Что такое определитель вронского для дифференциального уравнения

Определитель Вронского (вронскиан).

Пусть функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ непрерывны вместе с своими производными (до $n-1$ порядка включительно) на интервале $(a;b)$. Определитель Вронского (вронскиан) указанной системы функций задаётся следующей формулой:

Для того, чтобы функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ были линейно независимыми на $(a;b)$, достаточно, чтобы $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq 0$ хотя бы в одной точке интервала $(a;b)$. Отметим, что это условие является достаточным, но не необходимым. Т.е. если $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)= 0$ для всех значений переменной из интервала $(a;b)$, то про линейную зависимость функций $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ в общем случае ничего определённого сказать нельзя.

В некоторых случаях, однако, условие $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq 0$ является не только необходимым, но и достаточным для линейной независимости функций. Например, чтобы решения $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка были линейно независимы на $(a;b)$, необходимо и достаточно, чтобы $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq 0$ хотя бы в одной точке интервала $(a;b)$. Об этом будет идти речь в соответствующих разделах теории дифференциальных уравнений.

Если функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$, непрерывные вместе с своими производными до $n-1$ порядка включительно на интервале $(a;b)$, линейно зависимы, то $W(y_1,y_2,\ldots,y_n) = 0$ для всех $x\in(a;b)$.

Исследовать на линейную зависимость функции $y_1(x)=x$, $y_2(x)=x e^x$ в их области определения.

Областью определения данных функций есть вся числовая прямая, т.е. $x\in(-\infty;+\infty)$.

Так как существует хотя бы одно значение $x\in R$, при котором $W\neq 0$ (например, при $x=1$ имеем $W=e$), то функции $y_1(x)=x$ и $y_2(x)=x e^x$ линейно независимы на $R$.

Исследовать на линейную зависимость функции $y_1(x)=1$, $y_2(x)=x$, $y_3(x)=x^2$, $y_4(x)=x^3$, $y_5(x)=x^4$ в их области определения.

Эта система функций уже была исследована в задаче №3 непосредственным применением определения линейно зависимых и независимых функций. Теперь осуществим исследование с помощью определителя Вронского. Все рассуждения проводим в области определения данных функций, т.е. на $R$.

Так как $W\neq 0$, то данные функции линейно независимы на $R$.

Исследовать на линейную зависимость функции $y_1(x)=4$, $y_2(x)=\arcsin x$, $y_3(x)=\arccos x$ в интервале $(-1;1)$.

Для вычисления полученного определителя можно использовать формулу треугольников, но лучше сделать пару предварительных преобразований. Прибавим к элементам второго столбца соответствующие элементы третьего столбца и учтем, что $\arcsin x+\arccos x=\frac <\pi><2>$ при любом $x\in[-1;1]$:

Так как $W=0$, то ничего определенного про линейную зависимость данных функций сказать нельзя.

Можно исследовать данные функции определителем Грама, но проще использовать определение линейно зависимых функций. В задаче №4 доказано по определению, что данные функции линейно зависимы на отрезке $[-1;1]$, а следовательно, будут линейно зависимы на $(-1;1)$.

Исследовать на линейную зависимость функции $y_1(x)=x$, $y_2(x)=|x|$ в их области определения.

Областью определения заданных функций есть все множество действительных чисел, т.е. $x\in R$. Рассмотрим определитель Вронского этих функций при $x≥ 0$. При данном условии $y_2(x)=|x|=x$.

Итак, вронскиан равен нулю на всей области определения заданных функций. Вновь, как и в примере №3, сказать что-либо определённое по поводу линейной зависимости функций, опираясь на значение вронскиана, нельзя. В задаче №5 эти функции были исследованы на линейную зависимость согласно определению. И, согласно результатам, функции оказались линейно независимыми.

Как видите, примеры №3 и №4 наглядно иллюстрируют тот факт, что условие $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq 0$ является достаточным, но не необходимым для линейной независимости рассматриваемых функций. В примере №3 функции были линейно зависимы, в примере №4 – линейно независимы, однако в обоих случаях $W=0$.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Линейная независимость функций. Определители Вронского и Грама

Пусть имеем конечную систему из функций , определенных на интервале . Функции называют линейно зависимыми на интервале , если существуют постоянные , не все равные нулю, такие, что для всех значений из этого интервала справедливо тождество

Если же это тождество выполняется только при , то функции называют линейно независимыми на интервале .

