Что такое метод рационализации в логарифмических уравнениях

40. Алгебра Читать 0 мин.

40.691. Метод рационализации

Метод рационализации — это процедура, позволяющая в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).

Позволяет перейти от выражения f к выражению $g$, сохранив все решения.

Метод рационализации для логарифмических неравенств

Здесь мы сравниваем значения относительно друг друга и допускаем случай, когда одно значение больше, а другое меньше и наоборот. Один из способов сравнения двух величин – это вычесть из одного другое. Если разность будет больше нуля, значит, первое число было больше. В первой скобке мы вычитаем из основания единицу. Это значит, что мы сравниваем основание с 1. Во второй скобке мы из одного под логарифмического выражения вычитаем другое, т.е. снова сравниваем их.

Пример. Решите неравенство $\log_(x+2) 0 \\ x^2 > 0 \\ x^2 \neq 1 \end \leftrightarrow \qquad \begin x > -2 \\ x \neq 0 \\ x \neq \pm 1 \end $

С учетом ОДЗ получаем решение неравенства: $x \in (-2; -1) \cup (-1; 0)\cup(0;1)\cup(2; +\infty)$

Ответ: $x \in (-2; -1) \cup (-1; 0)\cup(0;1)\cup(2; +\infty)$

Из рассмотренного метода рационализации вытекают следствия:

$ \begin 12x^2-41x+35 > 0, \\ 2x^2-5x+3 > 0, \\ 12x^2-41x+35 \neq 1, \\ 2x^2-5x+3 \neq 1, \\ 3 — x > 0 \end \leftrightarrow \qquad \begin (x — \displaystyle\frac<5><3>)(x — \frac<7><4>) > 0, \\ (x — 1)(x — \displaystyle\frac<3><2>) > 0, \\ 12x^2 — 41x + 35 \neq 0, \\ 2x^2 — 5x + 2 \neq 0, \\ -x > -3 \end \leftrightarrow \qquad \begin (x — \displaystyle\frac<5><3>)(x — \frac<7><4>) > 0, \\ (x — 1)(x — \displaystyle\frac<3><2>) > 0, \\ (x — \displaystyle\frac<17><12>)(x — 2) \neq 0, \\ (x — 2)(x — \displaystyle\frac<1><2>) \neq 0, \\ x |35 — x^2|$

Решение. Воспользуемся равносильным переходом:

$(x^2 — 13x + 35)^2 > (35 — x^2)^2, \\ (x^2 — 13x+35-(35-x^2))(x^2-13x+35+(35-x^2))>0, \\ (x^2-13x+35-35+x^2)(x^2-13x+35+35-x^2) > 0, \\ (2x^2-13x)(-13x+70) > 0, \\ -13x(2x-13)(x — \displaystyle\frac<70><13>) > 0, \\ 2x(x — \displaystyle\frac<13><2>)(x — \frac<70><13>) 0, x \neq 1$

Метод рационализации

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации — это способ решения некоторых неравенств, который позволяет довольно сильно упростить решение и вычисления.

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим метод рационализации для решения показательных неравенств вида \[<\Large<(h(x))^\geqslant (h(x))^>>\]

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности: \[ <\large<\left[\begin\begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end\\[1ex] &\begin 0

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе: \[ <\large< \begin(h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\[1ex] h(x)>0 \end>>\]

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Первое неравенство системы равносильно \[(a)\quad \left[\begin \begin &\begin h(x)\geqslant1\\ f(x)\geqslant g(x) \end\\[1ex] &\begin h(x)\leqslant 1\\ f(x)\leqslant g(x) \end \end \end \right.\]

Совокупность равносильна \[(b)\quad \left[\begin \begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x)\\ h(x)=1 \end\\[1ex] &\begin 0

Заметим, что решение совокупности \((a)\) плюс условие \(h(x)>0\) и решение совокупности \((b)\) полностью совпадают.

