x)=\arcsin
Так как $\arcsin x+\arccos x=\frac<\pi> <2>\; \forall x \in [-1;1]$ то:
$$\arcsin x+\arccos x=\frac<\pi><8>\cdot4; \; \arcsin x+\arccos x-\frac<\pi><8>\cdot4=0; \; 1\cdot y_1+1\cdot y_2+\left(-\frac<\pi><8>\right)\cdot y_3=0$$
Итак, существует такой набор констант $\alpha_1; \; \alpha_2;\; \alpha_3$ (например, $\alpha_1=1;\; \alpha_2=1;\; \alpha_3=-\frac<\pi><8>$), среди которых есть хотя бы одна константа, отличная от нуля, что равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ будет выполнено для всех $x\in[-1;1]$. Это означает, что функции $y_1(x)=4$, $y_2(x)=\arcsin
Исследовать на линейную зависимость функции: $y_1(x)=x;\; y_2(x)=|x|$ в их области определения.
Областью определения заданных функций есть все множество действительных чисел, т.е. $x\in R$. Функции будут линейно зависимыми, если существует такой набор констант $\alpha_1$ и $\alpha_2$, что для всех значений $x\in R$ выполнено равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2=0$ (т.е. $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$), причем хотя бы один из коэффициентов ($\alpha_1$ или $\alpha_2$) не равен нулю. Если же выполнение равенства $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2=0$ при $\forall x\in R$ возможно лишь при $\alpha_1=\alpha_2=0$, то заданные функции будут линейно независимыми. Рассмотрим равенство $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ подробнее.
Если $x≥ 0$, то $|x|=x$, поэтому равенство $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ станет таким: $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot x=0$, $x\cdot(\alpha_1+\alpha_2)=0$. Равенство $x\cdot(\alpha_1+\alpha_2)=0$ должно быть выполнено при всех $x≥ 0$, поэтому $\alpha_1+\alpha_2=0$.
Итак, чтобы равенство $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ было верным для всех $x\in R$, требуется выполнение двух условий:
Полученная система имеет лишь тривиальное (нулевое) решение: $\alpha_1=\alpha_2=0$. Итак, выполнение равенства $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ при $\forall x\in R$ возможно лишь в случае $\alpha_1=\alpha_2=0$, поэтому функции линейно независимы на R.
Исследование на линейную зависимость с помощью определителей Вронского и Грама указаны в дальнейших темах сайта.
Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
Линейная зависимость системы векторов. Коллинеарные векторы
В данной статье мы расскажем:
- что такое коллинеарные векторы;
- какие существуют условия коллинеарности векторов;
- какие существуют свойства коллинеарных векторов;
- что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.
Коллинеарные векторы
Коллинеарные векторы — это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.
Условия коллинеарности векторов
Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:
- условие 1. Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
- условие 2. Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:
a = ( a 1 ; a 2 ) , b = ( b 1 ; b 2 ) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2
- условие 3. Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:
Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.
Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.
Примеры задач на исследование коллинеарности векторов
Исследуем векторы а = ( 1 ; 3 ) и b = ( 2 ; 1 ) на коллинеарность.
В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:
Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.
Ответ: a | | b
Какое значение m вектора a = ( 1 ; 2 ) и b = ( — 1 ; m ) необходимо для коллинеарности векторов?
Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:
Отсюда видно, что m = — 2 .
Ответ: m = — 2 .
Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов
Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.
Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:
a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0
в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.
Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .
Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:
a k — 1 ( a k — 1 a 1 ) e 1 + ( a k — 1 a k ) e k + . . . + ( a k — 1 a n ) e n = 0
— a k — 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k — 1 , k + 1 , n
β 1 e 1 + . . . + β k — 1 e k — 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0
или e k = ( — β 1 ) e 1 + . . . + ( — β k — 1 ) e k — 1 + ( — β k + 1 ) e k + 1 + . . . + ( — β n ) e n
Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).
Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:
e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k — 1 e k — 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n
Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:
0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k — 1 e k — 1 — e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n
Поскольку коэффициент вектора e k равен — 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).
- Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
- Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.
Свойства линейно зависимых векторов
- Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора — коллинеарны. Два коллинеарных вектора — линейно зависимы.
- Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора — компланарны. (3 компланарных вектора — линейно зависимы).
- Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.
Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов
Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = — 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.
Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.
Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , — 1 , 1 на линейную независимость.
Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0
Записываем векторное уравнение в виде линейного:
x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 — x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0
Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:
1 1 0 | 0 1 2 — 1 | 0 1 0 1 | 0
Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей — 1-ю:
1 1 0 | 0 1 — 1 2 — 1 — 1 — 0 | 0 — 0 1 — 1 0 — 1 1 — 0 | 0 — 0
1 1 0 | 0 0 1 — 1 | 0 0 — 1 1 | 0
Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:
1 — 0 1 — 1 0 — ( — 1 ) | 0 — 0 0 1 — 1 | 0 0 + 0 — 1 + 1 1 + ( — 1 ) | 0 + 0
0 1 0 | 1 0 1 — 1 | 0 0 0 0 | 0
Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми.