Пример 1. Показать, что система функций линейно независима на интервале .

Решение. В самом деле, равенство может выполняться для всех только при условии, что . Если же хоть одно из этих чисел не равно нулю, то в левой части равенства будем иметь многочлен степени не выше третьей, а он может обратиться в ноль не более, чем при трех значениях из данного интервала.

Пример 2. Показать, что система функций , где попарно различны, линейно независима на интервале .

Решение. Предположим обратное, т. е. что данная система функций линейно зависима на этом интервале. Тогда

на интервале , причем, по крайней мере, одно из чисел отлично от нуля, например . Деля обе части тождества (1) на , будем иметь

Дифференцируя тождество, получаем

Делим обе части тождества (2) на :

Дифференцируя (3), получаем , что невозможно, так как по предположению, по условию, а .

Наше предположение о линейной зависимости данной системы функций привело к противоречию, следовательно, эта система функций линейно независима на интервале , т.е. тождество (1) будет выполняться только при .

Пример 3. Показать, что система функций , где , линейно независима на интервале .

Решение. Определим значения и , при которых будет выполняться тождество

Разделим обе его части на :

Подставляя в (5) значение , получаем и, значит, ; но функция не равна тождественно нулю, поэтому . Тождество (5) и, следовательно, (4) имеют место только при , т. е. данные функции линейно независимы в интервале .

Замечание. Попутно доказана линейная независимость тригонометрических функций .

Пример 4. Доказать, что функции

линейно зависимы в интервале .

Решение. Покажем, что существуют такие числа , не все равные нулю, что в интервале справедливо тождество

Предполагаем тождество (7) выполненным; положим, например, . Тогда получим однородную систему трех уравнений с тремя неизвестными

Определитель этой системы трёх уравнений с тремя неизвестными равен нулю:

Следовательно, однородная система (8) имеет ненулевые решения, т. е. существуют числа , среди которых имеется по крайней мере одно отличное от нуля. Для нахождения такой тройки чисел возьмем, например, два первых уравнения системы (8):

Из первого уравнения имеем , из второго . Полагая , получим ненулевое решение системы (8):

Покажем теперь, что при этих значениях тождество (7) будет выполняться для всех . Имеем

каково бы ни было . Следовательно, система функций (6) линейно зависима на интервале .

Замечание. Для случая двух функций можно дать более простой критерий линейной независимости. Именно, функции и будут линейно независимыми на интервале , если их отношение не равно тождественной постоянной на этом интервале; если же , то функции будут линейно зависимыми.

Пример 5. Функции и линейно независимы в интервале , так как их отношение в этом интервале.

Пример 6. Функции и линейно зависимы в интервале , так как их отношение в этом интервале (в точках разрыва функции доопределяем это отношение по непрерывности).

Пусть функций имеют производные (n–1)-го порядка. Определитель

называется определителем Вронского для этой системы функций. Определитель Вронского вообще является функцией от , определенной в некотором интервале.

Пример 7. Найти определитель Вронского для функций .

Пример 8. Найти определитель Вронского для функций:

так как первая и последняя строки определителя пропорциональны.

Теорема. Если система функций линейно зависима на отрезке , то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке.

Так, например, система функций линейно зависима в интервале , и определитель Вронского этих функций равен нулю всюду в этом интервале (см. примеры 4 и 8).

Эта теорема дает необходимое условие линейной зависимости системы функций. Обратное утверждение неверно, т. е. определитель Вронского может тождественно обращаться в ноль и в том случае, когда данные функции образуют линейно независимую систему на некотором интервале.

Пример 9. Рассмотрим две функции:

Графики их имеют вид, указанный на рис. 25.

Эта система функций линейно независима, так как тождество выполняется только при . В самом деле, рассматривая его на отрезке , мы получаем , откуда , так как ; на отрезке же имеем , откуда , так как на этом отрезке.

Найдем определитель Вронского системы. На отрезках и :

Таким образом, определитель Вронского на отрезке тождественно равен нулю.

Пусть имеем систему функций на отрезке . Положим

называется определителем Грама системы функций .

Теорема. Для того, чтобы система функций была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Грама равнялся нулю.

