Что такое нелинейная система дифференциальных уравнений

Разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями

Разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями — Наука

Содержание:

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения

Уравнение, содержащее хотя бы один дифференциальный коэффициент или производную неизвестной переменной, называется дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение может быть линейным или нелинейным. Задача этой статьи — объяснить, что такое линейное дифференциальное уравнение, что такое нелинейное дифференциальное уравнение и в чем разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями.

С момента развития исчисления в 18 веке математиками, такими как Ньютон и Лейбниц, дифференциальное уравнение сыграло важную роль в истории математики. Дифференциальные уравнения имеют большое значение в математике из-за их диапазона приложений. Дифференциальные уравнения лежат в основе каждой модели, которую мы разрабатываем для объяснения любого сценария или события в мире, будь то физика, инженерия, химия, статистика, финансовый анализ или биология (список бесконечен). Фактически, до тех пор, пока исчисление не стало устоявшейся теорией, надлежащие математические инструменты были недоступны для анализа интересных проблем природы.

Уравнения, получаемые в результате конкретного применения математического анализа, могут быть очень сложными и иногда неразрешимыми. Однако есть проблемы, которые мы можем решить, но они могут выглядеть одинаково и сбивать с толку. Поэтому для упрощения идентификации дифференциальные уравнения классифицируются по их математическому поведению. Линейный и нелинейный — одна из таких категорий. Важно определить разницу между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями.

Что такое линейное дифференциальное уравнение?

Предположим, что f: X → Y и f (x) = y, а дифференциальное уравнение без нелинейных членов неизвестной функции y и его производные известны как линейное дифференциальное уравнение.

Это налагает условие, что y не может иметь более высокие индексные члены, такие как y 2 , y 3 ,… И кратные производные финансовые инструменты, такие как

Он также не может содержать нелинейные термины, такие как Sin y, е y^-2 , или ln y. Это принимает форму,

где y и грамм являются функциями Икс. Уравнение представляет собой дифференциальное уравнение порядка п, который является индексом производной высшего порядка.

В линейном дифференциальном уравнении дифференциальный оператор является линейным оператором, а решения образуют векторное пространство. В результате линейного характера набора решений линейная комбинация решений также является решением дифференциального уравнения. То есть, если y₁ и y₂ являются решениями дифференциального уравнения, то C₁ y₁+ C₂ y₂ тоже решение.

Линейность уравнения — это только один параметр классификации, и его можно в дальнейшем разделить на однородные или неоднородные, а также обыкновенные или дифференциальные уравнения в частных производных. Если функция грамм= 0, то уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением. Если ж является функцией двух или более независимых переменных (е: X, T → Y) и f (x, t) = y , то уравнение является линейным уравнением в частных производных.

Метод решения дифференциального уравнения зависит от типа и коэффициентов дифференциального уравнения. Самый простой случай возникает, когда коэффициенты постоянны. Классическим примером для этого случая является второй закон движения Ньютона и его различные приложения. Второй закон Ньютона дает линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Что такое нелинейное дифференциальное уравнение?

Уравнения, содержащие нелинейные члены, известны как нелинейные дифференциальные уравнения.

Все это нелинейные дифференциальные уравнения. Нелинейные дифференциальные уравнения сложно решить, поэтому для получения правильного решения требуется тщательное изучение. В случае уравнений с частными производными большинство уравнений не имеют общего решения. Следовательно, каждое уравнение следует рассматривать независимо.

Уравнение Навье-Стокса и уравнение Эйлера в гидродинамике, полевые уравнения Эйнштейна общей теории относительности являются хорошо известными нелинейными уравнениями в частных производных. Иногда применение уравнения Лагранжа к системе переменных может привести к системе нелинейных уравнений в частных производных.

В чем разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями?

• Дифференциальное уравнение, которое имеет только линейные члены неизвестной или зависимой переменной и ее производных, известно как линейное дифференциальное уравнение. Он не имеет члена с зависимой переменной индекса больше 1 и не содержит кратных его производных. Он не может иметь нелинейных функций, таких как тригонометрические функции, экспоненциальные функции и логарифмические функции по отношению к зависимой переменной. Любое дифференциальное уравнение, содержащее вышеупомянутые члены, является нелинейным дифференциальным уравнением.