Линейная независимость функций. Определители Вронского и Грама
Пусть имеем конечную систему из функций , определенных на интервале . Функции называют линейно зависимыми на интервале , если существуют постоянные , не все равные нулю, такие, что для всех значений из этого интервала справедливо тождество
Если же это тождество выполняется только при , то функции называют линейно независимыми на интервале .
Пример 1. Показать, что система функций линейно независима на интервале .
Решение. В самом деле, равенство может выполняться для всех только при условии, что . Если же хоть одно из этих чисел не равно нулю, то в левой части равенства будем иметь многочлен степени не выше третьей, а он может обратиться в ноль не более, чем при трех значениях из данного интервала.
Пример 2. Показать, что система функций , где попарно различны, линейно независима на интервале .
Решение. Предположим обратное, т. е. что данная система функций линейно зависима на этом интервале. Тогда
на интервале , причем, по крайней мере, одно из чисел отлично от нуля, например . Деля обе части тождества (1) на , будем иметь
Дифференцируя тождество, получаем
Делим обе части тождества (2) на :
Дифференцируя (3), получаем , что невозможно, так как по предположению, по условию, а .
Наше предположение о линейной зависимости данной системы функций привело к противоречию, следовательно, эта система функций линейно независима на интервале , т.е. тождество (1) будет выполняться только при .
Пример 3. Показать, что система функций , где , линейно независима на интервале .
Решение. Определим значения и , при которых будет выполняться тождество
Разделим обе его части на :
Подставляя в (5) значение , получаем и, значит, ; но функция не равна тождественно нулю, поэтому . Тождество (5) и, следовательно, (4) имеют место только при , т. е. данные функции линейно независимы в интервале .
Замечание. Попутно доказана линейная независимость тригонометрических функций .
Пример 4. Доказать, что функции
линейно зависимы в интервале .
Решение. Покажем, что существуют такие числа , не все равные нулю, что в интервале справедливо тождество
Предполагаем тождество (7) выполненным; положим, например, . Тогда получим однородную систему трех уравнений с тремя неизвестными
Определитель этой системы трёх уравнений с тремя неизвестными равен нулю:
Следовательно, однородная система (8) имеет ненулевые решения, т. е. существуют числа , среди которых имеется по крайней мере одно отличное от нуля. Для нахождения такой тройки чисел возьмем, например, два первых уравнения системы (8):
Из первого уравнения имеем , из второго . Полагая , получим ненулевое решение системы (8):
Покажем теперь, что при этих значениях тождество (7) будет выполняться для всех . Имеем
каково бы ни было . Следовательно, система функций (6) линейно зависима на интервале .
Замечание. Для случая двух функций можно дать более простой критерий линейной независимости. Именно, функции и будут линейно независимыми на интервале , если их отношение не равно тождественной постоянной на этом интервале; если же , то функции будут линейно зависимыми.
Пример 5. Функции и линейно независимы в интервале , так как их отношение в этом интервале.
Пример 6. Функции и линейно зависимы в интервале , так как их отношение в этом интервале (в точках разрыва функции доопределяем это отношение по непрерывности).
Пусть функций имеют производные (n–1)-го порядка. Определитель
называется определителем Вронского для этой системы функций. Определитель Вронского вообще является функцией от , определенной в некотором интервале.
Пример 7. Найти определитель Вронского для функций .
Пример 8. Найти определитель Вронского для функций:
так как первая и последняя строки определителя пропорциональны.
Теорема. Если система функций линейно зависима на отрезке , то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке.
Так, например, система функций линейно зависима в интервале , и определитель Вронского этих функций равен нулю всюду в этом интервале (см. примеры 4 и 8).
Эта теорема дает необходимое условие линейной зависимости системы функций. Обратное утверждение неверно, т. е. определитель Вронского может тождественно обращаться в ноль и в том случае, когда данные функции образуют линейно независимую систему на некотором интервале.
Пример 9. Рассмотрим две функции:
Графики их имеют вид, указанный на рис. 25.
Эта система функций линейно независима, так как тождество выполняется только при . В самом деле, рассматривая его на отрезке , мы получаем , откуда , так как ; на отрезке же имеем , откуда , так как на этом отрезке.
Найдем определитель Вронского системы. На отрезках и :
Таким образом, определитель Вронского на отрезке тождественно равен нулю.
Пусть имеем систему функций на отрезке . Положим
называется определителем Грама системы функций .
Теорема. Для того, чтобы система функций была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Грама равнялся нулю.
Пример 10. Показать, что функции и линейно зависимы на отрезке .
Вычислим определитель Грама следовательно, функции и линейно зависимы.
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/linejnaja-zavisimost-sistemy-vektorov/
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=linyeinaya-nezavisimost-funktsii