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим метод рационализации для решения логарифмических неравенств вида \[<\Large<\log_\geqslant \log_>>\]

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности: \[ <\large<\left[\begin\begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end\\[1ex] &\begin 0 0 \end \end \end \right.>>\]

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе: \[ <\large<\begin(h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\[1ex] f(x)>0\\ g(x)>0\\ h(x)>0\\ h(x)\ne 1 \end>>\]

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Первое неравенство системы плюс условие \(h(x)\ne 1\) равносильно \[(c)\quad \left[\begin \begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end\\[1ex] &\begin h(x)

Совокупность равносильна (если выписать часть ОДЗ отдельно) \[(d) \quad \begin f(x)>0\\ g(x)>0\\ h(x)>0\\[1ex] \left[\begin \begin &\begin h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end\\ &\begin h(x)

Заметим, что решение совокупности \((c)\) плюс условия \(f(x)>0, g(x)>0, h(x)>0\) и решение совокупности \((d)\) полностью совпадают.

\(\blacktriangleright\) Если \(f(x), h(x), g(x)\) — многочлены (что бывает очень часто в задачах), то метод рационализации позволяет перейти от показательного или логарифмического неравенства к рациональному, которое уже легко решается методом интервалов.

Рассмотрим несколько примеров, показывающих удобство использования метода рационализации.

Пример 1. Решить неравенство \(\log_<(x^2-1)><\dfrac<2x^2+3x-5>>\leqslant 1\)

Выпишем и решим ОДЗ отдельно: \[\begin x^2-1>0\\ x^2-1\ne 1\\[1ex] \dfrac<2x^2+3x-5>>0 \end\Leftrightarrow \begin (x-1)(x+1)>0\\ x\ne \pm \sqrt 2\\[1ex] \dfrac<2(x-1)(x+2,5)>>0 \end\Leftrightarrow \begin x\in (-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\\ x\ne \pm \sqrt 2\\ x\in (-2,5;-1)\cup(1;+\infty) \end \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x\in (-2,5;-\sqrt 2)\cup(-\sqrt 2;-1)\cup(1;\sqrt 2)\cup(\sqrt 2;+\infty)\]

Тогда на ОДЗ, учитывая, что \(1=\log_<(x^2-1)><(x^2-1)>\) , наше неравенство равносильно неравенству

Полученное неравенство можно решить методом интервалов:

Таким образом, решением будут \(x\in (-\infty;-2]\cup[-\sqrt2;-1)\cup[1;\sqrt2]\cup[2;+\infty)\)

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим \[x\in (-2,5;-2]\cup(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2)\cup[2;+\infty)\]

\(\blacktriangleright\) Более общий случай применения метода рационализации:
если неравенство представлено в виде \(F(x)\lor 0\) ( \(\lor\) — один из знаков \(\geqslant, \leqslant, >, ), причем функция \(F(x)\) является произведением и/или частным нескольких множителей, то на ОДЗ:

если какой-то множитель имеет вид \(h(x)^-h(x)^\) , то его можно заменить на \((h-1)(f-g)\) ;

если какой-то множитель имеет вид \(\log_f(x)-\log_g(x)\) , то его можно заменить на \((h-1)(f-g)\) .

Пример 2. Решить неравенство \((3+x-2x^2)\log_<(3x+5)>\geqslant 0\) .

Данное неравенство можно переписать в виде \((3+x-2x^2)(\log_<(3x+5)>-\log_1)\geqslant 0\) (т.к. \(\log_a1=0\) ).

Таким образом, неравенство представлено в необходимом нам виде: справа ноль, слева произведение двух скобок, причем одна из них — разность логарифмов с одинаковым основанием. Выпишем отдельно ОДЗ:

\(\begin x+2>0\\x+2\ne 1\\ 3x+5>0 \end \Leftrightarrow x\in \left(-\frac53;-1\right)\cup\big(-1;+\infty\big)\)

Тогда на ОДЗ можно заменить второй множитель по методу рационализации, т.е. исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству:

\((3+x-2x^2)(x+2-1)(3x+5-1)\geqslant 0 \Leftrightarrow (2x^2-x-3)(x+1)(3x+4)\leqslant 0 \Leftrightarrow\)

\( \Leftrightarrow (2x-3)(x+1)(x+1)(3x+4)\leqslant 0 \Leftrightarrow x\in \left[-\frac43;\frac32\right]\)

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим: \(x\in \left[-\frac43;-1\right)\cup\left(-1;\frac32\right]\)

Пример 3. Решить неравенство \((3^x-1)(0,25^x-16)(5x^2-9x-2)\leqslant0\)

Данное неравенство уже представлено в нужном нам виде: справа ноль, слева произведение трех множителей. ОДЗ данного неравенства: \(x\in\mathbb\) .