• Решения линейных дифференциальных уравнений создают векторное пространство, и дифференциальный оператор также является линейным оператором в векторном пространстве.

• Решения линейных дифференциальных уравнений относительно проще, и существуют общие решения. Для нелинейных уравнений в большинстве случаев общего решения не существует, и решение может быть специфическим для конкретной задачи. Это делает решение намного более сложным, чем решение линейных уравнений.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. (Темп изменения расстояния со временем определяется скоростью; следовательно, скорость – производная от расстояния; аналогично, ускорение – производная от скорости, так как ускорение задает темп изменения скорости со временем.) Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

Примеры.

Следующие примеры позволяют лучше понять, как различные задачи формулируются на языке дифференциальных уравнений.

1) Закон распада некоторых радиоактивных веществ состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству этого вещества. Если x – количество вещества в некоторый момент времени t, то этот закон можно записать так:

где dx/dt – скорость распада, а k – некоторая положительная постоянная, характеризующая данное вещество. (Знак «минус» в правой части указывает на то, что x убывает со временем; знак «плюс», подразумеваемый всегда, когда знак явно не указан, означал бы, что x возрастает со временем.)

2) Емкость первоначально содержит 10 кг соли, растворенной в 100 м 3 воды. Если чистая вода вливается в емкость со скоростью 1 м 3 в минуту и равномерно перемешивается с раствором, а образовавшийся раствор вытекает из емкости с такой же скоростью, то сколько соли окажется в емкости в любой последующий момент времени? Если x – количество соли (в кг) в емкости в момент времени t, то в любой момент времени t в 1 м 3 раствора в емкости содержится x/100 кг соли; поэтому количество соли убывает со скоростью x/100 кг/мин, или

3) Пусть на тело массы m, подвешенное к концу пружины, действует возвращающая сила, пропорциональная величине растяжения пружины. Пусть x – величина отклонения тела от положения равновесия. Тогда по второму закону Ньютона, который утверждает, что ускорение (вторая производная от x по времени, обозначаемая d 2 x/dt 2 ) пропорционально силе:

Правая часть стоит со знаком минус потому, что возвращающая сила уменьшает растяжение пружины.

4) Закон охлаждения тел утверждает, что количество тепла в теле убывает пропорционально разности температур тела и окружающей среды. Если чашка кофе, разогретого до температуры 90° С находится в помещении, температура в котором равна 20° С, то

где T – температура кофе в момент времени t.

5) Министр иностранных дел государства Блефуску утверждает, что принятая Лиллипутией программа вооружений вынуждает его страну увеличить военные расходы на сколько это только возможно. С аналогичными заявлениями выступает и министр иностранных дел Лиллипутии. Возникающую в результате ситуацию (в простейшей интерпретации) можно точно описать двумя дифференциальными уравнениями. Пусть x и y – расходы на вооружение Лиллипутии и Блефуску. Предполагая, что Лиллипутия увеличивает свои расходы на вооружение со скоростью, пропорциональной скорости увеличения расходов на вооружение Блефуску, и наоборот, получаем:

где члены —ax и —by описывают военные расходы каждой из стран, k и l – положительные постоянные. (Эту задачу впервые таким образом сформулировал в 1939 Л.Ричардсон.)

После того, как задача записана на языке дифференциальных уравнений, следует попытаться их решить, т.е. найти величины, скорости изменения которых входят в уравнения. Иногда решения находятся в виде явных формул, но чаще их удается представить лишь в приближенном виде или же получить о них качественную информацию. Часто бывает трудно установить, существует ли решение вообще, не говоря уже о том, чтобы найти его. Важный раздел теории дифференциальных уравнений составляют так называемые «теоремы существования», в которых доказывается наличие решения у того или иного типа дифференциальных уравнений.

Первоначальная математическая формулировка физической задачи обычно содержит упрощающие предположения; критерием их разумности может служить степень согласованности математического решения с имеющимися наблюдениями.