Пример 10. Показать, что функции и линейно зависимы на отрезке .

Вычислим определитель Грама следовательно, функции и линейно зависимы.

Дифференциальные уравнения первого порядка (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2

Найти общее решение или общий интеграл однородного уравнения

Найти общее решение или общий интеграл линейного дифференциального уравнения

Найти общее решение или общий интеграл уравнения Бернулли

Найти общее решение или общий интеграл уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид
.

В дальнейшем мы будем рассматривать уравнения, которые можно разрешить относительно высшей производной.
Уравнение, разрешенное относительно высшей производной, можно записать так:
.
Наиболее простым такое дифференциальное уравнение оказывается тогда, когда оно имеет вид:

y (n) = f(x) , где f(x) — заданная функция.

Пример

Рассмотрим дифференциальное уравнение .

Из этого уравнения сразу видно, что , где C1 — произвольная постоянная.

В свою очередь из последнего уравнения следует, что ,
где C2 — произвольная постоянная, никак не связанная с постоянной C1 .

Найденное решение зависит от двух произвольных постоянных, при этом исходное дифференциальное уравнение было уравнением второго порядка. Такое решение называется общим решением этого уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется функция , существенно зависящая от n произвольных постоянных и обращающая данное уравнение в тождество при любых значениях этих постоянных.

Решения, получаемые из общего при закреплении постоянных называются частными .

В прикладных вопросах часто приходится искать такое решение дифференциального уравнения n-го порядка, которое удовлетворяет n условиям:
при заданном значении сама функция y и ее первые n -1 производных

должны принимать заданные значения
.

Вообще говоря, последние условия, называемые начальными, выделяют из общего решения единственное частное решение.

Задача отыскания решения дифференциального уравнения y (n) = f(x, y,y I, y II. y (n-1)) , удовлетворяющего n начальным условиям: y(xo ) = yo , y I (xo ) = y Io. y (n-1) (xo ) = y (n-1)o называется задачей Коши.

Теорема Коши
Если функция f(x, y,y I, y II. y (n-1)) — правая часть дифференциального уравнения y (n) = f(x, y,y I, y II. y (n-1)) — непрерывна в замкнутой n — мерной области D: Oxyy I..y (n-2)y (n-1) и имеет в этой области ограниченные частные производные по y, y I, .. , y (n-2), y (n-1) , то каждой внутренней точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

2.1. Уравнения, разрешенные относительно производной и содержащие справа только

функцию f(x) :

Это самый простой случай для уравнений высших порядков.
Чтобы решить рассматриваемое уравнение, умножим обе его части на dx и проинтегрируем. Получим

или
.
Интегрируя еще раз, получим:
.
Продолжая далее, получим (после интегрирования) выражение общего интеграла:

.

Пример

Найти частное решение уравнения y»‘ =sin2x, удовлетворяющее начальным условиям: .
Решение:
.
Это и есть общее решение. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, достаточно определить соответствующие значения C1 , C2 , C3 :
.
Таким образом, искомое частное решение имеет вид:
.

2.2. Некоторые типы дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка

1) Уравнения, не содержащие в своей записи искомую функцию y

Метод решения рассмотрим на примере уравнения второго порядка.
Уравнение вида не содержит явным образом искомой функции y . Порядок такого уравнения может быть понижен. Действительно, положим . Тогда
.
Подставляя эти выражения производных в рассматриваемое уравнение, получим уравнение первого порядка

относительно неизвестной функции p от x .
Проинтегрировав это уравнение, находим его общее решение , а затем из соотношения

получаем общий интеграл исходного уравнения:

.
Аналогично можно понизить порядок у дифференциальных уравнений (n)-го порядка.

Пример

Решить уравнение
.
Положим y ‘ = p, тогда

и мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p :
.
Это уравнение является линейным. Найдем его общее решение, используя метод вариации произвольной постоянной.
,
.
Итак, , т. е. . Следовательно, .
Замечание.
Аналогичным способом можно проинтегрировать уравнение
.
Полагая y n-1 = p, получим для определения p уравнение первого порядка: .

Определив отсюда p как функцию от x, из соотношения y n-1 = p найдем функцию y.

2) Уравнения, не содержащие аргумента искомой функции x

Метод решения опять рассмотрим на примере уравнения второго порядка.