Таким образом, неравенство равносильно:

\((3^x-3^0)(0,25^x-0,25^<-2>)(5x^2-9x-2)\leqslant 0 \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow (3-1)(x-0)(0,25-1)(x-(-2))(5x+1)(x-2)\leqslant0 \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow 2\cdot (-0,75)x(x+2)(x-2)(5x+1)\leqslant0 \Leftrightarrow x(x+2)(x-2)(5x+1)\geqslant0\) ,
т.к. мы разделили правую и левую часть на отрицательное число \(-0,75\) .

Решив данное неравенство методом интервалов, получим \(x\in (-\infty;-2\big]\cup\left[-\frac15;0\right]\cup\big[2;+\infty)\)

Заметим, что даже если в основании степени или логарифма находится конкретное число \(a\) , а не функция \(h(x)\) , то скобку \((a-1)\) опускать нельзя.

Найдем ОДЗ данного неравенства:

\(\begin x^2-1\geqslant 0\\ x+2>0\\ x^2>0 \end \Rightarrow \begin x\geqslant1 \text < или >x\leqslant -1\\ x>-2\\ x\ne 0 \end \quad \Rightarrow x\in (-2;-1]\cup [1;+\infty)\)

Решим данное неравенство на ОДЗ.

На ОДЗ \(\log_5(x+2)=\log_<25>(x+2)^2\) , следовательно, применяя метод рационализации, получим:

Заметим, что \(\sqrt\geqslant 0\) при всех \(x\) из ОДЗ, причем в точках \(x=\pm 1\) выражение \(\sqrt=0\) . Таким образом, это выражение не будет влиять на знак левой части, но точки \(x=\pm1\) будут являться решением неравенства, т.к. при этих \(x\) левая часть неравенства равна \(0\) . Следовательно, данное неравенство на ОДЗ будет равносильно:

Решим неравенство из совокупности методом интервалов:

Таким образом, решением данной совокупности будут

\(x\in [-1; -\frac12\big]\cup\big[\frac12;2)\cup \ <-1;1\>\Leftrightarrow x\in [-1; -\frac12\big]\cup\big[\frac12;2)\)

Пересекая данное решение с ОДЗ, получим итоговый ответ: \(x\in \<-1\>\cup[1;2)\)

Метод рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием

Разделы: Математика

Практика проверки экзаменационных работ показывает, что наибольшую сложность для школьников представляет решение трансцендентных неравенств, особенно, логарифмических неравенств с переменным основанием. Поэтому предлагаемый вашему вниманию конспект урока представляет изложение метода рационализации (другие названия – метод декомпозиции (Моденов В.П.), метод замены множителей (Голубев В.И.)), позволяющего свести сложные логарифмические, показательные, комбинированные неравенства к системе более простых рациональных неравенств. Как правило, метод интервалов применительно к рациональным неравенствам к моменту изучения темы «Решение логарифмических неравенств» хорошо усвоен и отработан. Поэтому учащиеся с большим интересом и энтузиазмом воспринимают те методы, которые позволяют им упростить решение, сделать его короче и, в конечном итоге, сэкономить время на ЕГЭ для решения других заданий.

Цели урока:

• Образовательная: актуализация опорных знаний при решении логарифмических неравенств; введение нового способа решения неравенств; совершенствование навыков решения
• Развивающая: развитие математического кругозора, математической речи, аналитического мышления
• Воспитательная: воспитание аккуратности и самоконтроля.

1. Организационный момент. Приветствие. Постановка целей урока.

2. Подготовительный этап:

3. Проверка домашнего задания (№11.81*а[1])

При решении неравенства

Вам пришлось воспользоваться следующей схемой решения логарифмических неравенств с переменным основанием:

Т.е. надо рассмотреть 2 случая: основание больше 1 или основание меньше 1.

4. Объяснение нового материала

Если посмотреть на эти формулы внимательно, то можно заметить, что знак разности g(x) – h(x) совпадает со знаком разности log_f(x)g(x) – log_f(x)h(x) в случае возрастающей функции (f(x) > 1, т.е. f(x) – 1 > 0) и противоположен знаку разности log_f(x)g(x) – log_f(x)h(x) в случае убывающей функции (0 4.03.2014