Что такое логарифмическое уравнение и неравенство

• Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:

0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

• Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство:

0,\, b>0,\, a\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

• Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма):

0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1,\, c\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Пример 1. Решите уравнение:

Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

0, \\ 8+5x > 0 \end \Leftrightarrow \begin x^2 > 6, \\ x>-1,6. \end \Leftrightarrow \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

С учетом того, что

-\sqrt<6>, \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

0, \\ -x-31>0 \end\Leftrightarrow \begin -1

Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит решений у данного логарифмического уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Обратите внимание, что в этом задании нам вообще не пришлось искать корни уравнения. Достаточно оказалось определить, что его область допустимых значений не содержит ни одного действительно числа. Это одно из преимуществ такой последовательности решения логарифмических уравнений и неравенств (начинать с определения области допустимых значений уравнения, а затем решать его путем равносильных преобразований).

Примет 3. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Уравнение принимает вид:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

0, \\ x+3>0, \\ 1-x>0 \end\Leftrightarrow \begin x>-2, \\ x>-3, \\ x

Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:

0, \\ x>0, \\ x\ne 1 \end\Leftrightarrow x>0,\, x\ne 1. \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:

В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.

Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам. Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:

Теорема 2. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то:
при a > 1 логарифмическое неравенство log _a f(x) > log _a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x);
при 0 log _a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x)

Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:

0, \\ x+4>0 \end\Leftrightarrow \begin x\in(-\mathcal<1>;-3)\cup(2;+\mathcal<1>), \\ x>-4 \end \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:

Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:

0, \\ \frac<(x-9)^<11>>>0 \end\Leftrightarrow x\in(-\mathcal<1>;3)\cup(9;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:

После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:

Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

0, \\ x+1\ne 1,\\ x(x+1)(x+2)>0 \end\Leftrightarrow x\in (0;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение.

Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:

0, \\ x^2>0, \\ x^2\ne 1 \end\Leftrightarrow x\in(-\mathcal<1>;-1)\cup(-1;0)\cup(4;+\mathcal<1>). \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству:

Неравенство будет равносильно двум системам. Первой:

Итак, окончательный ответ:

II способ. Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду:

Вычтем из знаменателя Это ничего не изменит, поскольку

С учетом того, что выражения и — одного знака при 0,» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»18″ width=»74″ style=»vertical-align: -4px;»/> в области допустимых значений имеет место следующий равносильный переход:

Множество решений данного неравенства

Итак, а с учетом области допустимых значений получаем тот же результат:

Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства?

• Во-первых, внимание. Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях. Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.
• Во-вторых, умение мыслить логически. Составители ЕГЭ по математике заданиями C3 проверяют умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений.
• В-третьих, четкое знание свойств всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и понимание их смысла.

Главное же требование — это настойчивость в достижении своей цели. Учитесь, тренируйтесь, если нужно — ежедневно, изучайте и запоминайте на примерах основные способы решения неравенств и их систем, анализируйте возникающие ошибки и не допускайте их в будущем. За помощью в этом нелегком деле вы можете обратиться к своему школьному учителю по математике, репетитору, родителям, друзьям и знакомым, книгам, а также огромному количеству материалов, доступных на просторах Интернета. Желаю вам успехов в подготовке к Единому государственному экзамену по математике.

Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

Что такое логарифм

Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.
Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).

Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.

Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.

А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

Тогда, если дело касается логарифма:

можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c» . Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182. мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).

Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета. Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.

Всегда, когда существует логарифм, должно быть:

«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.

А теперь разберем теорию на практике:

В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).

Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.

lg — это логарифм по основанию 10. 10 нужно 3 раза умножить само на себя, чтобы получить 1000.

А теперь посложнее, перейдем по определнию к показательному уравнению :

Следующий пример поможет нам узнать первую формулу логарифмов:

Преобразуем выражение по определению логарифма и получим показательное уравнение. Единица — это же любое значение в нулевой степени?

Тогда можно сделать вывод, что при любом основании и аргументе логарифма, равном 1, все эти логарифмы будут равны нулю.

Нетрудно тогда понять, что есть еще одно следствие:

В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 2? Напряжем все свои извилины и получим — один!

Дальше будут формулы, которые я позволю себе не выводить, чтобы не испугать неискушенных в математике читателей.

Хотя мой вам совет: отследить, откуда эта формула появилась. У логарифмов самое главное помнить, что логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

Основное логарифмическое тождество:

В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Значит, логарифм в показателе степени равен двум.

Это единственная формула, где логарифм в показатели степени. Видишь логарифм в степени? Тебе поможет только эта формула.

Еще примерчик, двойка перед логарифмом никак не влияет, формула все так же работает:

А вот квадрат в логарифме тоже быть может, только лучше сначала разложить:

Дальше с этим ничего сделать не сможем.