Уравнение вида не содержит явным образом независимую переменную x . Порядок этого уравнения также может быть понижен. И в этом случае полагаем , но теперь мы будем считать p функцией от y (а не от x , как прежде). Тогда
.
Подставляя в рассматриваемое уравнение выражение производных, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p :
.
Интегрируя его, найдем p как функцию от y и произвольной постоянной : . Вспоминая, что
,
получим дифференциальное уравнение первого порядка для функции y от x :
.
Разделяя переменные, находим:
.
Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения: .

Пример

Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям .
Данное уравнение не содержит x. Положим , рассматривая p как функцию от y. Тогда

и мы получаем уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p :
.
Разделяя переменные, будем иметь:
.
Откуда

или
,
т. е.
.
Здесь мы можем сразу определить значение произвольной постоянной C1 , используя начальные условия: .
Следовательно,
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим:

или
.
Пользуясь тем, что , найдем : . Искомое частное решение запишется:
.

2.3. Линейные уравнения высших порядков

Дифференциальное уравнение n -го порядка называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции y и ее производных
.

Линейное уравнение n -го порядка имеет вид:

.

Будем считать, что функции и непрерывны, причем при всех значениях x из той области, в которой мы рассматриваем уравнение.
Путем деления на это уравнение может быть приведено к виду:

.

Если , то уравнение называется линейным неоднородным или уравнением с правой частью.
Если же , то уравнение имеет вид

и называется линейным однородным уравнением или уравнением без правой части.

Задача отыскания решения линейного дифференциального уравнения удовлетворяющего n начальным условиям: y(xo ) = yo , y I (xo ) = y Io. y (n-1) (xo ) = y (n-1)o, при условиях непрерывности функций p1 (x), p2 (x) . pn (x) , f(x), решается всегда, так как выполняются условия теоремы Коши.

В следующем параграфе будут установлены некоторые основные свойства линейных однородных уравнений. При этом будут использованы прежде всего уравнения второго порядка.

2.4. Линейные однородные уравнения второго порядка

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка, т. е. уравнение

и установим некоторые свойства его решений.

Свойство 1
Если является решением линейного однородного уравнения, то C, где C — произвольная постоянная, является решением того же уравнения.
Доказательство.
Подставляя в левую часть рассматриваемого уравнения C, получим: ,
но , т. к. является решением исходного уравнения.
Следовательно,

и справедливость указанного свойства доказана.

Свойство 2
Сумма двух решений линейного однородного уравнения является решением того же уравнения.
Доказательство.
Пусть и являются решениями рассматриваемого уравнения, тогда
и .
Подставляя теперь + в рассматриваемое уравнение будем иметь:
, т. е. + есть решение исходного уравнения.
Из доказанных свойств следует, что, зная два частных решения и линейного однородного уравнения второго порядка, мы можем получить решение , зависящее от двух произвольных постоянных, т. е. от такого количества постоянных, какое должно содержать общее решение уравнение второго порядка. Но будет ли это решение общим, т. е. можно ли путем выбора произвольных постоянных и удовлетворить произвольно заданным начальным условиям?
При ответе на этот вопрос будет использовано понятие линейной независимости функций, которую можно определить следующим образом.

Две функции и называются линейно независимыми на некотором интервале, если их отношение на этом интервале не является постоянным, т. е. если
.
В противном случае функции называются линейно зависимыми .
Иными словами, две функции и называются линейно зависимыми на некотором интервале, если на всем интервале.

Примеры

1. Функции y1 = e x и y2 = e — x линейно независимы при всех значениях x, т. к.
.
2. Функции y1 = e x и y2 = 5 e x линейно зависимы, т. к.
.

Теорема 1.

Если функции и линейно зависимы на некотором интервале, то определитель , называемый определителем Вронского данных функций, тождественно равен нулю на этом интервале.

Если
,
где , то и .
Следовательно,
.
Теорема доказана.

Замечание.
Определитель Вронского, фигурирующий в рассмотренной теореме, обычно обозначается буквой W или символами .
Если функции и являются решениями линейного однородного уравнения второго порядка, то для них справедлива следующая обратная и притом более сильная теорема.

Теорема 2.

Если определитель Вронского, составленный для решений и линейного однородного уравнения второго порядка, обращается в ноль хотя бы в одной точке, то эти решения линейно зависимы.