Решения дифференциальных уравнений.

Дифференциальному уравнению, например dy/dx = x/y, удовлетворяет не число, а функция, в данном конкретном случае такая, что ее график в любой точке, например в точке с координатами (2,3), имеет касательную с угловым коэффициентом, равным отношению координат (в нашем примере 2/3). В этом нетрудно убедиться, если построить большое число точек и от каждой отложить короткий отрезок с соответствующим наклоном. Решением будет функция, график которой касается каждой своей точкой соответствующего отрезка. Если точек и отрезков достаточно много, то мы можем приближенно наметить ход кривых-решений (три такие кривые показаны на рис. 1). Существует ровно одна кривая-решение, проходящая через каждую точку с y № 0. Каждое отдельное решение называется частным решением дифференциального уравнения; если удается найти формулу, содержащую все частные решения (за исключением, быть может, нескольких особых), то говорят, что получено общее решение. Частное решение представляет собой одну функцию, в то время как общее – целое их семейство. Решить дифференциальное уравнение – это значит найти либо его частное, либо общее решение. В рассматриваемом нами примере общее решение имеет вид y 2 – x 2 = c, где c – любое число; частное решение, проходящее через точку (1,1), имеет вид y = x и получается при c = 0; частное решение, проходящее через точку (2,1), имеет вид y 2 – x 2 = 3. Условие, требующее, чтобы кривая-решение проходила, например, через точку (2,1), называется начальным условием (так как задает начальную точку на кривой-решении).

Можно показать, что в примере (1) общее решение имеет вид x = ce –kt , где c – постоянная, которую можно определить, например, указав количество вещества при t = 0. Уравнение из примера (2) – частный случай уравнения из примера (1), соответствующий k = 1/100. Начальное условие x = 10 при t = 0 дает частное решение x = 10e –t/100 . Уравнение из примера (4) имеет общее решение T = 70 + ce –kt и частное решение 70 + 130 –kt ; чтобы определить значение k, необходимы дополнительные данные.

Дифференциальное уравнение dy/dx = x/y называется уравнением первого порядка, так как содержит первую производную (порядком дифференциального уравнения принято считать порядок входящей в него самой старшей производной). У большинства (хотя и не у всех) возникающих на практике дифференциальных уравнений первого рода через каждую точку проходит только одна кривая-решение.

Существует несколько важных типов дифференциальных уравнений первого порядка, допускающих решения в виде формул, содержащих только элементарные функции – степени, экспоненты, логарифмы, синусы и косинусы и т.д. К числу таких уравнений относятся следующие.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнения вида dy/dx = f(x)/g(y) можно решить, записав его в дифференциалах g(y)dy = f(x)dx и проинтегрировав обе части. В худшем случае решение представимо в виде интегралов от известных функций. Например, в случае уравнения dy/dx = x/y имеем f(x) = x, g(y) = y. Записав его в виде ydy = xdx и проинтегрировав, получим y 2 = x 2 + c. К уравнениям с разделяющимися переменными относятся уравнения из примеров (1), (2), (4) (их можно решить описанным выше способом).

Уравнения в полных дифференциалах.

Если дифференциальное уравнение имеет вид dy/dx = M(x,y)/N(x,y), где M и N – две заданные функции, то его можно представить как M(x,y)dx – N(x,y)dy = 0. Если левая часть является дифференциалом некоторой функции F(x,y), то дифференциальное уравнение можно записать в виде dF(x,y) = 0, что эквивалентно уравнению F(x,y) = const. Таким образом, кривые-решения уравнения – это «линии постоянных уровней» функции, или геометрические места точек, удовлетворяющих уравнениям F(x,y) = c. Уравнение ydy = xdx (рис. 1) – с разделяющимися переменными, и оно же – в полных дифференциалах: чтобы убедиться в последнем, запишем его в виде ydy – xdx = 0, т.е. d(y 2 – x 2 ) = 0. Функция F(x,y) в этом случае равна (1/2)(y 2 – x 2 ); некоторые из ее линий постоянного уровня представлены на рис. 1.