Дальнейшие формулы тоже уникальны, это тебе не косинус двойного угла.

Видим сложение логарифмов, выпускаем эту формулы:

А вот примерчик, чтобы порадовать тебя этой формулой, только наоборот:

Видим разность логарифмов, выпускаем эту формулы:

А теперь сразу сумма и разность. По отдельности логарифмы не найти, но вместе они и мы сила:

Теперь посмотрим на степени у аргмента логарифма:

А в основании тоже можно? Нужно!

Минус два — это степень у основания:

А все вместе можно? Конечно, логарифмы — это такая свобода:

А здесь нужно будет соединить две формулы: 1) вынесение степени из основания и 2) разность логарифмов

С основными формулами разобрались, теперь для решения более сложных уравнений/выражений.

Формула перехода к новому основанию:

Обрати внимание, чем она отличается от разности логарифмов (4). Тут мы делим один логарифм на другой, а там деление происходит под логарифмом.

Тут все просто, разве что стоит вспомнить, что квадратный корень — это степень одна вторая.

Тут первым действием воспользуемся изучаемой формулой, а дальше каждый логарифм в виде числа, потихонечку−полегонечку.

Последняя формула, меняем местами аргумент и основание логарифма:

Используется тоже нечасто, но если ее не знаешь, то никак не выкрутишься через другие формулы.

Закрепим обе формулы. Используем формулу (9), после (8), а так же не забудь порадовать десятичные дроби — переведи их в обыкновенные, а они порадуют тебя. Теперь посмотрим еще на пару примеров:

Логарифм в логарифме, что может быть прекраснее? Только решенный логарифм в логарифме.

Начинаем с внутреннего:

И постепенно раскрываем каждый последующий:

После того, как с формулами разобрались, (а их всего 9! Согласись, несложно выучить?), перейдем к уравнениям.

Все логарифмические уравнения решаем по одному из двух алгоритмов.

Первый появляется из определения логарифма:

Только не забываем про ОДЗ:

Второй вариант, когда логарифм с одним основанием равен логарифму с точно таким же основнанием:

Не забываем про ОДЗ, тогда получится:

Подставив в ОДЗ x = 15, видим, что все выполняется!

Обязательно только логарифм (без всяких множителей и т.п.) с одним основанием должен быть равен другому логарифму с таким же основанием:

Здесь перед логарифмами стоят разные множители, поэтому прежде всего нужно их внести в логарифм (6 формула), а после убрать логарифмы:

Если стоят одинаковые множители, их можно сократить сразу или сократить на общий множитель:

Бывает, что с одной стороны уравнения есть сумма логарифмов (4) или обычное число, сокращать их сразу нельзя! Только после того, как приведем и левую, и правую часть к одному логарифму:

Что же касается неравенств, убирать логарифмы можно так же, как и в уравнениях, только здесь нужно внимательно смотреть на значение оснований. Если основание логарифма лежит в диапазоне 0 1, то убираем логарифмы без смены знака и дорешиваем обычное неравенство:

1. Л О Г — это не три страшные буквы, а обратное действие возведению в степень.
2. Хоть формул и целых девять, но они никак не пересекаются. Решая пример и ориентируясь в формулах, ты будешь однозначно выбирать необходимую формулу.
3. Видишь логарифм — ищи ОДЗ и решай его в первую очередь!
4. Решение уравнений происходит по одному из двух вариантов и больше никак.
5. В неравенствах главное — помнить об основании логарифма, когда зачеркиваем логарифмы.

Логарифмическое неравенство: решение на примерах

Логарифмическое неравенство может встретиться вам в 13 задании ЕГЭ по математике. При решении логарифмического неравенства важно правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Как же решить логарифмическое неравенство? Давайте разберем основные правила.

Как найти ОДЗ (область допустимых значений) логарифмического неравенства

Простейшее логарифмическое неравенство можно записать в виде:знак можно заменить на 1, то знак неравенства не меняется.

Если у логарифма в неравенстве 0 0

Решаем это простейшее неравенство и получаем х > -2.

Таким образом область допустимых значений данного неравенства х > -2.

Далее решаем непосредственно логарифмическое неравенство. Так как основание логарифмов (основание = 2) в неравенстве больше единицы, знак неравенства сохраняется:Так как логарифмы в неравенстве имеют одинаковое основание, то мы их можем просто отбросить и решить неравенство вида

Теперь вспоминаем про нашу ОДЗ и определяем окончательный ответ.Отметим полученные значения на числовой оси:

Решение логарифмического неравенства с основанием от 0 до 1

Теперь разберем то же самое неравенство, только основание логарифма будет равно ½. Таким образом, получим:

Определяем ОДЗ, как и в прошлом примере, х > -2.

Далее смотрим на основание логарифма. В данном случае основание равно ½, т.е. находится в области от 0 1 или 0 , -4½