Пусть определитель Вронского обращается в ноль в точке , т. е. =0,
и пусть и .
Рассмотрим линейную однородную систему

относительно неизвестных и .
Определитель этой системы совпадает со значением определителя Вронского при
x= , т. е. совпадает с , и, следовательно, равен нулю. Поэтому система имеет ненулевое решение и ( и не равны нулю). Используя эти значения и , рассмотрим функцию . Эта функция является решением того же уравнения, что и функции и . Кроме того, эта функция удовлетворяет нулевым начальным условиям: , т. к. и .
С другой стороны, очевидно, что решением уравнения , удовлетворяющим нулевым начальным условиям, является функция y =0.
В силу единственности решения, имеем: . Откуда следует, что
,
т. е. функции и линейно зависимы. Теорема доказана.

Следствия.

1. Если определитель Вронского, фигурирующий в теоремах, равен нулю при каком-нибудь значении x=, то он равен нулю при любом значении x из рассматриваемого интервала.

2. Если решения и линейно независимы, то определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной точке рассматриваемого интервала.

3. Если определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке, то решения и линейно независимы.

Теорема 3.

Если и — два линейно независимых решения однородного уравнения второго порядка , то функция , где и — произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Как известно, функция является решением рассматриваемого уравнения при любых значениях и . Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия
и ,
можно так подобрать значения произвольных постоянных и , чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям.
Подставляя начальные условия в равенства, получим систему уравнений
.
Из этой системы можно определить и , т. к. определитель этой системы

есть определитель Вронского при x= и, следовательно, не равен нулю (в силу линейной независимости решений и ).

; .

Частное решение при полученных значениях и удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.

Примеры

Общим решением уравнения является решение .
Действительно,
.

Следовательно, функции sinx и cosx линейно независимы. В этом можно убедиться, рассмотрев отношение этих функций:

.

Решение y = C1 e x + C2 e — x уравнения является общим, т. к. .

Уравнение , коэффициенты которого и
непрерывны на любом интервале, не содержащем точки x = 0, допускает частные решения

(легко проверить подстановкой). Следовательно, его общее решение имеет вид:
.

Мы установили, что общее решение линейного однородного уравнения второго порядка можно получить зная два каких-либо линейно независимых частных решения этого уравнения. Однако, не существует общих методов для нахождения таких частных решений в конечном виде для уравнений с переменными коэффициентами. Для уравнений с постоянными коэффициентами такой метод существует и будет рассмотрен нами позднее.

2.5. Линейные неоднородные уравнения второго порядка

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка . Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой.

Общее решение линейного неоднородного уравнение представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т. е. y = Y + y* ,
где y — общее решение линейного неоднородного уравнения,
Y — общее решение линейного однородного уравнения и
y* — частное решение рассматриваемого неоднородного уравнения.

Докажем сначала, что функция y* является решением рассматриваемого уравнения. Подставляя y = Y + y* в исходное уравнение, получим: .
Так как Y есть решение однородного уравнения, то выражение, стоящее в первых скобках, равно нулю. Выражение, стоящее во вторых скобках, равно f(x) , т. к. y* есть решение неоднородного уравнения.
Докажем теперь, что решение y = Y + y* является общим решением рассматриваемого уравнения, т. е. докажем, что входящие в него произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия: . Общее решение линейного однородного уравнения можно представить в форме , где и линейно независимые решения этого уравнения, а и произвольные постоянные.
Рассматриваемое решение можно записать в форме .

Используя начальные условия, будем иметь:

.

Из этой системы уравнений нужно определить и .

Переписав систему в виде

замечаем, что определитель этой системы есть определитель Вронского для функций и в точке . Так как эти функции линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю. Следовательно, система имеет определенное решение и :

, .

При этих значениях и мы и получим частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Следовательно, решение

является общим решением рассматриваемого линейного неоднородного уравнения.

Таким образом, доказано, что решение неоднородного уравнения есть сумма y = Y + y* .