Линейные уравнения.

Линейные уравнения – это уравнения «первой степени» – неизвестная функция и ее производные входят в такие уравнения только в первой степени. Таким образом, линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид dy/dx + p(x) = q(x), где p(x) и q(x) – функции, зависящие только от x. Его решение всегда можно записать с помощью интегралов от известных функций. Многие другие типы дифференциальных уравнений первого порядка решаются с помощью специальных приемов.

Уравнения старших порядков.

Многие дифференциальные уравнения, с которыми сталкиваются физики, это уравнения второго порядка (т.е. уравнения, содержащие вторые производные) Таково, например, уравнение простого гармонического движения из примера (3), md 2 x/dt 2 = –kx. Вообще говоря, можно ожидать, что уравнение второго порядка имеет частные решения, удовлетворяющие двум условиям; например, можно потребовать, чтобы кривая-решение проходила через данную точку в данном направлении. В случаях, когда дифференциальное уравнение содержит некоторый параметр (число, величина которого зависит от обстоятельств), решения требуемого типа существуют только при определенных значениях этого параметра. Например, рассмотрим уравнение md 2 x/dt 2 = –kx и потребуем, чтобы y(0) = y(1) = 0. Функция y є 0 заведомо является решением, но если – целое кратное числа p, т.е. k = m 2 n 2 p2, где n – целое число, а в действительности только в этом случае, существуют другие решения, а именно: y = sin npx. Значения параметра, при которых уравнение имеет особые решения, называются характеристическими или собственными значениями; они играют важную роль во многих задачах.

Уравнение простого гармонического движения служит примером важного класса уравнений, а именно: линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Более общий пример (также второго порядка) – уравнение

где a и b – заданные постоянные, f(x) – заданная функция. Такие уравнения можно решать различными способами, например, с помощью интегрального преобразования Лапласа. То же можно сказать и о линейных уравнениях более высоких порядков с постоянными коэффициентами. Не малую роль играют также и линейные уравнения с переменными коэффициентами.

Нелинейные дифференциальные уравнения.

Уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные в степени выше первой или каким-либо более сложным образом, называются нелинейными. В последние годы они привлекают все большее внимание. Дело в том, что физические уравнения обычно линейны лишь в первом приближении; дальнейшее и более точное исследование, как правило, требует использования нелинейных уравнений. Кроме того, многие задачи нелинейны по своей сути. Так как решения нелинейных уравнений зачастую очень сложны и их трудно представить простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, т.е. разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом: например, что все они ограниченны, или имеют периодический характер, или определенным образом зависят от коэффициентов.

Приближенные решения дифференциальных уравнений могут быть найдены в численном виде, но для этого требуется много времени. С появлением быстродействующих компьютеров это время сильно сократилось, что открыло новые возможности численного решения многих, ранее не поддававшихся такому решению, задач.

Теоремы существования.

Теоремой существования называется теорема, утверждающая, что при определенных условиях данное дифференциальное уравнение имеет решение. Встречаются дифференциальные уравнения, не имеющие решений или имеющие их больше, чем ожидается. Назначение теоремы существования – убедить нас в том, что у данного уравнения действительно есть решение, а чаще всего заверить, что оно имеет ровно одно решение требуемого типа. Например, уже встречавшееся нам уравнение dy/dx = –2y имеет ровно одно решение, проходящее через каждую точку плоскости (x,y), а так как одно такое решение мы уже нашли, то тем самым полностью решили это уравнение. С другой стороны, уравнение (dy/dx) 2 = 1 – y 2 имеет много решений. Среди них прямые y = 1, y = –1 и кривые y = sin(x + c). Решение может состоять из нескольких отрезков этих прямых и кривых, переходящих друг в друга в точках касания (рис. 2).

Дифференциальные уравнения в частных производных.

Обыкновенное дифференциальное уравнение – это некоторое утверждение о производной неизвестной функции одной переменной. Дифференциальное уравнение в частных производных содержит функцию двух или более переменных и производные от этой функции по крайней мере по двум различных переменным.

