График линейной функции, его свойства и формулы
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие функции
Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
- Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
- Графический способ — наглядно.
- Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
- Словесный способ.
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:
- если х = 0, то у = -2;
- если х = 2, то у = -1;
- если х = 4, то у = 0;
- и т. д.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
х | 0 | 2 | 4 |
y | -2 | -1 | 0 |
Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».
Функция | Коэффициент «k» | Коэффициент «b» |
---|---|---|
y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».
Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!
Свойства линейной функции
- Область определения функции — множество всех действительных чисел.
- Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
- График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
- Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
- Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
b ≠ 0, k = 0, значит y = b — четная;
b = 0, k ≠ 0, значит y = kx — нечетная;
b ≠ 0, k ≠ 0, значит y = kx + b — функция общего вида;
b = 0, k = 0, значит y = 0 — как четная, так и нечетная функция. - Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
- График функции пересекает оси координат:
ось абсцисс ОХ — в точке (-b/k, 0);
ось ординат OY — в точке (0; b). - x=-b/k — является нулем функции.
- Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х. - Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-∞, — b /k) и положительные значения на промежутке (- b /k, +∞)
При k b /k, +∞) и положительные значения на промежутке (-∞, — b /k). - Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом.
Если k > 0, то этот угол острый, если k
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
- если k > 0, то график наклонен вправо;
- если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
- если b 1 /2x + 3, y = x + 3.
Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.
В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).
Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = — 1 /2x + 3, y = -x + 3.
В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.
Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).
Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x — 2.
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.
При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
- график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
- график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
- график функции y = 2x — 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).
Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.
Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.
Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
- С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b). - С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = — b /k.
Координаты точки пересечения с осью OX: (- b /k; 0)
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.
- В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
2 = -4(-3) + b
b = -10 - Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10
Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
- Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство. - Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
- Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.
Линейные уравнения
Линейные уравнения — относительно несложная математическая тема, довольно часто встречающаяся в заданиях по алгебре. Разберемся, что это такое, и как решаются линейные уравнения.
Как правило, линейное уравнение — это уравнение вида ax + c = 0, где а и с — произвольные числа, или коэффициенты, а х — неизвестное число.
К примеру, линейным уравнением будет:
Решение линейных уравнений.
Как решать линейные уравнения?
Решаются линейные уравнения совсем несложно. Для этого используются такой математический прием, как тождественное преобразование. Разберем, что это такое.
Пример линейного уравнения и его решение.
Пусть ax + c = 10, где а = 4, с = 2.
Таким образом, получаем уравнение 4х + 2 = 10.
Для того чтобы решить его было проще и быстрее, воспользуемся первым способом тождественного преобразования — то есть, перенесем все цифры в правую часть уравнения, а неизвестное 4х оставим в левой части.
Таким образом, уравнение сводится к совсем простенькой задачке для начинающих. Остается лишь воспользоваться вторым способом тождественного преобразования — оставив в левой части уравнения х, перенести в правую часть цифры. Получим:
4х + 2 = 10, где х = 2.
График линейного уравнения.
При решении линейных уравнений с двумя переменными также часто используется метод построения графика. Дело в том, что уравнение вида ах + ву + с = 0, как правило, имеет много вариантов решения, ведь на место переменных подходит множество чисел, и во всех случаях уравнение остается верным.
Поэтому для облегчения задачи выстраивается график линейного уравнения.
Чтобы построить его, достаточно взять одну пару значений переменных — и, отметив их точками на плоскости координат, провести через них прямую. Все точки, находящиеся на этой прямой, и будут вариантами переменных в нашем уравнении.
Линейные уравнения. Виды линейных уравнений.
Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение. В этом уравнении полная степень составляющих его многочленов равна единице.
Линейные уравнения представляют в таком виде:
Линейное уравнение с одной переменной.
Линейное уравнение с 1-ой переменной приводится к виду:
Число корней зависимо от a и b:
— Когда a=b=0, значит, у уравнения есть неограниченное число решений, так как .
— Когда a=0, b≠ 0, значит, у уравнения нет корней, так как .
— Когда a ≠ 0, значит, у уравнения есть только один корень .
Линейное уравнение с двумя переменными.
Уравнением с переменной x является равенство типа A(x)=B(x), где A(x) и B(x) — выражения от x. При подстановке множества T значений x в уравнение получаем истинное числовое равенство, которое называется множеством истинности этого уравнения либо решение заданного уравнения, а все такие значения переменной — корни уравнения.
Линейные уравнения 2-х переменных представляют в таком виде:
— в общей форме: ax + by + c = 0,
— в канонической форме: ax + by = -c,
— в форме линейной функции: y = kx + m, где .
Решением либо корнями этого уравнения является такая пара значений переменных (x;y), которая превращает его в тождество. Этих решений (корней) у линейного уравнения с 2-мя переменными неограниченное количество. Геометрической моделью (графиком) данного уравнения есть прямая y=kx+m.
Если в уравнении есть икс в квадрате, то такое уравнение называется квадратным уравнением.
http://infoogle.ru/linejnye_uravneniya.html
http://www.calc.ru/Lineynyye-Uravneniya-Vidy-Lineynykh-Uravneniy.html