2.6. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим теперь линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, т. е. уравнение , где p и q — постоянные числа.
Чтобы найти общее решение этого уравнения, достаточно найти два линейно независимых частных решения.
Заметим, что функция, удовлетворяющая линейному однородному уравнению, должна быть подобна своим производным. Таким свойством обладает, как известно, показательная функция. Это соображение наталкивает на мысль искать частные решения в виде y = e kx , где k=const .
Подставляя эту функцию и ее производные
и в рассматриваемое уравнение, получим: .
Так как , значит .
Следовательно, если k будет удовлетворять полученному уравнению, которое называется характеристическим , то y = e kx будет решением исходного уравнения.
Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня: обозначим их через и . При этом
.
Здесь возможны следующие случаи:

1. и — действительные и притом не равные между собой числа .
2. и — действительные равные числа = .
3. и — комплексные числа.

Рассмотрим каждый случай отдельно.
1. Корни характеристического уравнения действительны и различны.
В этом случае частными решениями будут функции
и .
Причем эти решения линейно независимы, т. к.
.

Пример

Дано уравнение .
Характеристическое уравнение имеет вид
.
Корни характеристического уравнения: . Общее решение:
.

2. Корни характеристического уравнения действительные и равные.
В этом случае мы имеем только одно частное решение y = e kx , т. к. k1 = k2 = k . Для построения общего решения нужно найти еще одно частное решение, линейно независимое с первым. Будем искать второе решение в виде
, где U(x) — неизвестная функция, подлежащая определению. Подставляя функцию
и ее производные
,
в рассматриваемое линейное однородное уравнение, получим: .
Так как k — кратный корень характеристического уравнения, то или и
.
Следовательно, для определения функции U(x) получаем уравнение или . Интегрируя, получаем: .
В частности, можно положить A =1, B =0; тогда .
Таким образом, в качестве второго частного решения можно взять .
Это решение линейно независимо с первым, т. к.

.
Поэтому общее решение будет .

Пример

Дано уравнение .
Характеристическое уравнение имеет вид
.
Корни характеристического уравнения: . Общее решение:
.

3. Корни характеристического уравнения комплексные.
Так как коэффициенты p и q характеристического уравнения действительные числа, то комплексные корни будут сопряженными.
Причем, , где .
Частные решения можно записать в форме
.
Построение общего решения по этим частным решениям представляется не очень удобным, т. к. эти решения являются функциями, принимающими комплексные значения. Однако мы можем с их помощью получить два действительных частных решения.
Для этого нам понадобятся формулы Эйлера : .

В справедливости этих формул можно убедиться следующим образом.

Рассмотрим функцию

и найдем ее производную:
.
Отсюда следует, что .
Но , следовательно, , т. е. или .
Получили первую из формул Эйлера. Подставляя теперь в эту формулу -x вместо x, получим вторую формулу .
Используя формулы Эйлера, перепишем теперь частные решения и в виде .

Полусумма этих решений

также будет решением рассматриваемого уравнения, что вытекает из свойств решений линейного однородного уравнения.

Точно так же решением будет функция .

Эти решения являются функциями, принимающими действительные значения (при действительных значениях x ).
Кроме того, эти два решения линейно независимы, т. к.
.

Следовательно, общее решение в рассматриваемом случае имеет вид

или, окончательно, .

Пример

Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .
Составим характеристическое уравнение
.
Найдем его корни
.
Следовательно, общее решение есть
.
Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. На основании первого условия находим
, откуда .

Заметив, что
,
из второго условия получаем: , т. е. .
Таким образом, искомое частное решение есть

2.7. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Перейдем теперь к рассмотрению линейных неоднородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, т. е. уравнений вида , где p и q — действительные числа.
Нам уже известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения Y соответствующего однородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме квадратного трехчлена. В случае уравнения с постоянными коэффициентами общее решение линейного однородного уравнения, как мы уже знаем, находится легко. Остановимся теперь на проблеме отыскания частного решения y* линейного неоднородного уравнения.

Метод подбора (метод неопределенных коэффициентов)

Этот метод используется, если функция справа имеет специальный вид:
f(x) = e ax [ Pm (x) cos(bx) + Qn (x) sin(bx) ], где a и b — действительные числа,
Pm (x) и Qn (x) — многочлены с действительными коеффициентами, имеющими соответственно степени m >= 0 и n >= 0.

Вид частного решения неоднородного уравнения зависит от вида правой части этого уравнения и подбирается в каждом случае с учетом корней характеристического многочлена соответствующего однородного уравнения.