В физике примерами таких уравнений являются уравнение Лапласа

где, согласно одной из возможных интерпретаций, u – температура в плоской области, точки которой задаются координатами x и y; уравнение теплопроводности

где t – время, x – расстояние от одного из концов однородного стержня, по которому распространяется тепловой поток; и волновое уравнение

где t – снова время, x и y – координаты точки колеблющейся струны.

Решая дифференциальные уравнения в частных производных, обычно не стремятся найти общее решение, поскольку оно скорее всего окажется слишком общим, чтобы быть полезным. Если решение обыкновенного дифференциального уравнения определяется заданием условий в одной или нескольких точках; то решение дифференциального уравнения в частных производных обычно определяется заданием условий на одной или нескольких кривых. Например, решение уравнения Лапласа может быть найдено в точке (x, y) внутри круга, если значения u заданы в каждой точке ограничивающей окружности. Поскольку проблемы с более чем одной переменной в физике являются скорее правилом, чем исключением, легко представить, сколь обширен предмет теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1977
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1982
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1984
Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М., 1986

Системы дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения

Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности. В частности, к ним относятся различного рода физические и химические процессы, процессы нефте- и газодобычи, геологии, экономики и т.д. Действительно, если некоторые физические величины (перемещение тела, пластовое давление жидкости в фиксированной точке с тремя координатами, концентрация веществ, объемы продаж продуктов) оказываются меняющимися со временем под воздействием тех или иных факторов, то, как правило, закон их изменения по времени описывается именно системой дифференциальных уравнений, т.е. системой, связывающей исходные переменные как функции времени и производные этих функций. Независимой переменной в системе дифференциальных уравнений может выступать не только время, но и другие физические величины: координата, цена продукта и т.д.

Решение систем дифференциальных уравнений

К системе дифференциальных уравнений приводит уже простейшая задача динамики точки: даны силы, действующие на материальную точку; найти закон движения, т. е. найти функции выражающие зависимость координат движущейся точки от времени. Система, которая при этом получается, в общем случае имеет вид

Здесь x, у, z — координаты движущейся точки, t — время, f, g, h — известные функции своих аргументов.

Система вида (1) называется канонической. Обращаясь к общему случаю системы т дифференциальных уравнений с т неизвестными функциями аргумента t, назовем канонической систему вида

разрешенную относительно старших производных. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций,

Если в (2) принять за новые вспомогательные функции, то общую каноническую систему (2) можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из уравнений. Поэтому достаточно рассматривать лишь нормальные системы.

Например, одно уравнение

является мастным случаем канонической системы. Положив в силу исходного уравнения будем иметь

В результате получаем нормальную систему уравнений

эквивалентную исходному уравнению.

Определение:

Решением нормальной системы (3) на интервале (а, Ь) изменения аргумента t называется всякая система n функций

дифференцируемых на интервале а

Теорема:

Существования и единственности решения задачи Коши. Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений

и пусть функции определены в некоторой (n + 1) — мерной области D изменения переменных Если существует окрестность точки в которой функции fi непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным то найдется интервал изменения t, на котором существует единственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям

Определение:

Система n функций

зависящих от t и n произвольных постоянных называется общим решением нормальной системы (3) в некоторой области существования и единственности решения задачи Коши, если

1) при любых допустимых значениях система функций (6) обращает уравнения (3) в тождества,

2) в области функции (6) решают любую задачу Коши.

Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных называются частными решениями.

Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений,

Будем рассматривать систему значений t, x1, х2 как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат Решение

системы (7), принимающее при значения определяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку Эта линия называется интегральной кривой нормальной системы (7). Задача Коши для системы (7) получает следующую геометрическую формулировку: в пространстве переменных t, x1, х2 найти интегральную кривую, проходящую через данную точку (рис. 1). Теорема 1 устанавливает существование и единственность такой кривой.

