3.1. Отделение корней нелинейного уравнения
Отделение корней – это определение их наличия, количества и нахождение для каждого их них достаточно малого отрезка [a, b], которому он принадлежит.
На первом этапе определяется число корней, их тип. Определяется интервал, в котором находятся эти корни, или определяются приближенные значения корней.
В инженерных расчетах, как правило, необходимо определять только вещественные корни. Задача отделения вещественных корней решается Аналитическими и Графическими методами.
Аналитические методы основаны на функциональном анализе.
Для алгебраического многочлена n-ой степени (полинома) с действительными коэффициентами вида
Pn(x) = an x n + an-1xn-1 +. +a1x+ a0 = 0, (an >0) (3.2)
Верхняя граница положительных действительных корней определяется по формуле Лагранжа (Маклорена):
, (3.3)
Где: k ³ 1 – номер первого из отрицательных коэффициентов полинома;
B – максимальный по модулю отрицательный коэффициент.
Нижнюю границу положительных действительных корней можно определить из вспомогательного уравнения
(3.4)
Если для этого уравнения по формуле Лагранжа верхняя граница равна R1, то
= (3.5)
Тогда все положительные корни многочлена лежат в интервале
≤x+≤.
Интервал отрицательных действительных корней многочлена определяется с использованием следующих вспомогательных функций.
и .
≤x–≤ = =.
Рассмотрим пример отделения корней с использованием этого аналитического метода.
Методом Лагранжа определим границы положительных и отрицательных корней многочлена.
3×8 – 5×7 – 6×3 – x – 9 = 0
K = 1 B = |– 9| an = 3
= 4
9×8 + x7 + 6×5 + 5x – 3 = 0
k = 8 B = 3 an = 9
Отсюда границы положительных корней 0,5 ≤ x+ ≤ 4
3×8 + 5×7 + 6×3 + x – 9 = 0
=
9×8 – x7 – 6×5 – 5x – 3 = 0
K = 1 B = 6 an = 9
Следовательно, границы отрицательных корней –2 ≤ x– ≤ –0,6
Формула Лагранжа позволяет оценить интервал, в котором находятся все действительные корни, положительные или отрицательные. Поэтому, для определения расположения каждого корня необходимо проводить дополнительные исследования.
Для трансцендентных уравнений не существует общего метода оценки интервала, в котором находятся корни. Для этих уравнений оцениваются значения функции в особых точках: разрыва, экстремума, перегиба и других.
На практике получил большее распространение Графический метод приближённой оценки вещественных корней. Для этих целей строится график функции по вычисленным её значениям.
Графически корни можно отделить 2-мя способами:
1. Построить график функции y = f(x) и определить координаты пересечений с осью абсцисс− это приближенные значения корней уравнения.На графике 3 корня.
Рис. 3.1 Отделение корней на графике f(x).
2. Преобразовать f(x)=0 к виду j(x) = y(x), где j(x) и y(x) – элементарные функции, и определить абсциссу пересечений графиков этих функций.
На графике 2 корня.
Рис. 3.2 Отделение корней по графикам функций j(x) и y(x).
Графический метод решения нелинейных уравнений широко применяется в технических расчётах, где не требуется высокая точность.
Для отделения вещественных корней можно использовать ЭВМ. Алгоритм отделения корней основан на факте Изменения знака функции в окрестности корня. Действительно, если корень вещественный, то график функции пересекает ось абсцисс, а знак функции изменяется на противоположный.
Рассмотрим Схему алгоритма отделения корней нелинейного уравнения на заданном отрезке в области определения функции.
Алгоритм позволяет определить приближённые значения всех действительных корней на отрезке [a, b]. Введя незначительные изменения в алгоритм, его можно использовать для определения приближённого значения максимального или минимального корня.
Приращение неизвестного Δx не следует выбирать слишком большим, чтобы не «проскочить» два корня.
Недостаток метода – использование большого количества машинного времени.
Реферат: Отделение корней. Графический и аналитический методы отделения корней
Название: Отделение корней. Графический и аналитический методы отделения корней Раздел: Рефераты по информатике Тип: реферат Добавлен 11:03:33 16 июня 2011 Похожие работы Просмотров: 2994 Комментариев: 22 Оценило: 8 человек Средний балл: 4.5 Оценка: 5 Скачать |
Из рис.1 видно, что корень находится на отрезке [1,2]. В качестве приближенного значения этого корня можно взять значение х=1.5. Если взять шаг по оси Ох меньше, то и значение корня можно получить более точное. |
3. Аналитический метод (табличный или шаговый).
Для отделения корней полезно помнить следующие известные теоремы:
1) если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], т.е. f(a)f(b) 0, значит корня на отрезке [0;0.5] нет.
f(0.5)f(1) 0, значит корня на отрезке [0.5;0.75] нет.
Занятие № 2. Решения алгебраических уравнений. Отделение корней
Уравнение f(x)=0 называется алгебраическим уравнением n-й степени, если f(x) является полиномом,
Всякое неалгебраическое уравнение называется трансцендентным. Любое значение A, обращающее функцию f(x) в нуль называется корнем уравнения f(x)=0.
Для алгебраических уравнений, степень которых выше четырех, не существует формул, которые выражали бы величины корней через коэффициенты уравнений. Сравнительно редко удается найти точное значение корней и трансцендентных уравнений. Поэтому, важное значение приобретают методы приближенного нахождения корней уравнения и оценка степени их точности.
Сам процесс вычисления корней состоит из двух операций:
1) отделение корней, т.е. установление возможно тесных промежутков [a,b], в которых содержится один и только один корень уравнения;
2) уточнение приближенных корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.
Для отделения корней часто используют теорему Больцано-Коши.
Теорема: Если непрерывная функция f(x) принимает значение разных знаков на концах отрезка [a,b] то внутри этого отрезка содержится по крайней мере один корень уравнения f(x)=0. Корень заведомо будет единственным, если производная f'(x) существует и сохраняет знак внутри интервала [a,b].
Отделение корней уравнения f(x)=0 можно выполнить графически, построив график функции f(x), по которому можно судить о том, в каких промежутках находятся точки пересечения его с осью 0х. В некоторых случаях целесообразно представить исходное уравнение в эквивалентном виде: с таким расчетом, чтобы графики функций y=f1(x) и y=f2(x) строились проще, чем график y=f(x). Корень уравнения f(x)=0 представляет собой абсциссу точки пересечения графиков y=f1(x) и y=f2(x).
Пример. Отделить корни уравнения
Решение. 1-способ. В данном случае f(x)=x 3 +2 х -1, . Поскольку f'(x >0 при всех x, то функция f(x) возрастает в промежутке Корень считается отделенным, если указан конечный промежуток [a,b], на котором он находится.
Методом проб находим отрезок [a,b], для которого на концах отрезка функция f(x) принимает значения разных знаков. Для этого вычислим значения функции при некоторых значениях аргумента
Согласно теореме Больцано-Коши корень находится на отрезке [0,1], причем он единственный, т.к. производная f'(x)>0 сохраняет знак внутри интервала [0,1].
2-способ. Корень данного уравнения можно отделить и графически. Придадим уравнению вид х 3 =-2х+1, т. е.
вид f1(x)=f2(x), и построим графики
функций у=х 3 и y=-2 х +1.
Эти графики пересекаются в точке М, абсцисса которой принадлежит интервалу (0,1).
Задания. Выполнить задание 2.1 ИДЗ№1.
http://www.bestreferat.ru/referat-284431.html
http://lektsii.org/2-84222.html