Можно показать, что частное решение имеет вид
y*(x) = xh e ax [ Ps (x) cos(bx) + Qs (x) sin(bx) ],
где a и b — те же числа, что и присутствующие в функции f(x), h >= 0 — кратность корня (a + bi) для характеристичекого многочлена соответствующего однородного уравнения, s = Max(m;n) , Ps (x) и Qs (x) — многочлены степени s, подлежащие численному определению.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

а) .
Если , то частное решение неоднородного уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена:
, где — неопределенные коэффициенты.
Отсюда
.

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, мы получим тождество
,
откуда

.

Так как , то из последней системы для коэффициентов получаются определенные числовые значения. Тем самым частное решение y* будет вполне определено.
Если , то частное решение y* ищем в виде , когда один из корней характеристического уравнения равен нулю, и в виде ,
когда оба корня характеристического уравнения нули. Аналогично обстоит дело, если f(x) — многочлен P(x) произвольной степени.

Пример

Решить уравнение .
Имеем:
.
Так как p=0, то частное решение данного уравнения ищем в виде
. Отсюда имеем: .

Подставляем в исходное уравнение: .
Искомые коэффициенты будут: . Значит, частное решение будет ,
а общее решение получается в виде .

б) .
Частное решение ищем в виде , где A — неопределенный коэффициент.
Отсюда
.
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, после сокращения на e bx будем иметь . Отсюда видно, что если b не является корнем характеристического уравнения, то .
Если b — корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде y* = Axebx , когда b — однократный корень, и в виде y* = P(x) ebx , когда b — двукратный корень.
Аналогично будет, если f(x) = P(x) ebx , где P(x) — многочлен.

Пример

Решить уравнение
.
Имеем:
.
Так как в данном уравнении b = 1 — корень кратности два характеристического уравнения, то частное решение данного уравнения ищем в виде
.
Далее имеем:
.

в) . (a и b не нули одновременно).
В этом случае частное решение y* ищем также в форме тригонометрического двучлена
, где A и B — неопределенные коэффициенты.
Отсюда .
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим: .

Так как последнее равенство представляет собой тождество, то коэффициенты при и в левой и правой частях этого равенства должны быть соответственно равны друг другу. Поэтому
.
Эти уравнения определяют коэффициенты A и B , кроме случая, когда (или когда — корни характеристического уравнения).
В последнем случае частное решение исходного уравнения ищем в виде:

Пример

Решить уравнение .
Имеем:
.
Так как — корни характеристического уравнения, то частное решение данного уравнения ищем в виде
.

Далее имеем: .

Рассмотрим так называемый принцип суперпозиции, который позволяет отыскивать частное решение и в несколько более сложных случаях.

Теорема.
Если является решением уравнения , а решением уравнения , то + есть решение уравнения .

Доказательство.
По условию и , поэтому ,
что и требовалось доказать.

Пример

Найти общее решение уравнения .
Характеристическое уравнение
имеет корни . Следовательно, .
Находим частное решение уравнения в виде , тогда . Отсюда

Следовательно, . Частное решение уравнения ищем в форме .
Тогда . Отсюда . Следовательно,
.
Наконец, находим частное решение уравнения в форме ,
тогда .
Подставляя в уравнение, получим: . Отсюда имеем:
.

Значит,
. Следовательно, .
По теореме наложения частное решение исходного уравнения будет: ,
тогда общее решение запишется так: .

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Этот метод применяется для отыскания частного решения y* линейного неоднородного уравнения, когда известно общее решение соответствующего линейного однородного уравнения. Пусть дано линейное неоднородное уравнение второго порядка и пусть общим решением соответствующего однородного уравнения является функция ,
где y1 и y2 — два линейно-независимых решения однородного уравнения.
В такой же форме будем искать и частное решение y* линейного неоднородного уравнения, только и будем считать не произвольными постоянными, а некоторыми, пока неизвестными функциями от x , т. е. будем считать, что
.
Дифференцируя, получим: .
Функции и мы будем считать выбранными так, что .
Тогда и .
Подставляя теперь в исходное уравнение, получим:
.
Но и , т. к. и являются решениями однородного уравнения. Следовательно, последнее равенство запишется: .
Итак, функция будет удовлетворять заданному уравнению, если функции и удовлетворяют двум условиям:
.
Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными и .