Нормальной системе (7) и ее решению можно придать еще такое истолкование: будем независимую переменную t рассматривать как параметр, а решение

системы — как параметрические уравнения кривой на плоскости Эту плоскость переменных х1х2 называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение системы (7), принимающее при t = to начальные значения изображается кривой АВ, проходящей через точку (рис. 2). Эту кривую называют траекторией системы (фазовой траекторией). Траектория системы (7) есть проекция интегральной кривой на фазовую плоскость. По интегральной кривой фазовая траектория определяется однозначно, но не наоборот.

Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений

Метод исключения

Один из методов интегрирования — метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной

Введя новые функции заменим это уравнение следующей нормальной системой n уравнений:

т. е. одно уравнение n-го порядка эквивалентно нормальной системе (1)

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система п уравнений первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений.

Делается это так. Пусть имеем нормальную систему

Продифференцируем первое из уравнений (2) по t. Имеем

Заменяя в правой части производные их выражениями получим

Уравнение (3) снова дифференцируем по t. Принимая во внимание систему (2), получим

Продолжая этот процесс, найдем

Предположим, что определитель

(якобиан системы функций отличен от нуля при рассматриваемых значениях

Тогда система уравнений, составленная из первого уравнения системы (2) и уравнений

будет разрешима относительно неизвестных При этом выразятся через

Внося найденные выражения в уравнение

получим одно уравнение n-го порядка

Из самого способа его построения следует, что если есть решения системы (2), то функция х1(t) будет решением уравнения (5).

Обратно, пусть Х1(t) — решение уравнения (5). Дифференцируя это решение по t, вычислим и подставим найденные значения как известные функции

от t в систему уравнений

По предположению эту систему можно разрешить относительно т. е найти как функции от t.

Можно показать, что так построенная система функций

составляет решение системы дифференциальных уравнений (2). Пример:

Требуется проинтегрировать систему

Дифференцируя первое уравнение системы, имеем

откуда, используя второе уравнение, получаем

— линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией. Его общее решение имеет вид

В силу первого уравнения системы находим функцию

Найденные функции x(t), y(t), как легко проверить, при любых значениях С1 и С2 удовлетворяют заданной системе.

Функции x(t), y(t) можно представить в виде

откуда видно, что интегральные кривые системы (6) — винтовые линии с шагом и с общей осью х = у = 0, которая также является интегральной кривой (рис. 3).

Исключая в формулах (7) параметр t, получаем уравнение

так что фазовые траектории данной системы суть окружности с центром в начале координат — проекции винтовых линий на плоскость хОу.

При А = 0 фазовая траектория состоит из одной точки х = 0, у = 0, называемой точкой покоя системы.

Замечание:

Может оказаться, что функции нельзя выразить через Тогда уравнения n-го порядка, эквивалентного исходной системе, мы не получим. Вот простой пример. Систему уравнений

нельзя заменить эквивалентным уравнением второго порядка относительно х1 или x2. Эта система составлена из пары уравнений 1-го порядка, каждое из которых интегрируется независимо, что дает

Метод интегрируемых комбинаций

Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений

иногда осуществляется методом интегрируемых комбинаций.

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений (8), но уже легко интегрирующееся.

Пример:

Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию:

Вычитая почленно из первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию:

Мы нашли два конечных уравнения

из которых легко определяется общее решение системы:

Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно уравнение

связывающее независимую переменную t и неизвестные функции Такое конечное уравнение называется первым интегралом системы (8). Иначе: первым интегралом системы дифференциальных уравнений (8) называется дифференцируемая функция не равная тождественно постоянной, но сохраняющая постоянное значение на любой интегральной кривой этой системы.

Если найдено п первых интегралов системы (8) и все они независимы, т. е. якобиан системы функций отличен от нуля:

то задача интефирования системы (8) решена (так как из системы

определяются все неизвестные функции

Системы линейных дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных, входящих в уравнение. Система n линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид

или, в матричной форме,

Теорема:

Если все функции непрерывны на отрезке то в достаточно малой окрестности каждой точки где выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (1).

Действительно, в таком случае правые части системы (1) непрерывны по совокупности аргументов t, и их частные производные по ограничены, так как эти производные равны непрерывным на отрезке [а,b] коэффициентам

Введем линейный оператор

Тогда система (2) запишется в виде

Если матрица F — нулевая, т. е. на интервале (а,b), то система (2) называется линейной однородной и имеет вид

Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных систем.

Теорема:

Если X(t) является решением линейной однородной системы

то cX(t), где с — произвольная постоянная, является решением той же системы.

Теорема:

двух решений однородной линейной системы уравнений является решением той же системы.

Следствие:

с произвольными постоянными коэффициентами сi решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений

является решением той же системы.

Теорема:

Если есть решение линейной неоднородной системы

a Xo(t) — решение соответствующей однородной системы

будет решением неоднородной системы

Действительно, по условию,

Пользуясь свойством аддитивности оператора получаем

Это означает, что сумма есть решение неоднородной системы уравнений

Определение:

называются линейно зависимыми на интервале a

при причем по крайней мере одно из чисел аi, не равно нулю. Если тождество (5) справедливо только при то векторы называются линейно независимыми на (а, b).

Заметим, что одно векторное тождество (5) эквивалентно n тождествам:

называется определителем Вронского системы векторов

Определение:

Пусть имеем линейную однородную систему

где матрица с элементами Система n решений

линейной однородной системы (6), линейно независимых на интервале а

с непрерывными на отрезке коэффициентами является линейная комбинация п линейно независимых на интервале а

() — произвольные постоянные числа).

Пример:

имеет, как нетрудно проверить, решения

Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля:

Общее решение системы имеет вид

(с1, с2 — произвольные постоянные).

Фундаментальная матрица

Квадратная матрица

столбцами которой являются линейно независимые решения системы (6), называется фундаментальной матрицей этой системы. Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению

Если Х(t) — фундаментальная матрица системы (6), то общее решение системы можно представить в виде

— постоянная матрица-столбец с произвольными элементами. Полагая в (7) t = t0, имеем

Матрица называется матрицей Коши. С ее помощью решение системы (6) можно представить так:

Теорема:

О структуре общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Общее решение в области линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений

с непрерывными на отрезке коэффициентами aij(t) и правыми частями fi(t) равно сумме общего решения

соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения неоднородной системы (2):

Метод вариации постоянных

Если известно общее решение линейной однородной системы (6), то частное решение неоднородной системы можно находить методом вариации постоянных (метод Лагранжа).

есть общее решение однородной системы (6), тогда

причем решения Xk(t) линейно независимы.

Будем искать частное решение неоднородной системы

где неизвестные функции от t. Дифференцируя по t, имеем

Подставляя в (2), получаем

то для определения получаем систему

или, в развернутом виде,

Система (10) есть линейная алгебраическая система относительно определителем которой является определитель Вронского W(t) фундаментальной системы решений . Этот определитель отличен от нуля всюду на интервале a

где — известные непрерывные функции. Интегрируя последние соотношения, находим

Подставляя эти значения в (9), находим частное решение системы (2)

(здесь под символом понимается одна из первообразных для функции

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

в которой все коэффициенты — постоянные. Чаще всего такая система интегрируется сведением ее к одному уравнению более высокого порядка, причем это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Другой эффективный метод интегрирования систем с постоянными коэффициентами — метод преобразования Лапласа.

Мы рассмотрим еще метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он состоит в следующем.

Метод Эйлера

Будем искать решение системы

где — постоянные. Подставляя Xk в форме (2) в систему (1), сокращая на и перенося все члены в одну часть равенства, получаем систему

Для того, чтобы эта система (3) линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

Уравнение (4) называется характеристическим. В его левой части стоит многочлен относительно степени n. Из этого уравнения определяются те значения , при которых система (3) имеет нетривиальные решения . Если все корни характеристического уравнения (4) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3), находим соответствующие им нетривиальные решения этой системы n, следовательно, находим п решений исходной системы дифференциальных уравнений (1) в виде

где второй индекс указывает номер решения, а первый — номер неизвестной функции. Построенные таким образом п частных решений линейной однородной системы (1)

образуют, как можно проверить, фундаментальную систему решений этой системы.