Определитель этой системы
,
т. к. он является определителем Вронского для линейно независимых функций и .
Решая эту систему, мы найдем и как определенные функции от x :
.
Интегрируя, получим: и .
При этих значениях и получим частное решение .

Пример

Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение имеет корни . Значит, .

Будем искать частное решение в форме .

C1′ (x) и C2′ (x) находим, решая систему уравнений

.

Интегрируя, находим: .

Следовательно, ,

а общее решение
.

2.8. Линейные однородные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами

Методы решения линейных однородных уравнений второго порядка переносятся и на линейные однородные уравнения любого порядка.
Не останавливаясь на доказательствах, рассмотрим метод решения линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами
.
Общее решение этого уравнения находится следующим образом:
1. Составляем характеристическое уравнение
.
2. Находим корни характеристического уравнения .
3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения, руководствуясь тем, что:
а) каждому действительному однократному корню k соответствует частное решение e kx ;
б) каждому действительному корню k кратности r соответствуют r линейно независимых частных решений
;
в) каждой паре комплексных сопряженных корней и соответствуют два частных решения
и ;
г) каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности t соответствуют 2t частных решений:
и .
Этих частных решений будет столько, какова степень характеристического уравнения, т. е. столько, каков порядок данного уравнения.
4.Зная n линейно независимых частных решений , записываем общее решение заданного уравнения: , где — произвольные постоянные.

Пример

Найти общее решение уравнения
.
Характеристическое уравнение

имеет корни . Общее решение запишется:
.

Замечание
Функции называются линейно зависимыми в некотором интервале, если существуют такие одновременно не равные нулю постоянные , что во всех точках рассматриваемого интервала. Если таких постоянных не существует, то функции называются линейно независимыми . Для двух функций это определение эквивалентно принятому ранее.

2.9. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение n -го порядка

с постоянными коэффициентами .

В этом случае, как и в случае уравнения второго порядка, общее решение представляется как сумма какого-нибудь частного решения линейного неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т. е. y = Y + y*.
Частное решение y* можно всегда найти, используя метод вариации произвольных постоянных. Но мы ограничимся указанием только тех случаев, когда частное решение y* можно найти, не прибегая к интегрированию.

1. Пусть
, тогда надо различать два случая:

а) a не является корнем характеристического уравнения.
В этом случае частное решение нужно искать в виде .

б) a является корнем кратности t характеристического уравнения.
Частное решение y* в этом случае нужно искать в форме .

2. Пусть , где M и N — постоянные коэффициенты.

Тогда вид частного решения определяется следующим образом:
а) не является корнем характеристического уравнения,
.
б) корень характеристического уравнения кратности t ,
.

3. Пусть , тогда:
а) не является корнем характеристического уравнения,

.
б) является корнем характеристического уравнения кратности t ,

.

Пример 1.

Найти общее решение уравнения
.
Характеристическое уравнение имеет корни .
Общее решение линейного однородного уравнения запишется:
.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме .
Дифференцируя
и подставляя в исходное уравнение, получим: .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, находим: .
Следовательно, ,
а общее решение .

Пример 2.

Решить уравнение .
Как и в предыдущем примере, здесь .
Частное решение y * ищем в форме ,
т. к. i является корнем характеристического уравнения. Дифференцируя

и подставляя в исходное уравнение, получим: ,
откуда
.
Следовательно,
и общее решение .

2.10. Уравнение Коши — Эйлера

Рассмотрим линейное уравнение n -го порядка
,
где — постоянные.

Уравнение такого вида называется уравнением Коши-Эйлера. Это уравнение с переменными коэффициентами, но оно легко приводится к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью подстановки x = et (x > 0).
В самом деле из этого равенства находим:
.
При подстановке всех этих величин в исходное уравнение там произойдет сокращение показательных множителей и мы получим уравнение с постоянными коэффициентами.
Мы рассмотрели подстановку x = et считая, что x > 0, а если x 0 полагаем x = e t.

Тогда или .

Подставляя все эти выражения в исходное уравнение, получим: .

Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами.
Находим общее решение линейного однородного уравнения: .
Частное решение находится легко. Следовательно, .
Возвращаясь к переменной x, получаем: . Это общее решение заданного уравнения для x>0.