Следовательно, общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (1) имеет вид

где произвольные постоянные.

Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассматривать не будем.

Пример:

Ищем решение в виде

имеет корни

Система (3) для определения a1, а2 выглядит так:

Подставляя в (*) получаем

откуда а21 = а11. Следовательно,

Полагая в находим a22 = — a12, поэтому

Общее решение данной системы:

Матричный метод

Изложим еще матричный метод интегрирования однородной системы (1). Запишем систему (1) в виде

матрица с постоянными действительными элементами

Напомним некоторые понятия из линейной алгебры. Вектор называется собственным вектором матрицы А, если

Число называется собственным значением матрицы А, отвечающим собственному вектору g, и является корнем характеристического уравнения

где I — единичная матрица.

Будем предполагать, что все собственные значения матрицы А различны. В этом случае собственные векторы g1, g2, …gn линейно независимы и существует матрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, т. е. такая, что

Столбцами матрицы Т являются координаты собственных векторов g1, g2 …, gn матрицы А.

Введем еще следующие понятия. Пусть В(t) — матрица, элементы которой суть функции аргумента t, определенные на множестве . Матрица В(t) называется непрерывной на , если непрерывны на все ее элементы . Матрица В(t) называется дифференцируемой на , если дифференцируемы на все элементы этой матрицы. При этом производной матрицы называется матрица, элементами которой являются производные у соответствующих элементов матрицы В(t).

Пусть B(t) — n х n-матрица,

— вектор-столбец. Учитывая правила алгебры матриц, непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости формулы

В частности, если В — постоянная матрица, то

так как есть нуль-матрица.

Теорема:

Если собственные значения матрицы А различны, то общее решение системы (7) имеет вид

где g1, g2,…, gn — собственные векторы-столбцы матрицы А, произвольные постоянные числа.

Введем новый неизвестный вектор-столбец Y(t) по формуле

где Т — матрица, приводящая матрицу А к диагональному виду. Подставляя X(t) из (11) в (7), получим систему

Умножая обе части последнего соотношения слева на и учитывая, что придем к системе

Мы получили систему из n независимых уравнений, которая без труда интегрируется:

Здесь — произвольные постоянные числа.

Вводя единичные n-мерные векторы-столбцы

решение Y(t) можно представить в виде

В силу (11) Х(t) = TY(t). Так как столбцы матрицы Т есть собственные векторы матрицы собственный вектор матрицы А. Поэтому, подставляя (13) в (11), получим формулу (10):

Таким образом, если матрица А системы дифференциальных уравнений (7) имеет различные собственные значения, для получения общего решения этой системы:

1) находим собственные значения матрицы как корни алгебраического уравнения

2) находим все собственные векторы g1, g2,…, gn;

3) выписываем общее решение системы дифференциальных уравнений (7) по формуле (10).

Пример:

Матрица А системы имеет вид

1) Составляем характеристическое уравнение

Корни характеристического уравнения

2) Находим собственные векторы

Для = 4 получаем систему

откуда g11 = g12, так что

Аналогично для = 1 находим

3) Пользуясь формулой (10), получаем общее решение системы дифференциальных уравнений

Корни характеристического уравнения могут быть действительными и комплексными. Так как по предположению коэффициенты системы (7) действительные, то характеристическое уравнение

будет иметь действительные коэффициенты. Поэтому наряду с комплексным корнем оно будет иметь и корень *, комплексно сопряженный с . Нетрудно показать, что если g — собственный вектор, отвечающий собственному значению , то * — тоже собственное значение, которому отвечает собственный вектор g*, комплексно сопряженный с g.

При комплексном решение

системы (7) также будет комплексным. Действительная часть

этого решения являются решениями системы (7). Собственному значению * будет отвечать пара действительных решений X1 и -Х2, т. е. та же пара, что и для собственного значения . Таким образом, паре , * комплексно сопряженных собственных значений отвечает пара действительных решений системы (7) дифференциальных уравнений.

Пусть — действительные собственные значения, — комплексные собственные значения. Тогда всякое действительное решение системы (7) имеет вид